Specialisation of Soergel Bimodules
Benjamin McDonnell
我们认为一个广义的专门化函子Soergel双模，并表明，这种广义的版本仍然需要Soergel双模Soergel模块。
We consider a generalisation of the specialisation functor on Soergel bimodules and show that this generalised version still takes Soergel bimodules to Soergel modules.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On one-sided singular Soergel bimodules
本文建立了一种作为 Williamson 理论部分推广的奇异 Soergel 双模理论，并采用了作者开发的 Soergel 双模表述。
Simple transitive $2$-representations of Soergel bimodules in type $B_2$
证明了在$B_2$型中Soergel双模的平坦$2$ -范畴的每个简单传递$2$ -表示等价于胞腔$2$ -表示.我们还描述了任意有限二面体群的Soergel双模的$2$ -范畴的一些一般性质。
Singular Soergel bimodules for realizations
本文将Williamson定义的附加于Coxeter群反射忠实表示的奇异Soergel双模范畴推广至更一般的Coxeter群实现。
On the functor relating Harish-Chandra bimodules and Soergel bimodules
本文重新考察 Soergel 函子，将其与 Losev 的限制函子联系起来，计算相关双模的像并给出函子性质的新证明，同时把整块结果推广到一般块。
La théorie de Hodge des bimodules de Soergel (d'après Soergel et Elias-Williamson)
Soergel双模是多项式代数上的某些双模，与Coxeter群有关，由Soergel在20世纪90年代研究复半单李代数的O范畴时引入。尽管它们的定义是代数的，而且相当初等，但直到最近，它们的一些关键性质才在结晶学考克斯特群的情况下被发现，在那里这些双模可以用舒伯特簇的等变上同调来解释。在最近的工作埃利亚斯和威廉姆森证明了这些性质在充分的一般性，表明这些双模具有“霍奇型”的性质。这些结果充分地揭示了Kazhdan-Lusztig多项式的正性，并为Kazhdan-Lusztig猜想提供了一个代数证明.
The Hodge theory of Soergel bimodules
利用不可分解Soergel双模的特征证明了Soergel猜想。我们推导出Kazhdan-Lusztig多项式对任意Coxeter系统都有正系数。利用Soergel的结果可以推导出Kazhdan-Lusztig猜想的代数证明。
Modular Koszul duality for Soergel bimodules
我们推广的模块Koszul对偶的Achar-Riche设置Soergel双模与任何有限Coxeter系统。关键的新工具是一个函子单值作用和跨墙函子的混合模块导出范畴。在特征为0时，这种对偶性与Soergel猜想（Elias-Williamson证明）一起意味着我们的Soergel理论分次范畴$\mathcal{O}$是Koszul自对偶的，推广了Beilinson-Ginzburg-Soergel的结果.
Local Hodge theory of Soergel bimodules
证明了Soergel双模的局部硬Lefschetz定理和局部Hodge-Riemann双线性关系。利用Soergel和Kübel的结果，可以推导出Jantzen定理的代数证明。我们观察到，Jantzen过滤可能取决于非主导的规则变形方向的选择。
On Soergel bimodules
对于Coxeter系统和该Coxeter系统的表示$V$，Soergel定义了一个范畴，现在称为Soergel双模范畴，并证明了当$V$是反射忠实的时，这给出了Hecke代数的范畴化。Elias和Williamson在$V$不是反射忠实的情况下定义了另一个范畴，并证明了当$V$是反射忠实的时，这个范畴等价于Soergel双模范畴.此外，他们还在$V$上用较少的假设证明了其范畴的范畴化定理。本文给出了Elias-Williamson范畴的“双模论”定义，并重新证明了范畴化定理。
On modular Soergel bimodules, Harish-Chandra bimodules, and category O
本文继续了Bezrukavnikov和Riche提出的模Harish-Chandra双模范畴的研究，并研究了BGG范畴$\mathcal{O}$的模形式.我们证明了一个版本的Bezrukavnikov-Mirkovic-Rumynin局部化定理的Harish-Chandra双模和范畴$\mathcal{O}$。我们还将Harish-Chandra双模范畴与Bezrukavnikov和Riche先前工作上的仿射Hecke范畴联系起来。
Folding with Soergel bimodules
我们给一个温和的介绍折叠的概念。也就是说，我们提供了一个基本的讨论等变范畴，他们的加权Grothendieck群，和技术方面的计算与他们。然后，我们执行所需的计算，以确认几乎在所有情况下，具有不等参数的拟分裂Hecke代数都可以通过等变Soergel双模进行分类。
A non-perverse Soergel bimodule in type A
关于不可分解Soergel双模的一个基本问题是理解它们的自同态环。在特征零中，所有零度自同态都是同构（Elias和第二作者证明了这一事实），这意味着Kazhdan-Lusztig拓扑。最近，许多正特征的例子被发现具有更大的零度自同态。这些给出了Lusztig猜想中期望界的反例。本文证明了具有非零负度自同态的A型不可分解Soergel双模的存在性。这给出了在类型A中存在一个非反常宇称层。
2-representations of small quotients of Soergel bimodules in infinite types
我们确定哪些Coxeter类型的Soergel双模的$2$ -范畴的相关的小商是有限的，对于这样一个小商，分类简单的传递$2$ -表示（有时在额外的假设下的分级）。我们还描述了简单的传递$2$ -表示的基本类别。对于一般Coxeter型的小代数，我们给出了胞元$2$ -表示的描述.
