A Non-iterative Overlapping Schwarz Waveform Relaxation Algorithm for Wave Equation
Schwarz波形松弛算法（SWR）在相邻子域之间交换边值波形，为实现分布式计算提供了比其他Schwarz算法更有效的途径。然而，传统的SWR收敛速度慢，各种优化策略被引入以加速收敛。本文提出了一种求解波动方程的非迭代重叠型驻波松弛算法，称为相对Schwarz波形松弛算法（RSWR）。RSWR的灵感来自于基于相对论的波速有限的物理观察。在一个空间点处的值的改变将花费时间跨度$Δt$来传输到另一个空间点，反之亦然。该$Δt$可用于设计分布式数值算法，正如我们在RSWR中所做的那样。在每个时间段内，RSWR只需要3个步骤，通过使用预测-选择-更新策略来获得高精度的波形。此策略的关键是找到波形的最大时间跨度。RSWR的有效性可以直接证明。数值实验表明，RSWR是准确的，是潜在的可扩展性和快速。
2022-05-20 cs.NA math.NA
Nonlinear Nonoverlapping Schwarz Waveform Relaxation for Semilinear Wave Propagation
针对一维半线性波传播问题，提出一种非重叠Schwarz波形松弛算法，基于吸收边界条件理论推导非线性算法，通过能量估计和Galerkin方法证明适定性和收敛性，并引入显式格式，在非线性假设下证明离散算法收敛性，最后用数值实验验证。
2007-01-31 cs.NA math.NA
Optimized Schwarz waveform relaxation for Primitive Equations of the ocean
Université Paris Nord - Institut Galilée LAGA（巴黎北大学-加利拉学院LAGA）
针对海洋粘性原始方程，通过Rossby数渐近分析近似Dirichlet-to-Neumann算子，构建优化Schwarz波形松弛算法，证明其适定性并给出数值结果。
2009-05-22 cs.NA math.NA
Convergence Analysis of Waveform Relaxation Method to Compute Coupled Advection-Diffusion-Reaction Equations
研究了Schwarz波形松弛法在对流扩散反应耦合方程计算中的应用。研究从线性方程出发，分析了以Dirichlet条件、Robin条件及其组合作为传递条件时计算的收敛性。然后，一个优化算法的Dirichlet条件，以加快收敛，数值例子表明，在收敛速度显着加快。此外，将优化算法推广到非线性方程组的计算，包括粘性Burgers方程，数值实验表明，该算法在收敛速度上仍能保持较好的效果。
2022-05-03 cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann waveform relaxation algorithms for time fractional sub-diffusion and diffusion-wave equations
在本文中，我们研究了时间分数阶子扩散方程和扩散波方程的Dirichlet-Neumann和Neumann-Neumann波形松弛算法在规则区域上的收敛性，其中无量纲扩散系数在不同的子区域上取不同的常数值.我们首先观察到，不同的扩散系数导致不同的松弛因子的最佳收敛。使用这些最佳松弛因子，我们的分析估计缓慢的超线性收敛的时间导数的分数阶接近零时，几乎有限步收敛的阶数接近2时，和之间，超线性收敛变得更快的分数阶的增加。因此，我们成功地捕捉到了估计的收敛速度随时间导数分数阶数变化的过渡，并通过数值实验进行了验证。
2022-12-23 cs.NA math.NA
Optimal Control of a Sub-diffusion Model using Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann Waveform Relaxation Algorithms
School of Basic Sciences, IIT Bhubaneswar（IIT布巴内斯瓦尔基础科学学院）
本文提出使用狄利克雷-内曼和内曼-内曼波形松弛算法解决子扩散模型的最优控制问题，并研究扩散系数对算法收敛性的影响。
2025-12-15 cs.NA math.NA math.OC
Schwarz Waveform Relaxation Physics-Informed Neural Networks for Solving Advection-Diffusion-Reaction Equations
基于Schwarz波形松弛（SWR）方法，提出了一种物理信息神经网络（PINN），用于求解局部和非局部对流扩散反应方程。具体而言，我们推导出的配方通过构建子域依赖的局部解决方案，通过最小化局部损失函数，允许在不同的域中的训练过程的分解在一个并行的过程。在PINN收敛的前提下，整个算法是收敛的。通过构造局部解，人们可以根据每个子域中解的谱空间和时间复杂度来调整深度神经网络的深度。我们提出了一些基于经典和Robin-SWR的数值实验来说明所提出的方法的性能和评论的收敛性。
