An induction property for prime counting functions
Andrew O'Desky
给出了一个关于素计数函数的渐近公式的初等证明。作为一个小的应用，我们给出了一个新的减少的证明Chebotarëv的密度定理的循环的情况。
We provide an elementary proof of an asymptotic formula for prime counting functions. As a minor application we give a new reduction of the proof of Chebotarëv's density theorem to the cyclic case.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The prime counting function
下面的定理给出了另一种计算分布素数计数函数的方法，而不使用递归和素数的值
The fractal nature of an approximate prime counting function
结合两个不同的方面导出了与素数相关的分形多边形和曲线。一个是建立在加法函数上的素数计数函数的近似。另一种是从离散或连续傅立叶基中提取的素数索引基实体。
New bounds for the prime counting function π(x)
本文建立了关于素计数函数π（x）的若干新的估计，改进了文献中已证明的估计.作为应用，我们推出了关于小区间上素数存在性的一个新结果。
Prime Counting Function Identity
本文给出了π^（2）（N）的一个新公式，它是一个计算不超过给定数N的半素数个数的函数。半素数是恰好是两个素数的乘积的自然数，乘积中的两个素数可以彼此相等。半素数也是几乎素数的一种情况。由于已经知道了这个公式，所以通过使两个函数相等来创建使用素数计数函数的新恒等式。
Harmonic numbers and the prime counting function
我们提供近似的主要计数函数的各种离散版本的对数积分函数，表示单独的谐波数。我们证明了明确的误差界，这些近似至少是一样好的对数积分近似。作为推论，我们给出了黎曼假设在素计数函数和调和数方面的一些重新表述。
A Direct Proof of the Prime Number Theorem using Riemann's Prime-counting Function
在本文中，我们开发了一种新的分析方法来证明素数定理在de la Vallée Poussin的形式：$$ π(x)=\operatorname{li}(x)+\mathcal O(xe^{-c\sqrt{\log x}}) $$与传统的分析方法不同的是，这种新的方法使用轮廓积分方法来分析黎曼素数计数函数$J(x)$，它与$π(x)$只有$\mathcal O(\sqrt x/\log x)$的区别。
On Ramanujan's prime counting inequality
本文给出了数$N_{\mathcal{R}}$的一个新的上界，它被定义为最小正整数，使得Ramanujan的一个涉及素数计数函数$π(x)$的不等式对每个$x \geq N_{\mathcal{R}}$成立.
Estimates for $π(x)$ for large values of $x$ and Ramanujan's prime counting inequality
在本文中，我们使用切比雪夫的$\vartheta$ -函数的精细近似建立新的显式估计的素数计数函数$π(x)$，这改善了目前的最佳估计为大值的$x$。作为一个应用，我们找到了$H_0$的一个上界，它被定义为最小的正整数，使得Ramanujan素数计数不等式对每个$x \geq H_0$都成立.
On a recursively defined sequence involving the prime counting function
证明了由$a_n=π(n)-π\bigl(\textstyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k\bigr).$定义的序列$\{a_n\}_{n\ge1}$的一些性质
On Kuznetsov-Bykovskii's formula of counting prime geodesics
我们推广了一个公式的计数总理测地线，由于库兹涅佐夫-Bykovskii，使用的工作Soundararajan杨总理测地线定理。该方法适用于任意数域和任意同余子群。在主子群和Hecke子群的情况下，我们给出了明确的计算.
