The chromatic profile of locally colourable graphs
本文研究局部 $b$-分图及团公共邻域可着色图的色度剖面，确定其色度阈值，并给出保证局部 $b$-分图为 $(b+1)$-可着色的最小度条件。
2023-08-21 math.CO
On equitably 2-colourable odd cycle decompositions
本文研究奇长度ℓ下完全图Kv的可公平2着色ℓ-环分解的存在性，证明了当v模2ℓ余1或ℓ时，满足每环两色顶点数各为⌊ℓ/2⌋或⌈ℓ/2⌉的分解存在。
2024-02-01 math.CO
Acyclic List Colouring Locally Planar Graphs
该研究聚焦局部平面图的无环列表着色问题，证明局部平面图是无环9-列表可着色的，填补了此前该类图无环列表着色无固定色数上界的研究空白。
2024-12-12 math.CO
Characterization of regular checkerboard colourable twisted duals of ribbon graphs
胞腔嵌入图的几何对偶是图论中的一个基本概念，也出现在许多数学分支中。部分对偶是一个基本的推广，它可以通过只对胞腔嵌入图的一个边子集形成几何对偶而得到。扭曲对偶是结合部分Petrial的进一步推广。给定一个带状图$G$，本文首先利用生成拟树及其相关的短标记箭头序列集刻画了带状图$G$的正则部分图.然后利用生成树和伴随集的概念刻画了任意欧拉带图的棋盘列部分图。最后给出了带图的所有正则棋盘列扭图的一个完整刻画，解决了Ellis-Monaghan和Moffatt [T. Am.数学会，364（3）（2012），1529-1569]。
2020-02-23 math.CO
Finite Three-Colourable (0,2)-Graphs Are Bipartite
研究Payan提出的有限(0,2)-图色数能否为三的问题，通过证明每个有限三色(0,2)-图是二分图，得出不存在色数恰好为三的有限(0,2)-图的结论。
2026-07-14 math.CO
Polarity and Monopolarity of $3$-colourable comparability graphs
我们锐化的结果，极性和单极性是NP-完全问题，表明他们保持NP-完全的，如果输入图被限制为一个$3$ -列相似图。首先，我们提出了一个建设减少$1$ - $3$ -SAT的$3$ -列的可比性图的单极性。然后，我们表明，极性至少是硬的输入图限制到一个固定的不相交的工会封闭类的单极性。最后，我们指出，极性和单极性的$3$ -列可比图是NP-完全问题的文件。
2016-04-05 cs.CC math.CO
Reconfiguration Graph for Vertex Colourings of Weakly Chordal Graphs
图$G$的$k$ -着色的重构图$R_k(G)$包含作为其顶点集的$G$的$k$ -着色，并且如果两个着色在$G$的仅一个顶点上颜色不同，则通过边连接它们。我们证明了对于每个$k \geq 3$，存在一个$k$ -列弱弦图$G$使得$R_{k+1}(G)$是不连通的.我们还引入了$k$ -列弱弦图的一个子类，我们称之为$k$ -列紧图，并证明了对于每个$k$ -列紧图$G$在$n$的顶点上，$R_{k+1}(G)$都有直径$O(n^2)$ .我们证明了这类图包含所有的$k$ -collaboration co-chordal图，当$k = 3$时，包含所有的$3$ -collaboration $(P_5, \overline{P_5}, C_5)$ -free图。我们还提到了一些开放的问题。
2019-06-02 cs.DM math.CO
Uniquely $D$-colourable digraphs with large girth II: simplification via generalization
证明了对任意有向图$D$和任意正整数$k$，$\ell$，存在围长至少为$\ell$的有向图$D^*$和满射无圈同态$ψ\colon D^*\to D$使得：（i）对任意阶至多为$k$的有向图$C$，存在无圈同态$D^*\to C$当且仅当存在无圈同态$D\to C$ ;（ii）对每一个阶至多为$k$的$D$指向有向图$C$和每一个无圈同态$φ\colon D^*\to C$，存在唯一的无圈同态$f\colon D\to C$使得$φ=f\circψ$ .这包含了[A. Harutyunyan等人，独特的$D$ -具有大围长的列有向图，加拿大数学杂志，64（6）（2012），1310-1328; MR 2994666]类似地，如何工作[J. Nešetziil和X.朱，关于给定着色和同态的稀疏图，J. Combin。Theory Ser. B，90（1）（2004），161-172; MR 2041324]概括和扩展了[X. Zhu，Uniquely $H$ -colorable graphs with large girth，J. Graph Theory，23（1）（1996），33-41; MR1402136].
