Variational Particle Schemes for the Porous Medium Equation and for the System of Isentropic Euler Equations
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；University of California（加州大学）
基于最优传输理论，通过离散变分特征而非偏微分方程本身，提出了具有优异稳定性的新数值格式，成功捕捉等熵欧拉方程中的激波和稀疏波等非线性特征，并设计了高阶方法。
2010-06-09 cs.NA math.AP math.NA
A Moving Mesh Method for Porous Medium Equation by the Onsager Variational Principle
本文基于Onsager变分原理提出移动网格有限元方法求解多孔介质方程，保持能量耗散结构，并开发了完全解耦显式格式，在适当初始网格下具有最优收敛阶，且能自然捕捉等待时间现象。
2024-03-29 cs.NA math-ph math.MP
Energetic Variational Deep Learning for Solving High-Dimensional Stationary Fokker-Planck Equations
University of Washington（华盛顿大学）；Hunan University（湖南大学）
本文提出一种结合蒙特卡洛弱监督、能量变分物理约束和拟牛顿精化的深度学习框架，用于高维稳态Fokker-Planck方程，数值实验验证了其在粗糙势和噪声数据下的准确性与稳健性。
2026-10-05 cs.NA math.NA
On the performance of the variational multiscale formulation for subsurface flow and transport in heterogeneous porous media
通过数值实验比较了最低阶Raviart-Thomas单元和变分多尺度稳定化单元在高度非均质多孔介质流动与输运问题中的性能，揭示了变分多尺度单元在特定流动条件下存在显著的质量不守恒问题。
2010-12-15 cs.NA math-ph math.MP
A variational asymmetric phase-field model of quasi-brittle fracture: Energetic solutions and their computation
应用率无关过程的能量公式推导出梯度损伤模型的变分公式，并得到断裂的正则化公式。该模型表现出不同的行为在牵引和压缩，并有一个状态依赖的耗散潜力，诱导路径无关的工作。我们将展示如何制定提供了一个自然的框架，建立一个一致的数值方案与基本的变分结构和推导的额外的必要条件的形式的双边能量不等式的全局最优性。这些条件将形成我们的标准，使一个更好的选择的起始猜测在应用程序中的交替最小化方案来描述裂纹扩展的准静态演化的全局极小的底层增量功能。我们将适用于二维和三维基准问题的程序，我们将比较结果与弱形式的欧拉-拉格朗日方程的解决方案。我们将观察到，通过将双侧能量不等式包括在我们的求解方法中，我们描述了一些基准问题，当损伤开始显现时的平衡路径，这不同于通过简单地求解基础泛函的平稳性条件获得的平衡路径。
2020-12-12 cs.NA math.NA
Numerical Complete Solution for Random Genetic Drift by Energetic Variational Approach
Soochow University（苏州大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；University of Massachusetts, Dartmouth（马萨诸塞大学达特茅斯分校）
本文基于能量变分方法，提出一种平衡最大耗散原理与最小作用原理的数值方案，有效捕捉基因漂变中接近机器精度的狄拉克delta奇异性和半选择情况下的数值结果。
2018-03-26 cs.NA math.NA
First-Order System Least Squares and the Energetic Variational Approach for Two-Phase Flow
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文开发了两相流方程的一阶系统最小二乘（FOSLS）公式，结合嵌套迭代、代数多重网格和自适应局部细化等数值技术，并利用能量变分方法证明全局能量律的保持。
2010-09-28 cs.NA math.NA
A second-order accurate, operator splitting scheme for reaction-diffusion systems in an energetic variational formulation
