On the size of Kakeya sets in finite vector spaces
Gohar Kyureghyan, Peter Müller, Qi Wang
对于一个有限域GF（q），一个Kakeya集K是GF（q）^n的一个子集，它在每个方向上都包含一条直线。当q为偶数时，本文给出了Kakeya集的最小尺寸的新的上界.
For a finite field GF(q) a Kakeya set K is a subset of GF(q)^n that contains a line in every direction. This paper derives new upper bounds on the minimum size of Kakeya sets when q is even.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The small Kakeya sets in $T^{*}_{2}(\mathcal{C})$, $\mathcal{C}$ a conic
线性表示$T^{*}_{2}(\mathcal{C})$（$\mathcal{C}$是一个非奇异二次曲线）中的Kakeya集是由一组$q+1$线覆盖的点集，其中一条线通过$\mathcal{C}$的每个点。本文对$T^{*}_{2}(\mathcal{C})$中的小Kakeya集进行了分类。最小的Kakeya集的大小为$\left\lfloor\frac{3q^{2}+2q}{4}\right\rfloor$，所有权重小于$\left\lfloor\frac{3(q^{2}-1)}{4}\right\rfloor+q$的Kakeya集都被分类为：大约有$\sqrt{\frac{q}{2}}$类型。
Size of local finite field Kakeya sets
设$\mathbb{F}$是一个由$q$元素组成的有限域，$n \geq 1$是一个整数。本文研究了局部Kakeya集关于$\mathbb{F}^{n}$子集的大小，得到了（局部）Kakeya集关于任意集合${\mathcal T} \subseteq \mathbb{F}^{n}.$的最小大小的上下界
A note on large Kakeya sets
在$q$阶的仿射平面中的Kakeya集$\mathcal{K}$是由$q+1$两两非平行线的集合$\mathcal{L}$覆盖的点集。Dover和Mellinger研究了大Kakeya集;在[6]中，他们证明了大小至少为$q^2-3q+9$的Kakeya集包含一个大纽结（$\mathcal{K}$的一个点位于$\mathcal{L}$的多条线上）。在本文中，我们改进了这一结果表明，Kakeya集的大小至少$\approx q^2-q\sqrt{q}+\frac{3}{2}q$包含一个大的纽结。此外，我们得到了一个尖锐的结果，平面的平方阶包含一个Baer子平面。
Conical Kakeya and Nikodym Sets in Finite Fields
Kakeya集合在每个方向上包含一条线。Dvir证明了一个下界的大小，任何Kakeya集在有限域使用多项式的方法。我们证明类似物的Dvir的结果为非退化的二次曲线，即抛物线和双曲线（但不是椭圆没有一个方向）。我们还研究了所谓的锥形Nikodym集，其中一个小的变化的证明提供了一个下界的大小。(Here省略号包括在内。）请注意，圆锥Kakeya集的界限之前已经知道，但是，没有显式给定的常数，这是包括在我们的结果和接近最好的可能。
A lower bound for the size of Kakeya sets with respect to hyperplanes in $\mathbb{F}_q^n$
我们证明了一个子集的$\mathbb{F}_q^n$，其中包含一个超平面在任何方向上的大小至少为$q^{n}-O(q^2)$。
Kakeya sets over non-archimedean local rings
在Ellenberg，Oberlin和Tao最近的一篇论文中，作者提出了F_q[[t]]^n中是否存在贝西科维奇现象的问题。本文通过在测度为0的F_q[[t]]^n中明确构造一个Kakeya集来肯定地回答他们的问题。进一步证明了F_q[[t]]^2或Z_p^2中的Kakeya集的Minkowski维数为2。
Finite field Kakeya and Nikodym sets in three dimensions
本文给出了$\mathbb{F}_q^3$上Kakeya集和Nikodym集的大小的改进下界.我们还提出了一个自然猜想的最小数目的点在工会的一个不太平坦的一组线在$\mathbb{F}_q^3$，并表明，这一猜想意味着一个最佳的范围内的大小的Nikodym集。