2021-11-03 cs.NA math.NA
An overlapping waveform-relaxation preconditioner for economic optimal control problems with state constraints
本文考虑一类抛物型经济最优控制问题。这些问题的特点是逐点的状态约束正则化的参数，它转换为混合控制状态的纯状态约束。然而，经典的（半光滑）牛顿法的收敛性恶化的正则化参数的值减小。为了解决这个问题，一个非线性预处理器。这是基于重叠优化波形-松弛法，其特征在于罗宾传输条件。数值实验表明，适当选择的重叠和罗宾参数导致一个预条件牛顿法的鲁棒收敛对状态约束正则化参数。
2021-03-27 cs.NA math.NA math.OC
Waveform Relaxation for Field/Circuit Coupled DAEs with Generalized Capacitances
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
本文提出一种新的充分拓扑收敛准则，用于解决高索引场/电路耦合DAE系统，通过数值模拟验证了理论结果。
2026-04-30 cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann Waveform Relaxation Method with Multiple Subdomains for Reaction-Diffusion Equation with a Time Delay
IIT Bhubaneswar（布巴内斯瓦尔印度理工学院）
本文提出了一种用于具有时间延迟的反应扩散方程的狄利克雷-Neumann波形松弛方法，通过多个子域的安排和数值实验评估其效率和有效性。
2026-02-12 cs.NA math.AP math.NA
Pipeline Implementations of Neumann-Neumann and Dirichlet-Neumann Waveform Relaxation Methods
Michigan Technological University（密歇根理工大学）；Michigan State University（密歇根州立大学）
本文研究了Neumann-Neumann波形松弛方法和Dirichlet-Neumann波形松弛方法的改写，一种用于求解时间依赖偏微分方程的并行空间-时间方法。通过改变操作顺序，可以在不改变最终解的情况下实现波形迭代的流水线并行计算。本文还讨论了流水线实现的并行效率和增加的通信成本，并通过弱标度研究展示了流水线NNWR和DNWR算法的有效性。
2017-01-05 cs.NA math.AP math.NA
Waveform Transmission Method, a New Waveform-relaxation Based Algorithm to Solve Ordinary Differential Equations in Parallel
Tsinghua University（清华大学）
提出波形传输方法（WTM），通过虚拟插入波形传输线实现大规模常微分方程的分布式计算，相比传统波形松弛方法具有更好的收敛性。
2010-09-07 cs.DC cs.NA math.CA
Convergence of Substructuring Waveform Relaxation Algorithms for Hyperbolic PDEs with Time Delay
Indian Institute of Technology Bhubaneswar（印度理工学院布巴内斯瓦尔分校）
研究用于求解具时滞双曲 PDE 的两种子结构波形松弛算法（DNWR 和 NNWR），用傅里叶和拉普拉斯变换分析其稳定性、收敛性与计算效率，给出数值误差线性收敛估计等，数值实验验证有效性。
2026-07-07 cs.NA math.NA
Waveform Relaxation with asynchronous time-integration
我们考虑波形松弛（WR）方法的表面耦合多物理场问题的分区时间积分。WR允许在独立和自适应的时间网格上进行独立的时间离散化，同时保持高的时间积分阶数。经典的WR方法，如Jacobi或Gauss-Seidel WR，通常是并行的或快速收敛的。我们提出了一种新的并行WR方法，利用异步通信技术，以获得这两个属性。经典的WR方法在子问题的时间积分之后交换离散函数。相反，我们在时间积分过程中异步交换时间点解决方案，并直接将所有新信息纳入插值。我们在一个框架内，推广现有的线性WR收敛理论的连续和时间离散收敛。提出了一种新的WR方法中选择最佳松弛的算法。收敛证明在两个共轭传热的例子。我们的新方法显示出比经典WR方法更好的性能。在一个例子中，我们展示了一个分区耦合的可压缩欧拉方程与非线性热方程，子问题实现使用开源库DUNE和FEniCS。
2021-06-24 cs.NA math.NA
Neumann-Neumann Waveform Relaxation Method for Hyperbolic PDE with Time Delay