2021-02-28 math.CO
Improper Colourings inspired by Hadwiger's Conjecture
Hadwiger猜想断言每个$K_t$ -minor自由图都有一个适当的$(t-1)$ -着色。我们通过不适当的着色放宽了Hadwiger猜想中的结论。本文证明了任何无$K_t$ -minor图都是$(2t-2)$ -可列图，其单色分支的阶至多为$\lceil{\frac12(t-2)}\rceil$ .这个结果没有更多的颜色和更小的单色分量比所有以前的结果在这个方向上。证明了每个$K_t$ -minor free图都是单色度至多为$t-2$的$(t-1)$ -列图.这是最好的已知度界这样的结果。这两个定理都是基于独立兴趣的分解方法。我们给类似的结果$K_{s,t}$ -小自由图，从而导致这些类的广义着色数的改进的界限。最后，我们证明了不含$K_t$ -浸入的图是具有有界单色度的$2$ -可浸入图.
2018-02-22 math.CO
A Note on Graphs of Dichromatic Number 2
Neumann-Lara和Škrekovski证明了每个平面有向图都是$2$ -列图。我们证明了这一猜想等价于更一般的声明，即所有定向的$K_5$ -minor-free图是$2$ -color-free图。
2019-06-30 math.CO
Multi-Colouring of Kneser Graphs: Notes on Stahl's Conjecture
本文研究图的多着色参数间蕴含关系，将其转化为 Kneser 图多着色问题，围绕 Stahl 1976 年猜想给出新结果、强化已有结论并简化若干已知情形的证明。
2025-01-09 math.CO
O-cycles, vertex-oriented graphs, and the four colour theore
1880年，P.G. Tait证明了四色定理等价于每个没有割边的3-正则可平面图都是3-边列的断言，1891年J. Petersen证明了每个至多有两个割边的3-正则图都有1-因子。本文引入了3-正则可平面图的1-因子的所有边折叠的概念，从而得到了我们称之为面向点的4-正则可平面图。我们还引入了点定向4-正则可平面图的o-着色的概念，并证明了四色定理等价于所有没有非横截定向割点的点定向4-正则可平面图（简称VOGWOC）都是3-o-着色的断言。这项工作提出了另一种调查途径，以寻找四色定理的更概念化的证明，我们能够证明每个VOGWOC都是o-colorability（尽管我们还没有能够证明3-o-colorability）。
2009-09-17 math.CO
On triangle-free graphs of order 10 with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在接受相同颜色的顶点上导出的任何子图的最大度至多为k。图的k-亏色数是使图是（m，k）-亏色的最小正整数m。所有顶点数不超过8的无三角形图都是（2，1）-列图。恰好有四个9阶无三角形图的1-亏损色数为3。我们发现，这四个图出现在几乎所有的10阶无三角形图的1-亏损色数等于3的子图。实际上存在唯一的10个顶点上的无三角形的（3，1）-临界图，并给出了这个图.
