An Empirical Study on Computing Equilibria in Polymatrix Games
纳什均衡是战略自主智能体系统行为的重要基准。多矩阵游戏是多人游戏的简洁而富有表现力的表示，它模拟了玩家之间的成对交互。解决这些游戏的算法的经验性能很少受到关注，尽管它们的广泛应用。在本文中，我们进行了一个全面的实证研究，两个突出的算法计算样本平衡在这些游戏中，Lemke的算法，计算一个精确的平衡，和一个梯度下降的方法，计算一个近似的平衡。我们的研究涵盖了一些有趣的应用程序所产生的游戏。我们发现Lemke算法可以在合理的时间内计算相对较大的游戏中的精确均衡。如果我们愿意接受（高质量的）近似均衡，那么我们可以使用下降法来处理更大的博弈。我们还报告了哪些游戏对每个算法最具挑战性。
2016-03-16 cs.GT
FPTAS for Mixed-Strategy Nash Equilibria in Tree Graphical Games and Their Generalizations
我们提供了第一个完全多项式时间近似方案（FPTAS）计算近似的混合策略纳什均衡在树结构的图形多超矩阵游戏（GMhGs）。GMhG是正规形式博弈、图形博弈、图形多矩阵博弈和超图博弈的推广。在图形多矩阵博弈中计算精确的混合策略纳什均衡是PPAD完全的，因此通常被认为是棘手的。相比之下，据我们所知，我们是第一个建立一个FPTAS树多矩阵游戏以及树图形游戏时，行动的数量是有界的常数。作为推论，我们给出了一个行动数以局中人数的对数为界的拟多项式时间近似方案（quasi-PTAS）。
2017-02-06 cs.GT
Constrained Pure Nash Equilibria in Polymatrix Games
本文研究了一类定义在加权有向图上的多矩阵博弈中约束纯纳什均衡的存在性检验问题。一个玩家的收益被定义为选择相同策略的玩家在输入边上的非负有理权重之和，并为选择给定策略增加一个固定的整数奖金。这些游戏抓住了在缺乏全球共同战略的情况下，在当地社区内协调的想法。我们研究的决策问题，检查是否一组给定的策略选择的一个子集的球员是一致的一些纯纳什均衡，或者，与所有纯纳什均衡。我们确定了最自然的情况下，易于处理，并显示NP或CONP-完全这些问题已经为未加权的DAG。
2016-11-29 cs.GT
On the Complexity of Stationary Nash Equilibria in Discounted Perfect Information Stochastic Games
从计算复杂性角度研究折扣完美信息随机博弈中平稳纳什均衡的计算问题，证明了双人博弈为 PPAD 完全，并给出了 3 人与 4 人博弈中相关计算的困难性证明。
2025-10-13 cs.CC cs.GT
Complexity of Efficient Outcomes in Binary-Action Polymatrix Games with Implications for Coordination Problems
本文研究二元行动多矩阵博弈中协调问题的经济高效解，引入最大加权有向图划分问题，证明纯协调博弈中福利与势能最大化可高效求解，反协调博弈中为NP难，且福利最大化纳什均衡即使在简单纯协调博弈中也NP难。
2023-05-11 cs.CC cs.DM cs.DS
Constant Rank Bimatrix Games are PPAD-hard
双矩阵对策（A，B）的秩被定义为秩（A+B）。计算秩为$0$的纳什均衡（NE），即，零和博弈等价于线性规划（von Neumann'28，Dantzig'51）。2005年，Kannan和Theobald给出了常秩博弈的FPTAS，并提出了是否存在计算精确NE的多项式时间算法。Adsul等人（2011）对等级$1$游戏肯定地回答了这个问题，留下了等级2和更高的未解决问题。在本文中，我们表明，NE计算的游戏秩$\ge 3$，是PPAD困难的，解决了十年之久的开放问题。有趣的是，这是FPTAS的问题第一次被证明是PPAD困难的。我们的减少绕过图形游戏和游戏小工具，并提供了一个更简单的证明PPAD硬度NE计算双矩阵游戏。此外，我们得到：* 2D-Linear-FIXP和PPAD之间的等效性，改进了Etessami和Yannakakis（2007）关于Linear-FIXP和PPAD之间等效性的结果。* 在纳什均衡为凸集的双矩阵博弈中，NE的计算与求解一个简单的随机博弈一样困难。* 计算具有等级$\ge 6$的对称双矩阵游戏的对称NE是PPAD困难的。* 计算（Linear-FIXP）分段线性函数的（1/poly（n））-近似不动点是PPAD困难的。等级- $2$游戏的状态仍然没有解决。
2014-03-22 cs.GT
On the Uniqueness of Nash Equilibria in Multiagent Matrix Games
本文完整刻画了无约束多矩阵博弈中纳什均衡的唯一性条件，证明零和博弈需组合策略空间维度为偶数，并揭示了经典学习动力学在非唯一均衡下仍能产生唯一估计。
2024-10-21 cs.GT
Finding a Positive Index Nash Equilibrium is PPADS-Complete