Indian Institute of Technology Bhubaneswar（印度理工学院布巴内斯瓦尔分校）
针对带时滞双曲偏微分方程，提出Neumann-Neumann波形松弛方法，通过傅里叶分析和拉普拉斯变换证明收敛性，并给出数值示例。
2026-09-11 cs.NA math.AP math.NA
A multirate Neumann-Neumann waveform relaxation method for heterogeneous coupled heat equations
Centre for Mathematical Sciences, Lund University（隆德大学数学科学中心）
本文提出一种多速率Neumann-Neumann波形松弛算法，用于求解异质耦合热方程，通过线性插值解决多速率特征在时空界面产生的不匹配问题，采用有限元方法和隐式欧拉法及SDIRK2时间积分方法，通过一维收敛分析确定最优松弛参数，验证了方法的高效性。
2018-05-11 cs.NA math.NA
Optimized Schwarz Waveform Relaxation for the Damped Wave Equation
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；Université de Genève（日内瓦大学）
本文提出了一种优化的Schwarz波形松弛法，通过引入具有两个自由参数的传输算子，提高一维阻尼波方程的收敛速度，尤其在粘弹性阻尼情况下表现更佳。
2026-01-21 cs.NA math.NA
Optimized Ventcel-Schwarz waveform relaxation and mixed hybrid finite element method for transport problems
本文研究线性对流-扩散方程的优化Schwarz波形松弛法和Ventcel传输条件。被认为是一种混合制剂，其中的通量变量代表扩散和对流通量，并引入拉格朗日乘子之间的接口不重叠的子域处理切向导数的Ventcel条件。一个空间-时间界面问题，制定和迭代求解。每次迭代涉及的时间依赖性问题的解决方案与Ventcel边界条件的子域。子域问题在空间上采用基于最低阶Raviart-Thomas空间的混合杂交有限元法离散，在时间上采用向后欧拉法离散。该算法是全隐式的，并使不同的时间步长的子域。数值结果表明，在不连续系数和不同Peclét数的情况下，Ventcel条件的收敛性优于Robin条件.
2021-10-03 cs.NA math.NA
Multigrid waveform relaxation for the time-fractional heat equation
CWI, Centrum Wiskunde and Informatica（荷兰数学与计算机科学研究中心）；University of Zaragoza（萨拉戈萨大学）
本文提出一种高效稳健的多重网格方法求解时间分数热方程，通过波形松弛方法设计并行时间多重网格算法，利用系数矩阵的Toeplitz-like结构，实现O(NM log M)的计算复杂度，并通过半代数模式分析验证结果，展示了非光滑解和多孔介质应用的数值实验。
2017-08-24 cs.NA math.NA
Using hierarchical matrices in the solution of the time-fractional heat equation by multigrid waveform relaxation
本文研究非均匀时间网格上时间分数阶热传导方程的有效数值解。非均匀网格对于捕捉时间分数阶问题的“典型”解的奇异性是必不可少的。我们提出了一种基于波形松弛技术的时空多重网格方法，该方法考虑了分数阶微分算子的非局部特性。为了保持一个最佳的复杂性，这可以得到的情况下，均匀的网格，我们近似的系数矩阵对应的时间离散化的分层矩阵（${\cal H}$ -矩阵）表示。特别地，所提出的方法具有${\cal O}(k N M \log(M))$的计算成本，其中$M$是时间步长的数量，$N$是空间网格点的数量，并且$k$是控制${\cal H}$ -矩阵近似的精度的参数。该算法的效率和良好的收敛性，这可以从理论上证明了半代数模式分析，通过数值实验在一维和二维空间。
2020-05-07 cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann waveform relaxation for heterogeneous heat equations: continuous and time discrete L2 analysis
Lund University（隆德大学）；University of Geneva（日内瓦大学）
针对异质热方程耦合问题，采用Dirichlet-Neumann波形松弛方法，通过指数加权傅里叶技术导出连续与时间离散L2误差估计，识别优化松弛参数实现超线性收敛，并揭示物理参数对比对收敛速度的影响。
2026-10-22 cs.NA math.NA
Parallel Schwarz Waveform Relaxation Algorithm for an N-Dimensional Semilinear Heat Equation
