On minimal triangle-free planar graphs with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在所有接受相同颜色的顶点的集合上导出的子图的最大度至多为k。k-亏色数$χ_k(G)$是使图G是（m，k）-列的最小正整数$m$.设f（m，k;tfp）是满足$χ_k(G)$ =m的无三角形可平面图的最小阶.本文证明了f（3，1;tfp）=11。
2015-01-19 math.CO
The Alon-Tarsi number of subgraphs of a planar graph
本文构造了一个可平面图$G_1$，使得对于$G_1$的任意子图$H$具有最大度$Δ(H) \le 3$，$G_1-E(H)$不是$3$ -可选的;构造了一个可平面图$G_2$，使得对于$G_2$中的任意星森林$F$，$G_2-E(F)$包含$K_4$的一个拷贝，因此$G_2-E(F)$不是$3$ -可选的.另一方面，我们证明了每个可平面图$G$都包含一个森林$F$，使得$G - E(F)$的Alon-Tarsi数至多为$3$，从而$G - E(F)$是3-可画和3-可选的.
2019-06-04 math.CO
Partial list colouring of certain graphs
设$G$是$n$顶点上的图，并且设$\mathcal{L}_k$是任意函数，该函数为$G$中的每个顶点分配$k$颜色的列表。则$G$是$\mathcal{L}_k$ -列表列，如果存在$G$的顶点的适当着色，使得每个顶点用来自其自身列表的颜色着色。如果对于每个这样的函数$\mathcal{L}_k$，$G$都是$\mathcal{L}_k$列表列，则我们说$G$是$k$可选择的.使得$G$是$k$可选择的最小$k$被称为$G$的列表色数并且由$χ_L(G)$表示。设$χ_L(G) = s$和$t$为小于$s$的正整数。由Albertson等人在\cite{albertson2000partial}中提出的部分列表着色猜想指出，对于每个将$G$的顶点映射到$t$大小的列表的$\mathcal{L}_t$，总是存在大小至少为$\frac{tn}{s}$的$G$的导出子图，即$\mathcal{L}_t$ -列表列。在本文中，我们证明了部分列表着色猜想适用于某些类别的图，如无爪图，图与大色数，chordless图，和系列平行图。在本文的第二部分中，我们提出了一个问题，它是部分列表着色猜想的一个变种：$G$是否总是包含一个大小至少为$\frac{tn}{s}$的导出子图是$t$ -可选的？我们表明，这个问题的答案并不总是“是”明确构建一个无限家庭的$3$ -choosable图的最大诱导$…
2014-03-11 math.CO
Vizing's and Shannon's Theorems for defective edge colouring
我们称一个重图$(k,d)$ -边列如果它的边集可以划分成最大度至多为$d$的$k$子图，并将最小$k$表示为$χ'_{d}(G)$，使得$G$是$(k,d)$ -边列.证明了对任意整数$d$，任意具有最大度$Δ$的重图$G$，若$d$为偶数，则为$(\lceil \fracΔ{d} \rceil, d)$ -边列，若$d$为奇数，则为$(\lceil \frac{3Δ- 1}{3d - 1} \rceil, d)$ -边列，且这些界是紧的.证明了对每个简单图$G$，$χ'_{d}(G) \in \{ \lceil \fracΔ{d} \rceil, \lceil \frac{Δ+1}{d} \rceil \}$，并给出了$d$和$Δ$的值的特征，使得计算$χ'_d(G)$是NP-完全的.这些结果推广了Shannon，Vizing，Holyer，Leven和Galil关于图的色指数的几个经典结果.