Counting primes by sums of frequencies
引入序列$(a_n) \subset (0,1]$，证明了序列$\sum_{k=1}^n a_k$的渐近性质与素数计数函数$π(n)$相同.我们还得到了$π(n) \sim n a_n$，我们估计$\frac{1}{a_n}-\frac{n}{π(n)}$表明$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n}-\frac{n}{π(n)}$是收敛的。
On a sum involving the prime counting function $π(x)$
导出了$π(n)$倒数和的一个精确渐近公式，其中$π(x)$是不超过$x$的素数个数.这个结果改进了De Koninck-Ivić和L.帕奈托波尔
Analytic expressions for some Mellin transforms with their application to prime counting function and interpolation formulas for the zeta function
本文的目的是利用S。拉马努金在证明他的主定理。我们的结果进一步应用于一些数论函数，如素数计数函数和zeta函数。
Counting problems: class groups, primes, and number fields
每个数域都有一个相关联的有限阿贝尔群，即类群，它记录了该数域的整数环内的某些算术性质。这个班级群被研究得很好，但仍然很神秘。Brumer和Silverman的一个中心猜想指出，对于每个素数$\ell$，每个数域都有一个性质，即它的类群有非常少的$\ell$阶元素，其中“非常少”是相对于域的绝对判别式来测量的。本文综述了这一猜想的最新进展，并概述了它与计数素数、计数固定判别数域和计数有界判别数域的密切联系。
The error term in counting prime pairs
本研究建立了Hardy-Littlewood素数对计数猜想公式误差项与von Mangoldt函数构造的素数指数和$L^1$范数的关联，为数论中素数对分布的误差分析提供了新的联系视角。
An explicit formula for the prime counting function
本文利用S. W. Golomb首先证明的一个定理和J. B. Rosser和L.Schoenfeld为了证明$π(n)$存在一个无穷常成立的精确公式。
New Formulas for Semi-Primes. Testing, Counting and Identification of the $n^{th}$ and next Semi-Primes
本文给出了一种新的半素性判别法，并构造了计算不超过给定数$N$的半素个数的函数$π^{(2)}(N)$的一个新公式.我们还提出了新的公式，以确定$n^{th}$半素和下一个半素的一个给定的号码。新的公式是基于小于或等于$N : P_{1}, \; P_{2}....P_{π\left( \sqrt[3]{N}\right) }\leq \sqrt[3]{N}$的立方根的素数的知识。
On the proximity of multiplicative functions to the function counting prime factors with multiplicity
我们研究了一个乘性函数与一个加法函数的相似程度。给定一个乘性函数$g$和一个加法函数$f$，我们研究数量$E(f,g;x)=\# \{n\leq x:f(n)=g(n)\}$的大小。我们建立了一个下界为$E(Ω,g,x)$。
What is the best approach to counting primes?
只要人们学习数学，他们就想知道有多少个素数。得到精确的答案是一个众所周知的难题，由于黎曼，第一个合适的技术激发了大量伟大的数学，技术和见解渗透到许多不同的领域。在这篇文章中，我们将回顾一些计数素数的最佳技术，围绕黎曼的开创性论文进行讨论。我们将继续讨论它的局限性，然后是最近用一个明显更简单的理论来取代黎曼理论的努力。
Improving bounds on prime counting functions by partial verification of the Riemann hypothesis
使用最近的验证黎曼假设高度$3\cdot 10^{12}$，我们提供强有力的估计$π(x)$和其他总理计数函数有限范围的$x$。特别地，我们得到了$2657\leq x\leq 1.101\cdot 10^{26}$的$|π(x)-\text{li}(x)|<\sqrt{x}\log x/8π$。我们还提供了较弱的界限，适用于更广泛的$x$，并应用到拉马努金不等式。
A remark on an inequality for the prime counting function
我们注意到不等式$0.92 \frac{x}{\log(x)} <π(x)< 1.11 \frac{x}{\log(x)}$并不对所有的$x\ge 30$都成立，与某些文献相反。这些估计$π(x)$最近出现在论文代数数论。
Poisson distribution of a prime counting function corresponding to elliptic curves
设$E$是定义在有理域$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，$N$是正整数.现在，$M_E(N)$表示素数$p$的个数，使得群$E_p(\mathbb{F}_p)$的阶为$N$。我们发现，$M_E(N)$遵循泊松分布时，采取了一个大类的曲线的平均值。
Uniformly counting primes with a given primitive root and in an arithmetic progression
在广义黎曼假设的适当形式下，研究了等差数列中具有给定原根的素数的个数。Lenstra，Moree和Stevenstein以前的工作给出了无显式误差项的渐近性，我们将他们的工作与Hooley关于Artin的原根猜想的方法相结合，给出了显式误差项.我们给出了一个应用程序的丢番图问题涉及素数与一个给定的原根。
Counting Prime $k$-tuples
给出了一个精确的求和函数，它可以计算素数$k$ -元组的个数直到某个截止整数。然后定义第一和第二切比雪夫函数的相关求和$k$元组类似物。利用素数幂的Γ分布假设，给出了相应的平均和函数.有了精确的和平均的求和函数，相关的$k$ -元组zeta函数就可以被识别出来，Perron的公式允许制定明确公式的$k$ -元组类似物。然后利用$k$元组zeta函数对$k$元组素数进行了一些推论.
