Generalized Hamming weights of toric codes over hypersimplices and square-free affine evaluation codes
设$\mathbb{F}_{q}$是具有$q$元素的有限域，其中$q$是素数$p$的幂。$\mathbb{F}_{q}$上的多项式是无平方的，如果它的所有单项式都是无平方的。在本文中，我们确定了在$s$变量中，在$r$，$s$和这些多项式的次数的一定条件下，任何一组$r$线性无关的无平方多项式在$\mathbb{F}_{q}$上的仿射环面$T=(\mathbb{F}_{q}^{*})^{s}$中的零点数目的上界。应用这些结果，我们部分地得到了超单上环面码和无平方赋值码的广义Hamming重量，如\cite{hyper}中所定义的。最后，我们得到了这些环面码关于欧几里德标积的对偶。
2020-10-25 cs.IT math.AC math.IT
Cartesian square-free codes
University of Uberlandia（乌贝兰迪亚大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；Universidad de Valladolid（巴利亚多利德大学）
本文引入笛卡尔无平方因子码，利用交换代数工具给出其部分广义汉明重量的显式公式，并展示如何将结果转化为射影空间上的求值码。
2025-11-11 cs.IT math.IT
On the generalized Hamming weights of hyperbolic codes
本文研究双曲码的广义汉明重量，给出其与里德-穆勒码重合的条件，并证明其第r个广义汉明重量与足迹一致，同时给出足迹的上下界。
2022-12-31 cs.IT math.AC math.IT
Enumeration of minimum weight codewords of affine Cartesian codes
本文利用嵌套子域设定下的最小重量码字刻画，给出了Affine Cartesian codes最小重量码字数量的显式公式，统一了Reed-Solomon码和Reed-Muller码的已知公式。
2025-04-30 cs.IT math.CO math.IT
Flags of almost affine codes
我们描述了一个两方窃听信道的类型II的框架中几乎仿射码。它的密码学性能与几乎仿射码对的某些相对轮廓有关。这些配置文件是在线性情况下的相对广义汉明重量的类似物。
2017-04-10 cs.IT math.IT
Hamming distances from a function to all codewords of a Generalized Reed-Muller code of order one
对任意具有$q$元素的有限域${\mathbb F}_q$，研究了从${\mathbb F}_q^m$到${\mathbb F}^q$的函数集${\mathcal F}_{(q,m)}$.我们引入一个变换，使我们能够确定一个线性系统的$q^{m+1}$方程和$q^{m+1}$未知数，它有解决方案的汉明距离的函数在${\mathcal F}_{(q,m)}$的所有仿射函数。
2015-12-15 cs.IT math.IT
Affine cartesian codes
本文计算仿射笛卡尔求值码的基本参数，并在退化环面上构造具有规定参数的码，应用结果恢复各类求值码的最小距离公式。
2012-06-05 cs.IT math.AC math.AG
Monomial-Cartesian codes and their duals, with applications to LCD codes, quantum codes, and locally recoverable codes
单项式-笛卡尔代码是通过在笛卡尔积上评估单项式的集合而定义的评估代码。它是文献中一些码族的推广，例如复曲面码，仿射笛卡尔码和$J$ -仿射簇码。在这项工作中，我们使用消失的理想的笛卡尔积给出了一个单一的笛卡尔码的对偶的描述。然后利用这种对偶的描述证明了量子纠错码和MDS量子纠错码的存在性。最后，我们表明，单式笛卡尔代码的直接产品是一个本地可恢复的代码与$t$ -可用性，如果至少$t$的组件是本地可恢复的代码。
2019-07-26 cs.IT math.AG math.IT
Tangent Codes
本文将仿射簇X的有限Zerkki切空间作为线性码来研究，利用X上的整体几何条件来刻画它们的典型或例外性质。讨论了切码到X的一般最小距离，它在X的变形下的下半连续性，以及具有例外最小距离的切空间的存在性。切码允许同时解码。切向码对X的逼近是通过多项式对X的理想的梯度来实现的。我们提供了近MDS，循环或汉明码的仿射品种的建设。有限Zagliki切空间的删截、缩短和扩张与仿射簇上的相应运算有关。U（U）|u+v）的构造与簇的纤维积相关联。显式构造将线性汉明等距实现为仿射簇的态射的微分。