针对具有详细平衡项的反应扩散方程组，提出了一种时间上二阶精度、保正性和无条件能量稳定的算子分裂数值格式，并分析了该格式的收敛性.该方案是基于能量变分公式设计的，其中反应部分根据反应轨迹重新制定，反应和扩散部分耗散相同的自由能。在反应阶段，反应轨迹方程由二阶Crank-Nicolson型方法近似。唯一的可解性，保正性和能量稳定性的基础上建立的凸性分析。在扩散阶段，如果扩散系数是常数，则应用精确积分器，如果扩散过程变为非线性，则应用Crank-Nicolson型方案。在任何一种情况下，保正性和能量稳定性都可以在理论上成立。此外，在这两个阶段的数值算法相结合的斯特朗分裂方法导致二阶精度，结构保持原反应扩散系统的计划。数值实验表明，所提出的方案的准确性。
2021-09-07 cs.NA math.NA
Nonlinear inhomogeneous Fokker-Planck models: energetic-variational structures and long time behavior
受多晶材料中晶粒生长模型的启发，我们考虑了一个非线性Fokker-Plank模型，该模型具有非均匀扩散和可变迁移率参数。在周期边界条件的假设下，通过对经典熵方法的改进和推广，得到了这类非标准模型的大时间渐近分析。此外，说明性的数值试验，以突出目前的分析结果的要点，并激励未来的分析。
2022-06-22 cs.NA math.AP math.NA
High-Order Variable-Scaled Energetic Variational Neural Networks for Phase-Field Gradient Flows
School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）；Department of Mathematics, University of Alabama（阿拉巴马大学数学系）
本文提出高阶变尺度能量变分神经网络（VS-EVNN）方法，通过坐标变换归一化梯度系数，结合多阶段变分外推和自适应时间步进，在Allen-Cahn和Cahn-Hilliard流上实现比基线更低的误差和更高精度。
2026-09-23 cs.NA math.NA
Analysis of backward Euler/Spectral discretization for an evolutionary mass and heat transfer in porous medium
Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie（雅克-路易·利翁斯实验室，皮埃尔和玛丽居里大学）
本文研究了多孔介质中质量与热量传递的进化问题，结合了非线性反应扩散方程组，通过变分公式和谱离散化方法证明了解的存在性和唯一性，并给出了最优先验估计，最后通过数值实验验证了理论结果。
2019-05-28 cs.NA math.NA
A second order accurate numerical method for the Poisson-Nernst-Planck system in the energetic variational formulation
提出并分析了Poisson-Nernst-Planck方程（PNP）系统的一种二阶精度（时间）数值格式，该格式在能量变分方法（EnVarA）中转化为非常数迁移率$H^{-1}$梯度流.空间离散采用中心差分法。同时，对数能量势的高度非线性和奇异性一直是设计二阶精度时间格式的根本困难，同时保持变分能量结构。迁移率函数用二阶精确外推公式更新，以保证唯一可解性。用一种改进的Crank-Nicolson格式近似对数项，使其与离散时间导数的内积精确地给出了相应的非线性能量差，从而保证了对数部分的能量稳定性.此外，在数值格式中加入非线性人工正则化项，利用对数函数的奇异性，从理论上证明了该格式的保正性.此外，本文还提供了一种最优速率收敛分析，其中包括数值解的高阶渐近展开、粗误差估计和精误差估计技术。这项工作结合了PNP系统的二阶精度数值格式的以下理论性质：（i）在时间和空间上的二阶精度，（ii）唯一的可解性和正性，（iii）能量稳定性，以及（iv）最优速率收敛。文中还给出了一些数值结果。
2022-08-12 cs.NA math.NA
Fixed stress splitting approach for contact problems in a porous medium
本文针对含无摩擦接触的孔隙弹性模型，提出一种解耦流动与力学的全离散迭代方案，扩展固定应力分裂法，并证明其收缩性。
2024-07-18 cs.NA math.NA
Energetic Variational Neural Network Discretizations of Gradient Flows
针对梯度流数值求解的长期稳定性与高维求解难题，提出基于能量耗散定律的保结构神经网络离散算法，先时间后空间离散以提升内存效率，无网格特性支持高维求解，实验验证了其准确性与能量稳定性。
2024-04-12 cs.NA math.NA
Contact problems in porous media
利用Signorini接触条件推广了孔隙弹性力学的Biot问题。所得到的Biot接触问题的制定和分析作为一个两个域的变分不等式问题的扰动鞍点结构。我们提出了一个先验误差分析一般以及为$hp$-FE离散化，包括收敛性和保证收敛速度为后者。此外，我们推导出一个家庭的可靠和有效的残差的后验误差估计，并阐述了如何一个简单而有效的原始-对偶有效集求解器可以应用于解决离散Galerkin问题。数值结果强调了我们的理论发现，并表明，最佳的，特别是指数，收敛速度可以实现二维问题的自适应计划。
