Pseudo-Riemannian and Hessian Geometry Related to Monge-Ampère Structures
该研究探究四维$T^*M$上Monge-Ampère结构对应的伪黎曼度量性质，给出由满足Plücker嵌入方程的六个系数参数化的Ricci平坦解族，还研究了二维$M$上伪度量拉回对应的Hessian结构。
2023-05-05 math-ph math.DG math.MP
Statistical Geometry and Hessian Structures on Pre-Leibniz Algebroids
介绍了反可换预莱布尼茨代数胚上的统计、共轭联络和Hessian结构。反可换的pre-Leibniz代数胚是局部pre-Leibniz代数胚的特殊情况，它仍然足够一般，可以包含许多物理动机的代数胚，如Lie，Courant，度量和higher-Courant代数胚。它们为光滑流形上微分几何结构的推广创造了一个自然的框架。反可换预莱布尼茨代数胚上括号的对称化满足一个特定的性质，该性质依赖于被称为容许的联络的等价类的选择。这些容许的连接被证明是必要的，以推广上述结构的前莱布尼茨代数胚。因此，我们证明，在一定的条件下，统计和共轭连接结构是等价的，当定义为容许连接。此外，我们还表明，对于“投影无挠”连接，可以推广海森度量和海森结构。我们证明，任何海森结构产生的统计结构，这些结果是完全平行的流形设置。我们还证明了统计几何基本定理的一个温和的推广。进一步推广了$α$-联络、强共轭联络和相对挠算子，并证明了一些类似的结果。
2021-09-08 math-ph math.DG math.MP
Transversely Hessian foliations and information geometry
由$R^n$中的开域$Λ$参数化的概率分布族定义了该域上的半正定Fisher信息矩阵。在信息几何中，标准假设是Fisher信息矩阵张量是正定的，以这种方式定义了$Λ$上的黎曼度量。如果我们用一个合适的无挠联络的存在来代替“正定”假设，那么具有横海森结构的叶理自然出现。本文从横向Hessian叶理在信息几何中的应用出发，对横向Hessian叶理进行了研究。
2015-03-29 math.DG
Hessian manifolds of positive constant Hessian sectional curvature
本文分类了正常 Hessian 截面曲率的 Hessian 流形标准模型，通过引入 Kähler 流形在交换李群 Hamilton 作用下的商结构实现该分类，填补了正曲率情形的空白。
2026-10-02 math.DG
Comparison Geometry on Manifolds with Density via Modified Hessians
Northwestern University（西北大学）
本文通过Wylie等人提出的加权截面曲率框架下的修正Hessian，研究了密度流形上的径向比较几何，在非负加权截面曲率和适当密度控制下，得到了径向函数u=1/2 r^2的修正Hessian估计，并导出了Hessian比较、形状算子比较、加权Laplacian比较、渐近径向体积密度估计和多项式加权体积增长界，同时研究了刚性现象。
2026-05-26 math.DG
Hessian geometry and Frobenius manifolds with curvature
University of Hamburg（汉堡大学）
本文研究了具有曲率的Frobenius流形的几何结构，证明了其与Hessian结构的一致性，并展示了其在超积分系统中的应用。
2026-10-20 math.DG
Hessian geometry and the holomorphic anomaly
我们提出了一个几何框架，其中包括一个复杂的变形参数的放大标量流形的N = 2向量多重态的行动，采用了更高的导数校正。这个扩大的空间进行了变形版本的特殊卡勒几何，我们将其放大。全纯异常方程产生在这个框架中的可积性条件的存在的海塞潜在的。
2016-02-24 hep-th math.DG
Differential geometry in the theory of Hessian operators
本文从$m$ -Hessian算子理论出发，提出了一种新的微分几何系统。这个系统的核心是一个新的概念不变的分化多维表面。这种新颖性产生了以下绝对几何不变量：不变的衍生物的表面位置向量，一个不变的连接表面上通过地下，曲率矩阵的超曲面和它的正常部分，$p$ -曲率和$m$ -凸性的超曲面等，我们的系统还产生了一个新的解释经典的几何不变量，并提供了新的工具来解决几何问题。为了揭示更新几何的应用，我们推导出$m$ -Hessian方程狄利克雷问题解的先验$C^1$ -估计.