On arithmetic terms expressing the prime-counting function and the n-th prime
本研究提出首个固定长度的初等闭式算术项，可分别表示素数计数函数$\pi(n)$与第$n$个素数$p(n)$，仅用有限固定次数的初等算术运算，为素数是否存在次序的基础问题提供构造性解答。
Counting $r$-tuples of positive integers with $k$-wise relatively prime components
设$r\ge k\ge 2$为固定的正整数。设$\varrho_{r,k}$表示具有$k$式互素分量的正整数$r$元组集合的特征函数，即它们中的任何$k$都是互素的.利用卷积方法，通过初等变元建立了和$\sum_{n_1,\ldots,n_r\le x} \varrho_{r,k}(n_1,\ldots,n_r)$的渐近公式.我们的结果改进了J. Hu（2013）获得的误差项。
Asymptotic expansions of weighted prime power counting functions
我们证明了$π(x)$，$Π(x)$，$\operatorname{li}(x)$，$\operatorname{Ri}(x)$和相关函数的几个渐近连分式展开式，其中$π(x)$是素数计数函数，$Π(x) = \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k}π(\sqrt[k]{x})$是黎曼素数计数函数，$\operatorname{Ri}(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{ μ(k)}{k} \operatorname{li}(\sqrt[k]{x})$是黎曼对素数计数函数的逼近。我们还确定渐近连分式展开的功能$\sum_{p \leq x} p^s$的所有$s \in \mathbb{C}$与$\operatorname{Re}(s) > -1$，和功能$\sum_{a^x < p \leq a^{x+1}} \frac{1}{p}$和$\log \prod_{a^x < p \leq a^{x+1}} (1 -1/p)^{-1}$的所有实数$a > 1$。我们还确定了前几项的渐近连续分数扩展的功能$π(ax)-π(bx)$ $a > b > 0$。作为这些结果的推论，我们确定了这些不同函数的“线性化”版本的最佳有理逼近。
Index, Prime Ideal Factorization in simplest Quartic Fields and counting their discriminants
考虑由不可约四次多项式$$x^4-mx^3-6x^2+mx+1,$$定义的最简单四次数域$\mathbb{K}_m$，其中$m$遍历正有理整数，使得$m^2+16$的奇数部分是无平方的.本文研究了最简四次数域$\mathbb{K}_m$中的公共指标因子$I(\mathbb K_m)$，并明确地确定了任意素数的素理想分解.另一方面，我们建立了具有判别式$\leq x$和给定指标的最简四次域个数的渐近公式。
Counting relatively prime pairs of palindromes
本文针对任意基数下固定奇数长度的回文数对，给出了互素回文数对数量的渐近公式，解决了 Banks 和 Shparlinski 提出的开放问题。
Average prime-pair counting formula
取$r>0$，令$π_{2r}(x)$表示$(p, p+2r)$与$p\le x$的素数对的数目。Hardy和Littlewood（1923）的素数对猜想断言$π_{2r}(x)\sim 2C_{2r} {\rm li}_2(x)$具有显式常数$C_{2r}>0$。似乎没有好的猜想，对应于黎曼公式的$π(x)-{\rm li}(x)$的最大值$ω_{2r}(x)=π_{2r}(x)- 2C_{2r} {\rm li}_2(x)$。然而，有一个启发式的近似公式的平均值，这是由数值结果支持的，该公式的平均值$ω_{2r}(x)$。
Improving riemann prime counting
素数定理断言（在大$x$下）素数计数函数$π(x)$近似于对数积分$\mbox{li}(x)$。在中间范围内，黎曼素计数函数$\mbox{Ri}^{(N)}(x)=\sum_{n=1}^N \frac{μ(n)}{n}\mbox{Li}(x^{1/n})$偏离$π(x)$的渐近消失和$\sum_ρ\mbox{Ri}(x^ρ)$取决于黎曼zeta函数$ζ(s)$的临界零点$ρ$。我们找到了一个合适的$π(x)\approx \mbox{Ri}^{(3)}[ψ(x)]$ [与$\mbox{li}(x)$相比有三到四个新的精确数字]，通过使用切比雪夫函数$ψ(x)$的Von Mangoldt显式公式。另一个等效拟合使用带有变量$ψ(x)$的Gram公式。这样做，我们评估$π(x)$的范围$x=10^i$，$i=[1\cdots 50]$的帮助下，第一个$2\times 10^6$黎曼零点$ρ$。在此背景下，给出了一些与黎曼假设（RH）有关的评论。