2023-02-06 cs.NA math.NA
Structure-Preserving Numerical Methods for Nonlinear Fokker--Planck Equations with Nonlocal Interactions by an Energetic Variational Approach
在这项工作中，我们发展了新的结构保持的数值格式的一类非线性Fokker-Planck方程的非局部相互作用。这些方程可以涵盖许多重要的情况，如多孔介质方程与外部潜力，最优输运问题，和聚集扩散模型。基于能量变分法，首先利用最大耗散原理和最小作用量原理的平衡，导出了弹道方程。通过凸分裂技术，我们提出了弹道方程的能量耗散数值格式。严格的数值分析表明，非线性数值格式是唯一可解的，在全离散水平上自然地遵守质量守恒和正性，并保持稳态。在一定的光滑性假设下，数值格式在空间上具有二阶精度，在时间上具有一阶精度。进行了大量的数值模拟，以证明所提出的计划的几个有价值的功能。除了保留物理结构，如正性，质量守恒，离散能量耗散，蓝态和稳态外，数值模拟进一步表明，我们的数值方案能够有效和鲁棒地求解Fokker-Planck方程的\emph{degenerate}情况。结果表明，所提出的数值格式即使在退化情形下，当解具有紧支集时也具有收敛阶，能精确而稳健地计算自由边界的等待时间，且无振荡，能逼近爆破奇异性，精度可达机器精度.
2020-08-16 cs.NA math.NA
A two species micro-macro model of wormlike micellar solutions and its maximum entropy closure approximations: An energetic variational approach
蠕虫状胶束是聚合物链的自组装体，可以可逆地断裂和重组。本文利用能量变分方法，导出了蠕虫状胶束溶液的微观-宏观双组分模型。该模型在统一的变分框架下，将聚合物链的断裂和结合过程纳入到经典的聚合物流体的微观-宏观哑铃模型中。我们还研究了不同的最大熵封闭近似的新模型的“变分，然后关闭”和“关闭，然后变分”的方法。通过在粗粒度水平施加适当的耗散，闭合模型，通过“闭合-然后-近似”得到，保留了原系统的机械和化学部分的晶体结构。数值算例表明，封闭模型能较好地描述剪切流场中蠕虫状胶束溶液的流变特性。
2021-04-29 cond-mat.soft cs.NA math.NA
Convergence of a Lagrangian discretization for barotropic fluids and porous media flow
当用拉格朗日变量表示时，可压缩（正压）流体的运动方程具有经典哈密顿系统的结构，其中势能由流体的内能给出。这种系统的耗散对应物与多孔介质方程一致，对于相同的内能，多孔介质方程可以被转换为梯度流的形式。出于这些相关的变分结构，我们提出了一个粒子方法的内部能量被取代的Moreau-Yosida正则化的L2意义上的问题，这可以有效地计算为半离散的最优输运问题。使用调制的能量参数，利用凸性的问题在欧拉变量，我们证明了定量收敛估计光滑的解决方案。我们通过几个数值试验来验证这种估计。
2021-12-20 cs.NA math.AP math.NA
A convergent mass conservative numerical scheme based on mixed finite elements for two-phase flow in porous media
University of Bergen（卑尔根大学）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
本文提出一种用于多孔介质中两相流的质量守恒数值方案，基于混合有限元方法，通过误差估计证明方案收敛性，并通过数值实验验证理论结果。
2017-04-30 cs.NA math.NA
High-order variational Lagrangian schemes for compressible fluids
本文面向可压缩流体提出高阶变分拉格朗日有限元格式，通过离散能量变分实现守恒与熵稳定，并结合全隐式时间步进提升低马赫数流动及畸变网格上的稳定性。
2023-02-27 cs.NA math.NA
Analysis of a semi-augmented mixed finite element method for double-diffusive natural convection in porous media
本文研究了多孔介质中定常双扩散自然对流问题，该问题由描述速度和压力的Navier-Stokes/Darcy型方程组和描述热和物质浓度的矢量对流-扩散方程耦合而成，具有物理边界条件。在流体方程中引入应变张量和非线性伪应力张量，将模型问题转化为无压力的一阶系统。变分方法后，得到的弱模型，然后增加使用适当的冗余惩罚项的流体方程以及一个标准的原始配方的热量和物质浓度。然后，它被重写为一个等价的不动点问题。连续和离散格式的适定性和唯一性结果，以及相应的收敛性结果在一定的正则性假设结合Lax-Milgram定理，和Banach和Brouwer不动点定理。特别是，Raviart-Thomas元素的顺序$k$用于近似的伪应力张量，分段多项式的次数$ \leq k$和$\leq k+1$用于近似的应变张量和速度，分别，和热量和物质浓度近似的拉格朗日有限元的顺序$\leq k+1$。最佳的先验误差估计的推导和确认，通过一些数值例子，说明所提出的半增广混合原始计划的性能。
