Modified equations for variational integrators applied to Lagrangians linear in velocities
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本文研究了应用于速度线性拉格朗日量的变分积分器的修正方程，通过构造拉格朗日量来描述主修正方程和寄生振荡方程，并通过扩展离散系统来构建完整的修正方程系统。
2018-07-27 cs.NA math.NA
Numerical Complete Solution for Random Genetic Drift by Energetic Variational Approach
Soochow University（苏州大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；University of Massachusetts, Dartmouth（马萨诸塞大学达特茅斯分校）
本文基于能量变分方法，提出一种平衡最大耗散原理与最小作用原理的数值方案，有效捕捉基因漂变中接近机器精度的狄拉克delta奇异性和半选择情况下的数值结果。
2018-03-26 cs.NA math.NA
Nonlinear inhomogeneous Fokker-Planck models: energetic-variational structures and long time behavior
受多晶材料中晶粒生长模型的启发，我们考虑了一个非线性Fokker-Plank模型，该模型具有非均匀扩散和可变迁移率参数。在周期边界条件的假设下，通过对经典熵方法的改进和推广，得到了这类非标准模型的大时间渐近分析。此外，说明性的数值试验，以突出目前的分析结果的要点，并激励未来的分析。
2022-06-22 cs.NA math.AP math.NA
First-Order System Least Squares and the Energetic Variational Approach for Two-Phase Flow
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文开发了两相流方程的一阶系统最小二乘（FOSLS）公式，结合嵌套迭代、代数多重网格和自适应局部细化等数值技术，并利用能量变分方法证明全局能量律的保持。
2010-09-28 cs.NA math.NA
Lagrangian Mechanics and Variational Integrators on Two-Spheres
The University of Michigan（密歇根大学）；Purdue University（普渡大学）
针对两球面乘积上的拉格朗日力学系统，通过考虑其几何结构推导出全局的欧拉-拉格朗日方程和变分积分器，避免了局部参数化和显式约束的奇异性与复杂性，并保持动力学的几何特征。
2007-06-30 cs.NA math.NA
A second-order accurate, operator splitting scheme for reaction-diffusion systems in an energetic variational formulation
针对具有详细平衡项的反应扩散方程组，提出了一种时间上二阶精度、保正性和无条件能量稳定的算子分裂数值格式，并分析了该格式的收敛性.该方案是基于能量变分公式设计的，其中反应部分根据反应轨迹重新制定，反应和扩散部分耗散相同的自由能。在反应阶段，反应轨迹方程由二阶Crank-Nicolson型方法近似。唯一的可解性，保正性和能量稳定性的基础上建立的凸性分析。在扩散阶段，如果扩散系数是常数，则应用精确积分器，如果扩散过程变为非线性，则应用Crank-Nicolson型方案。在任何一种情况下，保正性和能量稳定性都可以在理论上成立。此外，在这两个阶段的数值算法相结合的斯特朗分裂方法导致二阶精度，结构保持原反应扩散系统的计划。数值实验表明，所提出的方案的准确性。
2021-09-07 cs.NA math.NA
High-Order Variable-Scaled Energetic Variational Neural Networks for Phase-Field Gradient Flows
School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）；Department of Mathematics, University of Alabama（阿拉巴马大学数学系）
本文提出高阶变尺度能量变分神经网络（VS-EVNN）方法，通过坐标变换归一化梯度系数，结合多阶段变分外推和自适应时间步进，在Allen-Cahn和Cahn-Hilliard流上实现比基线更低的误差和更高精度。
2026-09-23 cs.NA math.NA
Convergence analysis of a numerical scheme for the porous medium equation by an energetic variational approach