2015-01-19 math.CO
Minimum non-chromatic-$λ$-choosable graphs
对于正整数的多集合$λ=\{k_1,k_2, \ldots, k_q\}$，令$k_λ = \sum_{i=1}^q k_i$。$G$的$λ$ -列表分配是$G$的列表分配$L$，使得颜色集$\bigcup_{v \in V(G)}L(v)$可以被划分为$q$集的不相交并集$C_1 \cup C_2 \cup \ldots \cup C_q$，使得对于$G$的每个$i$和每个顶点$v$，$|L(v) \cap C_i| \ge k_i$。如果$G$对于$G$的任何$λ$ -列表分配$L$都是$L$ -列，则我们说$G$是$λ$ -可选的. $λ$ -可选择性的概念将$k$ -可着色性和$k$ -可选择性置于同一框架中：如果是$λ= \{k\}$，则$λ$ -可选择性等同于$k$ -可选择性;如果$λ$由$1$的$k $拷贝组成，则$λ$ -可选择性等同于$k $ -可着色性。如果$G$是$λ$可选择的，则$G$是$k_λ$ -列可选择的。另一方面，如果$λ$包含一个大于$1$的整数，则存在不可$λ$选择的$k_λ$-列图.设$ϕ(λ)$是$k_λ$ -列非$λ$ -可选图的最小顶点数.本文确定了所有$λ$的$ϕ(λ)$值。
2022-08-03 math.CO
The chromatic profile of locally bipartite graphs
本文研究局部二部图的色轮廓，证明最小度超过4/7·n时必为3可着色且该界紧，超过6/11·n时必为4可着色。
2023-08-21 math.CO
Reconfiguration of vertex colouring and forbidden induced subgraphs
本文研究受禁用导出子图限制的k-可着色图在(k+1)-着色重构图中的连通性与直径，刻画了单个禁用导出子图情形下连通性的充要条件，并给出了两类双禁用导出子图图类的连通性结果。
2023-03-06 math.CO
Hardness of linearly ordered 4-colouring of 3-colourable 3-uniform hypergraphs
该研究证明，区分3-一致超图是否LO 3-可着色与LO 4-不可着色是NP完全的，通过代数、拓扑和组合方法扩展了近似图着色的拓扑途径。
2023-12-20 cs.CC math.AT math.CO
Hardness of 4-Colourings G-Colourable Graphs
本文在G和H均为4-可着色图的条件下，证实了Brakensiek和Guruswami关于承诺图同态问题NP难度的猜想，统一推广了此前两项结果，方法上结合了代数、拓扑组合学与等变阻碍理论。
2025-04-10 cs.CC math.AT math.CO
On minimal triangle-free planar graphs with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在所有接受相同颜色的顶点的集合上导出的子图的最大度至多为k。k-亏色数$χ_k(G)$是使图G是（m，k）-列的最小正整数$m$.设f（m，k;tfp）是满足$χ_k(G)$ =m的无三角形可平面图的最小阶.本文证明了f（3，1;tfp）=11。
2015-01-19 math.CO
Colourability and word-representability of near-triangulations
一个图$G = (V,E)$是词可表示的，如果在字母表$V$上有一个词$w$，使得$x$和$y$在$w$中交替，当且仅当边$(x, y)$在$G$中。已知[6]所有的$3$ -列图都是词可表示的，而在那些具有较高色数的图中，有些是词可表示的，而另一些则不是。最近有一些关于polyomino三角剖分的词表示性的研究。Akrobotu等人[1]证明了凸polyomino的三角剖分是词可表示的当且仅当它是$3$ -列可表示的; Glen和Kitaev[5]将这个结果扩展到允许单个多米诺骨牌瓦片的矩形polyomino三角剖分的情况。[4]中表明，当且仅当近三角测量内部均匀时，它才是$3$ -可着色的。本文对这一事实给出了一个更简洁的证明，并且证明了拟三角剖分实际上是文[1]和[5]中所研究的多角三角剖分的推广，从而推广了这两篇文章的结果，解决了文[5]中的所有公开问题。
2018-09-28 math.CO
2-colouring shift-chains
本文证明所有一致性至少为4的移位链均可正常2-着色，通过线性时间算法实现，强有力地回答了Pálvölgyi于2010年提出的问题。
2026-09-28 math.CO
A refinement of choosability of graphs
