Shimpei Kobayashi, Nozomu Matsuura
We present a representation formula for discrete indefinite affine spheres via loop group factorizations. This formula is derived from the Birkhoff decomposition of loop groups associated with discrete indefinite affine spheres. In particular we show that a discrete indefinite improper affine sphere can be constructed from two discrete plane curves.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A representation formula for indefinite improper affine spheres
利用两个仿全纯函数构造了不定非正常仿射球面的一个新的表示公式，并研究了该表示公式中出现的奇异性。结果表明，尖形十字帽在不定广义仿射球面上不会出现奇点等，并与其它表示公式进行了比较。
The Cauchy problem for indefinite improper affine spheres and their Hessian equation
本文给出了不定非正常仿射球面的保角表示，从而解决了其Hessian方程的Cauchy问题。作为推论，我们可以刻画它们的测地线，并得到一个广义的对称原理。然后，对螺旋不定广义仿射球面进行了分类，并得到了一类新的具有完全非平坦仿射度量的球面。此外，我们提出了有趣的例子与奇异曲线和孤立奇点。
Discrete Affine Minimal Surfaces with Indefinite Metric
受不确定度量的光滑仿射极小曲面的Weierstrass表示的启发，我们提出了一个构造过程，产生了一大类离散曲面，我们称之为离散仿射极小曲面.我们证明了它们是定义在四边形离散曲面空间上的仿射面积泛函的临界点。该构造利用渐近坐标，并允许定义某些微分几何对象的离散模拟，如法向量场和余法向量场、三次型和相容性方程。
Asymptotic net is an important concept in discrete differential geometry. In this paper, we show that we can associate affine discrete geometric concepts to an arbitrary non-degenerate asymptotic net. These concepts include discrete affine area, mean curvature, normal and co-normal vector fields and cubic form, and they are related by structural and compatibility equations. We consider also the particular cases of affine minimal surfaces and affine spheres.
Singularities of Discrete Indefinite Affine Minimal Surfaces
本文研究离散不定仿射极小曲面的奇点，通过离散Lelieuvre公式定义离散渐近网的奇异边和顶点，使光滑情形中奇异集的关键性质在离散情形下仍然保持。
A Geometric Representation of Improper Indefinite Affine Spheres with Singularities
给定一对平面曲线，可以定义其广义面积距离，这是一个推广单条曲线面积距离的概念。本文证明了平面曲线对的广义面积距离是一个具有奇点的非正规不定仿射球面，并且$\R^3$中的每个非正规不定仿射球面都是平面曲线对的广义面积距离.考虑到这种表示，奇异集的非正常仿射球对应的面积渐屈线对的曲线，这一事实使我们能够描述一个清晰的几何图片。这对曲线的其他对称集，如仿射面积对称集和仿射包络对称集，也可以用来描述非正常仿射球面的几何性质。
Indefinite Affine Hyperspheres Admitting a Pointwise Symmetry. Part 2
一个仿射超曲面$M$被称为允许点态对称，如果对于所有的$p\in M$，存在${\rm Aut}(T_p M)$的子群$G$，它保持（点态）仿射度量$h$，差分张量$K$和仿射形状算子$S$。这里，我们考虑三维不定仿射超球面，即$S= HId$（因此$S$是平凡保持的）。在第一部分中，我们找到了可能的对称群$G$，并对每个$G$给出了$K$的标准型。我们开始一个分类表明，超球体承认逐点${\mathbb Z}_2\times {\mathbb Z}_2$ resp。${\mathbb R}$ -对称性是众所周知的，它们分别具有恒定的截面曲率和Pick不变量$J<0$。J=0。在这里，我们继续研究具有逐点${\mathbb Z}_3$ -或SO（2）-对称性的仿射超球面。它们是仿射球面（${\mathbb Z}_3$）或二次曲面（SO（2））与曲线的翘曲积。
We introduce a variational setting for the action functional of an autonomous and indefinite Lagrangian on a finite dimensional manifold. Our basic assumption is the existence of an infinitesimal symmetry whose Noether charge is the sum of a one-form and a function. Our setting includes different types of Lorentz-Finsler Lagrangians admitting a timelike Killing vector field.
We study hyper-spheres, spheres and circles, with respect to an indefinite metric, in a tangent space on a 4-dimensional differentiable manifold. The manifold is equipped with a positive definite metric and an additional tensor structure of type (1, 1)11. The fourth power of the additional structure is minus identity and its components form a skew-circulant matrix in some local coordinate system. The both structures are compatible and they determine an associated indefinite metric on the manifold.