National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；Archimedes, Athena Research Center（阿尔基米德，雅典研究中心）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；National and Kapodistrian University of Athens（雅典国家与卡波季斯特里乌斯大学）
该研究证明，在非退化双矩阵博弈中寻找Shapley指标为+1的精确纳什均衡是PPADS完全的，这是首个基于显式收益矩阵的此类问题，解决了Daskalakis的开放问题。
2026-09-22 cs.CC cs.GT
Efficient Equilibria in Polymatrix Coordination Games
我们考虑具有个人偏好的多矩阵协调博弈，其中每个玩家对应于图中的一个节点，该节点与每个邻居玩一个具有非负对称收益的单独双矩阵博弈。本文研究了这类对策的$α$ -近似$k$ -均衡，即，最多没有一组$k$参与者可以偏离的结果，使得每个成员将其收益增加至少一个因子$α$。我们证明了对于$α\ge 2$这些游戏有有限的联盟改善属性（因此$α$ -近似$k$ -平衡存在），而对于$α< 2$这个属性不成立。此外，我们推导出一个几乎紧界的$2α(n-1)/(k-1)$的价格无政府状态，其中$n$是玩家的数量，特别是，它的规模从无界的纯纳什均衡（$k = 1)$到$2α$的强均衡（$k = n$）。我们还解决了与这些均衡的验证和存在性有关的几个问题的复杂性。最后，我们研究自然的手段，以减少纳什均衡的无效率。最有希望的是，我们表明，通过固定的$k$球员的策略，无政府状态的价格可以降低到$n/k$（这个界限是紧的）。
2015-04-28 cs.GT
The Computational Complexity of Team Zero-Sum Games
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；Strategy Robot, Inc.（策略机器人有限公司）；Strategic Machine, Inc.（战略机器有限公司）；Optimized Markets, Inc.（优化市场有限公司）
本文证明团队零和博弈中计算纳什均衡是PPAD完全的，即使团队仅含两名玩家且博弈为多矩阵形式，从而否定了全多项式时间近似方案的存在性。
2026-06-16 cs.CC cs.GT
The Complexity of Two-Team Polymatrix Games with Independent Adversaries
University of Oxford（牛津大学）；Oracle（甲骨文公司）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
研究两队多项式矩阵游戏在独立对手情况下的纳什均衡计算复杂性，证明其CLS难，并提出一种具有1/ε²时间复杂度的近似算法。
2026-04-10 cs.GT
Playing Coopetitive Polymatrix Games with Small Manipulation Cost
迭代合作竞争博弈捕捉到了这样一种情况，即一个人必须随着时间的推移在与其他代理人的合作和竞争之间进行有效的平衡，以便赢得博弈（例如，成为总效用最高的玩家）。当显式通信不可行时（例如，不允许谈判或讨价还价）。在本文中，我们研究如何代理可以实现这种平衡，赢得迭代合作竞争的多矩阵游戏，没有明确的沟通。特别是，我们考虑一个3人重复的游戏设置中，我们的代理被允许（轻微）操纵的基本游戏矩阵的其他代理，她支付的操纵成本，而其他代理满足弱的行为假设。首先，我们提出了一个支付矩阵的操作计划和序列的策略，我们的代理，可证明保证任何对手的效用将收敛到我们想要的值。然后，我们使用这个计划来设计获胜的政策，我们的代理。我们还证明了这些获胜的政策，可以发现在多项式运行时间。然后，我们转而证明我们的框架在几个具体的合作竞争的多矩阵游戏的效率，并证明，所需的操纵成本获胜是有界的小预算。例如，在社交距离游戏中，柠檬水摊合作竞争游戏的多矩阵版本，我们展示了每轮操作成本无限小的策略，以及可证明的保证，使用此策略可以使我们的代理长期获胜。请注意，我们的发现也可以简单地扩展到$n$ -玩家游戏设置（使用$n > 3$）。
2022-03-10 cs.GT cs.MA
Near-Optimal Last-iterate Convergence of Policy Optimization in Zero-sum Polymatrix Markov games
针对有限时域多人零和多矩阵 Markov 博弈，提出 ER-OMWU 单循环策略优化算法，以近最优的 $\ ilde{O}(1/ε)$ 最后迭代复杂度求得 $ε$-近似 Nash 均衡。
2023-08-16 cs.GT
Computing Nash Equilibria: Approximation and Smoothed Complexity