2022-02-03 cs.DM math.CO
Full homomorphisms to graph classes
School of Computing Science, Simon Fraser University（西蒙菲莎大学计算科学学院）；Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学理学院）
该研究围绕极小禁用诱导子图，探究图到阈值图、森林等知名图族的满同态问题，补充了单个蜈蚣图情形的相关研究。
2026-08-14 math.CO
The Bandwidth Theorem in Sparse Graphs
带宽定理[Mathematische Annalen，343（1）：175- 205，2009]指出，任何具有最小度$\big(\tfrac{k-1}{k}+o(1)\big)n$的$n$ -顶点图$G$包含所有具有有界最大度和带宽$o(n)$的$n$ -顶点$k$ -列图$H$.我们在随机图和伪随机图中提供了这一陈述的稀疏类似物。更准确地说，我们证明了，对于$p\gg \big(\tfrac{\log n}{n}\big)^{1/Δ}$渐近几乎必然每个生成子图$G$的$G(n,p)$与最低程度$\big(\tfrac{k-1}{k}+o(1)\big)pn$包含所有$n$ -顶点$k$ -列图$H$与最大程度$Δ$，带宽$o(n)$，至少$C p^{-2}$顶点不包含在任何三角形。一个类似的结果充分bijumbled图，这是据我们所知，是第一个弹性的结果，在伪随机图的一个丰富的类的生成子图。最后，我们提供了改进的结果$H$与小退化，这特别意味着一个弹性的结果在$G(n,p)$相对于$p\gg \big(\tfrac{\log n}{n}\big)^{1/3}$的有界度树的包容性。
2020-05-11 math.CO
Induced subgraph density. VI. Bounded VC-dimension
本文证实了关于有界VC维图的Fox-Pach-Suk猜想，证明此类图存在多项式大小的团或稳定集，并推广到锦标赛和超图，解决了多个相关猜想。
2025-09-10 math.CO
Clustered 3-Colouring Graphs of Bounded Degree
本文研究有界度图的聚类三染色问题，证明最大度为Δ的平面图可3染色且聚类数为O(Δ²)，推广至有界亏格曲面图，并证明排除固定子式的图聚类数为O(Δ⁵)，均显著改进此前指数或高阶界。
2021-03-17 math.CO
Dominating $K_t$-Models
本文研究支配 $K_t$-模型，证明无支配 $K_t$-模型的图是 $2^{t-2}$-可染色的，并给出最大平均度上界 $2^{t-2}$ 与随机图下界，同时为强化哈德维格猜想提供证据。
2024-05-23 math.CO
Random Perfect Graphs
研究了从点集$\{1,\ldots,n\}$上的完美图中均匀抽样的随机完美图$P_n$的渐近结构。我们的方法是基于Prömel和Steger的结果，几乎所有的完美图是广义分裂图，以及一种方法来产生这样的图几乎一致。我们证明了稳定数$α(P_n)$和团数$ω(P_n)$的最大值的分布接近于一个集中分布$L(n)$，这在我们的生成方法中起着重要的作用。我们还证明了$P_n$包含任意给定图$H$作为导出子图的概率是渐近的$0$或$\frac12$或$1$ .进一步我们证明了几乎所有的完美图都是$2$ -连通-可列图，改进了Bacsó等人在2004年的一个结果;它们几乎都是Hamilton图;它们几乎都具有与它们的最小度相等的连通度$κ(P_n)$;它们几乎都属于第一类图（使用$Δ$颜色的边缘颜色，其中$Δ$是最大程度）;并且一系列独立均匀抽样的大小递增的完美图几乎必然收敛到图子$W_P(x, y) = \frac12(\mathbb{1}[x \le 1/2] + \mathbb{1}[y \le 1/2])$。
2017-09-05 math.CO
Odd Chromatic Number of Graph Classes
一个图称为奇（分别，偶），如果每个顶点都有奇（分别，偶）度。Gallai证明了每个图都可以划分为两个偶诱导子图，或者划分为一个奇诱导子图和一个偶诱导子图。我们把划分成奇子图称为G的奇染色。Scott [Graphs and Combinatorics，2001]证明了一个图允许奇数着色当且仅当它有偶数个顶点。我们说一个图G是k-奇列图，如果它能被划分成至多k个奇导出子图。本文首次系统地研究了图类的奇染色和奇色数。特别地，我们考虑了一些类是否有界奇色数。我们的主要结果是：区间图、有界模宽图和有界最大度图都有界奇色数。
2023-03-06 cs.DM math.CO
Chromatic discrepancy of locally $s$-colourable graphs
本文研究图的色不变量，证明无三角形图下界为$\chi(G)-2$，提出局部$s$-可着色图的猜想$\phi(G)\ge\chi(G)-s$，并在特定条件下证明，同时给出无$C_{\ell+1}$图的改进下界。
2025-08-05 cs.DM math.CO
Maximum chordal subgraphs of random graphs