假设$k$是一个正整数，$λ=\{k_1, k_2, \ldots, k_q\}$是$k$的一个划分，$G$是一个图。$G$的$λ$ -列表分配是$G$的$k$ -列表分配$L$，使得颜色集$\cup_{v\in V(G)}L(v)$可以被划分成$q$子集$C_1 \cup C_2 \ldots \cup C_q$，并且对于$G$的每个顶点$v$，$|L(v) \cap C_i| \ge k_i$。如果对于$G$的每个$λ$ -列表分配$L$，$G$是$L$-列，则我们说$G$是$λ$-可选的.从定义中可以看出，如果$λ=\{k\}$，则$λ$ -choosable与$k$ -choosable相同，如果$λ=\{1,1,\ldots, 1\}$，则$λ$ -choosable等效于$k$ -colorable。对于$k$夹在$\{k\}$和$\{1,1,\ldots, 1\}$之间的其他分区的细化，$λ$ -choosability揭示了一个复杂的层次结构的着色图。证明了对于$k$的两个划分$λ, λ'$，每个$λ$ -可选图都是$λ'$ -可选的当且仅当$λ'$是$λ$的加细.然后，我们集中在$λ$ -选择平面图的分区$λ$的$4$。给出了广义符号平面图的几个着色定理，并探讨了这些定理与平面图的列表着色定理之间的关系。特别地，本文证明了Kündgen和Ramamurthi关于平…
2019-08-06 math.CO
Local Weak Degeneracy of Planar Graphs
本文证明了Postle和Smith-Roberge关于平面图对应着色的猜想，主定理在弱退化设定下成立，并共同加强了平面图弱4-退化及围长至少为5的平面图弱2-退化两个已知结果。
2025-04-30 math.CO
A Note on Hadwiger's Conjecture
Hadwiger猜想指出，每个无$K_{t+1}$ -子图都是$t$ -列图.它被广泛认为是图论中最重要的理论之一。如果每个无$K_{t+1}$ -minor图的最小度至多为$δ$，则每个无$K_{t+1}$ -minor图都是用最小度贪婪算法求出的$(δ+1)$ -列.本文的目的是证明一个稍微好一点的上界。
2013-04-24 math.CO
Truncated degree DP-colourability of $K_{2,4}$-minor free graphs
本文证明了除圈和完全图外的2-连通$K_{2,4}$-minor free graphs具有$5$-truncated degree DP-colourability，肯定回答了Hutchinson的猜想，并将结论推广至更大图族且加强了着色条件。
2025-03-06 math.CO
Partial list colouring of certain graphs
设$G$是$n$顶点上的图，并且设$\mathcal{L}_k$是任意函数，该函数为$G$中的每个顶点分配$k$颜色的列表。则$G$是$\mathcal{L}_k$ -列表列，如果存在$G$的顶点的适当着色，使得每个顶点用来自其自身列表的颜色着色。如果对于每个这样的函数$\mathcal{L}_k$，$G$都是$\mathcal{L}_k$列表列，则我们说$G$是$k$可选择的.使得$G$是$k$可选择的最小$k$被称为$G$的列表色数并且由$χ_L(G)$表示。设$χ_L(G) = s$和$t$为小于$s$的正整数。由Albertson等人在\cite{albertson2000partial}中提出的部分列表着色猜想指出，对于每个将$G$的顶点映射到$t$大小的列表的$\mathcal{L}_t$，总是存在大小至少为$\frac{tn}{s}$的$G$的导出子图，即$\mathcal{L}_t$ -列表列。在本文中，我们证明了部分列表着色猜想适用于某些类别的图，如无爪图，图与大色数，chordless图，和系列平行图。在本文的第二部分中，我们提出了一个问题，它是部分列表着色猜想的一个变种：$G$是否总是包含一个大小至少为$\frac{tn}{s}$的导出子图是$t$ -可选的？我们表明，这个问题的答案并不总是“是”明确构建一个无限家庭的$3$ -choosable图的最大诱导$…
2014-03-11 math.CO
Clustered Colouring in Minor-Closed Classes
一类图的“簇色数“是最小整数$k$，使得对于某个整数$c$，该类中的每个图都是$k$ -簇，其单色分量的大小至多为$c$ .我们证明了对每一个图$H$，无$H$ -小图类的簇色数与$H$的树深度有关.特别地，如果$H$与树深度$t$相连，则每个$H$ -无次图都是$(2^{t+1}-4)$ -列，其单色分量的大小至多为$c(H)$。这为Ossona de Mendez，Oum and Wood（2016）关于$H$ -minor-free图的亏色猜想提供了第一个证据。如果是$t=3$，那么我们证明4种颜色就足够了，这是最好的可能。我们还确定了那些次闭图类的聚类色数2。最后，我们提出了一个关于任意次闭类的聚色数的猜想。
2018-07-29 math.CO
An alternating colouring function on strings
本文定义了二元字母表字符串上的交替着色函数，划分可着色与不可着色字符串，推导了不可着色字符串数量公式及对应de Bruijn图的源点、汇点数量。
2024-11-01 math.CO math.DS
Clustered 3-Colouring Graphs of Bounded Degree
