Alejandro López Hernández, Andrew R. Wade
We study the set of directions asymptotically explored by a spatially homogeneous random walk in $d$-dimensional Euclidean space. We survey some pertinent results of Kesten and Erickson, make some further observations, and present some examples. We also explore links to the asymptotics of one-dimensional projections, and to the growth of the convex hull of the random walk.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Angular processes related to Cauchy random walks
研究了步数服从Cauchy分布的欧氏空间和非欧几里得空间中与随机游动有关的角过程。这导致了不同类型的保持柯西密度的柯西随机变量的非线性变换。对于尺度和位置参数的所有组合，我们给出了这些分布的显式形式。分析了含柯西随机变量的连分数。证明了$n$阶段随机变量仍服从参数与斐波那契数有关的柯西分布。这使我们能够证明序列依分布收敛于黄金比例。
In this work we study asymptotic properties of a long range memory random walk known as elephant random walk. First we prove recurrence and positive recurrence for the elephant random walk. Then, we establish the transience regime of the model. Finally, under the Poisson Hypothesis, we study the replica mean field limit for this random walk and we obtain an upper bound for the expected distance of the walker from the origin.
Local asymptotics for the time of first return to the origin of transient random walk
我们考虑一个瞬态随机游动上的$Z^d$是渐近稳定的，没有中心，在某种意义上，允许不同的赋范为每个组件。本文研究了在时间$n$上首次返回原点的随机游动的概率的渐近性。
Asymptotic Entropy of Random Walks on Regular Languages over a Finite Alphabet
本文证明了有限字母表上正则语言上随机游动的渐近熵的存在性，并给出了渐近熵的计算公式，进一步证明了渐近熵随描述随机游动的常数支撑的概率测度的实分析变化.此设置特别适用于虚拟自由群上的随机游动。
An asymptotic variance of the self-intersections of random walks
我们提出了一个Darboux-Wiener型引理，并应用它获得了一维和二维随机游动自相交方差的精确渐近性。作为推论，我们得到了Kesten和Spitzer在1979年提出的关于随机场景中随机游动的一个中心极限定理.
Consider a nearest-neighbor random walk with certain asymptotically zero drift on the positive half line. Let $M$ be the maximum of an excursion starting from $1$ and ending at $0.$ We study the distribution of $M$ and characterize its asymptotics, which is quite different from those of simple random walks.
Asymptotic direction for random walks in random environments
本文研究了随机独立同分布中随机游动的渐近方向性质。环境（RWRE）。我们证明了，如果游动是瞬态的方向集是非空的和开放的，游动承认一个渐近方向。获得这一结果的主要工具是构造具有锥的更新结构。我们还证明了RWRE最多允许两个相反的渐近方向。
Angular asymptotics for multi-dimensional non-homogeneous random walks with asymptotically zero drift
研究了$\Z^d$（$d \geq 2$）上的非齐次随机游动（马尔可夫链）从一个顶点在原点的任意圆锥上的第一次退出时间$τ$.具体地说，如果在$\bx \in \Z^d$的平均漂移的幅度为$O(\| \bx\|^{-1})$，我们表明，$τ<\infty$ a.s.对于任何一个cone。另一方面，对于一个适当的漂移场的幅度$\| \bx\|^{-β}$，$β\in (0,1)$的平均漂移，我们证明了我们的随机游动有一个限制（随机）的方向，所以最终仍然在一个任意窄的锥。对随机游走的条件是最小的：我们只假设一个均匀的二阶矩的增量和一种形式的弱各向同性的约束。我们给出了几个说明性的例子，包括随机环境模型中的随机游动。
We study tail behaviour of the distribution of the area under the positive excursion of a random walk which has negative drift and heavy-tailed increments. We determine the asymptotics for tail probabilities for the area.
Exact asymptotics for the instant of crossing a curve boundary by an asymptotically stable random walk
假设$\{S_n,\ n\geq0\}$是渐近稳定的随机游动.令$g$为正函数，$T_g$为$S_n$离开$[-g(n),\infty)$的第一次。本文研究了$T_g$的渐近性质。我们为函数$g$提供了积分测试，保证了$P(T_g>n)\sim V(g)P(T_0>n)$，其中$T_0$是$\{S_n\}$的第一个严格下降阶梯时期
Asymptotic direction for random walks in mixing random environments
证明了在满足锥混合条件和非有效多项式弹道性条件且次数足够高的一致椭圆随机环境中，每个随机游动都有一个渐近方向.