Laboratoire Analyse Géométrie et Applications（分析与几何应用实验室）；Institut Galilée, Université Paris 13, France（巴黎十三大学加利拉学院）
针对N维半线性热方程，提出并行Schwarz波形松弛算法，通过指数衰减误差估计技术证明其适定性和收敛性。
2010-08-02 cs.NA math.AP math.NA
Waveform Relaxation for the Computational Homogenization of Multiscale Magnetoquasistatic Problems
Technische Universitaet Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文提出将波形松弛法应用于多尺度磁准静态问题的均质化，通过分离求解宏尺度和meso尺度问题，精确计算导纳及其导数。
2016-07-19 cs.CE cs.NA math.NA
Waveform relaxation for low frequency coupled field/circuit differential-algebraic models of index 2
基于粒子加速器中超导磁体失超保护系统的设计任务，本文提出了一种基于准静态磁场模型的场路耦合仿真方法。我们研究如何进行耦合模拟时，电路求解包，描述电路的修改节点分析的高斯-赛德尔型波形松弛。我们提出了充分的收敛准则的有限元离散场模型和电路模型形成的微分-代数方程（DAE）系统的指数2的耦合模拟。特别是，我们证明了一个简单的基准系统的电路拓扑结构的耦合模拟的收敛行为的剧烈影响。
2020-05-27 cs.CE cs.NA math.NA
Discrete analysis of Schwarz Waveform Relaxation for a simplified air-sea coupling problem with nonlinear transmission conditions
在这项研究中，我们提出了一个非重叠施瓦茨波形松弛（SWR）的方法应用到一个一维模式的问题，代表海洋和大气之间的耦合。该问题包括类似于二次摩擦定律的非线性交界条件。我们研究了相应的SWR在半离散水平的线性摩擦和线性化的二次摩擦在界面上的收敛性。使用数值实验，我们表明，在线性化的二次摩擦的情况下的收敛性能是非常接近的，得到与完整的非线性问题的参数值的范围内的利益。我们研究了通过在界面处加入一个松弛因子来提高收敛速度的可能性。
2021-11-18 cs.NA math.AP math.NA
Neumann-Neumann Waveform Relaxation Algorithm in Multiple subdomains for Hyperbolic Problems in 1D and 2D
Michigan Technological University（密歇根理工大学）
本文提出了一种用于波动方程时空领域的Neumann-Neumann波形松弛算法，通过非重叠空间域分解和子域求解，结合接口条件和修正步骤，证明了在有限时间区间内算法收敛，且通过数值实验与经典和优化Schwarz波形松弛方法进行比较。
2015-07-14 cs.NA math.AP math.NA
Dirichlet-Neumann Waveform Relaxation Method for Hyperbolic PDE with Time Delay in Multiple Subdomains
School of Basic Sciences, IIT Bhubaneswar（IIT布巴内斯瓦尔基础科学学院）
本研究将Dirichlet-Neumann波形松弛方法扩展到多子域，用于并行求解带时滞的双曲型偏微分方程，证明了有限步收敛性，并通过数值实验和对比分析验证了其优势。
2026-09-11 cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann Waveform Relaxation for the Wave Equation
University of Geneva（日内瓦大学）
本文提出波动方程时空领域分解中的狄利克雷-诺依曼和诺依曼-诺依曼算法的波动松弛变体，通过非重叠空间分解和接口条件子域求解，证明在有限时间内有限步数收敛，并通过数值结果展示算法性能及与经典和优化Schwarz波动松弛方法的对比。
2014-05-21 cs.NA math.AP math.NA
Schwarz waveform relaxation method for one dimensional Schr{ö}dinger equation with general potential
Université de Toulouse（图卢兹大学；法国国家科学研究中心，南法综合理工学院）；CNRS, UPS IMT（法国原子能和替代能源委员会萨克雷中心及保罗·潘勒韦实验室，北法兰西大学）；CEA Saclay France & Laboratoire Paul Painlevé, Université Lille Nord de France