Counting Eta-Quotients of Prime Level
已知SL 2（Z）上的所有模形式都可以表示为eta（z），eta（2 z）和eta（4 z）中的一个有理函数.通过利用已知的定理，并计算消失阶，我们可以计算给定水平的η-因子。使用这个计数，知道有多少η-分量是线性无关的，并使用维数公式，我们可以计算出一个由η-分量张成的子空间。在本文中，我们主要关注的情况下，N=p一个素数。
The normal order of of the divisor-counting function for invariants of rank 2 Drinfeld modules
当素数$p$在Drinfeld模的普通约化的素数上变化时，我们计算了具有非平凡自同态环的秩为2的Drinfeld模的约化模的Euler-Poincaré特征和Frobenius迹的除数计数函数的一阶和二阶矩.从这些时刻，我们得到的正常秩序的素除子的数量，这些不变量。
Improved estimate for the prime counting function $π(x)$
利用一些简单的组合论证，我们建立了素计数函数及其类函数的一些新的估计。特别是，我们表明，\begin{align}π(x)=Θ(x)+O\bigg(\frac{1}{\log x}\bigg), \nonumber \end{align}，其中\begin{align}Θ(x)=\frac{θ(x)}{\log x}+\frac{x}{2\log x}-\frac{1}{4}-\frac{\log 2}{\log x}\sum \limits_{\substack{n\leq x\\Ω(n)=k\\k\geq 2\\2\not| n}} \frac{\log (\frac{x}{n})}{\log 2}.\nonumber \end{align}这是一个改进的估计\begin{align}π(x)=\frac{θ(x)}{\log x}+O\bigg(\frac{x}{\log^2 x}\bigg)\nonumber \end{align}在文献中发现。
Counting primes in the interval (n^2,(n+1)^2)
本文证明了$n$有许多无穷大正整数值，其中下列不等式成立：$$ \left\lfloor{1/2}(\frac{(n+1)^2}{\log(n+1)}-\frac{n^2}{\log n})-\frac{\log^2 n}{\log\log n}\right\rfloor\leqπ\big((n+1)^2\big)-π(n^2). $$
Asymptotic counting of integers with prime factors $p_{r^a s^b}$
本文给出具有形如 $p_{r^a s^b}$ 的素数因子的整数的渐近计数公式，误差为 $o(1)$，并解决了 $(2,3)$ 情形下序数编码的计数问题。
Counting and equidistribution over primes in hyperbolic groups
本文研究上半平面中双曲格点角度在素数条件下的等分布问题，扩展Friedlander和Iwaniec的工作，证明完全模群在素数矩阵下等分布成立（在假设下界条件下），并证明特定算术余紧群在素数限制下无条件等分布。
Weighted Discriminants and Mass Formulas for Number Fields
我们定义了数域的加权判别式和相应的计数函数的概念，以及这些计数函数对一组素数具有质量公式意味着什么。本文推广了Kedlaya的一个结果，证明了有限群$Γ$的任意真计数函数对于不整除$|Γ|$的素数集都有一个质量公式.我们还证明了，如果$Γ$是一个$\ell$ -群的一些素数$\ell$，那么只有200多个加权判别计数函数的$Γ$ -扩展的$\Q$，有一个质量公式的所有素数。最后，我们列举了$Γ=D_4$和$Γ=Q_8$的所有此类计数函数。
A Gamma Distribution Hypothesis for Prime $k$-tuples
基于素数幂的Γ分布假设，我们猜想素数$k$ -元组的平均计数函数.该猜想与$k$ -元组的Hardy-Littlewood猜想密切相关，但产生更好的估计。拥有平均计数函数及其对应的精确计数函数允许隐式地定义相关的$k$元组ζ函数。$k$元组zeta函数又允许构造显式公式的$k$元组类似物。如果（隐式定义的）$k$ -元组zeta的零点可以确定，则显式公式应该产生素数定理的$k$ -元组模拟的（逆）证明。
Mod-$p$ maximal compact inductions do not have irreducible admissible subrepresentations
设$p$是一个素数。证明了$p$ -adic分裂约化群的mod- $p$极大紧诱导不存在不可约的容许子表示.