2021-04-24 math.AP math.DG
An optimal transport approach to Monge-Ampère equations on compact Hessian manifolds
本文考虑紧致Hessian流形上的蒙日-安培方程，或等价地考虑某些无界凸区域$Ω\subseteq \mathbb{R}^n$上的蒙日-安培方程，其周期约束由仿射群的作用给出.在仿射群作用是体积保持的情况下，即，当流形为特殊流形时，Cheng和Yau利用连续性方法建立了相应的蒙日-安培方程的可解性.在一般情况下，我们建立了一个变分框架，涉及某些对偶流形和推广的经典勒让德变换。我们给出了存在性和唯一性的结果，详细说明连接到最优输运和准周期平铺的凸区域。
2016-07-11 math.CV math.DG
Projective Hessian and Sasakian manifolds
海森几何是凯勒几何的真正类似物。Sasakian几何是Kähler几何的奇维对应物。本文研究了射影Hessian流形与Sasakian流形之间类似于Hessian流形与Kähler流形之间的联系。特别地，我们从$M$上的投射Hessian结构构造了$TM\times \mathbb{R}$上的Sasakian结构。特别地，我们对李群上的不变结构的情形感兴趣。我们定义半Sasakian李群作为Sasakian李群的推广。然后，我们构造了一个群$G\ltimes \mathbb{R}^{n+1}$上的半Sasaki结构，它对应于射影Hessian李群$G$ .进一步，我们描述了齐次Hessian李群和相应的半Sasakian李群的例子。利用$\mathbb{R}^n$中的齐次正则整环可以构造大类投射Hessian李群。组$\text{SO}(2)$和$\text{SU}(2)$属于另一种示例。利用它们，我们构造了实平面的欧氏运动群和复平面的等距群上的半Sasaki结构。
2019-10-10 math.DG
Multidimensional cost geometry
Recognition Physics Institute（识别物理研究所）；Department of Mathematics, Faculty of Science and Mathematics, University of Niš（尼什大学科学与数学学院数学系）
本文研究了由标准互易成本函数诱导的几何结构及其自然的n维扩展，探讨了其在对数坐标下的退化特性及在原始坐标下的伪黎曼度量，并分析了仿射和利维-齐维特测地线的行为，最后将构造与对称化的Itakura-Saito和Bregman分歧联系起来，给出了对数Hessian度量的Fisher-Rao实现。
2026-05-18 math-ph math.DG math.MP
Hessian Geometry of Latent Space in Generative Models
Artificial Neural Computing Corp.（人工神经计算公司）；School of Digital Technologies, Tallinn University（数字技术学院，塔林大学）
本研究提出一种通过重构Fisher信息度量分析生成模型隐空间几何的新方法，经理论证明与物理模型验证，应用于扩散模型时揭示了隐空间相变的分形结构，为理解扩散模型隐空间特性提供了新视角。
2025-06-12 cond-mat.stat-mech cs.CV cs.LG
On Geometry and Symmetry of Kepler Systems. I
本文从Sasakian几何和Hessian几何的角度研究了Kepler流形上的Kepler度量。这在经典引力问题和弦论中AdS/CFT对应研究的现代几何方法之间建立了联系。
2017-08-18 math-ph math.DG math.MP
On solitons of a geometric flow on Hessian manifolds
Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学）
本文针对Hess流形上的几何流，引入Koszul孤子并研究其方程、性质与实例，通过关联仿射流形与复流形的方法拓展了几何问题的研究，该孤子在统计学与信息几何中具应用潜力。
2026-08-19 math.DG
Representation and regularity for the Dirichlet problem for real and complex degenerate Hessian equations
考虑正齐次、退化椭圆型、凹（或凸）Hessian方程的狄利克雷问题.在区域几何的自然和必要条件下，利用$C^{1,1}$边界数据，我们建立了唯一（容许）解的内部$C^{1,1}$ -正则性，即使边界数据是光滑的，它也是最优的.真实和复杂的情况下，研究统一（贝尔曼方程）的方法。