2015-05-08 cs.IT math.AG math.IT
Generalized minimum distance functions
利用交换代数方法研究域上多项式环中分次理想的广义最小距离函数（gmd函数）和相应的广义足迹函数。齐次多项式组在任意有限射影点集上的解的个数表示为分次理想的次数。如果$\mathbb{X}$是有限域上的一组投射点，$I$是它的消失理想，则证明了$I$的gmd函数和Vasconcelos函数等于相应的$d$度Reed-Muller型码$C_\mathbb{X}(d)$的第$r$广义Hamming重量.证明了$I$的广义足迹函数是$C_\mathbb{X}(d)$的第$r$广义Hamming重量的下界.然后，我们提出了一些应用投影套carnests码。为了将我们的下界应用于代数编码理论，我们给出了一个有趣的整数不等式。然后给出了仿射码的第二广义Hamming重量的一个显式公式和一个组合公式。
2018-10-16 cs.IT math.AC math.AG
Revisiting the Weight Spectrum of the Affine Grassmann Code $C^{\mathbb{A}}(2,m)$
Indian Institute of Technology, Jammu（印度理工学院詹穆分校）
本文重访仿射格拉斯曼码 $C^{\mathbb{A}}(2,m)$ 的权重谱，提出独立且更简化的推导，适用于所有 $m\ge4$ 和素数幂 $q$，通过紧凑矩阵形式和闭式公式统一表达码字权重。
2026-09-10 cs.IT math.IT
The Weight Spectrum of the Affine Grassmann Code $C^{\mathbb A}(3,6)$
Indian Institute of Technology, Jammu（印度理工学院詹姆校区）
本文通过将码字表示为3×3矩阵子式的线性组合并按最大非零子式阶数分类，完整确定了仿射格拉斯曼码C^A(3,6)的汉明重量谱及各重量码字数。
2026-10-12 cs.IT math.IT
Higher Weights of Affine Grassmann Codes and Their Duals
本文研究了仿射Grassmann码的高权重或广义Hamming权重的确定问题及其性质。明确地确定了任意水平的仿射格拉斯曼码的几个初始以及终端较高的重量。在这类码中的任意一个的情况下，我们给出了许多初始和终端更高权重的公式。作为一种特殊情况，我们得到了Beelen等人关于仿射Grasmann码的对偶码的最小距离公式的另一种更简单的证明。
2015-03-07 cs.IT math.CO math.IT
The weight hierarchy of decreasing norm-trace codes
本文确定了递减范数-迹码的广义Hamming重量及其相对版本，推广了单点Hermitian码的已知结果，并利用这些重量构造了具有优良参数的impure量子码。
2024-11-20 cs.IT math.AC math.AG
The Schur product of evaluation codes and its application to CSS-T quantum codes and private information retrieval
IMUVA-Mathematics Research Institute, Universidad de Valladolid（瓦拉多利德大学 IMUVA 数学研究所）；Departamento de Matemáticas & Institut Universitari de Matemàtiques i Aplicacions de Castelló, Universitat Jaume I（卡斯特利翁大学数学系与数学及应用大学研究所）
本文通过研究单项-Cartesian码的逐点乘积，提出构造CSS-T量子码和改进私人信息检索方案的方法，实现了更好的编码参数和性能。
2026-03-08 cs.IT math.IT
Generalized Weight Structure of Polar Codes: Selected Template Polynomials
University of New South Wales（新南威尔士大学）；Aurel Vlaicu University（奥雷尔·弗拉伊库大学）
本文提出了一种统一的代数方法，通过广义权重结构和模板多项式，系统地表征和枚举极码的低和中等权重谱。
2026-01-15 cs.IT math.IT
Affine Symmetries of Polynomial Roots with Multiplicities and Applications to Constacyclic Codes