An incremental approximation to the prime-counting function via polygonal numbers
提出一种基于广义三角数结构化非均匀划分的素数计数函数π(x)近似算法，具有O(1)均摊更新复杂度和O(√x)总复杂度，通过数值实验修正项达到与经典解析近似相当的精度。
On a Double Series Representation of the Natural Logarithm, the Asymptotic Behavior of Hölder Means, and an Elementary Estimate for the Prime Counting Function
我们在数论中提出了许多新的结果，包括自然对数的二重级数公式和基于黎曼ζ函数的函数方程的Hölder平均的证明。我们找到了一个调和平均模拟切比雪夫不等式的主要计数函数涉及的欧拉-Mascheroni常数。此外，我们定义了一个函数的所有正整数的Hölder平均到一个给定的数字，并研究其渐近行为，发现两个不同的模式是由调和平均分开。此外，还讨论了该函数在零点处的性质，发现了一个涉及黎曼ζ函数的公式，并利用黎曼函数方程证明了该函数的连续性.受交替调和级数的启发，我们找到了自然对数的二重级数公式，从而得到了涉及黎曼ζ函数、二项式系数和多项式的恒等式。
Short Recurrences and Straight-Line Programs for Primes
该研究提出从初始值8生成奇素数的短自主递推式，将素数计数函数表示为整数的2-adic赋值，还构造出对应素数相关函数的固定算术直线程序。
Counting elliptic curves with bad reduction over a prescribed set of primes
设$p\ge5$是椭圆曲线的特殊纤维的素数，$T$是Kodaira型。我们估计了$\mathbb Q$上的椭圆曲线的数量，直到高度$X$，其中Kodaira型$T$在$p$。这使我们能够找到比例的椭圆曲线在$\mathbb Q$，当按高度排序，与小平型$T$在一个总理$p\ge5$内的一组所有椭圆曲线。该比例是$p$中的有理函数。例如，我们证明了所有在$p$处具有坏约化的椭圆曲线的$\displaystyle\frac{p^8(p-1)}{p^9-1}$都是乘法约化的。此外，我们证明了大多数椭圆曲线的导体的素数到$6$部分是无平方的，其中$ζ$是Riemann-zeta函数。
Asymptotic expansions of the prime counting function
本文给出了素数计数函数$π(x)$及其相关函数的几种渐近展开式。我们定义一个实或复变量的复值函数的{ \it渐近连分式展开式}是一个可能发散的连分式，其逼近提供了给定函数的渐近展开。我们表明，对于每个正整数$n$，两个著名的连分式展开的指数积分函数$E_n(z)$相应地产生两个渐近连分式展开的$π(x)/x$。我们证明了这一点，首先建立一些一般性的结果渐近连分式展开。例如，我们表明，“最佳”的有理函数逼近的一个功能拥有渐近雅可比连续分数的扩展，正是连续分数的逼近，作为一个推论，我们确定所有的最佳有理函数逼近的功能$π(e^x)/e^x$。最后，我们将我们在$π(x)$上的结果推广到任何满足公理A的算术半群，从而推广到任何数域。
New estimates for some functions defined over primes
本文首先建立了Chebyshev $\vartheta$ -函数的新的显式估计。应用这些新的估计，我们得到新的上限和下界的一些功能定义在素数，例如素数计数函数$π(x)$，这改善了目前最好的。此外，我们利用所得到的关于素数计数函数的估计，给出了关于短区间内素数存在性的两个新结果。
The Prime Number Theorem and Primorial Numbers
著名的数学家高斯、勒让德、狄利克雷和欧拉都研究过计数素数的个数直到某个自然数，并描述这样一个计数函数的渐近行为。素数定理确定了这种渐近行为类似于数除以其自然对数的渐近行为。本文利用数的乘法表示和对数函数的性质，用素数和n-素数表示了素数定理.素数是前n个素数的乘积，而n-素数是与第n个素数互质的数。通过这样做，我们可以定义几个不同的函数，这些函数可以用来渐近地近似素数计数函数的行为。
Derived Ramanujan Primes : R'_{n}