2013-11-25 math.AP math.CV math.DG
Classical Neumann Problems for Hessian equations and Alexandrov-Fenchel's inequalities
最近，第一作者与马西南\cite{ma2015neumann}一起证明了Hessian方程Neumann问题的存在性。本文进一步研究了Hessian方程的经典Neumann问题。本文证明了R^n中一致凸区域下经典Neumann问题的存在性。作为应用，我们利用经典Neumann问题的解给出了一族凸几何中的Alexandrov-Fenchel不等式的新证明。这个几何应用程序的动机来自于Reilly \cite{Reilly1980}。
2016-07-13 math.AP math.DG
Hybrid connections on Hessian manifolds
Univ Toulouse, INUC ou UT2J, INSA, CNRS, IMT, Toulouse, France（图卢兹大学）；Department of Mathematics with Computer Science, Guangdong Technion - Israel Institute of Technology (GTIIT), Shantou, Guangdong, China（广东以色列理工学院）
研究Hessian流形上的混合联络性质，证明其与Hessian势函数的对数微分相关，并在伪欧几里得流形中发现新的自然联络。
2026-09-03 math.DG
Banados-Teitelboim-Zanelli Black Hole in the Information Geometry
我们从信息几何的角度研究了Banados-Teitelboim-Zanelli（BTZ）黑洞，并考虑了什么样的量子信息产生了与反德西特空间/共形场论（AdS/CFT）对应密切相关的黑洞度规.我们找到了一个Hessian势，它在有限温度下精确地产生了CFT_{1+1}的BTZ度量和纠缠熵公式。在事件视界附近取一个自由落体系是得到这些精确结果的关键步骤。我们还找到了一个替代的海森潜力，产生相同的BTZ度量，这是使用基于勒让德变换的对偶关系。我们认识到，对偶表示起源于CFT侧的纠缠哈密顿量。我们的结果表明，目前的信息几何方法是非常强大的理解机制的全息重整化群，如AdS/CFT对应。
2019-10-08 hep-th math-ph math.DG
A metrical approach to Finsler geometry
本文提出Finsler几何的度量表述，从度量与Finsler联络的相容性公理推导出度量的Hessian性质、非线性联络及Chern或Cartan联络，适用于场论和Finsler引力研究。
2023-07-15 math.DG
Remarks on Hessian quotient equations on Riemannian manifolds
针对 Delanoë 和 Urbas 提出的相关问题，本文在二维黎曼流形上利用新测试函数与商算子凹性，证明实 Hessian 商方程具有无障碍二阶先验估计，并揭示其与复几何中 $J$-方程障碍的差异。
2025-01-06 math.AP math.DG
Hessian estimates for Lagrangian mean curvature equation with Lipschitz critical and supercritical phases
本文提出新策略，结合Allard型正则性定理与几何测度论等方法，在锐利的Lipschitz临界和超临界相位条件下，获得了Lagrangian平均曲率方程解的内部Hessian估计。
2024-11-18 math.AP math.DG
Nakai-Moishezon criterions for complex Hessian equations
Donaldson提出的$J$ -方程是Kähler流形上的一个复Hessian商方程。Song-Weinkove证明了$J$ -方程的可解性等价于子解的存在性。Lejmi-Szekelyhidi也证明了它等价于代数几何中Nakai-Moishezon判据的一个类似的全纯相交数稳定性条件。Chen最近在一个更强的一致稳定性条件下证明了这个猜想.本文建立了解析Kähler簇上Kähler类对的Nakai-Moishezon型判别准则。作为结果，我们证明了Lejmi-Szekelyhidi的原始猜想的$J$ -方程。我们也应用这样的标准，以获得一个家庭的常数数量曲率Kähler度量光滑极小模型。