本文研究有界度图的聚类三染色问题，证明最大度为Δ的平面图可3染色且聚类数为O(Δ²)，推广至有界亏格曲面图，并证明排除固定子式的图聚类数为O(Δ⁵)，均显著改进此前指数或高阶界。
2021-03-17 math.CO
Colourings with Bounded Monochromatic Components in Graphs of Given Circumference
证明了周长至多为$k$的图是$O(\log k)$ -列图，使得每个单色分支的大小至多为$O(k)$ .即使在具有有界单色度的着色设置中，颜色数量上的$O(\log k)$界也是最佳可能的。
2017-01-17 math.CO
Chromatic discrepancy of locally $s$-colourable graphs
本文研究图的色不变量，证明无三角形图下界为$\chi(G)-2$，提出局部$s$-可着色图的猜想$\phi(G)\ge\chi(G)-s$，并在特定条件下证明，同时给出无$C_{\ell+1}$图的改进下界。
2025-08-05 cs.DM math.CO
Colouring graphs from random lists
本文研究随机列表着色，证明最大度为 $\Delta$ 的图在 $m$ 满足相应条件时渐近几乎必然 $(k,m)$-可着色，并分析 $H$-free 图的阈值，证实并改进 Casselgren 的相关结论。
2024-04-09 math.CO
Mixing colourings in $2K_2$-free graphs
图$G$的$k$ -着色的重构图，记为$R_{k}(G)$，是其顶点是$G$的$k$ -着色的图，并且如果两个着色在恰好一个顶点上颜色不同，则两个着色通过边连接。对于任何$k$ -连通图$P_4$ -free图$G$，Bonamy和Bousquet证明了$R_{k+1}(G)$是连通的.在这篇短文中，我们通过构造一个允许冻结$8$-着色的$7$ -色$2K_2$ -free（因此也是$P_5$ -free）图，完成了对不含固定路的$k$ -着色图$G$的$R_{k+1}(G)$连通性的分类.这就解决了第二作者的一个问题。
2021-08-02 cs.DM math.CO
Recolouring weakly chordal graphs and the complement of triangle-free graphs
对于图$G$，$k$ -着色图$\mathcal{R}_k(G)$是其顶点是$G$的$k$ -着色的图，并且如果两个着色在一个顶点上的颜色不同，则两个着色由一条边连接.证明了对所有的$n \ge 1$，存在一个$k$ -列弱弦图$G$，其中$\mathcal{R}_{k+n}(G)$是不连通的，回答了Feghali和Fiala的一个公开问题.我们还证明了对每个$k$ -列$3K_1$ -free图$G$，$\mathcal{R}_{k+1}(G)$至多与直径$4|V(G)|$连通.
2021-07-04 cs.DM math.CO
A note on two conjectures that strengthen the four colour theorem
关于可平面图着色的两个定理是四色定理的加强。一个是关于符号图着色的，由Máčajová、Raspaud和Škoviera提出。它断言每个带符号可平面图都是$4$ -列图。另一个问题是列表着色，由Kündgen和Ramamurthi提出，它断言如果$L$是可平面图$G$的$2$ -列表分配，则存在$G$的$L$ -着色，使得每个颜色类诱导二部图。本文证明了第一个猜想蕴涵第二个猜想。
2017-11-08 math.CO
Total Colourings of Direct Product Graphs
一个图是k-全色图，如果有k个不同的颜色分配给图的顶点和边，使得没有两个相邻的或关联的元素接收相同的颜色。确定了某些直积图的色数。特别地，给出了二部图的直积的全色数等于其最大度加1的充分条件。本文还建立了关于完全图的直积的色数的部分结果。
2019-07-02 math.CO
Star Colouring of Bounded Degree Graphs and Regular Graphs
本文研究了有界度图与正则图的星着色问题，给出了 $d$-正则图星色数的下界，构造了达到该下界的偶数度正则 Hamiltonian 图，并证明了 $k$-STAR COLOURABILITY 问题在特定二部图上的 NP 完全性与 ETH 难解性。
2023-09-08 math.CO
A density bound for triangle-free $4$-critical graphs
证明了所有无三角形的$4$ -临界图$G$都满足$e(G) \geq \frac{5v(G)+2}{3}$ .这一结果给出了无三角形可平面图是$3$ -列图，围长至少为5的嵌入射影平面、环面或Klein Bottle中的图是$3$ -列图的统一证明，这些结果是Grötzsch，Schlassen，Thomas和Walls的结果.我们的结果几乎是最好的，因为Davies已经构造了无三角形的$4$ -临界图$G$，使得$e(G) = \frac{5v(G) + 4}{3}$。为了证明这一结果，我们证明了一个更一般的结果特征稀疏$4$ -临界图与几个顶点不相交的三角形。