本文提出了一种适用于一维Schrödinger方程的Schwarz波形松弛方法，针对线性和非线性势能，设计了鲁棒且可扩展的算法，显著减少计算时间，并通过预处理线性算子和新构造的吸收边界条件提升可扩展性。
2015-03-09 cs.NA math.AP math.NA
Dirichlet--Neumann waveform relaxation for heterogeneous heat equations: fully discrete $l^2$ analysis
Lund University（隆德大学）
针对通过低维界面耦合的非均匀热方程，提出Dirichlet--Neumann波形松弛的全离散$l^2$误差分析，揭示CFL数对收敛性的影响，并通过数值实验验证估计的准确性。
2026-10-02 cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann Waveform Relaxation Methods for PDEs with Time Delay
本文提出并比较了用于并行求解含时滞偏微分方程的 DNWR 和 NNWR 两种区域分解数值方法，通过理论分析与数值实验验证了它们的收敛性、计算效率及适用性。
2024-08-22 cs.NA math.AP math.NA
Optimized Schwarz Waveform Relaxation for Advection Reaction Diffusion Equations in Two Dimensions
Université Paris 7（巴黎第七大学）；Université de Genève（日内瓦大学）；Université Paris-Sud 11（巴黎第十一大学）；Université PARIS 13（巴黎第十三大学）
本文研究了二维输运反应扩散方程的优化Schwarz波形松弛方法，通过优化传输条件实现并行求解，证明了Robin和Ventcel型传输条件的最佳逼近结果，并通过数值实验验证了方法的有效性。
2014-07-04 cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann Waveform Relaxation Method for the 1D and 2D Heat and Wave Equations in Multiple subdomains
University of Geneva（日内瓦大学）；Hong Kong Baptist University（香港浸会大学）；Michigan Technological University（密歇根理工大学）
本文提出了一种针对多子域的波形松弛Dirichlet-Neumann算法，通过空间时间域分解和界面条件求解，分析了热方程和波动方程的收敛性，展示了算法性能及与经典Schwarz波形松弛方法的对比。
2015-07-14 cs.NA math.AP math.NA
Multi-stage waveform Relaxation and Multisplitting Methods for Differential Algebraic Systems
Ruhr University of Bochum（波鸿鲁尔大学）
本文提出多阶段波形松弛与多分裂方法用于求解微分代数方程，通过外层和内层迭代解耦方程，简化矩阵运算并加速求解过程。
2016-01-04 cs.NA math.NA
On convergence of waveform relaxation for nonlinear systems of ordinary differential equations
本文研究非线性波形松弛变体的收敛性，该变体结合指数块Krylov子空间方法，在时间区间上迭代求解线性非齐次方程组，无需时间步进，并通过多个非线性方程测试验证其作为时间并行积分器的效率。
2024-04-22 cs.CE cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann Waveform Relaxation Algorithms for Parabolic Problems
University of Geneva（日内瓦大学）
本文提出用于抛物问题的 Dirichlet-Neumann 和 Neumann-Neumann 波形松弛算法，通过非重叠空间域分解和时间依赖的界面条件实现超线性收敛。
2014-05-21 cs.NA math.AP math.CA
Application of the Waveform Relaxation Technique to the Co-Simulation of Power Converter Controller and Electrical Circuit Models
Łódź University of Technology（罗兹理工大学）；Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；Paul Scherrer Institut（保罗谢尔研究所）；CERN（欧洲核子研究组织）
本文提出利用波形松弛技术联合仿真PID类电力转换器控制器与电气电路模型，通过固定步长和自适应步长方案分别模拟控制器和电路，并分析算法迭代次数，以大环形对准器电路为例展示控制器与电路耦合概念。