Indefinite affine hyperspheres admitting a pointwise symmetry
一个仿射超曲面M称为点态对称，如果对M中的所有p，存在Aut（T_p M）的子群G，它（点态）保持仿射度量h，差张量K和仿射形状算子S.在这里，我们考虑三维不定仿射超球面，即S= H Id（因此S是平凡保持的）。首先我们解决一个代数问题。在等距群SO（1，2）的作用下，我们确定了Lorentz-Minkowski空间R^3_1上无迹三次型的非平凡稳定子G，并找到了每个SO（1，2）/G-轨道的代表。由于仿射三次型是由h和K定义的，这给了我们可能的对称群G和每个G的K的标准型。其次，我们对所有非平凡稳定子G（除Z_2外）具有点态G-对称性的超球面进行了分类。除了著名的超球（对于Z_2 x Z_2 resp. R的超球面具有常截面曲率和Pick不变量J<0。J=0，我们得到了丰富的新的例子，例如，二维仿射球的翘曲积结构（分别）。二次曲面）和曲线。此外，我们还找到了一种由二维二次曲面或正定仿射球面构造不定仿射超球面的方法。
Singularities of Discrete Improper Indefinite Affine Spheres
本文研究基于渐近网的离散非正常仿射球面，区分了其中的奇异边与奇异顶点并给出对应奇点类型，为离散网奇点分类提供初步进展，同时证明了直纹离散非正常仿射球面的若干与光滑情形类似的刻画。
Spheres and circles with respect to an indefinite metric on a Riemannian manifold with circulant structures
考虑具有两个循环结构的$3$ -维微分流形：一个黎曼度量和一个附加结构，其三次幂是恒等式.该结构与度量相容，使得在流形的任意切空间中诱导出等距。进一步，我们考虑了与黎曼度量相关联的度量，这是必要的不确定性。我们发现方程的一个领域和一个圆，这是在相关的度量，相对于黎曼度量。
In this paper we are interested in defining affine structures on discrete quadrangular surfaces of the affine three-space. We introduce, in a constructive way, two classes of such surfaces, called respectively indefinite and definite surfaces. The underlying meshes for indefinite surfaces are asymptotic nets satisfying a non-degeneracy condition, while the underlying meshes for definite surfaces are non-degenerate conjugate nets satisfying a certain natural condition. In both cases we associate to any of these nets several discrete affine invariant quantities: a metric, a normal and a co-norma…
Survey on Affine Spheres
我们给出了仿射球理论的调查，强调凸的情况下和关系到蒙日安培方程和几何结构的流形。
Area distances of Convex Plane Curves and Improper Affine Spheres
到凸平面曲线的面积距离是计算机视觉中的一个重要概念。在本文中，我们描述了一个强有力的区域距离和不适当的仿射球之间的联系。这种联系使得更好地理解这两种理论成为可能。仿射球面理论的概念导致凸平面弧的外部部分上的面积距离的新定义。同时，基于离散仿射球理论，我们提出了计算区域距离的快速算法。另一方面，面积距离提供了一个很好的几何理解不适当的仿射球。
Analytic formulas for complete hyperbolic affine spheres
对所有具有至少2维自同构群的正则三维凸锥进行了分类，并给出了渐近于这些锥边界的完备双曲仿射球面的解析表达式.仿射球面由超曲面浸入三维实空间来表示。浸入族的一般成员由椭圆积分给出。
Affine spheres with prescribed Blaschke metric
证明了等式$Δ\ln|κ-λ|=6κ$（其中$κ$是二维流形上度量张量g的高斯曲率）是度量作为仿射球的Blaschke度量局部可实现的充分和必要条件.