我们研究的拉马努金总理计数函数沿线拉马努金的原始工作伯特兰的公设。我们证明了在x和2x之间的Ramanujan素数的个数随着x趋于无穷大。这种分析使我们定义了一个新的序列的素数，我们称之为派生拉马努金素数。当n大于或等于1时，我们定义第n个拉马努金素数为最小的正整数，其性质是：如果x大于或等于第n个拉马努金素数，则从x到x/2的区间中的拉马努金素数的个数大于或等于n。作为导出Ramanujan素数存在性的一个应用，我们证明了Richert素数定理和Greenfield素数定理对于Ramanujan素数的类似性。给出了素数计数函数和Ramanujan素数计数函数的一些新的不等式.在Sondow和Laishram关于Ramanujan素数的界的最新工作的基础上，我们分析了导出的Ramanujan素数的界。最后给出了Amersi，Beckwith，Miller，Ronan和Sondow定理的另一个证明.
Efficient prime counting and the Chebyshev primes
The function $ε(x)=\mbox{li}(x)-π(x)$ is known to be positive up to the (very large) Skewes' number. Besides, according to Robin's work, the functions $ε_θ(x)=\mbox{li}[θ(x)]-π(x)$ and $ε_ψ(x)=\mbox{li}[ψ(x)]-π(x)$ are positive if and only if Riemann hypothesis (RH) holds (the first and the second Chebyshev function are $θ(x)=\sum_{p \le x} \log p$ and $ψ(x)=\sum_{n=1}^x Λ(n)$ , respectively, $\mbox{li}(x)$ is the logarithmic integral , $μ(n)$ and $Λ(n)$ are the Möbius and the Von Mangoldt functions). Negative jumps in the above functions $ε$ , $ε_θ$ and $ε_ψ$ may potentially occur only at $x+…
The Skewes number for twin primes: counting sign changes of $π_2(x)-C_2 \Li_2(x)$
本文报道了孪生素数$π_2(x)$与Hardy-Littlewood猜想$C_2\Li_2(x)$之差的符号变化的计算机研究结果。结果表明，$d_2(x)=π_2(x) - C_2\Li_2(x)$在$x$的出乎意料的低值处改变符号，并且对于$x<2^{48}=2.81\...\times10^{14}$，该差异有477118个符号改变。证明了$x\in (1, T)$的$d_2(x)$的符号变化数由$\sqrt T/\log(T)$给出。绘制了$x$至$2^{48}$的$d_2(x)>0$和$d_2(x)<0$组的运行对数密度。
The Counting function for Elkies primes
本文在广义黎曼假设下研究椭圆曲线 Elkies 素数的分布，首次给出最小 Elkies 素数的显式上界 $(2\log 4q+4)^2$，并建立了 Elkies 素数计数函数的渐近公式。
Counting multiplicative groups with prescribed subgroups
我们研究两个表面上看起来非常群论的计数问题，但仔细检查，原来是关于整数的限制，他们的素因子。首先，给定一个奇素数$q$和一个有限阿贝尔$q$ -群$H$，我们考虑整数集合$n\le x$使得乘法群$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$的Sylow $q$ -子群同构于$H$ .我们表明，这组整数的计数功能是渐近$K x(\log\log x)^\ell/(\log x)^{1/(q-1)}$的显式常数$K$和$\ell$依赖于$q$和$H$。其次，我们考虑整数集合$n\le x$，使得乘法群$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$是“极大非循环的”，也就是说，使得它的所有素幂子群都是初等群。我们表明，这一组整数的计数功能是渐近$A x/(\log x)^{1-ξ}$为一个明确的常数$A$，其中$ξ$是阿丁常数。事实证明，这两个群论问题都可以简化为对素数因子有限制的整数计数问题，从而可以通过解析数论的经典技术来解决。
Short average distribution of a prime counting function over families of elliptic curves