换句话说，除非PPAD在P中，否则没有时间多项式在n和1/ε中的算法可以计算出nbimatrix游戏n的ε-近似纳什均衡。为了证明，我们在具有恒定边长的高维立方体上引入了一个新的离散不动点问题，例如边长为7 n维立方体，证明了它们是PPAD完备的。此外，我们证明了，除非PPAD是在RP，Lemke-Howson算法或任何算法计算的纳什均衡的双矩阵游戏的平滑复杂性是多项式的n和1/σ下的扰动幅度为σ。我们的结果回答了一个主要的开放问题，在平滑分析的算法和近似的纳什均衡。
2006-02-22 cs.CC cs.GT
Differentially Private Equilibrium Finding in Polymatrix Games
研究在多项矩阵博弈中满足差分隐私约束的均衡查找问题，证明在玩家数量趋于无穷时，无法同时获得高精度均衡和低隐私预算，提出一种新的分布式算法以实现同时消失的纳什差距和隐私预算。
2026-03-18 cs.AI cs.CR cs.GT
Settling the Complexity of Computing Two-Player Nash Equilibria
解决了算法博弈论中一个长期存在的问题。本文证明了在两人博弈中寻找纳什均衡的双矩阵问题对于Papadimitriou于1991年引入的复杂性类PPAD多项式奇偶论证（Directed version）是完备的。这是关于纳什均衡复杂性的一系列结果中的第一个。特别是，我们证明了以下定理：Bimatrix没有一个完全多项式时间的近似计划，除非PPAD中的每个问题都是可解的多项式时间。经典的Lemke-Howson算法的平滑复杂度，事实上，Bimatrix的任何算法都不是多项式的，除非PPAD中的每个问题都可以在随机多项式时间内求解。我们的结果表明，即使在最简单的形式的非合作博弈，平衡计算和近似多项式时间等价于不动点计算。我们的研究结果也有两个广泛的复杂性的影响，在数理经济学和运筹学：阿罗-德布鲁市场均衡PPAD难以计算。P-矩阵线性互补问题在计算上比凸规划困难，除非PPAD中的每个问题都能在多项式时间内求解。
2007-04-12 cs.CC cs.GT
Finite-Sample Guarantees for Learning Dynamics in Zero-Sum Polymatrix Games
研究了零和多矩阵博弈在完全信息和最小信息设定下的最佳响应型学习动态，提出双时间尺度动态结合平滑最佳响应与TD-learning，并证明了在无额外探索下收敛至$ε$-Nash均衡的多项式时间有限样本保证。
2025-08-12 cs.GT math.OC stat.ML
The Computational Complexity of Variational Inequalities and Applications in Game Theory
本文提出了变分不等式近似问题的计算公式，证明了其PPAD完全性，并应用于弹性纳什均衡和多领导者-追随者博弈，填补了这些领域缺乏一般解的空白。
2024-11-07 cs.CC cs.GT
Guarantees for Self-Play in Multiplayer Games via Polymatrix Decomposability
University of Alberta（阿尔伯塔大学）；Amii（阿尔伯塔机器智能研究所）
本文研究多人博弈中自我博弈的性能保证问题，提出在满足常和多矩阵可分解性和子博弈稳定性条件的博弈中，无外部遗憾自我博弈算法可产生有界脆弱性策略，并通过Leduc扑克实验验证。
2023-11-29 cs.AI cs.GT cs.LG
Generalized Individual Q-learning for Polymatrix Games with Partial Observations
本文提出广义个体Q学习，融合信念与收益学习，在部分观测多矩阵博弈中实现更快收敛到分位数响应均衡，并统一了光滑虚拟博弈与个体Q学习。
2024-09-04 cs.GT cs.SY eess.SY
Zero-sum Polymatrix Markov Games: Equilibrium Collapse and Efficient Computation of Nash Equilibria
本文针对零和多人矩阵马尔可夫博弈，通过证明粗相关均衡坍缩为纳什均衡，实现了ε-近似纳什均衡的高效计算。
2023-05-29 cs.GT cs.MA cs.SI
A Direct Reduction from k-Player to 2-Player Approximate Nash Equilibrium
我们提出了一个直接减少从k-玩家游戏2-玩家游戏，保持近似纳什均衡。以前，计算近似纳什均衡在k-玩家和2-玩家游戏的计算等价建立通过间接减少。这包括一系列的作品定义的复杂性类PPAD，确定完整的问题，这类，显示计算近似纳什均衡的k-玩家游戏是在PPAD，并减少PPAD-完整的问题，计算近似纳什均衡的2-玩家游戏。我们的直接归约不使用PPAD的概念，从而消除了在遵循已知的间接归约时所涉及的一些困难。
2010-07-22 cs.GT
Multiplicative weights, equalizers, and P=PPAD