2017-04-10 cs.CE cs.NA math.NA
Discrete-Time Accelerated Block Successive Overrelaxation Methods for Time-Dependent Stokes Equations
State Key Laboratory of Scientific/Engineering Computing（科学/工程计算国家重点实验室）；Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing（计算数学与科学工程计算研究所）；Academy of Mathematics and Systems Science（数学与系统科学研究院）；Chinese Academy of Sciences（中国科学院）；Department of Mathematics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学数学系）
本文提出离散时间加速块超松弛方法用于求解由空间离散化得到的线性DAEs，通过方法线分析其收敛性和最优性，并通过数值实验验证方法的理论结果和效率。
2015-11-04 cs.NA math.NA
An efficient algorithm for the parallel solution of high-dimensional differential equations
University of Paderborn（帕德博恩大学）；United Technologies Research Center（联合技术研究中心）
提出自适应波形松弛方法，结合图划分启发式算法，将高维微分代数方程求解速度提升3-16倍。
2010-10-26 cs.DC cs.NA math.NA
Semi-Algebraic Mode Analysis For Finite Element Discretisations Of The Heat Equation
Shahrood University Of Technology（沙鲁德理工大学）；University of Zaragoza（萨拉戈萨大学）
本文提出半代数模式分析，用于研究二维和三维热方程有限元离散中多重网格波形松弛方法的收敛性，并考虑质量矩阵的影响，为分析其参数依赖行为提供了有效工具。
2026-09-24 cs.NA math.NA
A time adaptive multirate Quasi-Newton waveform iteration for coupled problems
本文提出将拟牛顿方法扩展到时间自适应波形迭代中，用于求解通过低维界面耦合的动态问题，并在传热和流固耦合算例上验证了其相对于现有求解器的效率优势。
2025-02-05 cs.NA math.NA
A parallel-in-time algorithm for high-order BDF methods for diffusion and subdiffusion equations
本文提出了一种近似求解抛物型方程的时间并行算法。特别是，我们应用$k$-步向后微分公式，然后开发一个迭代求解器，通过使用波形松弛技术。每一次迭代都代表一个类牛顿系统，可以通过对角化技术进一步并行求解。本文用母函数法从理论上证明了波形松弛迭代法的收敛性。本文建立的方法扩展了Gander和Wu [Numer.]中单步方法的现有论点。数学、143（2019），pp. 489--527]到六阶的一般BDF方法。由于分数阶微分算子的非局部性，该方法可以进一步应用于时间分数阶次扩散方程，其离散化具有标准BDF方法的共同性质.说明性的数值结果，以补充理论分析。
2021-06-03 cs.NA math.NA
Quasi-Newton Waveform Iteration for Partitioned Fluid-Structure Interaction
我们提出了新的分区多物理场模拟耦合方案，结合了四个重要方面的强耦合问题：隐式耦合每一个时间步长，快速和强大的加速相应的迭代耦合，支持多速率时间步进，高阶收敛的时间。为了实现这一目标，我们结合波形松弛-一种已知的方法，以实现更高的顺序在应用程序中与分裂时间步进的基础上连续表示耦合变量的时间-与接口拟牛顿耦合，这已经在过去的十年中发展，并普遍接受作为一个非常强大的迭代耦合方法，即使是粘合在一起的黑盒仿真代码。我们展示了两个学术测试案例的收敛结果（迭代求解器的收敛性和时间上的近似顺序）-传热场景和流体-结构相互作用模拟。我们表明，我们达到了预期的近似顺序，我们的迭代法是竞争力的迭代次数与那些设计简单的一阶时间耦合。
2020-02-04 cs.NA math.NA
A Time-Dependent Dirichlet-Neumann Method for the Heat Equation
University of Geneva（日内瓦大学）
本文提出了一种用于抛物问题的波形松弛狄利克雷-Neumann方法，针对时间依赖的子域问题，通过子域求解和边界条件迭代，展示了热方程在有限时间区间内的收敛性。
2014-05-21 cs.NA math.AP math.CA