本文研究二项随机图中最大弦子图的渐近规模，覆盖常数边概率和稀疏幂律边概率两种情形。
2024-04-07 math.CO
On Gyárfás' Path-Colour Problem
本文针对Gyárfás路径染色猜想，构造性地证明了色数与路径色数之差可任意大，并研究了禁止诱导子图情形下的色数上界，引入并刻画了路径完美图类。
2025-06-23 math.CO
Maximum planar subgraphs in dense graphs
Kühn，Osthus和Taraz证明了对每个γ>0，存在C使得任何最小度γn的n-顶点图包含一个至少有2n-C条边的平面子图.当γ<1/2且n足够大时，我们找到了C的最佳值。
2013-01-08 math.CO
Sharper Lower Bounds in the Maximum Degree and Diameter Bounded Subgraph Problem in the Mesh
最大度和直径有界子图问题（MaxDDBS）：给定一个主图G，最大度Δ的界和直径D，度以Δ为界和直径以D为界的主图的最大子图是什么？在本文中，我们研究这个问题时，主机图是k维网格。我们提供了满足MaxDDBS的网格的最大子图的大小的下界，对于所有k和Δ> 3，与已知的上界一致，直到前两项，并表明对于Δ= 3，下界至少与上界相同的增长阶。
2012-11-30 math.CO
Maximum sparse induced subgraphs of the binomial random graph with given number of edges
我们证明了a.a.s.二项随机图$G(n,p)$的导出子树的最大尺寸集中在2个连续点中。我们还证明了，给定一个非负整数值函数$t(k)<\varepsilon k^2$，在该函数的一定光滑性条件下，a.a.s.具有$G(n,p)$的$t(k)$边的诱导子图的最大尺寸$k$也集中在2个连续点上。
2019-10-20 math.CO
On the maximum number of connected induced subgraphs of a graph
我们将这些图的结构的一个给定的顺序，最大限度地提高了7个不同的图类，每个与其他规定的参数，如最小度，独立数，顶点覆盖数，顶点连通度，边连通度，色数，桥的数量，从而有助于填补文献中的空白连接诱导子图的数量。
2023-03-03 math.CO
Large induced subgraphs with $k$ vertices of maximum degree
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
该研究证实了Caro与Yuster的猜想，证明了满足特定顶点数和最大度条件的图中存在具有k个最大度顶点的大型诱导子图。
2026-09-03 math.CO
Defective and Clustered Colouring of Graphs with Given Girth
本文研究给定围长图在特定minor-闭类中的缺陷染色与聚类染色问题，确定或建立其色数界，发现无三角形且树宽为$k$的图类的三种色数相等，结果可推广至树深为$k$及无$K_p$子图的图类。
2025-11-13 math.CO
An induced subgraph of the Hamming graph with maximum degree 1
对于每一个图$G$，令$α(G)$表示它的独立数。具有$α(G)+1$顶点的$G$的诱导子图的最大度的最小值是多少？我们研究了一个字母表上的$n$ -维Hamming图的这个问题，该字母表的大小为$k$ .本文给出了一个构造，证明了对所有的$n$和$k$，用$k \geq 3$，答案都是$1$.这是对早期工作的改进，表明答案至多是$\lceil \sqrt{n} \, \rceil$。
2021-07-29 math.CO
Large induced subgraphs with $k$ vertices of almost maximum degree
本文证明了对于每一个整数$k$，存在常数$g_{1}(k)$和$g_{2}(k)$，使得下列成立.如果$G$是一个在$n$顶点上具有最大阶数$Δ$的图，则它包含一个至少在$n - g_{1}(k)\sqrtΔ$顶点上的导出子图$H$，使得$H$具有至少$Δ(H)-g_{2}(k)$的相同阶数的$k$顶点。这解决了Caro和Yuster的猜想，直到常数$g_{2}(k)$。
2017-05-24 math.CO
The maximum number of complete subgraphs of fixed size in a graph with given maximum degree
在本文中，我们取得了进展的一个问题有关的Galvin，最近引起了很大的关注。问题是在所有图中确定具有$n$顶点和$Δ(G)\leq r$的$G$，对于$t\geq 3$，$G$具有最完整的$t$大小的子图。所构造的极值图是$aK_{r+1}\cup K_b$，其中$n=a(r+1)+b$具有$0\leq b\leq r$。GAN，Loh和Sudakov在$a\leq 1$时证明了这个猜想，并且还将一般猜想还原为$t=3$的情形.证明了对$r\leq 6$的猜想，并建立了对所有$r$的猜想的一个较弱形式.
