On the generalized Hamming weights of certain Reed-Muller-type codes
Beelen和M.仿射码的第$r$广义汉明重量的Datta。利用这个组合公式，我们给出了一个计算一类仿射码的$r$阶广义Hamming重量的简单公式.若$\mathbb{X}$是有限域上的一组投射点，则根据$\mathbb{X}$上相应的投射Reed-Muller型码及其对偶码的基本参数和广义Hamming重量，确定了$\mathbb{X}$上Veronese型码及其对偶码的基本参数和广义Hamming重量.
2019-07-15 cs.IT math.AC math.AG
Duality between Packings and Coverings of the Hamming Space
研究了线性和非线性二元码的填充和覆盖密度，建立了填充和覆盖问题之间的对偶关系。具体来说，我们证明，如果几乎所有的代码（在类的线性或非线性代码）是好的包装，那么只有一个消失的分数的代码是好的覆盖，反之亦然：如果几乎所有的代码是好的覆盖，那么在最消失的分数的代码是好的包装。我们还表明，任何特定的最大二进制码是一个很好的包装或一个很好的覆盖，在一定的定义良好的意义。
2005-07-06 cs.DM cs.IT math.IT
Tangent Codes
本文将仿射簇X的有限Zerkki切空间作为线性码来研究，利用X上的整体几何条件来刻画它们的典型或例外性质。讨论了切码到X的一般最小距离，它在X的变形下的下半连续性，以及具有例外最小距离的切空间的存在性。切码允许同时解码。切向码对X的逼近是通过多项式对X的理想的梯度来实现的。我们提供了近MDS，循环或汉明码的仿射品种的建设。有限Zagliki切空间的删截、缩短和扩张与仿射簇上的相应运算有关。U（U）|u+v）的构造与簇的纤维积相关联。显式构造将线性汉明等距实现为仿射簇的态射的微分。
2015-05-08 cs.IT math.AG math.IT
Bridging Hamming Distance Spectrum with Coset Cardinality Spectrum for Overlapped Arithmetic Codes
本文通过严格的数学证明，将重叠算术码分析中的汉明距离谱（HDS）与陪集基数谱（CCS）桥接起来，实现了在某些情况下利用CCS快速准确计算HDS，并经仿真完美验证。
2023-09-08 cs.IT math.IT
Revisiting the Weight Spectrum of the Affine Grassmann Code $C^{\mathbb{A}}(2,m)$
Indian Institute of Technology, Jammu（印度理工学院詹穆分校）
本文重访仿射格拉斯曼码 $C^{\mathbb{A}}(2,m)$ 的权重谱，提出独立且更简化的推导，适用于所有 $m\ge4$ 和素数幂 $q$，通过紧凑矩阵形式和闭式公式统一表达码字权重。
2026-09-10 cs.IT math.IT
The Weight Spectrum of the Affine Grassmann Code $C^{\mathbb A}(3,6)$
Indian Institute of Technology, Jammu（印度理工学院詹姆校区）
本文通过将码字表示为3×3矩阵子式的线性组合并按最大非零子式阶数分类，完整确定了仿射格拉斯曼码C^A(3,6)的汉明重量谱及各重量码字数。
2026-10-12 cs.IT math.IT
Higher Weights of Affine Grassmann Codes and Their Duals
本文研究了仿射Grassmann码的高权重或广义Hamming权重的确定问题及其性质。明确地确定了任意水平的仿射格拉斯曼码的几个初始以及终端较高的重量。在这类码中的任意一个的情况下，我们给出了许多初始和终端更高权重的公式。作为一种特殊情况，我们得到了Beelen等人关于仿射Grasmann码的对偶码的最小距离公式的另一种更简单的证明。
2015-03-07 cs.IT math.CO math.IT
Decoding of Lifted Affine-Invariant Codes