School of Mathematical Sciences, Guizhou Normal University（贵州师范大学数学科学学院）；College of Science, North China University of Technology（华北理工大学理学院）
本文提出常循环码的支撑本原分解，给出支撑周期的系数与根两种等价描述，并应用于汉明距离、权重枚举器及算术Singleton界等编码理论性质。
2026-10-14 cs.IT math.IT math.NT
A recursive construction for projective Reed-Muller codes
本文提出射影Reed-Muller码的递归构造，由此得到特定次数子域子码的维数及广义汉明权重的紧下界。
2024-07-15 cs.IT math.AC math.IT
Efficient Linear and Affine Codes for Correcting Insertions/Deletions
本文研究了用于纠正同步错误（如插入和删除）的\emph{linear}和\emph{affine}纠错码。我们称这种码为线性/仿射insdel码。甚至可以校正单个缺失的线性码被限制为具有至多$1/2$的信息速率（通过平凡的2倍重复码实现）。以前，（错误地）报道了更普遍地不存在校正$k$缺失的非平凡线性代码，即，对于任何$k$，$(k+1)$倍重复码及其$1/(k+1)$的速率基本上是最优的。我们反驳了这一点，并显示存在的二进制线性代码的长度$n$和率低于$1/2$能够纠正$Ω(n)$插入和删除。这将速率$1/2$确定为线性码从缺失中恢复的尖锐阈值，并重新开启了对线性码校正插入/缺失的能力的更好理解的探索。我们证明了新的外界和存在的内界的速率与（编辑）距离权衡的线性insdel码。我们补充我们存在的结果与一个有效的同步字符串为基础的转换，将任何渐近良好的线性代码的汉明错误到一个渐近良好的线性代码的insdel错误。最后，我们表明，$\frac{1}{2}$速率限制不适用于仿射码，给出了一个明确的仿射码的速率$1-ε$，它可以有效地纠正一个常数部分的insdel错误。
2022-07-21 cs.DM cs.DS cs.IT
Affine equivalence for quadratic rotation symmetric Boolean functions
令$f_n(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$表示次数为$d$的旋转对称（RS）布尔函数在$n \geq d$变量中的代数范式（多项式形式），并且令$wt(f_n)$表示该函数的汉明权重。令$(0, a_1, \ldots, a_{d-1})_n$表示由单项式$x_0x_{a_1} \cdots x_{a_{d-1}}.$生成的$n$变量中的次数$d$的函数$f_n$。在$2012$论文中证明，对于任何具有$d=3,$的MRS $f_n$，权重序列$\{w_k = wt(f_k):~k = 3, 4, \ldots\}$满足具有整数系数的齐次线性递归。这一结果在随后的几年中逐渐推广，最终在$2016$附近证明了这种递归存在于任何旋转对称函数$f_n.$二次RS函数的递归没有被明确考虑，因为$2009$的一篇论文已经表明二次权重本身可以由一个明确的公式给出。然而，对于典型的二次函数，这个公式并不容易计算。本文证明了二次RS函数的权递归有一种有趣的特殊形式，它可以用来解决关于这些函数的各种问题，例如，确定哪些二次RS函数是平衡的.
2019-09-19 cs.IT math.IT math.RA
The weight enumerators of irreducible cyclic codes of length $2^\ell$
Universidad Nacional de Córdoba（科尔多瓦国立大学）；FaMAF – CIEM (CONICET)（FaMAF–CIEM（阿根廷国家科学研究委员会））
本文利用不可约循环码与广义Paley图的谱关系，刻画长度为$2^\ell$的不可约循环码对应的广义Paley图类型，计算其谱后得到这类码重量枚举式的显式表达式。
2026-10-14 cs.IT math.CO math.IT
Nonlinear fixed-distance codes via real lifts of moment configurations
Microsoft Research（微软研究院）
针对固定长度和最小汉明距离的非线性码，利用矩构型的实提升构造满足冗余度要求的非线性固定距离码，在距离为四时其性能优于所有线性码，通过特殊子集构造实现更优编码效果。
2026-10-15 cs.DM cs.IT math.CO