2014-05-06 math.CO
Decomposing multigraphs into two Class I subgraphs with prescribed maximum degrees
Dalian University of Technology（大连理工大学）
该研究针对边色数为Δ+k的有限无环多重图，证明其可分解为两个最大度分别为满足p+q=Δ+k且不超过Δ的正整数对的第一类生成子图。
2026-10-16 math.CO
Proof of the Clustered Hadwiger Conjecture
University of Ottawa（渥太华大学）；Laboratoire G-SCOP (CNRS, Univ. Grenoble Alpes)（G-SCOP实验室（法国国家科学研究中心，格勒诺布尔阿尔卑斯大学））；Carleton University（卡尔顿大学）；Monash University（莫纳什大学）
本文证明了聚类Hadwiger猜想：对固定h，每个K_h-minor-free图可用h-1种颜色染色且单色分量有界，并推广到K_{s,t}情形，解决两个开放问题。
2026-09-17 cs.DM math.CO
Catlin's conjecture and maximum eulerian subgraph
一个图$G=(V(G), E(G))$是超欧拉的，如果它有一个生成欧拉子图.设$\ell(G)$是超欧拉图$G$的生成欧拉子图的最大边数.在$1996$中，Catlin证明了如果$G$是超欧莱雅图，则$\ell(G)\ge \frac{2}{3}|E(G)|$。但在$2004$中，发现了无穷多个反例，证明了当$r\neq 5$时，这个猜想对$r$正则图成立。本文证明了Catlin猜想对没有$3$度顶点的图成立，对$5$正则图也成立。此外，如果$G$是一个没有度为$3$的顶点的图，则当$v_2(G)$是度为$2$的顶点数时，有$\ell(G)\ge \frac{2}{3}|E(G)|+ v_2(G)$。
2019-01-09 math.CO
$t$-cores for $(Δ+t)$-edge-colouring
将核（由最大度顶点导出的子图）的边染色概念推广到$t$ -核（由顶点$v$和$d(v)+μ(v)> Δ+t$导出的子图），并得到了$(Δ+t)$ -边染色的一个充分条件.特别是，我们表明，对于任何$t\geq 0$，如果$t$核心的$G$具有多重性在大多数$t+1$，其边缘的多重性$t+1$诱导多森林，然后$χ'(G) \leq Δ+t$。这扩展了Ore，Fournier，Berge和Fournier以前的工作。一个更强的版本，我们的结果（取代多森林条件的顶点排序条件）推广了一个定理的霍夫曼和罗杰的核心$Δ$ -边列简单图。事实上，我们的界限不仅适用于色指数，但\emph{fan number}的图，一个参数引入Scheide和Stiebitz作为上界的色指数。我们能够给出图$H$的一个精确的特征，使得当$G$以$H$为$t$ -核时，$\mathrm{Fan}(G) \leq Δ(G)+t$.