通过乘法权重和对称化方法，证明对称双矩阵博弈要么有内部对称均衡要么有弱支配纯策略，进而推出P=PPAD。
2025-04-22 cs.CC cs.GT cs.LG
Aggregate Fictitious Play for Learning in Anonymous Polymatrix Games (Extended Version)
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文提出聚合虚拟博弈（agg-FP），通过跟踪其他智能体各动作的数量频率来缩小匿名多矩阵博弈中的联合动作空间，在保持与经典FP相同收敛条件的同时加速收敛到纳什均衡。
2025-08-26 cs.GT cs.LG cs.MA
Tight Inapproximability for Graphical Games
我们提供了一个完整的表征的计算复杂性找到近似平衡两个动作的图形游戏。我们考虑两个最好的近似概念：$\varepsilon$ -纳什均衡（$\varepsilon$ -NE）和$\varepsilon$ -良好支持的纳什均衡（$\varepsilon$ -WSNE），其中$\varepsilon \in [0,1]$。我们证明了计算$\varepsilon$ -NE是PPAD-完全的任何常数$\varepsilon < 1/2$，而一个非常简单的算法（即，让所有的球员之间的两个行动均匀混合）产生一个$1/2$ -NE。另一方面，我们表明，计算$\varepsilon$是PPAD-完全的任何常数$\varepsilon < 1$，而一个$1$ -WSNE是平凡的实现，因为任何战略配置文件是一个$1$ -WSNE。我们所有的下限也立即适用于每个玩家有两个以上动作的图形游戏。
2022-09-30 cs.CC cs.GT
Complexity and Parametric Computation of Equilibria in Atomic Splittable Congestion Games via Weighted Block Laplacians
我们表明，计算与玩家特定的仿射成本函数$l_{e,i}(x) = a_{e,i} x + b_{e,i}$的原子可分割的拥塞游戏的平衡是$\mathsf{PPAD}$ -完成。为了证明这个问题包含在$\mathsf{PPAD}$，我们开发了一个同伦方法，跟踪不同的流量需求的球员的平衡。该方法的一个关键技术是用一个新的块拉普拉斯矩阵来描述平衡点的局部演化。使用此矩阵的属性产生的路径以下的配方计算的平衡状态对应于支持，是可行的一些需求。进一步研究块拉普拉斯系统，可以确定产生独特的前趋和后继状态的状态，从而将问题转化为$\mathsf{PPAD}$。对于$\mathsf{PPAD}$ -硬度，我们减少从计算一个双矩阵的输赢游戏的近似均衡。作为我们的减少的副产品，我们进一步表明，计算多类Wardrop均衡类依赖仿射成本函数是$\mathsf{PPAD}$，以及完全。作为我们的$\mathsf{PPAD}$ -完备性证明的另一个副产品，我们得到了一个算法，计算一个连续的均衡参数化的球员的流量需求。对于玩家特定的成本，该算法在多项式空间中运行。对于玩家独立成本的游戏，我们得到了一个算法计算所有的平衡作为一个函数的流量需求，运行在时间多项式的输出。
2020-01-17 cs.GT
Time Complexity Analysis of an Evolutionary Algorithm for approximating Nash Equilibriums
[arXiv：2010.13024]中概述的框架提供了用于计算范式博弈的纳什均衡的近似算法。由于NASH是一个著名的PPAD完全问题，该框架有潜在的应用到其他$PPAD$问题。这个框架的正确性已经在4个研究得很好的2x2游戏上得到了经验验证：囚徒困境，猎鹿，战斗和鸡。在本文中，我们提供了这些方法的渐近时间复杂性，特别是，验证了2x2游戏的最坏情况下的复杂性是线性的代理可以选择的行动的数量。
2021-10-26 cs.CC cs.GT
The Computational Complexity of Multi-player Concave Games and Kakutani Fixed Points
本文提出了Kakutani不动点定理的一般计算公式并证明其PPAD完全性，据此表征了凹博弈寻找均衡及一般凸效用下Walrasian均衡的计算复杂度。
2023-05-25 cs.CC cs.GT math.GN
The Complexity of Computing Nash Equilibria in Colonel Blotto Games
National and Kapodistrian University of Athens（雅典国立卡波蒂斯坦大学）；Archimedes, Athena Research Center（阿基米德雅典研究中心）；National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）
本文研究离散Colonel Blotto博弈中纳什均衡的计算复杂性，证明多种设置下近似均衡计算为PPAD难，同时识别出常数秩社会收益等可处理情形，并揭示平局打破规则对复杂性的关键影响。