提升Reed-Solomon码是提升仿射不变码的一个子类，具有高码率，同时保持了与广义Reed-Muller码相似的局部性，它们包含作为子码。这项工作介绍了一个简单的有界距离解码器（子码）提升仿射不变码，保证解码几乎一半的最小距离。此外，长$q$ -ary提升仿射不变码被证明可以纠正$ε>0$的相对权重$\frac{q-1}{q}-ε$的几乎所有错误模式。
2021-04-21 cs.IT math.IT
On affine variety codes from the Klein quartic
研究了一类由Klein四次曲线定义的准素仿射簇码。这些代码的前半部分已经在[12，Ex. 3.2]。在我们构造的码中，几乎所有的码都具有与根据[9]的最佳已知码一样好的参数，并且在其余少数情况下，参数几乎一样好。为了建立代码参数，我们应用来自格罗布纳基理论的足迹界限[10，7]，为此，我们开发了一种新方法，其中我们受到Buchberger算法的启发，执行一系列符号计算。1
2017-06-18 cs.IT math.IT
Changing almost perfect nonlinear functions on affine subspaces of small codimensions
针对 APN 函数，本文研究其代数分解与二次构造，给出修改后仍为 APN 的精确判别准则，并证明所得函数可与原函数扩展仿射不等价。
2025-01-07 cs.IT math.CA math.CO
On Relaxed Locally Decodable Codes for Hamming and Insertion-Deletion Errors
局部可解码码（LDC）是具有超快速解码算法的纠错码$C:Σ^n\rightarrow Σ^m$。它们在理论计算机科学的许多领域中是重要的数学对象，然而迄今为止最好的构造具有码字长度$m$，其对于具有恒定查询复杂度和恒定字母表大小的代码是$n$中的超多项式。在一个非常令人惊讶的结果中，Ben-Sasson等人展示了如何在二进制字母表上构建一个具有恒定查询复杂度和几乎线性码字长度的宽松版本的LDCs（RDCs），并使用它们来获得显着改进的概率可检验证明的构造。在这项工作中，我们研究RDCs在标准的汉明错误设置，并介绍其变种的插入和删除（Insdel）错误设置。Insdel最不发达国家首先由Ostrovsky和Paskin-Cherniavsky研究，并进一步受到DNA随机存取生物技术的最新进展的推动，其目标是从DNA存储数据库中检索单个文件。我们的第一个结果是一个指数下界的长度汉明RDCs 2查询，在二进制字母表。这回答了古尔和拉吉什明确提出的一个问题。我们的结果表现出“相变”型行为的码字长度恒定查询汉明RDCs。我们进一步定义了两个变种的RDCs在Insdel错误设置，弱和强的版本。一方面，我们构造了弱Insdel RDCs，其参数与Hamming变体的参数相匹配。另一方面，我们证明了指数下界强Insdel RDCs。这些结果表明，虽然这些变体在Hamming设置中是等同的，但它们在…
2022-09-19 cs.CC cs.IT math.IT
Generalized Weight Structure of Polar Codes: Selected Template Polynomials
University of New South Wales（新南威尔士大学）；Aurel Vlaicu University（奥雷尔·弗拉伊库大学）
本文提出了一种统一的代数方法，通过广义权重结构和模板多项式，系统地表征和枚举极码的低和中等权重谱。
2026-01-15 cs.IT math.IT
Affine Symmetries of Polynomial Roots with Multiplicities and Applications to Constacyclic Codes
School of Mathematical Sciences, Guizhou Normal University（贵州师范大学数学科学学院）；College of Science, North China University of Technology（华北理工大学理学院）
本文提出常循环码的支撑本原分解，给出支撑周期的系数与根两种等价描述，并应用于汉明距离、权重枚举器及算术Singleton界等编码理论性质。
2026-10-14 cs.IT math.IT math.NT