2018-07-31 math.CO
Star Colouring of Bounded Degree Graphs and Regular Graphs
本文研究了有界度图与正则图的星着色问题，给出了 $d$-正则图星色数的下界，构造了达到该下界的偶数度正则 Hamiltonian 图，并证明了 $k$-STAR COLOURABILITY 问题在特定二部图上的 NP 完全性与 ETH 难解性。
2023-09-08 math.CO
Tight Chromatic Number for a class of Graphs with two forbidden subgraphs
虽然一般来说图的色数是未知的，但人们一直在努力寻找这个数的好的界。本文证明了：对于最大度小于或等于2ω - 3的有两个禁止子图的图G，χ等于它的最大团大小.并举例说明该条件的必要性。
2016-05-10 math.CO
Vertex Partitions and Maximum $\G$-free Subgraphs
我们定义了一个$(V_1, V_2, \ldots, V_k)$ -划分为一个给定的图$H$和图形属性$P_1, P_2, \ldots, P_k$作为一个分区，其中每个$V_i$诱导一个子图的$H$与属性$P_i$。Matamala（2007）扩展了这个结果，证明了对于任何具有$Δ(H)=p+q$的图$H$，存在$V(H)$的$(V_1, V_2)$ -划分，其中$H[V_1]$是最大阶$(p-1)$ -退化诱导子图，$H[V_2]$是$(q-1)$ -退化。另外，Catlin和Lai证明了如果$Δ(H)\geq 5$，$H$有$(V_1, V_2)$ -划分使得$H[V_1]$是最大阶无圈导出子图，$ω(H[V_2])\leq Δ(H)-2$，和$Δ(H[V_2])\leq Δ(H)-2$ . Rowshan和Taherkhani证明了给定一个图$G$，其最小度为$δ(G)$，并且对于$k=\lceil \frac{Δ(H)}{δ(G)}\rceil$，存在$H$的顶点集的$(V_1, V_2, \ldots, V_k)$ -划分，使得每个$H[V_i]$是$G$ -free的，这意味着它不包含与$G$同构的子图，并且$H[V_1]$是最大阶$G$ -free的导出子图.在本文中，我们提出了一个新的结果，连接图$H$与$Δ(H)\geq 5$和没有$K_{Δ(H)+1}\set…
2023-09-03 math.CO
The maximum number of complete subgraphs in a graph with given maximum degree
涉及图的子结构计数的极值问题在图论中有着悠久的历史。例如，根据Kahn-Zhao定理，$d$ -正则图中$n$顶点上的独立集的个数至多为$(2^{d+1}-1)^{n/2d}$。Galvin将正则性约束放宽到最小度条件，证明了对于$n\geq 2d$，具有$δ(G)\geq d$的图中的独立集的数目至多是$K_{d,n-d}$中的独立集的数目。本文给出了$d$ -正则图中独立集个数的一个下界，它反映了Kahn-Zhao定理中的上界.本文的主要结果是Galvin猜想的一个加强形式的证明，也包括$n\leq 2d$的情形。我们发现从$\complement{G}$的角度来解决这个问题是很方便的。换句话说，我们给出了一个图$G$在$n$顶点上的完全子图个数的上界，该上界对$Δ(G)\leq r$和$n$都有效。
2013-06-07 math.CO
Colouring graphs from random lists
本文研究随机列表着色，证明最大度为 $\Delta$ 的图在 $m$ 满足相应条件时渐近几乎必然 $(k,m)$-可着色，并分析 $H$-free 图的阈值，证实并改进 Casselgren 的相关结论。
2024-04-09 math.CO
Maximum $\mathcal H$-free subgraphs
给定一个超图族$\mathcal H$，设$f(m,\mathcal H)$表示在每个有$m$边的超图中保证能找到的无$\mathcal H$子图的最大尺寸. 1969年，Erdós和Komlós在无工会家庭的背景下首次引入了这一功能，此后对其他各种特殊情况进行了广泛的研究。在试图发展这些问题的一般理论，我们考虑以下基本问题：超图族$\{\mathcal H_m\}$的哪些序列有界$f(m,\mathcal H_m)$为$m\to\infty$？各种界限$f(m,\mathcal H_m)$得到回答这个问题在某些情况下。获得序列$\{\mathcal H_m\}$的完整描述，其中$f(m,\mathcal H_m)$是有界的，这似乎是无望的。