2022-06-30 math.CO
Star colouring and locally constrained graph homomorphisms
本文将偶数度正则图的星着色刻画为到完全图有向线图及其底层无向图的局部约束同态，推广了3-正则图线图4-星着色的经典结果，并给出特征值必要条件与平面4-正则3-连通图的NP-完全性。
2025-05-07 cs.DM math.CO
Clustered colouring of graph classes with bounded treedepth or pathwidth
一类图的“簇色数“是最小整数$k$，使得对于某个整数$c$，该类中的每个图都是$k$ -簇，其单色分量的大小至多为$c$ .本文确定了树深有界的次闭类的聚类色数，并证明了路宽有界的次闭类的聚类色数的一个最佳可能上界。由此，我们确定了每个次闭类的分数簇色数。
2022-01-20 math.CO
A note on interval colourings of graphs
本文研究图的区间着色厚度，证明了n顶点图的最大区间着色厚度介于Ω(log n/log log n)与n^{5/6+o(1)}之间，并据此回答了一个公开问题、否定了一个猜想，同时证实了平面图区间着色至多用3n/2-2种颜色的猜想。
2023-05-17 math.CO
Defective and Clustered Colouring of Graphs with Given Girth
本文研究给定围长图在特定minor-闭类中的缺陷染色与聚类染色问题，确定或建立其色数界，发现无三角形且树宽为$k$的图类的三种色数相等，结果可推广至树深为$k$及无$K_p$子图的图类。
2025-11-13 math.CO
List colouring triangle free planar graphs
研究证明，无三角形平面图在独立集顶点给3种列表颜色、其余顶点给4种列表颜色时，总可进行列表着色。
2024-03-03 math.CO
Proof of the Clustered Hadwiger Conjecture
University of Ottawa（渥太华大学）；Laboratoire G-SCOP (CNRS, Univ. Grenoble Alpes)（G-SCOP实验室（法国国家科学研究中心，格勒诺布尔阿尔卑斯大学））；Carleton University（卡尔顿大学）；Monash University（莫纳什大学）
本文证明了聚类Hadwiger猜想：对固定h，每个K_h-minor-free图可用h-1种颜色染色且单色分量有界，并推广到K_{s,t}情形，解决两个开放问题。
2026-09-17 cs.DM math.CO
Block colourings of star systems
一个$e$ -星系统的顺序$n$是一个分解的完全图$K_n$到副本的完全二分图$K_{1,e}$（或$e$ -星）。已知当且仅当$n\geq 2e$和$e$整除$\binom{n}{2}$时，这样的系统才存在。我们考虑这种系统的块着色，其中每个$e$ -星被分配一种颜色，两个$e$ -星共享一个顶点接收不同的颜色。本文用计算机分析了$3$ -星小系统的块着色.此外，我们证明：（i）对于$n\equiv 0,1$ mod $2e$，存在一个$n$或$(n-1)$ -块列$e$-$n$阶的星形系统;（ii）当$e=3$时，相同的结果在其余的同余类mod $6$中成立。
2023-03-06 math.CO
Full homomorphisms to graph classes
School of Computing Science, Simon Fraser University（西蒙菲莎大学计算科学学院）；Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学理学院）
该研究围绕极小禁用诱导子图，探究图到阈值图、森林等知名图族的满同态问题，补充了单个蜈蚣图情形的相关研究。
2026-08-14 math.CO
Nonrepetitive graph colouring
一个图$G$的顶点着色是“非重复的”，如果$G$不包含任何一条前半部分被赋予与后半部分相同的颜色序列的路.图厄的著名定理说，每条路径都是不重复的3列。本文综述了图的非重复着色的一些结果。其目标是给出一个统一的和全面的介绍的主要结果和证明方法，以及突出许多开放的问题。
2020-09-04 cs.DM math.CO
3-Colouring Planar Graphs
University of Ottawa（渥太华大学）；Carleton University（卡尔顿大学）；McGill University（麦吉尔大学）；Monash University（莫纳什大学）
研究n顶点平面图的3着色问题，核心方法是证明其单色分量大小为O(n^(4/9))，主要贡献是改进了之前最好界限O(n^(1/2)) 。
2026-07-20 cs.DM math.CO