多孔介质方程是一个典型的非线性退化抛物型方程。我们用能量变分方法研究了PME的数值方法。Duan等人，J. Comput.物理、385（2019）13-32]，其中可以获得轨迹方程，并且基于不同的耗散能量定律开发了两种数值方案。证明了以$f \log f$为耗散律的总能量形式的非线性格式在一个容许的凸集上唯一可解，并保持相应的离散耗散律.此外，在一定的光滑性假设下，我们还得到了格式在空间上的二阶收敛性和在时间上的一阶收敛性。本文通过一个精细的高阶渐近展开和两步误差估计给出了误差估计的严格证明。后一种技术包含一个粗略的估计，以控制离散$W^{1,\infty}$范数中的高度非线性项，并应用一个精细的估计来获得最佳的误差阶。
2019-10-09 cs.NA math.NA
General Techniques for Constructing Variational Integrators
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文通过Galerkin和打靶法两种构造离散拉格朗日量的方法，结合数值积分公式、有限维函数空间或单步法，系统地分析了变分积分器的精度阶和动量守恒性质，并给出数值示例。
2011-02-14 cs.NA math.NA
Lagrangian and Hamiltonian Taylor Variational Integrators
本文提出一种基于泰勒方法近似欧拉-拉格朗日边值问题的变分积分器，该方法通过高阶泰勒方法提升求解效率，并通过数值实验验证其有效性。
2017-03-20 cs.NA math.NA
Variational integrators of fractional Lagrangian systems in the framework of discrete embeddings
本文在离散嵌入框架下研究分数拉格朗日系统的变分积分器，通过保持离散层面的拉格朗日结构，扩展了传统变分积分器的应用范围。
2016-01-19 cs.NA math.NA math.OC
Control of Parasitism in Variational Integrators for Degenerate Lagrangian Systems
本文将退化拉格朗日系统的变分积分器中寄生现象的控制写成一般的线性方法。这使我们能够计算它们的寄生生长参数，这些参数是这些算法的长期能量守恒特性的损失的原因。作为一种补救措施，并抵消寄生的影响，标准的投影技术，然后应用到一般的线性方法，通过投影到所需的流形上的解决方案，以保持数值退化拉格朗日系统的不变量。
2022-02-02 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A second order accurate numerical method for the Poisson-Nernst-Planck system in the energetic variational formulation
提出并分析了Poisson-Nernst-Planck方程（PNP）系统的一种二阶精度（时间）数值格式，该格式在能量变分方法（EnVarA）中转化为非常数迁移率$H^{-1}$梯度流.空间离散采用中心差分法。同时，对数能量势的高度非线性和奇异性一直是设计二阶精度时间格式的根本困难，同时保持变分能量结构。迁移率函数用二阶精确外推公式更新，以保证唯一可解性。用一种改进的Crank-Nicolson格式近似对数项，使其与离散时间导数的内积精确地给出了相应的非线性能量差，从而保证了对数部分的能量稳定性.此外，在数值格式中加入非线性人工正则化项，利用对数函数的奇异性，从理论上证明了该格式的保正性.此外，本文还提供了一种最优速率收敛分析，其中包括数值解的高阶渐近展开、粗误差估计和精误差估计技术。这项工作结合了PNP系统的二阶精度数值格式的以下理论性质：（i）在时间和空间上的二阶精度，（ii）唯一的可解性和正性，（iii）能量稳定性，以及（iv）最优速率收敛。文中还给出了一些数值结果。
2022-08-12 cs.NA math.NA
Variational Discretizations for Hamiltonian Systems
本文针对物理中的二阶微分系统给出拉格朗日函数存在的充要条件，并基于变分原理与分裂技术构造变分积分器，证明其等价于显式辛方法复合，在开普勒问题中验证了有效性及对LRL向量的保持能力。
2024-11-24 cs.NA math.NA
Variational integrators and time-dependent lagrangian systems
针对含时拉格朗日系统，提出一种构造变分积分器的方法，所得算法具有辛性、保持对称李群对应的动量映射并描述能量变化。
2002-01-18 cs.NA math-ph math.MP
Energetic Variational Neural Network Discretizations of Gradient Flows
针对梯度流数值求解的长期稳定性与高维求解难题，提出基于能量耗散定律的保结构神经网络离散算法，先时间后空间离散以提升内存效率，无网格特性支持高维求解，实验验证了其准确性与能量稳定性。
2024-04-12 cs.NA math.NA
Modified Equations for Variational Integrators
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本文从变分角度研究了变分积分器修正方程的构造方法，揭示了其与哈密顿系统的关联性。
2016-06-22 cs.NA math.NA