2019-05-05 math.CO
Total Colourings of Direct Product Graphs
一个图是k-全色图，如果有k个不同的颜色分配给图的顶点和边，使得没有两个相邻的或关联的元素接收相同的颜色。确定了某些直积图的色数。特别地，给出了二部图的直积的全色数等于其最大度加1的充分条件。本文还建立了关于完全图的直积的色数的部分结果。
2019-07-02 math.CO
On the Minimum Possible Maximum Degree of Induced Subgraphs of Product Graphs
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
本文研究乘积图的诱导子图的最大度问题，确定了Hamming乘积和张量乘积中指定大小诱导子图的最小可能平均度，并证明张量乘积具有Huang类现象，且结果可推广至完全图。
2026-09-29 math.CO
Regular subgraphs of linear hypergraphs
证明了$n$顶点上不含2-正则子超图的3-一致线性超图的最大边数为$n^{1+o(1)}$。这解决了Dellamonica，Haxell，Luczak，Mubayi，Nagle，Person，Rödl，Schacht和Verstraëte的猜想。我们利用这个结果证明了在$n$顶点上的$3$ -一致超图中不含闭曲面浸入的最大边数是$n^{2+o(1)}$。此外，我们给出了不含$r$ -正则子超图的$k$ -一致线性超图的最大边数的结果。
2022-08-22 math.CO
Induced subgraphs with many repeated degrees
Erdwords，Fajtlowicz和Staton要求最小整数$f(k)$，使得每一个顶点数大于$f(k)$的图都有一个顶点数至少为$k$的导出正则子图.在这里，我们考虑以下放松的概念。设$g(k)$是使得每个顶点数大于$g(k)$的图都有一个至少有$k$重复度的诱导子图的最小整数，设$h(k)$是使得每个顶点数大于$h(k)$的图都有一个至少有$k$最大度的诱导子图的最小整数.当主图具有有界最大度时，我们得到了$h(k)$和$g(k)$的多项式下界和非平凡线性上界.
2018-11-17 math.CO
Non covered vertices in Fibonacci cubes by a maximum set of disjoint hypercubes
n维Fibonacci立方体，记作$Γ$ n，是n维立方体Q n的由没有连续1的顶点导出的子图。本文证明了$Γ$ n的渐近所有顶点都被同构于Qk的最大不交子图集覆盖，从而回答了[2]中提出的一个公开问题.
2016-10-18 math.CO
An Improved Algorithm for Finding Maximum Outerplanar Subgraphs
针对NP完全的最大外平面子图问题，提出一种新的近似算法，将此前最佳的2/3近似比提升至7/10。
2023-06-14 cs.DS math.CO
On even-cycle-free subgraphs of the doubled Johnson graphs
广义Turán数${\rm ex}(G,H)$是图$G.$的无$H$子图中的最大边数。它是经典Turán数${\rm ex}(n,H)$的重要推广。本文研究了超立方体图的二部子图--双Johnson图$J(n;k,k+1)$的无偶圈子图的最大边数。我们给出了${\rm ex}(J(n;k,k+1),C_{2r})$与任何固定$k\in\mathbb{Z}^+$和任何$n\in\mathbb{Z}^+$与$n\geq 2k+1.$的一个上界我们还给出了${\rm ex}(J(2k+1;k,k+1),C_{2r})$与任何$k\in\mathbb{Z}^+,$的一个上界其中$J(2k+1;k,k+1)$称为双奇图$\widetilde{O}_{k+1}.$这个界诱导出$\widetilde{O}_{k+1}$的任何无$C_{2r}$的子图中的边数对于$r\geq 6,$是$o(e(\widetilde{O}_{k+1}))$这也意味着一个Ramsey型结果.