2026-10-06 cs.CC cs.GT
Hamiltonian of polymatrix zero-sum games
AI Lab, CyberAgent, Shibuya, Tokyo 150-0002, Japan（CyberAgent 东京实验室）；RCIES, Soken University, Hayama, Kanagawa 240-0193, Japan（Soken大学RCIES）
本文提出通过哈密顿动态建模多项矩阵零和博弈，揭示其内在对称性和守恒量，并引入耗散FTRL动态以收敛至纳什均衡。
2025-12-12 cs.GT cs.LG cs.MA
The Complexity of Infinite-Horizon General-Sum Stochastic Games
研究了n人无限时间广义和随机对策中稳态纳什均衡（NE）的计算复杂性。我们专注于计算NE在这样的随机游戏时，每个球员被限制为选择一个固定的政策和奖励打折的问题。首先，我们证明计算这样的NE是在PPAD（除了显然是PPAD硬）。第二，我们考虑这种游戏的回合制专业化，在每个状态下，最多只有一个玩家可以采取行动，并表明这些（非常简单的）游戏仍然是PPAD困难的。第三，我们表明，根据进一步的结构假设的回报计算NE在这种回合制游戏是可能的多项式时间。为了实现这些结果，我们建立了更广泛的效用随机游戏的结构事实，包括单调性的单状态单动作的变化和减少设置，每个玩家控制一个单一的状态下的效用。
2022-11-29 cs.CC cs.DS cs.GT
Reducibility Among Fractional Stability Problems
在本文中，我们解决了计算复杂性的一些突出的开放问题与实际应用。以下是我们证明为PPAD完备的问题列表，以及具有实际意义的领域：分数稳定路径问题（FSPP）[21] -互联网路由;平衡博弈的核心[41] -经济学和博弈论; Scarf引理[41] -组合学;超图匹配[1]-社会选择和偏好系统;分数有界预算连接游戏（FBBC）[30] -社交网络;和强分数核[2]-图论。事实上，我们表明，没有完全多项式时间近似方案存在（除非PPAD是在FP）。本文完全是一系列的减少，建立在非平凡的方式在以前的工作中建立的框架。在推导这些简化的过程中，我们创造了两个新的概念-偏好博弈和个性化均衡。整个新的约简集可以表示为一个格子，上面的问题夹在偏好博弈（在“容易”端）和个性化均衡（在“困难”端）之间。我们的完整性结果扩展到自然的近似版本的大多数这些问题。在一个技术说明，我们希望强调我们的新的“连续到离散”减少从精确的个性化平衡到近似个性化的平衡使用线性规划增加了一个特定形式的指数数量的“最小”约束。除了提高我们的剧目PPAD完全的问题，我们希望本文中的概念和技术，找到未来的使用在算法博弈论。
2009-04-08 cs.CC cs.GT
The Complexity of Multiplayer Colonel Blotto Games with Player-Specific Values
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本研究探讨多人Colonel Blotto博弈中玩家特定价值下的均衡计算复杂性，证明在均匀平局打破下计算近似纳什均衡为PPAD-hard，而在特定条件下可多项式求解，并扩展至非均匀平局打破的复杂性结果。
2026-09-25 cs.CC cs.GT econ.TH
Tight Inapproximability of Nash Equilibria in Public Goods Games
针对有向图上不可分割公共物品博弈，本文将混合 Nash 均衡的 PPAD 困难性推广到任意非平凡 ε-良支撑近似，得到更紧的不可近似性结论。
2024-02-22 cs.CC cs.GT
Can Almost Everybody be Almost Happy? PCP for PPAD and the Inapproximability of Nash
该研究提出PPAD存在类PCP完全问题的猜想，证明若该问题需指数时间求解，可解决领域内多个开放问题，包括验证双人纳什均衡n^O(log n)近似方案的最优性，证明两类近似均衡问题为PPAD完全。
2025-09-05 cs.CC cs.GT
The complexity of computing a (quasi-)perfect equilibrium for an n-player extensive form game of perfect recall