Soergel bimodules and Kazhdan-Lusztig polynomials
本文以凝练纲要介绍 Soergel 双模及其在 Kazhdan–Lusztig 理论中的应用，重点说明其如何为 Kazhdan–Lusztig 猜想提供替代证明。
Singular Soergel bimodules
本文定义并研究了作为 Soergel 双模自然推广的奇异 Soergel 双模范畴，分类了其不可分解对象，证明了其 2-范畴的分裂 Grothendieck 群同构于 Schur 代数体，并揭示了特征零下原猜想对奇异情形的推论。
Sur la catégorie des bimodules de Soergel
Coxeter系统（W，S）的Soergel范畴B是W作用于其上的多项式代数上的双模范畴。这是Hecke代数（W，S）的一个分类。本文给出了B中态射空间的一种组合刻画。作为推论，我们给出了O_0-proj中态射的类似描述，其中O_0是BGG范畴O的主块. - Soergel的Coxeter（W，S）系统的B类是一个关于W agit的多项式代数的双模类。这是Hecke de（W，S）对阿尔及利亚的分类。在这篇文章中，我们给出了B语言中形态空间的组合描述。因此，O_0是BGG中O类的主要成分。
Modular representation theory in type A via Soergel bimodules
本文用仿射p-Kazhdan-Lusztig多项式表示A型模表示-理论范畴中的某些重数。我们处理的表示论范畴包括GL（n）的有理表示范畴、gl（n）的量子群表示范畴以及（退化）分圆Hecke和Schur代数的表示范畴，其中基域是具有任意素特征的代数闭域.为了解决这个问题，我们定义Soergel理论版本的抛物范畴O的特征p。我们表明，这些类别有许多共同的特点与经典的抛物范畴O，例如，他们是最高权。我们产生一个同态从（有限或仿射）型A 2-Kac-穆迪范畴的图形版本的范畴奇异Soergel双模（再次，有限或仿射型A）。这导致了Soergel理论范畴O上的范畴Kac-Moody作用。然后通过证明Fock空间上最高权范畴作用的唯一性结果，将表示论范畴与Soergel论范畴联系起来.
Almost finitary birepresentation theory and applications to affine Soergel bimodules
本文发展了适用于无限Coxeter群Soergel双模的有限双表示理论泛化，建立了简单双表示分类的简化过程，并详细讨论了扩展仿射类型A中的Soergel双模情况。
Koszul Duality and Soergel Bimodules for Dihedral Groups
证明了Soergel模范畴中投射生成元的自同态环（对于二面体群）是Koszul自对偶的.