2020-12-14 math.AG math.AP math.DG
Local normal forms of em-wavefronts in affine flat coordinates
在我们以前的工作中，我们将对偶平坦流形或Hessian流形的概念推广到拟Hessian流形;它允许Hessian度量退化，但具有一个特殊的对称三次张量（广义Amari-Centsov张量）。事实上，它自然地出现在信息几何和相关领域的一个单一的模型。拟Hessian流形局部伴随有可能的多值势及其对偶，它们的图分别称为$e$ -波前和$m$ -波前，以及具有平坦联络的相干切丛.本文利用这些联系和度规，给出了判别$e/m$ -波前局部非纯型的无坐标准则，并利用Malgrange除法定理导出了$e/m$ -波前的（对偶）势函数在仿射平坐标下的局部规范形.这是出于早期的工作埃克兰非凸优化和佐治梅原山田的工作黎曼几何波前。最后，我们揭示了我们的几何准则与统计流形的信息几何量的关系。
2022-12-09 math.DG
Affine Normal Directions via Log-Determinant Geometry: Scalable Computation under Sparse Polynomial Structure
本文通过将仿射正交方向的计算转化为二阶结构，提出基于稀疏多项式结构的高效计算方法，实现可扩展的仿射正交方向计算。
2026-04-01 cs.NA math.AG math.DG
Variational integrals on Hessian spaces: partial regularity for critical points
本研究建立Hessian空间中变分积分临界点的正则性理论，证明满足小BMO条件的有界Hessian临界点的光滑性，给出奇异集Hausdorff维数上界，并应用于拉格朗日几何变分问题。
2025-01-20 math.AP math.DG
Comparison Theorems in Finsler Geometry and their Applications
证明了Finsler流形在各种曲率条件下的Hessian比较定理、Laplacian比较定理和体积比较定理。作为应用，我们得到了Finsler流形第一特征值的Mckean型定理，并将Milnor关于基本群的一个结果推广到Finsler流形.
2005-12-29 math.DG
Nonsmooth differential geometry - An approach tailored for spaces with Ricci curvature bounded from below
讨论了一般度量测度空间在什么意义下具有一阶微分结构。在此基础上，我们看到，在空间与里奇曲率有界从下面的二阶微积分可以开发，允许定义海森，协变/外部衍生物和里奇曲率。
2014-07-03 math.DG math.MG
Affine manifolds: The differential geometry of the multi-dimensionally consistent TED equation
本文揭示了可积TED方程的几何背景为仿射流形的Kähler切丛，阐明了其多维一致性，并证明了在不同维数约化下与自对偶Einstein空间及Hessian流形的联系。
2024-02-19 math.DG nlin.SI
Self-similar solutions to the Hesse flow
我们定义了一个Hesse孤子，即Hesse流形上Hesse流的自相似解。在信息几何中，$e$ -联络和$m$ -联络是重要的，它们与Levi-Civita联络不一致。因此，考虑一个具有平坦联络的Hessian流形与Levi-Civita流形不一致是很有趣的。我们称之为真黑森流形。本文证明了任何紧真Hesse孤子都是扩张的，任何非平凡紧梯度Hesse孤子都是真的。此外，我们还证明了Hesse-Einstein流形的对偶空间可以理解为Hesse孤子。
2021-01-25 math.DG
Riemannian Metrics on Locally Projectively Flat Manifolds
在射影坐标变换下，只要u变换为某个线丛的一部分，表达式（-1/u）乘以u的海森变换为对称（0，2）张量。在局部射影平坦流形M上，截面u可以看作度量势，类似于Kahler几何中的局部势。若M是紧的，且u是Hessian正定的重言丛的对偶的负截面，则M射影等价于R^n中有界凸区域的商.如果M有一个u=0的边界，也是如此。这个定理类似于Schoen和Yau在局部共形平坦几何中的一个结果。证明使用仿射微分几何技术开发的郑和丘。
2001-08-30 math.DG