研究了有限n人完全回忆扩展型博弈（EFGPR）的纳什均衡的计算或近似精化的复杂性，其中n >= 3。我们的结果适用于一些研究完善，包括顺序（SE），扩展形式完美（PE），和准完美平衡（QPE）。这些改进了纳什均衡和子博弈完美均衡。其中，最精细的概念是PE和QPE。根据经典的结果，所有这些平衡点都存在于任何EFGPR中。我们表明，对于所有这些概念的平衡，近似一个给定的EFGPR的平衡，在给定的期望精度，是FIXP_a-完全的。我们还考虑了相应的“几乎”均衡概念的复杂性，并表明它们是PPAD完备的。特别地，我们定义了“delta几乎完全（准）完美”均衡，并证明了计算一个是PPAD完全的。我们表明，这些概念细化“三角洲几乎子博弈完美均衡”EFGPR，这是PPAD完成。因此，对于n个参与者EFGPR（n >= 3），近似一个这样的（delta-几乎）均衡是P-时间等价于近似具有3个或更多参与者的范式博弈（NFG）的（delta-几乎）NE。NFG可被平凡地编码为EFGPR，而不会在大小上爆炸。因此，我们的研究结果扩展了著名的复杂性结果NFG的平衡在更一般的设置EFGPR的改进。对于2人EFGPR，类似的复杂度结果来自Koller，Megiddo和von Stengel（1996），von Stengel，van den Elzen和Talman（2002）以及Miltersen和Soere…
2014-12-03 cs.CC cs.GT
Smoothed Complexity of 2-player Nash Equilibria
我们证明，计算纳什均衡的两个球员（$n \times n$）的游戏与支付在$[-1,1]$是PPAD硬（随机减少下），即使在平滑的分析设置，平滑与噪声的大小不变。这对Spielman和Teng [ST 06]以及Cheng，Deng和Teng [CDT 09]的解释给出了强烈的否定回答。与先前的工作证明PPAD硬度平滑后的大小$1/\operatorname{poly}(n)$ [CDT09]，我们的平滑复杂性的结果是不证明通过硬度近似纳什均衡。这是必要的，因为纳什均衡可以近似为准多项式时间中的常数误差[LMM 03]。因此，我们的研究结果单独的平滑的复杂性和硬度的近似纳什均衡在两个玩家的游戏。我们减少的关键因素是使用随机零和游戏作为一个小工具，以产生两个玩家的游戏，即使在平滑后仍然很难。我们的分析至关重要地表明，所有的纳什均衡的随机零和游戏是远离纯（高概率），这仍然是真实的，即使平滑。
2020-07-21 cs.CC cs.GT
Settling the complexity of computing approximate two-player Nash equilibria
我们证明了存在一个常数$ε>0$，使得在PPAD的指数时间假设下，计算两个玩家（nXn）博弈中的$ε$ -近似纳什均衡需要准多项式时间，$n^{\log^{1-o(1)} n}$。这与Lipton、Markakis和Mehta [LMM 03]的算法相匹配（直到o（1）项）。我们的证明依赖于各种技术的概率可检查的证据（PCP）的研究，这是第一次，这样的想法被用于减少PPAD内的问题。在途中，我们还证明了新的硬度结果计算纳什均衡在游戏中有许多球员。特别是，我们表明，计算一个$ε$近似纳什均衡在游戏中的n个球员需要$2^{Ω(n)}$甲骨文查询的支付张量。这解决了Hart和Nisan [HN 13]、Babichenko [Bab 14]和Chen等人[CCT 15]提出的一个未决问题。事实上，我们对n人博弈的结果更强：它们与Babichenko等人最近引入的$(ε,δ)$ -WeakNash松弛相关。[BPR 16]。
2016-08-29 cs.CC cs.GT
Computational Complexity of Computing a Quasi-Proper Equilibrium
我们研究了一个给定的有限扩展形式的完美回忆博弈的计算或近似一个拟真均衡的计算复杂性。我们表明，计算一个象征性的拟适当的平衡的任务是$\mathrm{PPAD}$ -完成两个球员的游戏。对于零和对策的情形，我们得到了一个基于线性规划的多项式时间算法。对于一般的$n$ -玩家博弈，我们证明了计算一个拟真均衡的近似是$\mathrm{FIXP}_a$ -完全的。
2021-07-09 cs.CC cs.GT
Inapproximability of Nash Equilibrium
我们证明，找到一个$ε$近似纳什均衡是PPAD-完全常数$ε$和一个特别简单的游戏类：polymartrix，度3图形游戏，其中每个玩家只有两个动作。作为推论，我们还证明了两人不完全信息博弈中的贝叶斯纳什均衡、两人博弈中的相对$ε$ -良好支持纳什均衡、非单调市场中的市场均衡、Chen，Deng，and Teng [CDT'09]定义的广义电路问题的不可逼近性结果，和近似的竞争均衡，从平等的收入与不可分割的商品。
2016-09-13 cs.GT
The Complexity of Symmetric Equilibria in Min-Max Optimization and Team Zero-Sum Games
本文研究极小极大优化与团队零和博弈中均衡计算的复杂性，证明对抗性团队博弈中ε-纳什均衡为CLS完全，对称均衡为PPAD完全，并排除对称动力学收敛到驻点的可能性。
2025-10-17 cs.CC cs.GT
The Complexity of Computing Coarse Correlated Equilibria in Markov Games with a Single Controller