Cyclotomic nil-Brauer and Singular Soergel bimodules of type D
本文提出了一种新的单则范畴，通过构造从 cyclotomic nil-Brauer 分类到类型 D 的奇异 Soergel 双模的单则函子，并探讨了其在 Grothendieck 环上的同构性。
Gentle introduction to Soergel bimodules I: The basics
本文是一系列介绍性论文的第一个迷人的世界Soergel双模。它具有组合性质，应向广大受众开放。本文的目的是帮助读者感到舒适的计算与Soergel双模和解释一些重要的开放问题在该领域。动机，历史和与其他领域的关系将在本系列的后续论文中展开。
Odd two-variable Soergel bimodules and Rouquier complexes
我们考虑Soergel双模范畴的奇类比。在奇数情况下，并且已经有两个变量，转置双模不能合并到生成Soergel双模中，迫使一个进入一个幺半范畴范畴，与偶数情况相比，具有更大的Grothendieck环。我们建立了适当的函子的双伴性，并发展了奇Soergel范畴和相关的奇异Soergel 2-范畴在2-变元情况下的图形演算。我们描述了奇模拟的Rouquier复合物，并建立其可逆性的同伦范畴。对于三个变量，生成的Soergel双模的张量积的直和分解的缺乏为Reidemeister III关系在同伦范畴中保持提出了障碍。
New bases of some Hecke algebras via Soergel bimodules
对于超大型Coxeter系统（m（s，r）>3），我们构造了一个自然的显式Soergel双模集D={D_w}_{w \in W}，使得每个D_w包含（或等于）不可分解Soergel双模B_w作为直和项.当去范畴化时，我们证明了D产生一个集合{d_w}_{w \in W}，它实际上是Hecke代数的一个基.这个基接近于Kazhdan-Lusztig基，并且满足“正性条件”。
A Hom formula for Soergel modules
本文研究任意 Coxeter 群的 Soergel 模，证明无限情形下其同态多于 Soergel 双模态射，否定 Soergel 的一个问题；并利用结构代数上的模结构使态射维数与 Hecke 配对一致，构造特殊子模以推广 Bruhat 区间形状结果。
Evaluation birepresentations of affine type A Soergel bimodules
本文定义仿射A型Soergel双模到有限A型的赋值函子，范畴化对应Hecke代数的赋值同态，可拉回得到三角双表示，并证明胞腔双表示对应赋值双表示有有限覆盖，以次正则顶点情形为例说明。
Diagramatics of $A_1 \times A_1$ Folded Soergel Bimodules
本文给出 $A_1 \times A_1$ 型 Soergel 双模在 $\mathbb{Z}/2$ 作用下的等变化范畴的同痕表示，为研究等变 Soergel 双模范畴奠定基础。
A foamy approach to Soergel bimodules
本文通过建立泡沫2范畴与类型A奇异Soergel双模的2等价，探索双模结构的深层联系。
Soergel bimodules for universal Coxeter groups
我们给出了一个显式的递归公式，计算幂等投影到任何不可分解的Soergel双模的通用Coxeter系统。这给出了确切的一套素数的积极特征类似的Soergel猜想举行。在此过程中，我们介绍了多色Temperley-Lieb代数。本·韦伯斯特的附录给出了琼斯-温茨尔投影仪存在的基环上的精确条件。
On generalized categories of Soergel bimodules in type $A_2$
本文计算了$A_2$型Soergel双模广义范畴的分裂Grothendieck环，其中每个反射取一个生成元.我们给出了一个介绍的生成元和关系，它和一个参数化的不可分解的对象的范畴，通过实现它们作为环的正则函数的某些工会的图形组元素的反射忠实表示。
K-theory Soergel Bimodules
本文提出 K-理论 Soergel 双模概念，证明其态射可由 Bott-Samelson 簇间的等变 K-理论对应几何描述，并引入分层等变 K-动机形式体系，实现旗流形上 Bruhat-分层等变 K-动机的链复形刻画，提出 Koszul 对偶等猜想。
Trihedral Soergel bimodules
量子佐竹对应将二面体Soergel双模与量子$\mathfrak{sl}_2$表示范畴的半单商联系起来。它还建立了一个精确的关系之间的简单传递$2$ -表示的幺半范畴，这是由双色$\mathsf{ADE}$ Dynkin图索引。利用仿射$\mathsf{A}_{2}$ Soergel双模之间的量子Satake对应和量子$\mathfrak{sl}_3$表示范畴的半单商，引入了三面体Hecke代数和Soergel双模，推广了二面体Hecke代数和Soergel双模.这些都有自己的Kazhdan-Lusztig组合，简单的传递$2$ -表示对应于三色广义$\mathsf{ADE}$ Dynkin图。
