2-着色移位链
2-colouring shift-chains
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中文总结 AI 辅助
本文证明所有一致性至少为4的移位链均可正常2-着色，通过线性时间算法实现，强有力地回答了Pálvölgyi于2010年提出的问题。
中文摘要 AI 辅助
移位链是一个在顶点集 $[n]$ 上的 $r$-一致超图 $\mathcal{H}$，满足性质：对于任意两条边 $\{ e_1, \ldots, e_r \}$ 和 $\{ f_1, \ldots, f_r \}$，其中 $e_1 < \cdots < e_r$ 且 $f_1 < \cdots < f_r$，要么对所有 $i \in [r]$ 有 $e_i \le f_i$，要么对所有 $i \in [r]$ 有 $f_i \le e_i$。已知所有移位链都可以用三种颜色进行正常顶点着色（即不存在单色边），且对于 $r \in \{ 2, 3 \}$ 这是最优的。Pálvölgyi 在 2010 年提出一个问题：是否所有足够大一致性的移位链都可以正常 2-着色。我们以强形式回答此问题，证明事实上所有一致性至少为 4 的移位链都可以正常 2-着色。该着色通过一个具有线性运行时间的自然算法获得。
英文摘要
A shift-chain is an $ r $-uniform hypergraph $ \mathcal{H} $ on vertex set $ [n] $ with the property that, for any two edges $ \{ e_1, \ldots, e_r \} $ and $ \{ f_1, \ldots, f_r \} $ with $ e_1 < \cdots < e_r $ and $ f_1 < \cdots < f_r $, either $ e_i \le f_i $ for all $ i \in [r] $ or $ f_i \le e_i $ for all $ i \in [r] $. It is known that all shift-chains are properly vertex-colourable with three colours (that is, such that no edge is monochromatic), which is optimal for $ r \in \{ 2, 3 \} $. It was asked by Pálvölgyi in 2010 whether all shift-chains of sufficiently large uniformity are properly $ 2 $-colourable. We answer this question in a strong form, proving that in fact all shift-chains of uniformity at least $ 4 $ are properly $ 2 $-colourable. The colouring is obtained via a natural algorithm with linear running time.