2021-06-05 cs.NA math.NA
Variational multiscale modeling with discretely divergence-free subscales: Non-divergence-conforming discretizations
最近的一篇论文[J. A.埃文斯，D. Kamensky，Y. Bazilevs，“Variational multiscale modeling with discrete divergence-free subscales”，Computers & Mathematics with Applications，80（2020）2517-2537]介绍了一种用于不可压缩Navier-斯托克斯方程的新型稳定化有限元法，其组合了对流的基于残差的稳定化、能量稳定性和离散不可压缩性条件的满足。然而，所引用的工作的收敛性分析和数值试验受到限制性假设的发散一致的速度和压力空间的选择，其中压力空间必须包含每个速度函数的发散。目前的工作扩展的收敛性分析，以任意的inf-super-stable速度-压力对（同时保持鲁棒性的对流为主的政权），并证明了收敛的方法数值，使用传统的和等几何泰勒-胡德元素。
2021-12-18 cs.NA math.NA
Variational Methods for Biomolecular Modeling
Michigan State University（密歇根州立大学）；Colorado State University（科罗拉多州立大学）
本文提出基于变分原理的生物分子建模方法，通过考虑界面几何特性，改进能量参数化并高效模拟界面动态，适用于多尺度电势、微域形成及膜表面蛋白定位等研究。
2016-10-31 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Mixed material point method formulation, stabilization, and validation for a unified analysis of free-surface and seepage flow
本文提出一种基于变分多尺度方法稳定化的混合物质点方法，采用整体位移-压力公式统一建模自由表面流与渗流，通过模糊界面实现多孔与非多孔域间流动的无缝过渡，并在1D、2D和3D基准案例中验证了其更高的精度与稳定性。
2024-02-18 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Energetic Spectral-Element Time Marching Methods for Phase-Field Nonlinear Gradient Systems
本研究针对非线性梯度系统提出两种高能谱元时间推进方法，隐式方法保质量守恒与能量耗散且具超收敛性，半隐式方法经类Picard迭代可恢复超收敛，性能优于现有主流方法且适用于大规模非线性动力系统。
2024-06-24 cs.NA math.NA
Fisher information regularization schemes for Wasserstein gradient flows
我们提出了一个计算Wasserstein梯度流的变分格式。该计划建立在Jordan-Kinderlehrer-Otto框架与Benamou-Brenier的动态制定的二次Wasserstein度量，并增加了正则化的Fisher信息。这个正则化可以从能量分裂的角度推导出来，并且与薛定谔桥问题密切相关。它改善了变分问题的凸性，并自动保持解的非负性。因此，它允许我们应用序列二次规划来解决子最优化问题。我们进一步节省计算成本，表明没有额外的时间插值是需要在底层的动态制定的Wasserstein-2度量，因此，问题的维度大大降低。给出了多孔介质方程、非线性Fokker-Planck方程、聚集扩散方程和Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn方程的数值算例。这些例子证明了所提出的方案的简单性和稳定性。
2019-07-19 cs.NA math.NA
On the space-time discretization of variational retarded potential boundary integral equations
本文讨论三维波动方程时空边界元方法的实际发展。所采用的试验空间来源于时空柱侧边界的单纯形网格。这种方法真正符合波动方程的解算子的特殊结构，即所谓的延迟势。由于所产生的积分的数值计算是复杂的，这项工作的大部分是由有关延迟层电位和相关的能量双线性型的正交技术的想法。最后，我们瞥见在算法方面的有效实施推迟潜力的时空设置。通过数值实验对所提出的方法进行了验证，说明了它们的能力。
2021-08-09 cs.CE cs.NA math.NA