Jucys-Murphy elements for Soergel bimodules
我们构造了与一般Coxeter群相关联的Soergel双模的代数范畴的Jucys-Murphy元，并利用它们对角化胞腔模上的双线性型.这就产生了行列式的形式和Jantzen型求和公式的表达式。
Higher Idempotent Completion for Soergel Bimodules
本研究将高等幂等完备化应用于纽结同调与高等表示论相关的高等范畴，证明奇异Soergel双模可由部分2-范畴幂等完备化复原，构建了A型下的半严格幺半2-范畴并给出泡沫理论的高等范畴分支规则，得到Rose-Wedrich分解定理的完全局部版本。
Khovanov-Rozansky homology via Cohen-Macaulay approximations and Soergel bimodules
这是作者的毕业论文。我们描述了一个简化的Khovanov-Rozansky的分类的量子sl（n）链接同调的建设使用的理论，极大的Cohen-Macaulay模超曲面奇点和组合学的Soergel双模。更精确地说，我们证明了与基本MOY-图相关的矩阵分解等于某些Soergel双模的Cohen-Macaulay逼近，并证明了只要所考虑的MOY-图不具有定向圈，Cohen-Macaulay逼近与张量积可交换.因此，与MOY-辫子相关联的矩阵分解等于与Mazorchuk和Stroppel的辫子相关联的BGG-范畴O上的内函子相对应的Soergel双模的Cohen-Macaulay近似。这减少了某些计算的范畴内的矩阵分解已知的组合的赫克代数。最后，我们将辫子闭包描述为某种Hochschild上同调，并证明了对应于多于n行的Young tableaux的不可分解Soergel双模具有平凡的Cohen-Macaulay逼近，这类似于范畴O上对应的投射函子在至多n个部分的抛物上的限制为零的事实.
Relative hard Lefschetz for Soergel bimodules
证明了Soergel双模的相对硬Lefschetz定理。由此可见，Kazhdan-Lusztig基的结构常数是单峰的。我们解释了为什么相对硬的莱夫谢茨定理意味着张量范畴相关的Lusztig的任何2侧细胞的考克斯特群是刚性和枢轴。
Matrix recursion for positive characteristic diagrammatic Soergel bimodules for affine Weyl groups
本文为仿射 Weyl 群构造从图解 Hecke 范畴到矩阵范畴的函子，范畴化递归表示，从而将图解 Soergel 双模约化为按因子 p 更小的双模，并给出 p-典范基及不可分解倾斜模特征标的新下界。
Equivariant Coherent Sheaves, Soergel Bimodules, and Categorification of Affine Hecke Algebras
本文利用Soergel的范畴仿射Hecke代数给出了Grothendieck分解下的某些等变相干层的描述。作为一个应用，我们推导出这些相干层范畴的范畴的反常层的Bezrukavnikov-云的工作中考虑的关系，推广Arkhipov Bezrukavnikov的结果。此外，我们还证明了Riche层和Bezrukavnikov-Riche层上的弱辫群作用可以提升为严格辫群作用.
Thick Soergel calculus in type A
设R是n元多项式环，作用于对称群S_n. Soergel构造了R-双模的一个完全monoidal子范畴，它将Hecke代数分类，其对象现在被称为Soergel双模。Soergel双模可以被描述为Bott-Samelson双模的和项（附加到简单反射序列上），或广义Bott-Samelson双模的和项（附加到抛物子群序列上）。一个图解表示的类别的Bott-Samelson双模给出了作者和Khovanov在以前的工作。在本文中，我们将其推广到广义Bott-Samelson双模范畴的一个表示。我们还对由抛物子群的平凡表示导出的Hecke代数的表示进行了图解分类。主要工具是一个显式描述的幂等，挑选出一个广义的Bott-Samelson双模作为被加数内的Bott-Samelson双模。本文详细分析了S_n的最长元的约化表示图，以及Manin和Schechtman的高阶Bruhat给出的图上的半定向。
Singular Rouquier Complexes
我们一般化的建设Rouquier复杂的设置奇异Soergel双模采取最小复杂的限制Rouquier复杂。我们发现，他们保留了许多普通的鲁基耶复合物的属性：他们是δ分裂，他们满足消失的公式，当Soergel猜想举行，他们是反常的。作为应用，我们利用奇异Rouquier复形建立了奇异Soergel双模的Hodge理论.