Oblique boundary value problems for n-1type augmented Hessian equations
Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Fudan University（复旦大学数学与交叉科学研究院）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）；School of Mathematics and Shing-Tung Yau Center of Southeast University, Southeast University（东南大学数学学院及苏步青应用数学中心）
本文针对有界区域上n-1型增广Hessian方程的斜边值问题，在无凸性条件下建立经典椭圆解的全局存在唯一性理论，涵盖多个相关领域的方程应用。
2026-10-12 math.AP math.DG
The Weil-Petersson metric geometry
对Weil-Petersson度量空间几何作了一个简要的介绍。Teichmueller空间和它的增广被描述在Fenchel-Nielsen坐标。给出了测地线长度函数的梯度和海森公式。申请被考虑。给出了Fenchel-Nielsen坐标系下Weil-Petersson度量的描述。描述了在增强点处的亚历山德罗夫切锥。给出了一个平环面空间几何与Teichmueller空间几何的Weil-Petersson度量的比较字典。
2007-12-31 math.DG
The Critical LYZ Equation in Kähler Geometry
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；School of Mathematical Sciences, Key Laboratory of Mathematics and Engineering Applications (Ministry of Education), Shanghai Key Laboratory of PMMP, East China Normal University（华东师范大学数学科学学院教育部数学与工程及其应用重点实验室上海市极值微分几何重点实验室）
本文证明了临界相位θ=(n-2)π/2时LYZ方程光滑解的存在性，解决了Collins-Jacob-Yau和Li提出的关于相位θ≤(n-2)π/2可解性的临界情形，并在更弱假设下应用于3D Hessian方程σ₂=1和4D Hessian商方程σ₃=σ₁。
2026-06-12 math.AP math.CV math.DG
Comparison Theorems in Lorentzian Geometry and applications to spacelike hypersurfaces
本文利用Riccati方程的比较准则，证明了截面曲率（或Ricci曲率）受某一函数约束的时空中Lorentz距离函数的Hessian和Laplacian比较定理.利用这些结果，在适当的条件下，我们得到了满足Omori-Yau最大值原理的类空超曲面的高阶中曲率的估计.
2011-11-08 math.DG
When Optimal Transport Meets Information Geometry
信息几何和最优输运是两个不同的几何框架建模家庭的概率测度。近年来，有一个跨越这两个领域的研究工作激增，并探讨他们的联系和相互作用。本文旨在提供一个（不完整的）调查，这些工作，包括熵正则化的运输，发散功能所产生的$c$ -对偶性，密度流形和运输信息几何，para-Kähler和Kähler几何基础最优输运和正则性理论的解决方案。提出了这两个学科的观众感兴趣的一些悬而未决的问题。我们的文章也是《信息几何》杂志最优输运特刊的介绍。
2022-06-29 cs.IT math.DG math.IT
Statistical manifold with degenerate metric
针对实际应用中统计流形度量退化导致原有Codazzi结构不适用的问题，本文提出拟Codazzi结构，明确其几何定位与特例，推广了相关几何结构间的对应关系。
2023-10-28 math.DG
On geometry of steady toric Kähler-Ricci solitons
本文研究了非紧环面流形上的梯度稳定Kähler-Ricci孤子度量。我们证明了这样的流形的自由轨迹的轨道空间具有自然的Hessian结构，具有非负的Bakry-Émery张量。推广了Calabi的经典刚性结果，并利用它证明了任何具有自由环面作用的完全$\mathbf T^n$不变梯度稳定Kähler-Ricci孤子必是平坦的$(\mathbb C^*)^n$ .