A characterisation of the Calabi product of hyperbolic affine spheres
存在一种公知的构造，其允许将两个双曲仿射球$f_i: M_i^{n_i} \to \mathbb R^{n_i+1}$与$I \times M_1 \times M_2$到$\mathbb R^{n_1+n_2+3}$中的新的双曲仿射球浸入相关联。在本文中，我们处理的反问题：如何确定的性质的差张量是否一个给定的双曲仿射球浸入的流形$M^n \to \mathbb R^{n+1}$可以分解的方式。
Noncompact Iwasawa factorization and translationally equivariant hyperbolic affine spheres
研究复平面上与仿射球相关的德劳内型势的非紧岩泽分解，利用DPW方法通过归结为与齐次方程相关的线性系统，用魏尔斯特拉斯椭圆函数给出分解描述，进而构造并分类平移等变双曲仿射球面。
The associated families of semi-homogeneous complete hyperbolic affine spheres
Hildebrand在$\mathbb{R}^3$中对所有的半齐次锥进行了分类，并计算了它们对应的完全双曲仿射球面。我们计算Hildebrand的新例子的等温参数化。在给出它们的仿射度量和仿射三次型之后，我们构造了Hildebrand例子的整个相关族。这些仿射球面的一般成员由Weierstrass $\mathscr{P}, ~ζ~\text{and} ~σ$函数给出。一般来说，$\mathbb{R}^3$中的任何正则凸锥都有一个自然的相关的$S^1$ -族，这值得进一步研究.
Improper affine spheres and the Hessian one equation
广义仿射球在研究海森一元方程的几何方法的发展中起着重要的作用。在这里，我们回顾了过去20年来我们在这方面取得的大部分进展。
Dressing Actions on Proper Definite Affine Spheres
我们将首先阐明R^3中双曲型和椭圆型定仿射球面的环群公式。然后对实扭环群中的三极点和六极点有理单元进行分类，并计算它们在这类曲面上的修整作用。最后给出了一些新的有图片的例子。
Functions dividing their Hessian determinants and affine spheres
一个齐次函数、几何齐次函数或几何齐次函数的非零水平集是仿射球面当且仅当该函数的Hessian行列式是该函数的幂或指数的倍数。特别地，如果一个齐次多项式的某个幂等于它的Hessian行列式的非零倍数，则它的非零水平集是真仿射球面。正则不可约预齐次向量空间的实形式的相对不变式产生许多这样的多项式，而且是不可约的。例如，凯莱超行列式的非零水平集是仿射球面。
Singularities of improper affine spheres and surfaces of constant Gaussian curvature
本文从切触点几何的角度研究了反常（抛物）仿射球方程，给出了方程几何解中出现的奇异性的一般分类及其奇异性的一般形式。我们也给出了常高斯曲率曲面和可展曲面的结果。特别是，我们确认，一般奇点出现在这样的表面只是尖形的边缘和燕尾。
Affine deformations of a three-holed sphere
每一个具有不可解基本群的完备仿射3-流形M都对应一个非紧双曲曲面S。当Sigma同胚于一个三孔球面时，我们对这种完全仿射结构进行分类。特别地，对于每一个这样的完全双曲曲面σ，变形空间等同于R^3中的两个相反的八分区。此外，每一个M允许一个基本的多面体由弯曲的平面界定。因此M同胚于亏格为2的开实体。作为这一理论的一个具体应用，我们构造了Sp（4，Z）内算术富克斯群的适当仿射变形.
The classification of complete improper affine spheres with singularities of low total curvature and new examples
本文研究了幺模仿射三维空间中带奇异性的完备非固有仿射球，给出了总曲率大于等于$-6π$及$-8π$情形的分类，并提供了亏格0和1的新例子及嵌入端的渐近行为分析。
Left-symmetric algebras and homogeneous improper affine spheres
在$n$维平坦仿射空间中，一个线性齐次函数的非零水平集是非正常仿射球面当且仅当该函数的Hessian行列式等于该函数的$n$次幂的非零常数倍.某些左对称代数的特征多项式的指数给出了这样的函数的例子，其水平集类似于Eastwood-Ezhov的广义Cayley超曲面。有发现的纯代数条件足以使左对称代数的特征多项式具有所需的性质。确切地说，它满足代数具有可三角化的左乘算子，并且右乘的迹是Koszul形式，其中右乘的对偶幂等元是沿着其核的投影，其等于左对称代数的导出李子代数。
Einstein connections with skew-torsion on Berger spheres
确定了具有斜挠的Einstein Berger球面上的不变度量仿射联络的黎曼和洛伦兹特征.明确给出了这种连接的表达式。特别是，每个伯杰球与洛伦兹签名承认不变的度量仿射联络爱因斯坦与斜挠高达$\mathbb{S}^3$。对于黎曼签名，这种连接的存在强烈依赖于球体的维度和用于Berger度量的变形的尺度。特别是，有黎曼伯杰球，而不是爱因斯坦，其中承认不变的度量仿射联络爱因斯坦与斜挠。
Invariant affine connections on odd-dimensional spheres
黎曼-嘉当流形是一个具有仿射联络的黎曼流形，它与度量张量相容。这种仿射联络不一定是无挠的。在流形是齐次空间的假设下，自然地引入了齐次黎曼-嘉当空间的概念。对于奇维球面$\mathbb{S}^{2n+1}$看作特殊酉群的齐性空间的情形，经典的不变联络的Nomizu定理已经允许得到使球面$\mathbb{S}^{2n+1}$成为齐性Riemann-Cartan空间的所有联络的代数描述.作为共变导数的这种联系的表达式借助于几个不变张量给出：球的通常Sasaki结构的张量;来自$\mathbb{S}^7$上的$3$ -Sasaki结构的不变3-微分形式;以及$\mathbb{S}^5$的几乎接触度量结构中的涉及张量，该结构是由它自然嵌入到近似Kähler流形$\mathbb{S}^6$中提供的。此外，与Levi-Civita测地线共享测地线的不变联络也得到了完整的描述。最后，将$\mathbb{S}^3$和$\mathbb{S}^7$刻画为唯一的奇维球面，该球面允许满足Einstein型方程的非平凡不变联络.