Induction for extended affine type A Soergel bimodules: first steps
本文初步探讨了扩展有理类型A Hecke代数有限维表示的Zelevinsky张量积的范畴化。
Simple transitive 2-representations for some 2-subcategories of Soergel bimodules
本文在Coxeter型$B_2$和$I_2(5)$的共不变代数上，对Soergel双模的$2$范畴的某些$2$子范畴的简单传递$2$表示进行了分类.在$I_2(5)$的情况下，证明了简单传递的$2$ -表示被单元$2$ -表示耗尽。在$B_2$的情况下，我们表明，除了细胞$2$表示，有一个独特的，等价的，额外的简单传递$2$表示，我们给出了一个明确的建设这$2$表示。
Simple transitive 2-representations of small quotients of Soergel bimodules
在除$I_2(12)$，$I_2(18)$和$I_2(30)$之外的所有有限Coxeter型中，我们对Soergel双模的$2$ -范畴在与包含单位元的双边胞腔最接近的双边胞腔相关联的共不变代数上的商的单传递$2$-re-sen-t分类.事实证明，在大多数情况下，简单的传递$2$ -表示被细胞$2$ -表示耗尽。然而，在Coxeter类型$I_2(2k)$中，其中$k\geq 3$，存在简单传递的$2$ -表示，其不等同于单元$2$ -表示。
A skein relation for singular Soergel bimodules
我们研究的绞关系，管理的HOMFLYPT不变的链接着色的一列杨图。我们的主要结果是这个彩色绞关系的分类。这采取的形式是一个同伦等价之间的两个单侧扭曲的复杂构造的奇异Soergel双模的里卡德复合编织网。在此过程中，我们证明了Beliakova-Habiro的一个猜想，该猜想将着色的2-strand全扭曲复合物与量子$\mathfrak{sl}_2$的范畴带状元联系起来。
Braiding on complex oriented Soergel bimodules
本文在稳定同伦论中定义谱值 U(n) Soergel 双模的高阶范畴，并在复定向条件下为其相关局部稳定范畴构造辫结构，同时建立标准分裂的谱类比。
The Two-Color Ext Soergel Calculus
该研究在特征0下计算二面体群相关Soergel双模的Ext群，得到其Hochschild上同调的图解基与对应幺半范畴的图解表示，还应用于链环同调计算并给出二面体情形Soergel Hom公式的t-模拟。
Soergel Calculus
Soergel双模的幺半范畴是Hecke范畴的具体化，Hecke范畴是表示论的基本对象。我们提出了这一范畴的生成元和关系，使用的语言，平面几何学。我们表明，Libedinsky的轻叶给基态射空间，并给出一个新的证明Soergel的分类不可分解的Soergel双模。
The two-color Soergel calculus
给出了二面体群W的Soergel双模范畴的一个图解表示.（双色）坦珀利-利布范畴作为颜色交替对象之间的0度态射嵌入到这个范畴中。不可分解的Soergel双模是Jones-Wenzl投影的像。当W是无限大时，坦珀利-李伯代数的参数q可能是通用的，从而产生sl（2）的几何佐竹等价的量子版本。当W是有限的时，q必须被专门化为一个适当的单位根单位根，并且可忽略的琼斯-温茨尔投影产生W的最长元素的Soergel双模。
A geometric model for Hochschild homology of Soergel bimodules
在Khovanov和Rozansky的三阶化链同同调论的计算中，一个重要的步骤是确定SL（n）的Soergel双模的霍赫希尔德同调.我们对任何单群G给出了这种霍赫希尔德同调的几何模型，即G中B × B-轨道闭包的等变交同调.我们表明，在A型这些轨道闭包是等变形式的共轭T-行动。我们利用这一事实表明，在相应的轨道闭包是光滑的情况下，这个霍赫希尔德同调是一个外代数上的多项式环的发电机，其程度是明确确定的几何轨道闭包，并描述其希尔伯特级数，证明了一个猜想的雅各布拉斯穆森。
Simple transitive $2$-representations of Soergel bimodules for finite Coxeter types
该研究考察有限 Coxeter 类型 Soergel 双模的简单传递 $2$-表示，证明其等价类有限，并在除 $H_3$、$H_4$ 外的所有类型中完成分类。
Derived traces of Soergel categories