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；Archimedes, Athena Research Center（阿基米德，雅典研究中心）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；National and Kapodistrian University of Athens（雅典国家与卡波迪斯特里阿斯大学）
研究两人单控制器随机博弈中计算近似平稳马尔可夫粗相关均衡的复杂性，证明其为PPAD - 完全，不依赖均衡坍缩或类似纳什结构，通过构造单控制器小装置，在不同精度要求下得出难性结论。
2026-07-14 cs.GT
Geometric Structure and Polynomial-time Algorithm of Game Equilibria
本文将动态博弈均衡问题分解为策略与值函数两个子问题，结合内点法和动态规划提出 FPTAS，并引入均衡丛几何对象，证明 PPAD=FP 且在 2000 个随机博弈中全部收敛。
2025-02-05 cs.GT cs.MA
Sample-based Approximation of Nash in Large Many-Player Games via Gradient Descent
纳什均衡是博弈论的核心概念。有几个纳什解算器存在，但没有规模的正常形式的游戏，许多行动和许多球员，特别是那些支付张量太大，无法存储在内存中。在这项工作中，我们提出了一种方法，迭代地提高一个近似的纳什均衡，通过联合播放。它通过跟踪先前建立的同伦来实现这一点，该同伦定义了一个连续的均衡，用于用熵的衰减水平正则化游戏。这个连续体渐近地接近极限logit均衡，由McKelvey和Palfrey（1995）证明在几乎所有的博弈中是唯一的，从而部分地规避了众所周知的多人博弈的均衡选择问题。为了鼓励迭代保持在这条路径附近，我们通过随机梯度下降有效地最小化平均偏差激励，根据需要智能地对收益张量中的条目进行采样。由于目标中出现了非线性最大算子，联合游戏的随机梯度的Monte Carlo估计是有偏差的，因此我们对算法进行了额外的创新以减轻梯度偏差。下降过程也可以被看作是重复地构造和反应博弈的多矩阵近似。在这些方面，我们提出的方法，平均偏差自适应采样（ADIDAS）的激励下降，是最相似的三个经典的方法，即同伦型，李雅普诺夫，迭代多矩阵求解器。缺乏局部收敛保证有偏梯度下降防止保证收敛到纳什，但是，我们通过大量的实验证明了这种方法的能力，以近似一个独特的纳什在正常形式的游戏多达7个球员和21个行动（几十亿的结果）是数量级大于那些可能与以前的算法。
2022-02-04 cs.GT
The Complexity of Proper Equilibrium in Extensive-Form and Polytope Games
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Strategy Robot, Inc.（策略机器人公司）；Strategic Machine, Inc.（战略机器公司）；Optimized Markets, Inc.（优化市场公司）
本文研究了扩展型游戏和多面体游戏中适当均衡的计算复杂性，证明了其在不同游戏类型中的不同难度，揭示了均衡改进计算的复杂性不依赖于纳什均衡。
2026-02-10 cs.GT
Combining local search techniques and path following for bimatrix games
计算纳什均衡（NE）是计算机科学的中心任务。一个NE是一个特别合适的解决方案的概念，两个代理设置，因为联盟偏差不是一个问题。然而，即使在这种情况下，找到NE也是PPAD完成的。在本文中，我们结合路径跟踪算法与局部搜索技术，设计新的算法，寻找精确和近似的NE。我们表明，我们的算法在很大程度上优于最先进的水平，几乎所有已知的基准游戏类都很容易解决或近似（除了GAMUT CovariantGameRand类）。
2012-10-16 cs.GT
Finding Equilibrium in Multi-Agent Games with Payoff Uncertainty
研究了在不完全支付信息下多主体博弈中的均衡策略问题，其中支付矩阵只为参与者所知，直到某些有界不确定集。在这样的博弈中，事后均衡的特点是均衡策略对收益的不确定性具有鲁棒性。当游戏是一次性的，我们表明，在零和多矩阵游戏，事后平衡可以有效地使用线性规划计算。我们进一步扩展的概念，事后均衡随机游戏，在一个序列的阶段和过渡动态的游戏是反复播放由马尔可夫决策过程（MDP）。给出了系统存在事后马尔可夫完美均衡的充分条件。我们证明了在有界支付不确定性下，任何两人零和随机博弈的值都可以用动态规划计算到一个紧值区间。
2020-07-10 cs.DS cs.GT cs.MA
On Last-Iterate Convergence Beyond Zero-Sum Games