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$N$是正整数。现在，$M_E(N)$计算素数$p$的个数，使得群$E_p(\mathbb{F}_p)$的阶为$N$。在早期的联合工作与Balasubramanian，我们表明，$M_E(N)$服从泊松分布时，平均采取了一个家庭的椭圆曲线参数$A$和$B$其中$A,\, B\ge N^{\frac{\ell}{2}}(\log N)^{1+γ}$和$AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{2+γ}$为一个固定的整数$\ell$和任何$γ>0$。在本文中，我们表明，对于足够大的$N$，相同的结果保持，即使我们采取$A$和$B$范围内的$\exp(N^{\frac{ε^2}{20\ell}})\ge A, B>N^ε$和$AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{6+γ}$任何$ε>0$。
On the Distribution of Products of Primes and Powers
我们证明了几个结果的分布数是一个素数和$k$次幂的产品。首先，我们证明了这类数的计数函数的一个渐近公式，推广了E.科恩然后，我们表明，在这个公式中的误差项可以锐化的假设的黎曼假设。最后，我们证明了这些计数函数在短区间内的一个渐近公式。
Power spectrum of the fluctuation of Chebyshev's prime counting function
基于Chebyshev加权素数计数函数的不同大小的涨落函数样本，数值估计了其涨落的单边功率谱。基于黎曼假设和波动函数关于所有非平凡黎曼零点的精确公式，对大频率下的功率谱进行了解析估计。我们的分析估计与1/f^2功率谱的数值估计是一致的。
Counting (k,l)-sumsets in groups of prime order
一个群$G$的子集$A$称为$(k, l)$ -{ \it和集}，如果对于某些$B\subseteq G$有$A= kB-lB$，其中提供了素数阶群中$(k, l)$ -和集数目的$kB-lB={x_1+...+x_k-x_{k+1}-...-x_{k+l} : x_1,..., x_{k+l}\in B}.$上下界。
Exceptional biases in counting primes over functions fields
本文研究函数域素数竞赛中的异常偏差，证明三类偏差在给定次数的无平方因子首一多项式族中随 q 趋于无穷而概率趋零，并改进 Kowalski 的界。
Chebyshev Upper Estimates for Beurling's Generalized Prime Numbers
设$N$是Beurling广义数系的计数函数，$π$是其素数的计数函数.我们证明了$L^{1}$条件$$ \int_{1}^{\infty}|\frac{N(x)-ax}{x}|\frac{\mathrm{d}x}{x}<\infty $$和$$N(x)=ax+O(\frac{x}{\log x}),$$对某些$a>0$的渐近行为，满足Chebyshev上估计$$ \frac{π(x)\log x}{x}\leq B<\infty. $$
Explicit counting of ideals and a Brun-Titchmarsh inequality for the Chebotarev Density Theorem
我们证明了在给定的域扩张中具有给定分裂行为的素数个数的一个界。这个界推广了等差数列中素数的Brun-Titchmarsh界。这个证明是塞尔伯格筛法在数域上的一个应用。主要的新成分是一个明确的计数结果估计的整元的数量与某些属性乘单位。作为这个结果的结果，我们推导出一个明确的估计数的理想的范数高达$x$。
Counting points on hyperelliptic curves in average polynomial time
设g >= 1，Q是Z[x]中一元的2g + 1次无平方多项式.对于不整除Q的判别式的奇素数p，设Z_p（T）表示有限域F_p上亏格为g的超椭圆曲线的zeta函数，通过对方程y^2 = Q（x）模p的系数进行降阶得到.本文给出了一个显式确定性算法，以Q和一个正整数N为输入，对所有p < N的素数同时计算Z_p（T），其每个素数的平均复杂度是g的多项式，log N，以及表示Q所需的位数。
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