Asymptotic directions in random walks in random environment revisited
最近Simenhaus证明了对于随机环境中的任意椭圆随机游动，在给定方向邻域内的瞬变等价于a.确定性渐近方向的存在性以及在由该渐近方向定义的开半空间中的任意方向上的瞬变。在这里，我们证明了这个结果的改进版本，并审查了一些开放的问题。
Asymptotic behavior of the extremal position in a multi-type branching random walk with heavy-tailed displacements
本文研究了位移具有重尾的多类型分支随机游动，探讨了不可约与可约情形下最右粒子的渐近行为，并为不同设定确定了正确的归一化。
Asymptotic probability of a fixed edge being on the boundary of the convex hull of a random walk in $\mathbb{Z}^2$
研究二维对称随机游走中固定边在凸包边界多边形中的渐近概率行为，分析步数趋于无穷时的概率渐进行为。
Asymptotic entropy of random walks on Fuchsian buildings and Kac-Moody groups
本文证明了正则Fuchsian建筑上各向同性随机游动渐近熵的存在性。给出了渐近熵的计算公式，证明了渐近熵等于随机游动关于Green距离的逃逸率.当建筑物从Fuchsian Kac-Moody群中产生时，我们的结果意味着由这些群上的双不变测度引起的随机游动的结果，但是我们的结果在没有任何群作用于建筑物的假设的一般设置中被证明。其主要思想是考虑各向同性随机游动收缩到建筑物的公寓上，证明这种收缩游动的渐近熵的存在性，并"提升“这一点，以推断建筑物上随机游动的熵的存在性。
Local asymptotics for the area under the random walk excursion
研究了具有负漂移和轻尾增量的随机游动的正漂移下面积分布的尾部行为。我们确定了该区域的局部概率的渐近性，并证明了一个局部中心极限定理的持续时间的漂移条件下的大值的区域。
We consider the sum of the coordinates of a simple random walk on the K-dimensional hypercube, and prove a double asymptotic of this process, as both the time parameter n and the space parameter K tend to infinity. Depending on the asymptotic ratio of the two parameters, they converge towards either a Brownian motion, an Ornstein-Uhlenbeck process or an i.i.d. collection of Gaussian variables.
A short proof of the asymptotic of the minimum of the branching random walk after time $n$
我们写$R_n$的最小位置达到后，时间$n$的分支随机游动在边界的情况下。在这篇文章中，我们证明了$R_n - \frac{1}{2} \log n$的法律收敛到一个移动的Gumbel分布。
Asymptotics of a two-dimensional sticky random walk
我们研究了$\mathbb{Z}^2$上的马尔可夫链的渐近行为，它对应于$\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$上的强化过程的二维边缘。三个不同的渐近制度被确定，根据增强参数$Δ$的缩放相对于链执行的步骤的数量。
Long time asymptotics of non-symmetric random walks on crystal lattices
本文从离散几何分析的角度研究晶格上非对称随机游动的长时间渐近性。我们观察到，与晶格的标准实现相关联的欧几里德度量，称为Albanese度量，自然地出现在渐近性中。本文前半部分建立了随机游动的两类（泛函）中心极限定理。首先证明了具有Albanese度量的欧几里得空间上的布朗运动是随机游动的通常中心极限定理的标度极限。接下来，我们引入一个家庭的随机游动之间的原始非对称随机游动和对称的插值。然后，我们通过随机游动族的另一种中心极限定理，在具有与对称化随机游动相关联的Albanese度量的欧几里得空间上捕获了渐近方向为常数漂移的布朗运动.本文后半部分给出了非对称随机游动的$n$ -步转移概率渐近展开式的谱几何证明。这个渐近展开式是Sunada [22]得到的局部中心极限定理的一个改进，并且是[11]中关于晶格上对称随机游动的结果到非对称情形的推广。
First-passage time asymptotics over moving boundaries for random walk bridges
研究了条件为返回零的随机游动在移动边界上的首达时间的渐近尾概率，其中随机游动的增量具有有限方差。通常，渐近尾部行为可以通过指数为-1/2的规则变化函数来描述，其中边界的影响由缓慢变化的函数捕获。然而，当在接近随机游动桥的返回点的时间考虑尾部时，移动边界可能具有更强的影响。在后一种情况下，相变出现在渐近，其精确性质取决于零和移动边界之间的距离的顺序。
Asymptotic direction of a ballistic random walk in a two-dimensional random environment with nonuniform mixing
针对具有多项式衰减相关性的二维随机环境，论文结合重整化方法与新框架思想，证明带方向偏置的弹道随机游走存在渐近方向，并列举适用的经典模型。
Asymptotics of the Green function of killed random walks in a cone of $\Z^d$
本文通过结合泛函方程、积分表示和Woess方法，获得了$\Z^d$中齐次随机游走在锥体内被杀死时格林函数的精确渐近行为。