A two species micro-macro model of wormlike micellar solutions and its maximum entropy closure approximations: An energetic variational approach
蠕虫状胶束是聚合物链的自组装体，可以可逆地断裂和重组。本文利用能量变分方法，导出了蠕虫状胶束溶液的微观-宏观双组分模型。该模型在统一的变分框架下，将聚合物链的断裂和结合过程纳入到经典的聚合物流体的微观-宏观哑铃模型中。我们还研究了不同的最大熵封闭近似的新模型的“变分，然后关闭”和“关闭，然后变分”的方法。通过在粗粒度水平施加适当的耗散，闭合模型，通过“闭合-然后-近似”得到，保留了原系统的机械和化学部分的晶体结构。数值算例表明，封闭模型能较好地描述剪切流场中蠕虫状胶束溶液的流变特性。
2021-04-29 cond-mat.soft cs.NA math.NA
Learning discrete Lagrangians for variational PDEs from data and detection of travelling waves
本文提出用神经网络学习变分偏微分方程的离散拉格朗日密度$L_d$，推导出优化离散Euler--Lagrange方程可解性的正则化项，并开发了寻找机器学习离散场论中行波解的方法。
2023-08-02 cs.NA math.NA
Structure-Preserving Numerical Methods for Nonlinear Fokker--Planck Equations with Nonlocal Interactions by an Energetic Variational Approach
在这项工作中，我们发展了新的结构保持的数值格式的一类非线性Fokker-Planck方程的非局部相互作用。这些方程可以涵盖许多重要的情况，如多孔介质方程与外部潜力，最优输运问题，和聚集扩散模型。基于能量变分法，首先利用最大耗散原理和最小作用量原理的平衡，导出了弹道方程。通过凸分裂技术，我们提出了弹道方程的能量耗散数值格式。严格的数值分析表明，非线性数值格式是唯一可解的，在全离散水平上自然地遵守质量守恒和正性，并保持稳态。在一定的光滑性假设下，数值格式在空间上具有二阶精度，在时间上具有一阶精度。进行了大量的数值模拟，以证明所提出的计划的几个有价值的功能。除了保留物理结构，如正性，质量守恒，离散能量耗散，蓝态和稳态外，数值模拟进一步表明，我们的数值方案能够有效和鲁棒地求解Fokker-Planck方程的\emph{degenerate}情况。结果表明，所提出的数值格式即使在退化情形下，当解具有紧支集时也具有收敛阶，能精确而稳健地计算自由边界的等待时间，且无振荡，能逼近爆破奇异性，精度可达机器精度.
2020-08-16 cs.NA math.NA
Variational Structures in Cochain Projection Based Variational Discretizations of Lagrangian PDEs
相容的离散化，如有限元外演算，提供了一个离散化框架，尊重de Rham复形的上同调结构，可以用来系统地构建稳定的混合有限元法。多辛变分积分器是拉格朗日和哈密顿域论的一类几何数值积分器，它们产生保持连续系统的多辛结构和动量守恒性质的方法。在本文中，我们研究这两种方法的合成，通过构造离散化的变分原理拉格朗日域论利用结构保持有限元投影。在我们的研究中，相容的上链投影离散化在离散层次上的变分结构的保持中起着关键的作用，允许离散变分结构本质上是有限维子空间的连续变分结构的限制。在离散水平上保持变分结构将允许我们构造离散Cartan形式，其编码离散理论的变分结构，随后，我们利用离散Cartan形式自然地陈述Noether定理和多辛性的离散类似物，其推广了Marsden等人在离散拉格朗日变分框架中引入的那些。我们将研究协变时空离散化和正则空间半离散化，并随后在时空张量积有限元空间的情况下将两者联系起来。
2022-08-27 cs.NA math-ph math.MP
Energy-preserving Variational Integrators for Forced Lagrangian Systems
Virginia Polytechnic Institute and State University（弗吉尼亚理工大学）
本文提出能量守恒变分积分器用于含外力的时变机械系统，通过扩展拉格朗日力学框架推导连续时间扩展外力欧拉-拉格朗日方程，并利用扩展离散力学框架推导适应性时间步长变分积分器，通过两个数值例子验证其性能。
2018-01-03 cs.NA math.DS math.NA
An augmented Lagrangian deep learning method for variational problems with essential boundary conditions
针对带本质边界条件的变分问题，提出了一种新的深度学习方法。为此，我们首先将原问题转化为一个极大极小问题，对应于一个可行的增广拉格朗日量，它可以通过增广拉格朗日方法在无限维环境中求解。在此基础上，通过用两个单独的深度神经网络函数表示原始变量和对偶变量，我们提出了一种增强的拉格朗日深度学习方法，其参数通过随机最优化方法和投影技术进行训练。与传统的罚函数法相比，该方法具有罚参数选择灵活、鲁棒性强和在同等计算量下数值解精度高的优点.作为典型的应用，我们将新方法应用于求解椭圆问题和具有本质边界条件的（非线性）本征值问题，并给出数值实验来验证新方法的有效性.