Improved lower bound on the size of Kakeya sets over finite fields
在最近的一次突破中，Dvir证明了$\F^n$中的每个Kakeya集必须至少具有$c_n |\F|^n$的基数，其中$c_n \approx 1/n!$。对于一个常数$β> 0$，我们将这个下界改进为$β^n |\F|^n$。这就把前导常数的增长固定在正确的形式上，作为$n$的函数。
The Spherical Kakeya Problem in Finite Fields
我们研究有限域$\mathbb{F}_q$上的$n$维向量空间的子集，对于奇数的$q$，其中包含每个半径的球或每个中心的第一个坐标的球。我们称这样的集半径球面Kakeya集和中心球面Kakeya集，分别。对于$n\ge 4$，我们证明了包含$q-1$不同球面的任何集合的大小的一般下界，该下界适用于两种球面Kakeya集合。我们提供的建设，满足这个下限的主要条款。我们还给出了一个结构，表明我们不能得到一个下界的数量级~ $q^n$，如果我们采取低维的对象，如圆在$\mathbb{F}_q^3$，而不是球，显示有显着的差异线Kakeya问题。最后，我们研究了维数$n=1$的情况，这与覆盖$\mathbb{F}_q$的和差集的研究是不同的，也是等价的。
Almost all non-archimedean Kakeya sets have measure zero
本文从概率的角度研究了局部非阿基米德域上的Kakeya集：在Kakeya集上定义了一个概率测度，并证明了，根据这个测度，几乎所有的非阿基米德Kakeya集都可以根据Haar测度忽略.我们还讨论了与非阿基米德挂谷猜想的可能关系。
Kakeya-Type Sets in Local Fields with Finite Residue Field
给出了局部域上有限维空间$K^d$中具有有限剩余域的测度为零的Kakeya型集的构造.这种结构是对[12]和[13]中出现的思想的改编。讨论了离散赋值环上测度为零的Kakeya型集的存在性，给出了$\mathbb{F}_q[[t]]$上测度为零的Kakeya型集的另一种构造.
A bound for plany Kakeya sets in $\mathbb{F}_q^4$ using the planebrush method
本文在有限域$\mathbb{F}_q^4$中，利用平面刷方法改进了平面Kakeya集的下界估计。
Kakeya Sets and Directional Maximal Operators in the Plane
我们完全刻画了平面方向极大算子在L^p上的有界性。更精确地说，如果Ω是一个方向集，我们证明了与方向Ω上的线段相关的极大算子M_Ω在L^p上是无界的，对所有p <无穷大，当Ω允许Kakeya型集时。事实上，我们证明了，如果Ω不允许Kakeya集，那么Ω是广义缺集，因此M_Ω在L^p上有界，p>1。
On the size of Kakeya sets in finite fields
Kakeya集是F^n的子集，其中F是q个元素的有限域，在每个方向上都包含一条线。本文证明了每个Kakeya集的大小至少为C_n * q^n，其中C_n只依赖于n.这改进了以前最好的下界一般n的~q^{4 n/7}。
New bounds on Kakeya problems
建立了Besicovitch集的Minkowski维数和豪斯多夫维数的新估计，并得到了Kakeya极大算子的新界.
A new bound on partial sum-sets and difference-sets, and applications to the Kakeya conjecture
设$A, B$是阿贝尔群的有限子集，且$G \subset A \times B$使得$# A, # B, # \{a+b: (a,b) \in G \} \leq N$。我们考虑估计量$# \{a-b: (a,b) \in G \}$的问题。最近Bourgain将$N^2$的平凡上界改进为$N^{2-1/13}$，并将其应用于Kakeya猜想.进一步改进了Bourgain的估计，得到了$N^{2-1/6}$的进一步改进，如果我们也知道$# \{a+2b: (a,b) \in G\} \leq N$ .我们得出结论，$\R^n$中的Besicovitch集的Hausdorff维度至少为6 n/11+5/11，Minkowski维度至少为$4n/7 + 3/7$。这是$n > 8$的新功能。
The Kakeya Set Conjecture for $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ for general $N$