Tail asymptotic of the stationary distribution for the state dependent (1,R)-reflecting random walk: near critical
在本文中，我们认为$(1,R)$状态依赖反射随机游动（RW）的射线，允许的大小跳跃到最大的$R$的权利和向左只有1。我们提供了一个明确的标准为正的复发和明确的表达的基础上的内在分支结构的步行的平稳分布。作为应用，我们得到了平稳分布在“近临界”情形下的尾渐近性质。
Let $\{S_n, n\geq1\}$ be a random walk wih independent and identically distributed increments and let $\{g_n,n\geq1\}$ be a sequence of real numbers. Let $T_g$ denote the first time when $S_n$ leaves $(g_n,\infty)$. Assume that the random walk is oscillating and asymptotically stable, that is, there exists a sequence $\{c_n,n\geq1\}$ such that $S_n/c_n$ converges to a stable law. In this paper we determine the tail behaviour of $T_g$ for all oscillating asymptotically stable walks and all boundary sequences satisfying $g_n=o(c_n)$. Furthermore, we prove that the rescaled random walk conditione…
Asymptotic Entropy of Random Walks on Free Products
假设我们给定一个有限族或可数集的自由积V。本文考虑自由积上的瞬态随机游动，它是由自由因子上的随机游动的凸组合自然产生的。我们证明了渐近熵的存在性，并提出了三个不同的，等价的公式，这是由三种不同的技术。特别地，我们将证明熵是相对于格林度量的逃逸率。此外，我们联系渐近熵与逃逸率和体积增长导致两个不等式。
We consider random walks among random conductances on $\mathbb{Z}^2$ and establish precise asymptotics for the associated potential kernel and the Green's function of the walk killed upon exiting balls. The result is proven for random walks on i.i.d. supercritical percolation clusters among ergodic degenerate conductances satisfying a moment condition. We also provide a similar result for the time-dynamic random conductance model. As an application we present a scaling limit for the variances in the Ginzburg-Landau $\nabla ϕ$-interface model.
Random walk in random environment with asymptotically zero perturbation
给出了{0，1，2，.}上随机环境中随机游动的遍历性、瞬时性和零常返性的判别准则，在原点处具有反射，其中随机环境受到消失的扰动。我们的结果补充了现有的随机环境中的随机游动和马尔可夫链与渐近零漂移的标准，并显着不同，这些以前研究的情况下。我们的方法是基于鞅技术-李雅普诺夫函数的方法。
Phase transition for the asymptotic entropy of branching random walks on groups
研究无限可数群上超临界分支随机游走渐近熵的相变，证明其在\(\rho_* = \e^{h(\mu)}\)处发生相变，低于此值时渐近经验熵与种群指数增长率对数有关，高于此值时恒等于基础随机游走渐近熵，回答了相关问题。
Asymptotics for the survival probability in a killed branching random walk
考虑离散时间一维超临界分支随机游动。研究了分支随机游动中存在一条总是位于斜率线$γ-ε$之上的无限射线的概率，其中$γ$表示分支随机游动中最右边位置的渐近速度.在分支随机游动分布的一般假设下，我们证明了当$ε\to 0$时，所讨论的概率像$\exp\{- {β+ o(1)\over ε^{1/2}}\}$一样衰减，其中$β$是依赖于分支随机游动分布的正常数。在i.i.d.的特殊情况下。Bernoulli $(p)$随机变量（带有$0<p<{1\over 2}$）分配在一个有根二叉树上，这回答了Robin Pemantle的一个开放性问题。
Complementary asymptotic analysis for a minimal random walk
本文对极小随机游走进行了补充渐近分析，提出了几乎必然中心极限定理的版本和二次强定律的推广，并基于Pólya urn方案提供了泛函极限定理的替代证明。
Asymptotics for first-passage times of Lévy processes and random walks
本文研究了Lévy过程$X_t$第一次穿过负水平$-x$时$τ_x$分布的精确渐近性。我们证明了对于某个函数$V(x)$，$\mathbf P(τ_x>t)\sim V(x)\mathbf P(X_t\ge 0)/t$是$t\to\infty$.利用已知的结果为大偏差的随机游动，我们得到的渐近$\mathbf P(τ_x>t)$明确在轻尾和重尾的情况下。我们也应用我们的结果，找到渐近分布的忙期在M/G/1排队。
Exit times for integrated random walks