2019-07-05 math.CO
A note on classes of subgraphs of locally finite graphs
我们调查的问题如何“小”的一个图可以，如果它包含所有成员的一个给定的类的局部有限图作为子图或诱导子图。更准确地说，我们给出了存在一个连通的，局部有限的图$H$包含所有元素的一个图类$\mathcal G$的充要条件。这些条件意味着，这样一个图$H$存在的类$\mathcal G_d$组成的所有图形的最大程度$<d$，这就提出了一个问题，在这种情况下，$H$可以选择有界的最大程度。我们表明，情况并非如此，从而回答了Huynh等人最近提出的一个问题。
2022-05-25 math.CO
Improved lower bounds for the maximum order of an induced acyclic subgraph
Santa Clara University（圣克拉拉大学）
本文改进了有向图最大诱导无环顶点集大小的下界，通过结合局部度数数据和反馈顶点集方差分析，提出更精确的下界方法。
2026-04-09 math.CO
Kempe changes in $H$-free graphs
本文证明H-无图是Kempe连通当且仅当H是四顶点路径P_4的诱导子图，并展示了2K_2-无图的Kempe类性质。
2025-11-30 math.CO
Maximum odd induced subgraph of a graph concerning its chromatic number
本文研究图的奇诱导子图最大阶数问题，证明 Scott 猜想对二部图不成立但对线图成立，并否定 Berman 等人的相关猜想。
2024-02-25 math.CO
On the sizes of large subgraphs of the binomial random graph
我们考虑二项随机图$G(n,p)$，其中$p$是一个常数，并回答以下两个问题。首先，给定$e(k)=p{k\choose 2}+O(k)$，最大$k$是多少，使得a.a.s.~二项随机图$G(n,p)$有一个导出子图，导出子图的顶点和边都是$k$，边是$e(k)$？我们证明，这个最大值是不集中在任何有限的集合（相反的情况下，一个小的$e(k)$）。此外，对于每个常数$C>0$和每个$ω_n\to\infty$，a.a.s.~浓度集的大小属于$(C\sqrt{n/\ln n},ω_n\sqrt{n/\ln n})$。第二，给定$k>\varepsilon n$，最大$μ$是多少，使得a.a.s.~ $G(n,p)$的$k$ -顶点子图的大小集包含长度为$μ$的全区间？答案是$μ=Θ\left(\sqrt{(n-k)n\ln{n\choose k}}\right)$。
2021-09-22 math.CO
Vertex partition of hypergraphs and maximum degenerate subhypergraphs
Matamala在2007年证明了如果$G$是一个简单图，其最大度$Δ\geq 3$不包含$K_{Δ+1}$作为子图，并且$s, t$是正整数使得$s+t \geq Δ$，然后$G$的顶点集允许一个划分$(S,T)$使得$G[S]$是最大阶$(s-1)$-$G$和$G[T]$的退化子图是$G$的$(t-1)$ -退化子图。这个结果推广了Borodin，Bollobás和Manvel，Catlin，Gerencsér和Catlin和Lai的早期结果。在本文中，我们证明了一个超图版本的结果，并将其扩展到变量退化和分区成两个以上的部分，从而扩展了结果Borodin，Kostochka和托夫特。
2018-07-06 math.CO
Odd Induced Subgraphs in Graphs of Maximum Degree Four
本文针对不含孤立顶点的图的奇诱导子图顶点数占比常数c的紧性问题，证明最大度不超过4的图类中c=2/7为紧界，为2/7是c的最大值提供了支撑。
2025-11-19 math.CO
On the maximum number of $r$-cliques in graphs free of complete $r$-partite subgraphs
本研究针对不含固定完全r部图的n顶点图中r团的最大数量问题，利用图移除引理将原有的Turán数上界从多项式阶改进为低阶多项式阶，并给出了若干下界构造，推进了极值图论中相关计数问题的研究。
2025-03-23 math.CO
On Induced Subgraphs of the Hamming Graph