本文通过扩展并结合针对 $N=p^k$ 和无平方因子 $N$ 的已有技术，证明了一般 $N$ 对应的 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 的 Kakeya 集猜想，给出了更强下界并证明了其几乎紧确。
Fourier analytic properties of Kakeya sets in finite fields
本文利用 Fourier 分析证明有限域挂川集合可支撑非零频率变换受 $q^{-1}$ 控制的概率测度，并给出二维下界的新证明及 $k$ 平面推广。
Kakeya Sets in Cantor directions
我们构造了一个由N个平行四边形组成的并集，这些平行四边形在平面上的维数约为1/N x 1，它们的长边的斜率在标准康托尔集中。并集的面积为1/log N，而双精度数的并集的面积为log log N/ log N。特别地，这意味着对于任何不同于无穷大的p，L^p中的相关极大算子是无界的。这种构造是通过随机化第二作者在L^2情况下的早期构造来实现的。证明该结构满足所需的条件是由初等估计理论的渗透树发展的R。里昂
Hunter, Cauchy Rabbit, and Optimal Kakeya Sets
在每个方向上都包含单位线段的平面集合称为挂谷集合。我们将这些集合与循环$\Z_n$上的追逐博弈联系起来。猎人和兔子在$\Z_n$的节点上移动，彼此看不到。在每一步中，猎人移动到邻近的顶点或停留在原地，而兔子可以自由地跳到任何节点。Adler等人（2003年）提供了猎人和兔子的策略，这些策略在恒定因子下是最佳的，并在$1/\log n$阶的第一个$n$步骤中实现捕获概率。我们表明，这些策略产生一个Kakeya集组成的$4n$三角形的最小面积，（直到常数），即$Θ(1/\log n)$。据我们所知，这是第一个非迭代构造的边界最优Kakeya集。考虑连续模拟的游戏产生一个随机Kakeya集的建设从两个独立的标准布朗运动$\{B(s): s \ge 0\}$和$\{W(s): s \ge 0\}$。设$τ_t:=\min\{s \ge 0: B(s)=t\}$。则$X_t=W(τ_t)$是柯西过程，$K:=\{(a,X_t+at) : a,t \in [0,1]\}$是面积为零的Kakeya集. $K$的$ε$邻域的面积尽可能小，即，几乎肯定是$Θ(1/|\log ε|)$阶。
Sparse $k$-AP Covering Sets and the Arithmetic Kakeya Conjecture
该研究否定了Kiss等人关于k-AP覆盖集的猜想，证明k≥6时存在满足特定密度界的k-AP覆盖集，并将该问题与算术Kakeya猜想建立关联。
On the Peres--Schlag orthogonal projection problem and Kakeya-type sets
研究有限域和欧几里得空间中正交投影的 Peres--Schlag 非空内部问题，通过多项式方法建立有限域上的尖锐投影结果，并在欧几里得空间中结合几何测度论与调和分析技术改进参数范围。
Discrete Kakeya-type problems and small bases
群G的子集U称为k泛的，如果U包含G的每个k元子集的平移。我们给出了小k-泛集的几个近似最优构造，并用它们解决了Erdos和Newman关于整数集的基的一个老问题，并得到了其它群的几个推广.
Rotation inside convex Kakeya sets
设$K$是$\mathbb{R}^d$中的凸体（紧致凸集），它在每个可能的方向上都包含另一个体$S$的副本。在$K$中，是否总是可以不断地将$S$的任何一个副本移动到另一个副本中？作为一个更强的问题，是否总是可以为每个方向连续选择该方向上的一个$S$副本？这些问题都是克罗夫特问的。我们表明，在两个维度上，更强的问题总是有一个肯定的答案。我们还表明，在三维的答案是否定的，即使对于情况下，当$S$是一个线段-但在任何方面的第一个问题有一个积极的答案时，$S$是一个线段。我们证明，令人惊讶的是，第一个问题的答案是否定的一般$S$在第四维度。
A note on Kakeya sets of horizontal and $SL(2)$ lines
我们考虑$\mathbb{R}^{3}$中$SL(2)$线的并集。这些是$$L = (a,b,0) + \mathrm{span}(c,d,1),$$形式的行，其中$ad - bc = 1$。证明了如果$\mathcal{L}$是$SL(2)$线的Kakeya集，则其并集$\cup \mathcal{L}$具有豪斯多夫维数$3$ .这回答了王和Zahl的一个问题。$SL(2)$线可以与第一海森堡群中的水平线等同，并且我们得到的主要结果是关于水平线并的更一般陈述的推论.这种说法是建立通过一个点线之间的对偶原则水平和圆锥线在$\mathbb{R}^{3}$，结合最近的工作限制家庭的投影到飞机，由于GAN，郭，古斯，哈里斯，马尔达格，王。我们的结果也有一个推论的Nikodym集与水平线，这回答了一个特殊情况下的问题金。