我们考虑一个有中心的随机游走有限方差和调查的概率的渐近行为，该地区下，这个行走保持积极的大时间$n$。假设阶矩$2+δ$是有限的，我们证明了这个概率的精确渐近性是$n^{-1/4}$。为了显示这些渐近性，我们开发了一个离散的位势论的集成随机游动。
Asymptotic behavior of the critical density of activated random walk
研究了激活随机游走模型中临界密度随睡眠率变化的渐进行为，得出了不同λ范围下的下界和瞬态游走的一阶近似。
Sharp lower bounds for the asymptotic entropy of symmetric random walks
熵、谱半径和漂移是可数群上随机游动的重要数值量。我们证明了尖锐的不等式有关这些数量的步行与有限的第二个时刻，改善以前的结果阿维斯，Varopoulos，卡恩，Ledrappier。我们还推导出这些量之间的不等式和体积增长的组。最后，我们证明了我们的不等式中的平等情况是相当严格的。
Some exact asymptotics in the counting of walks in the quarter-plane
平面格行走的计数是组合数学中的一个经典课题，处于几个域的交叉点（例如，概率、统计物理学、计算机科学）。本文的目的是提出一种新的方法，以获得一些严格的渐近走动局限于四分之一平面。
This note is devoted to the study of the maximum of the excursion of a random walk with negative drift and light-tailed increments. More precisely, we determine the local asymptotics of the joint distribution of the length, maximum and the time at which this maximum is achieved. This result allows one to obtain a local central limit theorems for the length of the excursion conditioned on large values of the maximum.
Sharp asymptotics of disconnection time of large cylinders by simple and biased random walks
本文研究了简单与有偏随机游走对大离散圆柱体的渐近断开时间，推导出匹配的精确下界并改进了有偏游走的界，同时提出了随机游走迹与随机交织间的强耦合工具。
Martingale approach to subexponential asymptotics for random walks
考虑具有独立同分布增量和负均值$\mathbf Eξ=-m<0$的随机游动$S_n=ξ_1+...+ξ_n$。设$M=\sup_{0\le i} S_i$是随机游动的上确界。在这篇笔记中，我们提出了推导的渐近$\mathbf P(M>x), x\to\infty$长尾分布。这种推导是基于鞅参数，不需要任何先验知识的理论长尾分布。此外，相同的方法允许获得$\mathbf P(M_τ>x)$的渐近性，其中$M_τ=\max_{0\le i<τ}S_i$和$τ=\min\{n\ge 1: S_n\le 0 \}$。
Tail asymptotics for the total progeny of the critical killed branching random walk
我们考虑了杀死势垒为零的$\mathbb{R}$上的分支随机游动.在临界状态下，该过程最终消失，因此总子代$Z$是有限的。我们发现$Z$的尾部分布在$(n\ln^2(n))^{-1}$中表现出典型的行为，这证实了Addario-Berry和Broutin的预测。
Asymptotic direction of random walks in Dirichlet environment
本文推广了文[SabotTournier10]中关于方向瞬变的结果。这使我们能够通过[Simenhaus07]，[ZernerMerkl01]和[Bouchet12]得出结论，在Z^d上（对于任何维数d），i.i.d.中的随机游动。狄利克雷环境，或等价定向边强化随机游动，几乎肯定有一个渐近方向等于初始漂移的方向，除非该漂移为零。此外，我们确定了某些概率的确切值或分布，回答并推广了[SaTo10]的一个猜想。
Tail asymptotics of the stationary distribution of a two dimensional reflecting random walk with unbounded upward jumps
考虑二维非负整数象限上的反射随机游动。假设该随机游动在到象限边界的方向上是无跳跃的，但是可以在相反方向上具有无界跳跃，其被称为向上跳跃。我们感兴趣的是它的平稳分布的尾渐近行为，只要它存在。假设向上跳跃的大小分布具有轻尾，我们完全找到了边缘平稳分布在所有方向上的粗尾渐近性。这推广了Miyazawa（2009）[Mathematics of运筹学34，547-575]中无跳反射随机游动的相应结果。我们证明了这些结果的两个节点的网络与外源批次到达。
In this article we consider transient random walks on HNN extensions of finitely generated groups. We prove that the rate of escape w.r.t. some generalised word length exists. Moreover, a central limit theorem with respect to the generalised word length is derived. Finally, we show that the rate of escape, which can be regarded as a function in the finitely many parameters which describe the random walk, behaves as a real-analytic function in terms of probability measures of constant support.