我们研究两种范畴的痕迹（monoidal）dg范畴，特别感兴趣的Soergel双模的类别。首先，我们显式地计算任意类型Soergel双模范畴的通常的霍赫希尔德同调，或导出的垂直迹。其次，我们引入了monoidal dg范畴的导水平迹的概念，并计算了A型Soergel双模的导水平迹。作为应用，我们得到了一个派生的环形Khovanov-Rozansky链接不变量与全扭转插入的行动，从而分类的HOMFLY-PT扭模的固体环面。
Twisted filtrations of Soergel bimodules and linear Rouquier complexes
我们认为扭曲的标准过滤的Soergel双模与任意Coxeter群，并表明，在这些过滤的分级多重性可以被解释为结构常数的Hecke代数。这对应于多项式的积极性时发生的表示一个元素的规范基础在广义标准基础扭曲的一个bicclosed一套根的意义上的戴尔，并作为一个推论的Soergel猜想。然后，我们展示了相应的逆多项式的积极性的情况下，bicclosed集是一个元素或其补充的反演集通过推广埃利亚斯和威廉森的结果的线性相关的鲁基耶复杂的升降机的这些基础元素在Artin-Tits组。这些电梯原来是概括的米卡多辫子介绍了在联合工作与迪涅。这第二个积极的性质推广了戴尔和莱勒的结果从有限到任意Coxeter群。
Presentation of right-angled Soergel categories by generators and relations
Soergel双模范畴B是Coxeter系统（W，S）的Hecke代数的范畴化。当W是直角Coxeter群时，我们发现B（作为张量范畴）由生成元和关系表示。
The diagrammatic Soergel category and sl(N)-foams, for N > 3
对于每个N > 3，我们定义了一个monoidal函子，从Elias和Khovanov的Soergel双模范畴的图解版本到Mackaay，Stosic和Vaz定义的sl（N）泡沫范畴。我们证明了通过这些函子可以从sl（N）泡沫中得到Soergel范畴。
Diagrammatics for Soergel categories
Soergel双模的幺半范畴可以看作是有限外尔群的Hecke代数的范畴化。当外尔群是对称群时，我们用具有局部生成元和局部定义关系的平面图的语言给出了这一范畴。
Categorification of the Kazhdan-Lusztig basis of the Temperley-Lieb algebra by bimodules
我们利用Soergel双模的类似物实现了Temperley-Lieb代数。关键是么半群结构不是由通常的张量积给出的，而是由稍微复杂一点的运算给出的。
Braiding on type A Soergel bimodules: semistrictness and naturality
本文在具体 dg-模型中显式构造了 A 型 Soergel 双模链复形范畴上的编织结构，建立其半严格幺半 2-范畴框架，并给出编织自然性的高阶同伦数据。
Serre Duality and the Whitehead Link
本文证明了二面体Soergel双模同伦范畴中全扭转作为Serre函子，并利用部分迹函子的可表示性计算了Whitehead链环的三重分次链环同调。
Quantum Satake in type A: part I
我们把sl_n网解释为某些奇异Soergel双模之间的态射.我们解释这是一个组合，代数版本的几何佐竹等价（A型）。然后，我们对这个结构进行q-变形，给出了q-变形Cartan矩阵的U_q（sl_n）表示与某些奇异Soergel双模表示之间的等价性.本文讨论了一般情况，但只证明了n= 2，3的情形.下面我们将证明n >= 4的情形。
The combinatorics of Coxeter categories
我们提出了另一种结构的Soergel范畴的双模相关的反射忠实表示的Coxeter系统。我们表明，它的对象可以被视为层的相关的时刻图。我们引入了一个精确的结构，并证明了Soergel的“特殊”双模是投射对象。然后我们用整体和局部的方法构造了不可分解的射影，讨论了Kazhdan-Lusztig猜想的一个版本，并对泛Coxeter系统证明了它。
A braided monoidal $(\infty,2)$-category of Soergel bimodules
本文首次将 Hecke 辫子幺半范畴范畴化为 $\mathbb{E}_2$-幺半 $(\infty,2)$-范畴，基于 Soergel 双模链复形，旨在控制同伦相干链环同调及 4/5 维 TQFT，并发展了分解系统工具。
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