Stretching three-holed spheres and the Margulis invariant
本文应用作者即将完成的工作“三孔球的仿射变形”在洛伦兹几何中证明了双曲几何中的一个结果。也就是说，一个三孔球的双曲结构的无限小变形无限小地延长了三个边界分量无限小地延长了每一个闭测地线。证明将测地线长度函数的导数解释为相应仿射变形的马古利斯不变量（有符号标记的洛伦兹长度谱）。上述结果意味着仿射变形是适当的，因此根据Margulis的反号引理，每一条闭测地线都无限小地伸长。
An affine sphere equation associated to Einstein toric surfaces
从Calabi、Cheng-Yau和Loftin的研究中可以看出，仿射球方程与Kaehler-Einstein度量有着密切的关系。本文的主要目的是证明一个类似于双曲仿射球面的方程自然地产生于爱因斯坦复曲面上的凯勒-爱因斯坦度量。我们还将讨论具有Kaehler-Ricci孤子的剩余复曲面的情况。
Realisation of special Kaehler manifolds as parabolic spheres
证明了任意单连通特殊Kaehler流形的正则浸入为抛物仿射超球面。作为应用，我们将抛物仿射超球与任何非退化的全纯函数联系起来。我们还证明了Calabi和Pogorelov关于抛物球面的一个经典结果在完备的特殊Kaehler流形上具有正定度量。
Value distribution of the Gauss map of improper affine spheres
给出了仿射三维空间中完全非正常仿射阵面的拉格朗日高斯映射的例外值个数的最佳可能上界。对于弱完备情形，我们也得到了尖锐的估计.作为这一结果的应用，我们给出了非正常仿射球面的参数仿射Bernstein问题的一个新的简单证明。此外，我们还得到了三维双曲空间中弱完备平坦锋的标准形之比的相同估计。
For every proper convex cone $K \subset \mathbb R^3$ there exists a unique complete hyperbolic affine 2-sphere with mean curvature $-1$ which is asymptotic to the boundary of the cone. Two cones are associated if the corresponding affine spheres can be mapped to each other by an orientation-preserving isometry. This equivalence relation is generated by the groups $SL(3,\mathbb R)$ and $S^1$, where the former acts by linear transformations of the ambient space, and the latter by multiplication of the cubic holomorphic differential of the affine sphere by unimodular complex constants. The action…
Given a Lagrangian submanifold $L$ of the affine symplectic $2n$-space, one can canonically and uniquely define a center-chord and a special improper affine sphere of dimension $2n$, both of whose sets of singularities contain $L$. Although these improper affine spheres (IAS) always present other singularities away from $L$ (the off-shell singularities studied in our previous paper), they may also present singularities other than $L$ which are arbitrarily close to $L$, the so called singularities "on shell". These on-shell singularities possess a hidden $\mathbb Z_2$ symmetry that is absent fr…
Strominger--Yau--Zaslow geometry, Affine Spheres and Painlevé III
给出椭圆仿射球方程和密切相关的Tzitzéica方程的规范不变特征，作为$SL(3, \C)$反自对偶杨-米尔斯方程的实形式通过两个平移的约化，或者等价地作为希钦方程的一个特例.我们使用的Loftin-丘-Zaslow建设给出一个明确的表达为6-实维半-平坦Calabi-丘度量的仿射球方程的一个解决方案，并显示如何从第三Painlevé超越产生一个子类这样的度量。
Special Lagrangian submanifolds and circle collapse on K3
研究K3曲面塌缩到三维仿射基时，仿射线提升为退化特殊拉格朗日球面和环面的序列，并构造连接Taub-NUT气泡对的特殊拉格朗日球面。
Even Dimensional Improper Affine Spheres
二维广义仿射球面有两种类型：非凸球面可以用平面曲线对的中心弦变换来表示，而凸球面可以用全纯映射来表示。本文证明了这两种构造都可以推广到任意偶数维：前者对应于一对拉格朗日子流形的中心弦变换，而后者则与特殊的Kähler流形有关.此外，我们还证明了用这种方法得到的广义仿射球面是某些外微分系统的解。最后，我们还讨论了简单稳定的勒让德奇点作为这些反常仿射球面奇点的实现问题。