2022-05-09 cs.NA math.NA math.OC
Convergence of a variational Lagrangian scheme for a nonlinear drift diffusion equation
TU München（慕尼黑工业大学）
针对区间上的非线性漂移扩散方程，提出一种基于Wasserstein距离梯度流结构的拉格朗日数值格式，证明其在CFL型条件下网格尺寸趋于零时的收敛性，并保持熵单调性、质量守恒、度量收缩和极值原理。
2013-01-04 cs.NA math.AP math.NA
Unified discrete multisymplectic Lagrangian formulation for hyperelastic solids and barotropic fluids
本文提出了一种基于拉格朗日描述的二维和三维非线性弹性力学的几何变分离散方法。在我们的建设中的一个主要步骤是离散变形梯度和离散柯西-格林变形张量的定义，这使得一个通用的离散几何设置的框架中立各向同性超弹性模型的发展。由此产生的离散框架是在完善的充分性与作者提出的流体的多辛离散化。由于统一的离散设置，几何变分离散可以开发的耦合动力学的流体冲击和流动的超弹性体的表面上。变分处理允许通过适当的惩罚条款的不可压缩性和不可渗透性约束的自然包含。我们测试所得的积分器在二维和三维的情况下，正压流体流动的不可压缩橡胶类非线性模型。
2021-10-01 cs.NA math.NA
A new interface capturing method for Allen-Cahn type equations based on a flow dynamic approach in Lagrangian coordinates, I. One-dimensional case
我们发展了一种新的拉格朗日方法-流动动力学方法来有效地捕捉Allen-Cahn型方程中的界面。这种方法的基本原理是能量变分方法（EnVarA），由Rayleigh和Onsager \cite{onsager1931reciprocal,onsager1931reciprocal2}激发。与欧拉坐标系下的数值方法相比，该方法的主要优点是可以在拉格朗日坐标系下用较少的点有效地捕捉薄界面。我们集中在一维的情况下，并构造数值方案的轨迹方程在拉格朗日坐标，服从变分结构，因此，是能量耗散。大量的数值结果表明，只有很少的点是足够的，以解决非常薄的界面，使用我们的拉格朗日方法。
2019-11-18 cs.NA math.NA
Numerical methods for Porous Medium Equation by an Energetic Variational Approach
Soochow University（苏州大学）；Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of Massachusetts, Dartmouth（麻省大学达特茅斯分校）
本文基于能量变分方法，提出两种数值方案来解决孔隙介质方程，其中一种方案基于总能量形式$f \log f$，另一种基于$1/(2f)$，两者均保持离散耗散律，并在光滑性假设下证明了两种方案在空间和时间上的收敛性，同时有效处理了等待时间问题。
2018-07-02 cs.NA math.NA
Variational order for forced Lagrangian systems
Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM)（数学科学研究所（西班牙高等科学研究委员会-马德里自治大学-马德里理工大学-马德里大学））
本文通过变分方法推导受迫机械系统的运动方程，并利用变分阶数特性设计高阶积分器。
2017-12-26 cs.NA math-ph math.DG
Generalized Galerkin Variational Integrators
本文引入广义Galerkin变分积分器，通过将离散作用量作为基本对象，利用有限维函数空间和数值求积逼近作用积分，统一并推广了高阶Galerkin、异步、辛-能量-动量、李群、多尺度及伪谱变分积分器，并应用于线性薛定谔方程。
2005-08-18 cs.NA math.NA
On the exact discrete Lagrangian function for variational integrators: theory and applications
Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM)（数学科学研究所）；Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza（萨拉戈萨大学理学院）
本文提出精确离散拉格朗日函数的严格构造，适用于Lie群体和Lie余结构，用于分析变分积分器的误差。
2016-08-04 cs.NA math-ph math.DG
Symmetry-preserving discretization of variational field theories
Universidade Nova de Lisboa（新里斯本大学）；CMAF-CIO - Centro de Matemática, Aplicações Fundamentáis e Investigação Operacional CINAMIL（基础数学应用与运筹学研究中心）
本文发展了定义在抽象细胞复形上的离散场变分理论，通过离散拉格朗日密度的变分原理推导离散公式，并研究了离散场方程的对称性和守恒律，最后通过柯西问题的变分积分器和柯萨特杆动力学的离散化示例展示理论。