关于灵敏度猜想的解决方案，Hao Huang（arXiv：1907.00847，2019）提出了以下问题：给定一个具有高对称性的图$G$，对于具有$α(G)+1$顶点的$G$的诱导子图的最小最大度，我们可以说什么，其中$α(G)$表示$G$中最大独立集的大小？我们研究了$H(n,k)$，$n$ -维汉明图的大小为$k$的字母表上的这个问题。推广了Chung等人（JCT-A，1988）的一个构造，证明了$H(n,k)$有一个导出子图，该导出子图的顶点数大于$α(H(n,k))$，且最大度至多为$\lceil\sqrt{n}\rceil$ . Chung等人对$k=2$（$n$维立方体）证明了这一陈述。
2020-11-05 math.CO
On the Tight Chromatic Bounds for a Class of Graphs without Three Induced Subgraphs
本文证明了一个没有三个诱导子图的图的色数至多等于它的最大团数加1。进一步我们证明了该界是紧的，并举例说明了这三个禁止子图中的每一个在假设中都是必要的。
2016-07-28 math.CO
On induced subgraphs of $H(n,3)$ with maximum degree $1$
The University of Chicago（芝加哥大学）
本文研究了 $H(n,3)$ 图中诱导子图的最大度为 1 的性质，得出了关于子图大小的上界及同构性结论，并探讨了特定条件下子图的最优结构。
2026-02-04 math.CO
Equating two maximum degrees
给定一个图$G$，我们希望找到（如果存在）最大的导出子图$H$，其中至少有$k$顶点实现$H$的最大度。这个问题首先由Caro和Yuster提出。例如，他们证明了，对于$n$顶点上的每个图$G$，我们可以保证，对于$k = 2$，通过删除最多$2\sqrt{n}$顶点，这样一个导出子图$H$，但问题是$2\sqrt{n}$是否是最佳可能的仍然是开放的。在本文所得到的结果中，我们证明了：1.对于$G$上的每一个$n \geq 4$顶点，我们最多可以删除$\lceil \frac{- 3 + \sqrt{ 8n- 15}}{2 } \rceil$顶点，得到一个至少有两个顶点实现$Δ(H)$的导出子图$H$，并且这个界是尖锐的，解决了Caro和Yuster未解决的问题. 2.对于每个最大度为$Δ\geq 1$的图$G$，我们最多可以删除$\lceil \frac{ -3 + \sqrt{8Δ+1}}{2 } \rceil$的顶点，得到一个至少有两个顶点实现$Δ(H)$的导出子图$H$，并且这个界是尖锐的. 3.每个具有$Δ(G) \leq 2$和至少$2k - 1$顶点（如果k是偶数，则分别是$2k - 2$顶点）的图$G$包含一个导出子图$H$，其中至少$k$顶点实现$Δ(H)$，并且这些界是尖锐的.
2017-04-27 math.CO
Cut vertex and unicyclic graphs with the maximum number of connected induced subgraphs
割顶点通常被用来衡量节点在网络中的重要性。它们是那些其故障断开图的节点。设N（G）是图$G$的连通诱导子图的个数.本文研究了N（G）的最大值问题，其中$G$是一个单圈图，其中$n$的结点中有$c$是割点.对于所有有效的$n,c$，我们给出了最大化N（.）单圈图发现一般存在两个极大单圈图。然而，对于$n,c$的无穷多个值，存在唯一的具有$n$节点和$c$割点的极大单圈图。特别地，树的连通诱导子图的数目与Wiener指数（距离之和）之间的众所周知的负相关性对于具有$n$节点和$c$割点的单圈图是失效的：例如，具有$n=3,4\mod 5$节点和$c=n-5>3$割点的最大单圈图不同于Tan等人所示的唯一图。[{ \em给定悬挂点或割点数的单圈图的Wiener指标}。应用数学计算杂志，55：1--24，2017]以最小化Wiener指数。我们关于连通诱导子图数的最大单圈图的主要特征也适用于具有$n$节点、$c$割点和围长至多为$g>3$的单圈图，因为我们证明了每个具有$n$节点和$c$割点的最大图的围长不能超过$4$。
2020-02-09 math.CO
Upper bounds on the size of 4- and 6-cycle-free subgraphs of the hypercube
本文对Razborov的旗代数机作了一些修改，使之适用于超立方体。我们用这种改进的方法证明了n维超立方体的无4圈子图的最大边数至多是它的边数的0.6068倍。我们还将n维超立方体的无6圈子图的边数的上界从2 - 1的平方根提高到0.3755倍。此外，我们还证明了如果n维超立方体是偏序集，则不含4-圈的诱导子图的三个中间层的最大顶点密度至多为2.15121乘以n选n/2.
2012-05-09 math.CO