Polynomials with dense zero sets and discrete models of the Kakeya conjecture and the Furstenberg set problem
我们证明了$\mathbb{R}^n$上Kakeya猜想的离散模拟.这一结果表明，一个（假设）低维Kakeya集不能直接从离散配置。我们还证明了一个推广，完全解决了离散模拟的Furstenberg集问题的所有维度。我们的定理和（真正的）问题之间的区别仅仅是（仍然困难的）连续性问题，因为没有强加横截性假设。证明的主要工具是Wongkew \cite{wongkew2003volumes}的定理，该定理指出低次多项式的零点集在单位立方体内不能太密集，再加上Dvir型多项式参数\cite{dvir2009size}。从证明的角度出发，我们还提出了一个强于并几乎等价于Minkowski（低）版本的Kakeya猜想的猜想，并证明了它的一些结果，同时给出了我们在\cite{wongkew2003volumes}中对该定理的证明.我们的证明表明，这一定理遵循的多项式的零集的性质和一个一般命题的超曲面，这可能是独立的利益的组合。最后，我们讨论了如何将Bourgain猜想推广到高维，这与本文的主题密切相关。
Extensions to the Method of Multiplicities, with applications to Kakeya Sets and Mergers
我们扩展了“多重性方法”，得到了以下结果，在组合学和随机性提取的兴趣。(A)我们证明了$\F_q^n$中的每个Kakeya集（在每个方向上包含一条线的点集）的大小必须至少为$q^n/2^n$。与之前在$n$中偏离指数因子的边界相比，对于每个$n$（作为$q \to \infty$），该边界紧到$2 + o(1)$因子内。(B)我们给出了改进的随机性提取器和“随机性合并器”。合并器是种子函数，其将$\{0,1\}^N$中的$Λ$（可能相关的）随机变量和短随机种子作为输入，并输出$\{0,1\}^N$中的单个随机变量，当$Λ$输入变量之一均匀分布时，该单个随机变量在统计上接近于具有熵$(1-δ) \cdot N$。我们需要的种子只有$(1/δ)\cdot \log Λ$ -位长，这大大改善了以前的合并构造。(C)使用我们的新的合并，我们展示了如何构建随机提取器，使用对数长度的种子，同时提取$1 - o(1)$分数的最小熵的源。“方法的多重性”，如在以前的工作中使用的，分析子集的向量空间在有限域上，通过构建有点低程度的插值多项式，消失在每个点的子集{ \em与高的多重性}。这种方法的典型应用包括证明插值多项式在子集外的某些点上也消失，然后使用简单的零点数量界限来完成分析。我们的扩增，这种技术是，我们证明，在适当的条件下，插值多项式消失{ \em与高的多重性}的集合之外。这种新颖性导致了更…
On the arithmetic Kakeya conjecture of Katz and Tao
算术Kakeya猜想，由Katz和Tao在2002年提出，是关于有限集合加法的陈述。它是已知的暗示形式的Kakeya猜想，即上闵可夫斯基维的贝西科维奇集在$\mathbb{R}^n$是$n$。本文讨论这个猜想，给出它的若干等价形式，并证明它的一个自然的有限域变体成立。我们也给出了一些下界。
Sum-difference exponents for boundedly many slopes, and rational complexity
本文受AlphaEvolve数值探索启发，研究斜率集基数有界情形下的和差指数，证明其以s相对于R的有理复杂度控制的速率收敛到2。
The Kakeya set and maximal conjectures for algebraic varieties over finite fields
利用Dvir \cite{dvir}的多项式方法，建立了有限域$F$上代数簇$W$的Kakeya集和Kakeya极大函数的最优估计.例如，给定一个$n-1$维射影簇$W \subset ¶^n(F)$，我们建立了所有函数$f: F^n \to \R$和$d \geq 1$的Kakeya极大估计$$ \| \sup_{γ\ni w} \sum_{v \in γ(F)} |f(v)| \|_{\ell^n(W)} \leq C_{n,W,d} |F|^{(n-1)/n} \|f\|_{\ell^n(F^n)}$$，其中对于每个$w \in W$，上确界是在$F^n$中次数至多为$d$的所有不可约代数曲线上，这些曲线通过$w$但不位于$W$中，并且$C_{n,W,d}$仅依赖于$n, d$和$W$的次数; $W$是无穷远超平面的特殊情况特别地建立了有限域中的Kakeya极大函数猜想，这反过来又加强了Dvir的结果。