Asymptotic of the maximal displacement in a branching random walk
本文研究分支随机游动的最大位移。我们证明了它的渐近行为包括在第一个几乎必然弹道长期，负对数修正概率和随机有界波动。这一结果，证明了Addario-Berry和里德，胡和石在这里给出了接近最佳可积性条件。对这一结果给出了简单的证明，并推导出了最大位移附近个体的系谱结构。
Asymptotics for the maximum of a modulated random walk with heavy-tailed increments
我们考虑增量$ξ_n^{X_n}$是重尾的调制随机游动的最大值的渐近性。特别感兴趣的是其中调节过程$X$是再生的情况。在这里，我们还研究了$W_0=0$给出的递归的最大值，对于$n\ge1$，则研究了$W_n=\max(0,W_{n-1}+ξ_n^{X_n})$
Asymptotic Behaviour for Isotropic Pearson Random Walks
本文研究维度趋于无穷时各向同性Pearson随机游走的渐近行为，拓展至步数与步长均依赖维度的情况，相关结果可用于近似经典Pearson随机游走的分布。
In this article we establish for the superdiffusive regime $p \in (1/2,1)$ that the fluctuations of a general step-reinforced random walk around $a_n \hat{W}$, where $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ is a non-negative sequence of order $n^p$ and $\hat{W}$ is a non-degenerate random variable, is Gaussian. This extends a known result by Kubota and Takei for the elephant random walk to the more general setting of step-reinforced random walks. Further, we provide an application of the asymptotic normality of $\hat{S}$ around $a_n \hat{W}$ to reinforced empirical processes as studied recently by Bertoin, …
The local asymptotic estimation for the supremum of a random walk with generalized strong subexponential summands
本文给出了随机游动上确界的局部渐近估计及其应用。随机游动的和项具有共同的长尾分布和广义强次指数分布。该分布类和相应的广义局部次指数分布类是两个新的分布类，具有良好的性质。进一步得到了一些直观具体的长尾分布，证明了上述两个分布类与长尾分布类的交集分别包含强次指数分布类和局部次指数分布类.
On the exact distributional asymptotics for the supremum of a random walk with increments in a class of light-tailed distributions
我们研究一个随机游动的最大$M$的分布，它的增量具有负均值的分布，并且对于某些$γ>0$，它属于$\mathcal{S}_γ$类的一个子类--例如，见Chover、Ney和Wainger（1973）。对于这个子类，我们给出了概率推导的渐近尾分布的$M$，并表明，$M$的极值一般是通过一些单一的大增量附近的随机游动的轨迹的开始。我们还给出了一些结果有关的“空间局部”的渐近分布的$M$，最大的停止随机游动为各种停时，和各种界限。
Tail asymptotics for the maximum of perturbed random walk
考虑一个随机游动$S=(S_n:n\geq 0)$，它被平稳序列$(ξ_n:n\geq 0)$“扰动”以产生过程$(S_n+ξ_n:n\geq0)$。本文研究了具有负漂移的扰动随机游动的$M_{\infty}=\max \{S_k+ξ_k:k\geq0\}$的分布。这种最大值出现在几种不同的应用环境中，包括生产系统、通信网络和保险风险。我们的主要结果描述了$\mathbb{P}(M_{\infty}>x)$作为$x\to\infty$的渐近性。尾部渐近性很大程度上取决于$ξ_n$是轻尾还是重尾。在轻尾条件下，尾渐近与标准随机游动的Cramér-Lundberg渐近密切相关.