A spanning bandwidth theorem in random graphs
带宽定理[Mathematische Annalen，343（1）：175- 205，2009]指出，任何具有最小度$(\frac{k-1}{k}+o(1))n$的$n$ -顶点图$G$包含所有具有有界最大度和带宽$o(n)$的$n$ -顶点$k$ -列图$H$.在文献[arXiv：1612.00661]中证明了这个命题的一个随机图的类似物：对于$p\gg (\frac{\log n}{n})^{1/Δ}$ a.a.s.具有最小度$(\frac{k-1}{k}+o(1))pn$的$G(n,p)$的每个生成子图$G$包含具有最大度$Δ$、带宽$o(n)$和至少$C p^{-2}$不包含在任何三角形中的顶点的所有$n$ -顶点$k$ -列图$H$。对三角形中顶点的这种限制是必要的，但也是有限的。在本文中，我们考虑如何避免它。我们的主要结果的一个特殊情况是，在相同的条件下，如果另外$G$中的所有顶点邻域包含$K_Δ$的许多副本，那么我们可以放弃对$H$的限制，即$Cp^{-2}$顶点不应该在三角形中。
2019-11-06 math.CO
Thresholds for colouring the random Borsuk graph
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Bernoulli Institute, Groningen University（格罗宁根大学伯努利研究所）；Université de Paris（巴黎大学）
研究随机Borsuk图的着色阈值，证明对于不同k值，色数转变的临界条件与平均度的关系
2026-03-07 math.CO math.PR
Dominating $K_t$-Models
本文研究支配 $K_t$-模型，证明无支配 $K_t$-模型的图是 $2^{t-2}$-可染色的，并给出最大平均度上界 $2^{t-2}$ 与随机图下界，同时为强化哈德维格猜想提供证据。
2024-05-23 math.CO
A reduction of the "cycles plus $K_4$'s" problem
本文把“圈加$K_4$”问题归约为一个特定的3-可染性问题，其中三角形以有限方式粘合到三角形和长度至多12的路径上，从而推进强染色猜想的研究。
2024-06-25 math.CO
The Bandwidth Theorem in Sparse Graphs
带宽定理[Mathematische Annalen，343（1）：175- 205，2009]指出，任何具有最小度$\big(\tfrac{k-1}{k}+o(1)\big)n$的$n$ -顶点图$G$包含所有具有有界最大度和带宽$o(n)$的$n$ -顶点$k$ -列图$H$.我们在随机图和伪随机图中提供了这一陈述的稀疏类似物。更准确地说，我们证明了，对于$p\gg \big(\tfrac{\log n}{n}\big)^{1/Δ}$渐近几乎必然每个生成子图$G$的$G(n,p)$与最低程度$\big(\tfrac{k-1}{k}+o(1)\big)pn$包含所有$n$ -顶点$k$ -列图$H$与最大程度$Δ$，带宽$o(n)$，至少$C p^{-2}$顶点不包含在任何三角形。一个类似的结果充分bijumbled图，这是据我们所知，是第一个弹性的结果，在伪随机图的一个丰富的类的生成子图。最后，我们提供了改进的结果$H$与小退化，这特别意味着一个弹性的结果在$G(n,p)$相对于$p\gg \big(\tfrac{\log n}{n}\big)^{1/3}$的有界度树的包容性。
2020-05-11 math.CO
Girth and $λ$-choosability of graphs
假设$ k $是一个正整数，$ λ=\{k_1,k_2,...,k_q\} $是$ k $的一个划分，$ G $是一个图。$ G $的$λ$ -分配是$ G $的$ k $ -分配$ L $，使得颜色集$ \bigcup_{v\in V(G)} L(v) $可以被划分成$ q $子集$ C_1\cup C_2\cup\cdots\cup C_q $，并且对于$ G $的每个顶点$ v $，$ |L(v)\cap C_i|=k_i $。如果对于$ G $的每个$λ$ -赋值$ L $，$ G $是$ L $-列，则我们说$ G $是$λ$-可选的.特别地，如果$ λ=\{k\} $，则$λ$ -choosable与$ k $ -choosable相同，如果$ λ=\{1, 1,...,1\} $，则$λ$ -choosable等效于$ k $ -colorable.对于$ k $夹在$ \{k\} $和$ \{1, 1,...,1\} $之间的其他分区的细化，$λ$ -choosability揭示了一个复杂的层次结构的着色图。假设$λ=\{k_1, \ldots, k_q\} $是$ k $的一个分区，$λ' $是$ k'\ge k $的一个分区。如果$k'$有一个分区$λ''=\{k''_1, \ldots, k''_q\}$，其中$k''_i \ge k_i$为$i=1,2,\l…
2021-09-02 math.CO