2015-09-29 cs.NA math-ph math.MP
Invariant Variational Schemes for Ordinary Differential Equations
我们提出了一种新的算法方法来构造不变的变分格式的常微分方程系统，这是一个变分原理的欧拉-拉格朗日方程。该方法是基于标准的，非不变的离散拉格朗日泛函使用等变活动标架的不变性。不变变分格式由相应的不变离散拉格朗日泛函的欧拉-拉格朗日方程给出。我们展示了这种一般的方法，通过构建不变的变分方案的常微分方程，保持变分和发散对称性的相关连续拉格朗日。Noether定理自动地意味着所得到的格式是完全保守的。进行了数值模拟，并表明这些不变的变分方案优于标准的数值离散。
2021-09-25 cs.NA math-ph math.MP
Error analysis of variational integrators of unconstrained Lagrangian systems
Applied Mathematics and Mathematical Physics（应用数学与数理物理）；Department of Mathematics and Statistics（数学与统计系）；University of Saskatchewan（萨斯喀彻温大学）
通过放大离散变分原理（在零时间步长处具有奇点），并利用新的过去-未来对称性修复由时间步长除法导致的阶数损失，得到了变分积分器的完整误差分析。
2009-03-05 cs.NA math-ph math.DG
Regularization of Linear Ill-posed Problems by the Augmented Lagrangian Method and Variational Inequalities
University of Vienna（维也纳大学）；Computational Science Center（计算科学中心）
研究增广拉格朗日方法求解线性不适定问题，通过变分不等式方法将收敛率从标准源条件扩展到低阶，并适用于不同距离度量，特别在稀疏促进正则化中导出范数下的收敛率。
2012-04-03 cs.NA math.NA math.OC
Variational order for forced Lagrangian systems II: Euler-Poincaré equations with forcing
在本文中，我们提供了一个变分推导的欧拉-庞加莱方程的系统受到外力使用的适应技术介绍了Galley和其他人。此外，我们详细研究了与泊松广群概念相关的基本几何。最后，我们应用前面的结构的形式推导的变分误差的数值积分强迫Euler-Poincaré方程和应用这个理论的推导几何积分强迫系统。
2019-06-24 cs.NA math-ph math.DG
Projected Variational Integrators for Degenerate Lagrangian Systems
Max-Planck-Institut für Plasmaphysik（马克斯·普朗克等离子体物理研究所）；Technische Universität München, Zentrum Mathematik（慕尼黑工业大学数学中心）
本文提出并比较了用于退化拉格朗日系统的投射方法，针对拉格朗日函数线性于速度的情况，改进了传统方法的长期稳定性，验证了投射积分器在能量守恒和长期精度方面的优越性。
2017-08-24 cs.NA math-ph math.MP
Variational Integrators for Nonvariational Partial Differential Equations
Max-Planck-Institut für Plasmaphysik（马普等离子体物理研究所）；Technische Universität München, Zentrum Mathematik（慕尼黑工业大学数学中心）
本文提出通过形式拉格朗日量构建变分积分器，扩展其应用范围至所有动力系统，以流体动力学中的对流扩散方程为例进行验证。
2015-11-19 cs.NA math-ph math.MP
Variational Partitioned Runge-Kutta methods for Lagrangians linear in velocities
California Institute of Technology（加州理工学院）
本文构造了用于速度线性化拉格朗日量退化系统的高阶变分积分器，分析了其几何结构，并开发了相应的变分积分理论。研究发现，演化发生在主约束上，'哈密顿'方程可表示为索引1的微分代数系统，且变分龙格-库塔方法的收敛性受速度部分影响。
2014-01-30 cs.NA math-ph math.DS
Variational integrators for non-autonomous systems with applications to stabilization of multi-agent formations
保持系统的几何不变量（如能量、动量或辛形式）的数值方法称为几何积分器。变分积分器是一类重要的几何积分器。这些变分积分器的一般思想是离散汉密尔顿原理，而不是以保留原系统的一些不变量的方式离散运动方程。本文对一类重要的自治耗散系统，构造了时间相关拉格朗日系统的固定时间步长变分积分器。这些积分器是通过离散拉格朗日函数的家庭，每一个固定的时间步长。这允许恢复在每一步上的一组离散序列的自治拉格朗日系统，如辛性或向后误差分析，这些系统的变分积分的保存属性。我们还提出了这类系统的离散Noether定理。结果的应用显示的问题的形成稳定的多智能体系统。
2022-02-03 cs.NA cs.SY eess.SY