Intersection distribution, non-hitting index and Kakeya sets in affine planes
我们提出了交集分布和非命中指数的概念，可以从两个相关的角度来看待。第一个问题是关于经典射影平面$PG(2,q)$上的点集$S$，其大小为$q+1$，其中$S$的相交分布表示$S$与$PG(2,q)$上的直线的相交模式。第二个问题涉及有限域$\mathbb{F}_q$上的多项式$f$，其中$f$的交集分布记录了多项式集合$\{f(x)+cx \mid c \in \mathbb{F}_q\}$的总体分布性质。这两个观点是密切相关的，在这个意义上，每个多项式产生一个$(q+1)$ -集在一个规范的方式，反过来说，每个$(q+1)$ -集具有一定的属性有一个多项式表示。实际上，相交分布提供了一个新的角度来区分有限域上的多项式，基于相应的$(q+1)$ -集的几何性质。在交叉分布中，我们确定了一个特别有趣的量，称为非命中指数。对于点集$S$，其非命中索引计算$PG(2,q)$中未命中$S$的行数。对于有限域$\mathbb{F}_q$上的多项式$f$，其非命中指数给出了$q$值集$\{f(x)+cx \mid x \in \mathbb{F}_q\}$的大小之和，其中$c \in \mathbb{F}_q$。我们推导了非命中指数的界，并证明了非命中指数包含了关于相应集合和多项式的大量信息。更准确地说，使用几何方法，我们表明，非命中指数是足够的特征对应的点集和多项式时，它是接近的下限和上限。…
Simple proofs for Furstenberg sets over finite fields
有限域上的$(k,m)$ -Furstenberg集$S \subset \mathbb{F}_q^n$是在每个方向上至少与$k$ -平坦有$m$公共点的集合.确定这些集合的最小尺寸的问题是有限域Kakeya问题的自然推广。这些集合唯一已知的界限是由于Ellenberg-Erman，需要代数几何的复杂机器。在这项工作中，我们给新的，完全小学和简单的，证明显着提高已知的界限。我们的主要结果依赖于一个等价的制定的问题，使用的概念，最小熵，这可能是独立的利益。
BRK-type sets over finite fields
本文将欧氏空间中的BRK集合问题推广到有限域，利用Dvir证明有限域Kakeya猜想的技术，给出了有限域上BRK型集合大小的下界。
Permutations minimizing the number of collinear triples
本文刻画了有限域上使图中共线三元组数量最少的置换，确定字典序最小者，证实 Cooper-Solymosi 猜想，并探讨其与正交拉丁方及有限仿射平面的联系。
Gröbner Bases for Increasing Sequences
令$q,n \geq 1$为整数，$[q]=\{1,\ldots, q\}$，$\mathbb F$为具有$|\mathbb F|\geq q$的字段。递增序列集合$$ I(n,q)=\{(f_1,f_2, \dots, f_n) \in [q]^n:~ f_1\leq f_2\leq\cdots \leq f_n \} $$可以经由内射映射$i: [q]\rightarrow \mathbb F $映射到仿射空间${\mathbb F}^n$的子集$J(n,q)$中。本文描述了$J(n,q)$上多项式消失理想的约化Gröbner基、标准单项式和Hilbert函数。作为应用，我们给出了$J(n,q)$的一个插值基，以及$J(n,q)$的递增Kakeya集、递增Nikodym集和仿射超平面覆盖的大小的下界.
Graph-null sets
本文证明了绝对连续函数和典型连续函数的图是图空集，同时存在某些连续函数的图不是图空集，展示了图空集与平移Kakeya性质的等价性。
Sets of Complex Unit Vectors with Two Angles and Distance-Regular Graphs
我们研究{0，α}-集，它是$\mathbb{C}^m$的单位向量的集合，其中任意两个不同的向量有角0或α。我们研究了一些距离正则图，这些图利用Godsil和Roy的方法提供了{0，α}-集的新构造.我们证明了平坦向量的{0，α}-集的大小的界，并刻画了所有产生{0，α}-集的距离正则图在相等时满足界.