大多数关于学习动态的\emph{last-iterate convergence}的现有结果仅限于两个玩家的零和游戏，并且仅适用于关于玩家遵循什么动态的严格假设。在本文中，我们提供了新的结果和技术，适用于更广泛的家庭的游戏和学习动态。首先，我们使用基于后悔的分析表明，在一类游戏，包括常和多矩阵和战略零和游戏，动态，如\emph{optimistic mirror descent (OMD)}有\emph{bounded second-order path lengths}，一个属性，即使玩家采用不同的算法和预测机制。这使我们能够获得$O(1/\sqrt{T})$率和最佳的$O(1)$后悔界限。我们的分析还揭示了一个令人惊讶的性质：OMD要么达到任意接近纳什均衡，或者它在效率上优于\emph{robust price of anarchy}。此外，对于潜在的游戏，我们建立了收敛到$ε$ -均衡后，$O(1/ε^2)$迭代镜像下降下的一个广泛的一类正则化，以及最佳的$O(1)$遗憾界的OMD变种。我们的框架还扩展到近潜在的游戏，并统一了已知的分析，分布式学习在费舍尔的市场模型。最后，我们分析了\emph{optimistic gradient descent (OGD)}在一般和连续博弈中的收敛性、效率和鲁棒性。
2022-03-22 cs.GT
Reducing the complexity of computing the values of a Nash equilibrium
针对Colonel Blotto等两人零和博弈纳什均衡计算复杂度高的问题，提出无需计算双方策略即可得到纳什均衡值的低复杂度算法，并从理论上证明其优于LP求解器和随机概率分配方法。
2025-07-30 cs.CC cs.GT
Normal-Form Correlation in Markov Games
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Strategy Robot, Inc.（Strategy Robot公司）；Strategic Machine, Inc.（Strategic Machine公司）；Optimized Markets, Inc.（Optimized Markets公司）
本文针对有限时域马尔可夫博弈，提出首个计算正规型关联均衡的高效算法，通过逆向归纳和常数期望关联均衡实现，并证明在多人或高精度情形下为PPAD完备。
2026-10-05 cs.CC cs.DS cs.GT
Bilinear Games: Polynomial Time Algorithms for Rank Based Subclasses
受Koller等人（GEB'96）序列形式公式的启发，本文定义了{ \em双线性对策}，并给出了其基于秩的子类的有效算法.双线性对策是两个局中人非合作的单次博弈，具有紧致的多面体策略集和两个支付矩阵（A，B），使得当（x，y）是所玩的策略简档时，局中人的支付分别为xAy和xBy。我们表明，双线性游戏是非常普遍的，并捕获许多有趣的游戏类，如双矩阵游戏，两个球员贝叶斯游戏，多矩阵游戏，两个球员的广泛形式的游戏与完美的回忆等特殊情况下，因此很难解决一般。（对称）双线性对策的（对称）纳什均衡的存在性直接由已知结果得出.对于一个给定的双线性对策，我们定义了它的{ \em最佳反应多面体}（BRP），并将纳什均衡集刻画为BRP中的{ \em全标记}对.我们考虑一个基于秩的双线性对策的层次，其中对策（A，B）的秩被定义为秩（A+B）。本文给出了一类特殊的双线性对策的纳什均衡的多项式时间算法：（i）秩1对策（即，rank（A+B）=1）。(ii)常秩博弈的FPTAS（即，rank（A+B）是常数。(iii)当rank（A）或rank（B）为常数时。这改进了Lipton等人（EC'03）和Kannan等人（ET'09）对于低秩矩阵双矩阵博弈的结果。
2011-09-28 cs.GT
Algorithmic Collusion and the Complexity of Information-Value-Free Equilibria
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Yale University（耶鲁大学）
本文研究信息价值无关均衡的计算复杂性，证明IVFCE在简洁博弈中为PPAD完全且无高效学习动态，而IVFCCE的近似计算虽可FPTAS但指数小近似下至少与P矩阵LCP一样难。
2026-09-22 cs.CC cs.DS cs.GT
From Average-Iterate to Last-Iterate Convergence in Games: A Reduction and Its Applications
Yale University（耶鲁大学）；University of Southern California（南加州大学）；University of Virginia（弗吉尼亚大学）
本文提出一种黑盒归约方法，将无耦合学习动态的平均迭代转化为新动态的最终迭代，从而把最终迭代收敛归约为平均迭代收敛，并应用于乐观乘性权重更新算法，在多人零和多矩阵博弈中取得更优的最终迭代收敛速率。
2025-11-07 cs.GT cs.LG math.OC
The Complexity of Correlated Equilibria in Generalized Games
本文针对广义博弈中是否存在寻找任意相关均衡的高效算法这一开放问题，证明该问题是PPAD完全的，给出了否定答案，明确了广义博弈中相关均衡计算的复杂度下界。
2025-10-22 cs.GT