Integral affine structures on spheres and torus fibrations of Calabi-Yau toric hypersurfaces II
本文是我们的论文math.AG/0205321的继续，其中我们建立了Calabi-Yau环面超曲面的环面纤维化的组合模型。这一部分讨论了模型环面纤维化与超曲面的复几何和凯勒几何之间的联系。
In this paper we define the class of constant affine mean curvature (CAMC) discrete asymptotic nets, which contains the well-known classes of affine spheres and affine minimal asymptotic nets. This class is defined by considering fields of compatible interpolating quadrics, i.e., quadrics that have common tangent planes at the edges of the net. We show that, for CAMC asymptotic nets, ruled discrete asymptotic nets is equivalent to ruled compatible interpolating quadrics. Moreover, we prove discrete counterparts of some known properties of the Demoulin transform of a smooth CAMC surface.
Affine Manifolds, SYZ Geometry, and the "Y" Vertex
我们研究真正的蒙日-安培方程在二维和三维，无论是从SYZ猜想的角度来看，其中的解决方案产生半平坦的卡-丘和仿射微分几何，其中的解决方案产生抛物仿射球超曲面。我们找到明确的例子，连接的全纯函数表示希钦的特殊拉格朗日模空间的描述，并构建显式的发展映射对应于类型$I_n$椭圆纤维（超凯勒旋转后）的奇点。在Baues和Cortés之后，我们证明了二维椭圆仿射球面上的各种度量锥在三维中产生蒙日-安培方程的解。然后，我们证明了一个局部和整体存在定理的椭圆仿射两球度量与规定的奇异性。在两个球面上减去三个点的度量锥产生沿着“Y”形轨迹具有奇点的抛物仿射球面。这给出了“Y”顶点附近的半平坦卡拉比-丘度量。在勘误表中，我们修正了椭圆仿射球方程解中的一个缺口（有一个小小的警告，方程中的一个参数，三次微分，必须小于我们之前假设的）。新的证明仍然允许我们利用Baues-Cortés的结果在“Y”顶点的邻域中构造半平坦的Calabi-Yau度量.我们也给出了一个替代的建设这样的半平坦的Calabi-Yau度量使用的结果，双曲仿射球由于第一作者。
Crofton Formulas and Indefinite Signature
研究了A. Bernig和作者。我们的主要结果是，每一个这样的估值是由一个$O(p,q)$不变的Crofton公式。这是通过首先获得几个显式公式的几个足够一般的签名和程度的同质性，特别是在$O(p,p)$的$(p-1)$均匀的情况下，产生克罗夫顿公式的中心仿射表面积时，$p\not\equiv 3\mod 4$。然后，我们利用克罗夫顿公式的函子属性传递到一般情况下。我们还明确确定了所有$O(p,2)$不变赋值的不变公式。证明依赖于一些独立的积分的精确计算。这些都与塞尔伯格积分和贝塔函数的矩阵论点，除了正定矩阵取代矩阵的所有签名。我们还分析了杰出的不变Crofton分布支持的最小轨道，并表明，有点令人惊讶的是，它有时定义的平凡赋值，从而产生一个分布在内核的余弦变换特别小的支持。在心脏的文件在于描述Muro的$|\det X|^s$家庭的分布空间的对称矩阵，我们用它来构建一个家庭的$O(p,q)$不变克罗夫顿分布。我们猜想没有其他的，然后我们证明了$O(p,2)$与$p$甚至。Crofton分布的函子性质是我们研究的重要工具，T。Wannerer和作者在附录中。
Sub-Riemannian geodesics in the affine-additive group
本文利用庞特里亚金最大值原理推导仿射加法群的次黎曼测地线，计算割时间，并构造Carnot-Carathéodory球面及烧瓶曲面，后者为海森堡群中Pansu球面的类似物。
Proper affine deformation spaces of two-generator Fuchsian groups
一个Margulis时空是一个具有自由基本群的完备平坦洛伦兹三维流形M。与M相关联的是一个非紧完备双曲曲面S，S同伦等价于M。本文的目的是当S同胚于一个单洞环面时，对Margulis时空进行分类。我们证明了，每个这样的M分解成多面体的弯曲的平面，对应于一个理想的三角形S。本文对弯曲理想三角形的结构进行了分类和分析，弯曲理想三角形在Margulis时空中的作用与理想三角形在双曲曲面中的作用相同。这推广了我们以前关于三孔球面和两孔交叉曲面的仿射变形的工作。
The $L_p$-floating area, curvature entropy, and isoperimetric inequalities on the sphere
该研究将欧氏几何中的$L_p$-仿射表面积等概念推广到球面空间，引入球面凸体的$L_p$-浮动面积与曲率熵，证明相关等周不等式、对偶公式与单调性，并推广到非负常曲率空间形式。