Flag vectors of Eulerian partially ordered sets
研究了欧拉偏序集旗向量的闭锥。这是完全确定的，直到七阶。定义了半欧拉偏序集。Billera和Hetyei的某些极限偏序集是半欧拉偏序集;它们产生了欧拉偏序集的锥的极端射线。给出了一类新的适用于欧拉偏序集的旗向量的线性不等式。
$(n,k)$-Besicovitch sets do not exist in $\mathbb{Z}_p^n$ and $\hat{\mathbb{Z}}^n$ for $k\ge 2$
本文证明了在 $p$-进数和射有限整数空间中，任何包含所有方向 $2$-平坦的集合必具有正测度，从而否定了相应 Besicovitch 型零测度构造的存在性。
On sets of vectors of a finite vector space in which every subset of basis size is a basis II
本文给出了$k \leq 2p-2$的MDS猜想的一个证明。也就是说，如果$S$是${\mathbb F}_q^k$的向量集合，其中大小为$k$的$S$的每个子集都是基，其中$q=p^h$，$p$是素数，$q$不是素数，并且$k \leq 2p-2$，则$|S| \leq q+1$。它还包含一个简短的证明，证明了$k\leq p$和所有$q$的相同事实。
Locating-Dominating Sets and Identifying Codes of a Graph Associated to a Finite Vector Space
本文研究了Das \cite{Das}在有限向量空间中引入的图的顶点覆盖问题，使得我们可以通过检查覆盖它的顶点来唯一地识别任何顶点，我们使用了与此密切相关的定位控制集和识别码.这些集合由图的一个控制集组成，使得每个顶点在控制集中由其邻域唯一标识。给出了图的位置控制数和识别数，并研究了图的位置控制集和识别码的交换性质。
Distance sets of two subsets of vector spaces over finite fields
研究了有限域上有限维向量空间的两个子集所确定的距离集的大小。的大小的下界显式给出的两个子集的基数。因此，我们改进了Rainer Dietmann的结果。在其中一个子集是积集的情况下，我们得到了估计的进一步改进。
On the volume set of point sets in vector spaces over finite fields
证明了若$\mathcal{E}$是基数为$|\mathcal{E}| \geq (d-1)q^{d - 1}$的有限域$\mathbbm{F}_q$（$d \geq 3$）上$d$维向量空间的子集，则由$\mathcal{E}$确定的$d$维平行六面体的体积集覆盖$\mathbbm{F}_q$ .当把$\mathcal{E}$看作是通过原点的$(d - 1)$ -超平面时，该界限急剧上升到$(d-1)$的因子。
On the Erdős-Falconer distance problem for two sets of different size in vector spaces over finite fields
我们考虑两个不同集合的Erdens-Falconer距离问题的有限域版本。在两个集合的大小一定的范围内，我们得到了严格的数量级的结果。
Additive structures on $f$-vector sets of polytopes
我们证明了$d$ -多面体的$f$ -向量集具有非平凡的加法结构：它们跨越仿射格并嵌入在我们明确描述的幺半群中。此外，对于许多大的子类，例如简单多面体或单纯多面体，在$f$ -向量的集合上存在幺半群结构：“添加$f$ -向量减去$d$ -单纯形的$f$ -向量”总是产生一个新的$f$ -向量。对于一般的$4$ -多面体，我们表明，修改后的加法运算并不总是产生一个$f$ -向量，但结果总是接近一个$f$ -向量。在这个意义上，\emph{all} $4$ -多面体的$f$ -向量的集合形成“近似仿射半群”。这个证明依赖于$d=4$的每一个$d$ -多面体或其对偶都有一个“小刻面”的事实。“对于$d>4$，此操作失败。我们还描述了$f$ -向量上的两个进一步修改的加法运算，它们可以通过胶合相应的多面体来几何地实现。其中第二个可以在所有$4$ -多面体的$f$ -向量集上产生半群结构。
On Sidon sets in a random set of vectors
对于正整数$d$和$n$，令$[n]^d$是所有向量$(a_1,a_2,\dots, a_d)$的集合，其中$a_i$是具有$0\leq a_i\leq n-1$的整数。如果$S$中的两个（不一定是不同的）向量的所有和都是不同的，则$[n]^d$的子集$S$被称为\emph{Sidon set}。本文估计了与$[n]^d$中Sidon集的最大尺寸有关的两个数。首先，设$\mathcal{Z}_{n,d}$为$[n]^d$中所有Sidon集的个数。我们证明了$\log (\mathcal{Z}_{n,d})=Θ(n^{d/2})$，其中$Θ$的常数只依赖于$d$。接下来，我们估计包含在一个随机集$[n]^d_p$，其中$[n]^d_p$表示一个随机集从$[n]^d$通过选择每个元素独立概率$p$获得的西顿集的最大大小。
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