2022-06-15 math.CV math.DG
Towards a Liouville theorem for continuous viscosity solutions to fully nonlinear elliptic equations in conformal geometry
研究了含共形Hessian的完全非线性椭圆型方程的整体连续黏性解。证明了非一致椭圆型方程的强比较原理和Hopf引理，其中竞争者之一是$C^{1,1}$ .我们得到的结果是一个刘维尔定理的整体解决方案是近似的$C^{1,1}$解决方案上越来越大的紧凑的域，特别是整个$C^{1,1}_{\rm loc}$解决方案：他们要么是常数或标准泡沫。
2019-01-11 math.AP math.DG
Golden and Metallic Structures on Hessian Manifolds
Recognition Physics Institute（识别物理研究所）；Department of Mathematics, Faculty of Science and Mathematics, University of Niš（尼什大学科学与数学学院数学系）
本文通过引入一族Hessian度量h_λ，结合秩一张量构造(1,1)-张量场A_λ，进而定义投影子P_λ，在Hessian流形上诱导出几乎乘积结构及相应的黄金和金属结构，并研究了其特征分布、平行性、可积性和曲率等性质。
2026-07-14 math.DG math.MG
A geometric flow on noncompact affine Riemannian manifolds
研究非紧仿射黎曼流形上几何流的存在性判据，并将其用于证明满足曲率、有界几何及切丛最大体积增长条件的完备非紧 Hessian 流形微分同胚于欧氏空间。
2024-01-24 math.DG
Fully non-linear degenerate elliptic equations in complex geometry
本文给出了紧致Hermitian流形上一类几何完全非线性椭圆型方程解的先验实Hessian估计，该估计与右端函数的下界无关.这改进了Székelyhidi的估计，并且还适用于右手边退化的椭圆型方程。作为应用，我们建立了紧致Hermite流形上$(θ, m)$ -下调和函数包络的最优$C^{1,1}$正则性.
2021-06-28 math.AP math.DG
Sup-slopes and sub-solutions for fully nonlinear elliptic equations
本文通过引入解析斜率不变量，给出闭黎曼或埃尔米特流形上一般完全非线性椭圆方程可解的充要条件，解决了Li-Urbas公开问题，并应用于求解非常数J-方程。
2024-05-05 math.AP math.DG
Curvatures and hyperbolic flows for natural mechanical systems in Finsler geometry
考虑Finsler流形上的自然力学系统，利用系统最小作用量的极值点上的内禀Jacobi方程（称为\emph{Jacobi curves}）研究其\emph{curvature}.这样一个系统的曲率表示为Finsler流形的Riemann曲率和Chern曲率（包括势的梯度）以及势w.r.t.的Hessian。从芬斯勒度量导出的黎曼度量。作为应用，我们给出了最小作用量的Hamilton流为双曲的充分条件，并给出了Anosov流的新例子。
2021-01-02 math.DG math.DS
Affine-Orthogonal Manifolds and Deformation to Levi-Civita Connections
研究配备平坦仿射联络和对角化Riemannian度量的仿射-正交流形，证明其向Levi-Civita联络的形变迫使Euler示性数消失，为Chern猜想提供证据。
2025-10-06 math.DG
A glimpse into the differential topology and geometry of optimal transport
本说明揭示了最佳运输的一些基本现象背后的微分拓扑和几何结构。它调查有关蒙赫地图和康托洛维奇措施的基本问题：存在性和规律性的前者，后者的唯一性，并估计其支持的维度，以及相关的线性规划对偶。它显示了这些问题的答案有关的微分几何和拓扑所选择的运输成本。它还建立了新的连接-一些启发式和其他严格的-基于此成本的交叉差异的属性，及其在对角线上的泰勒展开。
2012-07-11 math.AP math.DG math.GT
Pseudo-Riemannian geometry embeds information geometry in optimal transport
最优输运和信息几何都研究概率分布空间上的几何结构。最优输运的特点是从一个分布到另一个分布的成本最小化的运动，而信息几何起源于坐标不变属性的统计推断。它们在统计学和机器学习中的联系和应用已经开始受到更多的关注。本文给出了两个场之间的一种新的微分几何联系。即Kim和McCann的伪黎曼框架，即最优输运映射正则性理论中的基本Ma-Trudinger-Wang（MTW）条件的几何透视，编码了统计流形的二元结构。这种一般的关系是使用$c$的自然框架来描述的-发散，由最优输运地图定义的发散。作为一个副产品，我们得到了一个新的信息几何解释的MTW张量。这种联系揭示了信息几何的新旧方面。Bregman发散的对偶平坦几何对应于二次代价和伪欧几里得空间，并且由Rimen和第一作者引入的$L^{(α)}$ -发散在精确的意义上具有恒定的截面曲率。在这些情况下，我们给出了一个几何解释的信息几何曲率的分歧之间的原始对偶对测地线。
2021-05-06 math.DG math.PR math.ST