A recursive construction for projective Reed-Muller codes
本文提出射影Reed-Muller码的递归构造，由此得到特定次数子域子码的维数及广义汉明权重的紧下界。
2024-07-15 cs.IT math.AC math.IT
Efficient Linear and Affine Codes for Correcting Insertions/Deletions
本文研究了用于纠正同步错误（如插入和删除）的\emph{linear}和\emph{affine}纠错码。我们称这种码为线性/仿射insdel码。甚至可以校正单个缺失的线性码被限制为具有至多$1/2$的信息速率（通过平凡的2倍重复码实现）。以前，（错误地）报道了更普遍地不存在校正$k$缺失的非平凡线性代码，即，对于任何$k$，$(k+1)$倍重复码及其$1/(k+1)$的速率基本上是最优的。我们反驳了这一点，并显示存在的二进制线性代码的长度$n$和率低于$1/2$能够纠正$Ω(n)$插入和删除。这将速率$1/2$确定为线性码从缺失中恢复的尖锐阈值，并重新开启了对线性码校正插入/缺失的能力的更好理解的探索。我们证明了新的外界和存在的内界的速率与（编辑）距离权衡的线性insdel码。我们补充我们存在的结果与一个有效的同步字符串为基础的转换，将任何渐近良好的线性代码的汉明错误到一个渐近良好的线性代码的insdel错误。最后，我们表明，$\frac{1}{2}$速率限制不适用于仿射码，给出了一个明确的仿射码的速率$1-ε$，它可以有效地纠正一个常数部分的insdel错误。
2022-07-21 cs.DM cs.DS cs.IT
Optimal redundancy of function-correcting codes
该研究针对函数校正码的最优冗余度问题，改进了汉明重量函数冗余度的上下界并近乎确定其最优值，同时明确了汉明重量分布函数在不同参数区间的冗余度特性。
2025-02-24 cs.IT math.CO math.IT
Affine equivalence for quadratic rotation symmetric Boolean functions
令$f_n(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$表示次数为$d$的旋转对称（RS）布尔函数在$n \geq d$变量中的代数范式（多项式形式），并且令$wt(f_n)$表示该函数的汉明权重。令$(0, a_1, \ldots, a_{d-1})_n$表示由单项式$x_0x_{a_1} \cdots x_{a_{d-1}}.$生成的$n$变量中的次数$d$的函数$f_n$。在$2012$论文中证明，对于任何具有$d=3,$的MRS $f_n$，权重序列$\{w_k = wt(f_k):~k = 3, 4, \ldots\}$满足具有整数系数的齐次线性递归。这一结果在随后的几年中逐渐推广，最终在$2016$附近证明了这种递归存在于任何旋转对称函数$f_n.$二次RS函数的递归没有被明确考虑，因为$2009$的一篇论文已经表明二次权重本身可以由一个明确的公式给出。然而，对于典型的二次函数，这个公式并不容易计算。本文证明了二次RS函数的权递归有一种有趣的特殊形式，它可以用来解决关于这些函数的各种问题，例如，确定哪些二次RS函数是平衡的.
2019-09-19 cs.IT math.IT math.RA
Generalized minimum distance functions
利用交换代数方法研究域上多项式环中分次理想的广义最小距离函数（gmd函数）和相应的广义足迹函数。齐次多项式组在任意有限射影点集上的解的个数表示为分次理想的次数。如果$\mathbb{X}$是有限域上的一组投射点，$I$是它的消失理想，则证明了$I$的gmd函数和Vasconcelos函数等于相应的$d$度Reed-Muller型码$C_\mathbb{X}(d)$的第$r$广义Hamming重量.证明了$I$的广义足迹函数是$C_\mathbb{X}(d)$的第$r$广义Hamming重量的下界.然后，我们提出了一些应用投影套carnests码。为了将我们的下界应用于代数编码理论，我们给出了一个有趣的整数不等式。然后给出了仿射码的第二广义Hamming重量的一个显式公式和一个组合公式。
2018-10-16 cs.IT math.AC math.AG