Asymptotic Capacity of the Range of Random Walks on Free Products of Graphs
本研究证明了图的自由积上随机游走值域的渐近容量存在且几乎必然为严格正的常数，同时建立了相应的中心极限定理，并揭示了该容量关于有限支撑恒定概率测度的实解析变化性质。
Asymptotic behaviour of a random walk killed on a finite set
本文研究了二维随机游动在进入非空有限子集$A$时，大时间$n$的转移概率的渐近行为.我们发现，它的行为像$4 \tilde u_A(x) \tilde u_{-A}(-y) (\lg n)^{-2} p^n(y- x)$大$n$，均匀的抛物线制度$|x|\vee |y| =O(\sqrt n)$，其中$p^n(y-x)$是过渡内核的随机游动（无杀戮）和$\tilde u_A$是唯一的调和函数在“外部的$A$”满足边界条件$\tilde u_A(x) \sim \lg |x|$在无穷远。
Convergence of the structure function of a Multifractal Random Walk in a mixed asymptotic setting
建立了多重分形时间中布朗运动（也称多重分形随机游动）的一些渐近性质。证明了其结构函数的几乎必然收敛性和$L^1$收敛性。这是一个与样本路径的尺度不变性和多重分形性质直接相关的问题。我们把自己放在一个混合的渐近设置，其中的观察长度和采样频率可以一起去无穷大，在不同的速率。所得结果与Ossiander，Waymire和Bacry \emph{et al.}在Mandelbrot叶栅的简单框架下的结果相似。
We consider an asymptotically stable multidimensional random walk $S(n)=(S_1(n),\ldots, S_d(n) )$. Let $τ_x:=\min\{n>0: x_{1}+S_1(n)\le 0\}$ be the first time the random walk $S(n)$ leaves the upper half-space. We obtain the asymptotics of $p_n(x,y):= P(x+S(n) \in y+Δ, τ_x>n)$ as $n$ tends to infinity, where $Δ$ is a fixed cube. From that we obtain the local asymptotics for the Green function $G(x,y):=\sum_n p_n(x,y)$, as $|y|$ and/or $|x|$ tend to infinity.
Asymptotics for Exponential Functionals of Random Walks
本文研究了轻尾/重尾随机游走指数泛函的渐近性，基于样本路径局部最小值与最终值的关键观察给出了收敛速率，并通过分析两者的相互关系得到了极限系数的精确表达式。
Limit theorems for random walks on a strip in subdiffusive regime
研究了猝灭随机环境中的瞬态随机游动在亚扩散区中占据时间的渐近行为。首中时的渐近行为，这是一个更传统的研究对象，是完全相同的。作为一个特例，我们解决了一维格点上带有界跳的随机游动的渐近行为的一个长期存在的问题
Sharp asymptotics for $N$-point correlation functions of coalescing heavy-tailed random walk
本文研究了 coalescing 重尾随机游走系统的 N 点相关函数的精确渐进行为，通过尾部估计和非碰撞概率分析，推导了重尾随机游走的精细估计。
Large deviations and slowdown asymptotics for one-dimensional excited random walks
研究了一维受激随机游动的大偏差。我们证明了一个大偏差原则的命中时间和位置的随机游动，并给出了一个定性的描述各自的率函数。当受激随机游动是瞬时的正速度$v_0$时，则受激随机游动位置的大偏差率函数在区间$[0,v_0]$上为零，因此概率如$P(X_n < nv)$对于$v \in (0,v_0)$是次指数衰减的。我们表明，这种减速概率的衰减率是多项式的顺序$n^{1-δ/2}$，其中$δ>2$是预期的总漂移每个网站的cookie环境。
Asymptotic Behavior of Local Particles Numbers in Branching Random Walk
研究了d维整数格点上的临界催化分支随机游动。分支可能只发生在原点，起点是任意的。的渐近行为，随着时间的增长到无穷大，确定的平均本地粒子数。同样的问题也解决了粒子存在于一个固定的晶格点的概率。此外，还建立了局部粒子数的Yaglom型极限定理.我们的分析涉及一个辅助Bellman-Harris分支过程与六种类型的粒子的建设。证明采用（不当）c.d.f.的渐近性质。首中时与禁忌。后一个概念是作者最近提出的一个非分支的随机游动的整数格。
Asymptotic expansion of the invariant measure for ballistic random walk in the low disorder regime
我们考虑了$\mathbb Z^d$上的低无序区中的随机环境中的随机游动.也就是说，随机游动从位点$x$跳到最近的相邻位点$x+e$的概率由$p(e)+εξ(x,e)$给出，其中$p(e)$是确定性的，$\{\{ξ(x,e):|e|_1=1\}:x\in\mathbb Z^d\}$是i.i.d.并且$ε>0$是最终选择为足够小的参数。我们建立了一个渐近展开的$ε$的不变测度的环境过程中，只要弹道条件得到满足。作为我们的扩展的应用程序，我们推导出一个数值表达式高达一阶$ε$的不变测度的随机扰动的简单对称随机游动的尺寸$d=2$。
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