The classical result of describing harmonic maps from surfaces into symmetric spaces of reductive Lie groups states that the Maurer-Cartan form with an additional parameter, the so-called loop parameter, is integrable for all values of the loop parameter. As a matter of fact, the same result holds for $k$-symmetric spaces over reductive Lie groups. In this survey we will show that to each of the five different types of real forms for a loop group of $A_2^{(2)}$ there exists a surface class, for which some frame is integrable for all values of the loop parameter if and only if it belongs to one…
Complex affine spheres and a Bers theorem for SL(3,C)
本文利用复仿射球面、bi-Higgs 丛及复椭圆 PDE，构造 Hitchin 表示对上的等变全纯映射，将 Bers 同时单值化推广到 SL(3,C) 特征标簇。
Cubic Differentials in the Differential Geometry of Surfaces
本文讨论了$\re^3$中凸仿射球面的局部微分几何和Hermite对称空间中极小Lagrange曲面的局部微分几何。在每种情况下，有一个自然的度量和三次微分全纯关于诱导共形结构：这些数据来自Blaschke度量和Pick形式的仿射球和诱导度量和第二基本型的最小拉格朗日曲面。局部几何，至少对于主要的感兴趣的情况下，诱导一个自然的框架，其结构方程产生于仿射户田系统的$\mathfrak a^{(2)}_2$。我们还讨论了全球性的理论和应用表示的表面群和镜像对称。
Let $Δ$ be a 2-sphere endowed with an affine structure away from a finite set of points $P \subset Δ$, and assume that the monodromy of the associated connection $\nabla$ on $Δ\setminus P$ around any point from $P$ is unipotent. I show that there exists a pseudo-metric tensor with distribution coefficients on $Δ$ that is non-degenerate on $Δ\setminus P$ and that locally is of the form $\nabla d f$ for some convex function $f$. In particular, if $X_\infty$ is the canonical nearby fibre of a Type III degeneration of K3 surfaces in Kulikov form, $Δ_X \cong S^2$ is the dual intersection complex of…
We investigate octonion product deformations coming from the parallelizable torsion of the 7-sphere $S^7$, obtaining a family of geometries from solutions of the Lagrangian formalism movement equations. This can be achieved by analyzing the spontaneous compactification $M_4\times S^7$, where $M_4$ is a Lorentzian $4$-dimensional manifold. Besides the usual Riemannian geometry and two others proposed by Cartan and Schouten, solutions in geometries with torsion and more general seven-dimensional spaces are obtained. Such formalism may by subsequently derived over the 7-sphere $S^7$, locally give…
Shear coordinate description of the quantised versal unfolding of D_4 singularity
本文利用Teichmuller的四孔球理论，得到了原点为D_4奇点的一般仿射三次曲面上的一个平面坐标系。我们证明了四孔/orbifold球面上测地函数的Goldman括号与仿射D_4三次球面上的Etingof-Ginzburg Poisson括号是一致的。我们证明了这个括号是三个sl_2副本的直和上的Poisson李括号在Riemann-Hilbert映射下的像。我们通过辫子群对测地函数的作用来实现映射类群的作用。这一作用与第六类潘勒韦方程解的解析延拓过程相一致。最后，我们产生明确的量子化的高盛括号上的测地函数的四孔/orbifold球和辫子群的行动。
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