Least energy nodal solutions of Hamiltonian elliptic systems with Neumann boundary conditions
我们研究了系统\[ -Δu = |v|^{q-1} v\quad \text{ in }Ω,\qquad -Δv = |u|^{p-1} u\quad \text{ in }Ω,\qquad \partial_νu=\partial_νv=0\quad \text{ on }\partialΩ, \]与$Ω\subset \mathbb R^N$有界的解的存在性，正则性和定性性质，在这种设置下，所有的非平凡的解决方案的符号变化。我们的证明使用变分制定在对偶空间，考虑次线性$pq< 1$和超线性$pq>1$问题的亚临界制度。在球和环中，我们证明了最小能量解（l.e.s.）是叶状的Schwarz对称的，并且由于一种破缺现象，l.e.s.不是径向函数;证明中的关键元素是新的$L^t$保范变换，其将适当的翻转与递减重排相结合。这种组合使我们能够处理环形域，符号变化函数和诺依曼问题，这些问题是使用重排和对称化的非标准设置。特别是，我们表明，我们的变换减少（双重）的能量，因此，径向的l.e.s.都是严格单调的我们还研究了零点的唯一连续性和简单性。我们的定理也适用于标量关联模型，我们的方法提供了新的结果，以及已知事实的替代证明。
2018-05-02 math.AP
Optimal transport approach to Sobolev regularity of solutions to the weighted least gradient problem
研究了加权最小梯度问题与加权Beckmann最小流问题的等价性，即与带黎曼费用的最优输运问题的等价性。由于这种等价性，我们证明了加权最小梯度问题的解的存在性和唯一性。然后，我们显示$L^p$正则性的两个奇异措施之间的相应的等价的黎曼最优输运公式。这将意味着加权最小梯度问题的解的$W^{1,p}$正则性。
2021-12-27 math.AP
Characteristic functions on the boundary of a planar domain need not be traces of least gradient functions
给定一个光滑有界平面区域，我们在边界s. t.上构造一个紧集。它的特征函数不是最小梯度函数的迹。这推广了Spradlin和Tamasan [ST 14]在圆盘上的构造。
2017-03-01 math.AP
(Non)uniqueness of minimizers in the least gradient problem
具有不连续边界数据的最小梯度问题中的极小值不需要是唯一的。然而，它们都具有相似的水平集结构。在这里，我们给出了一个完整的刻画的一组极小在任何一个方面，他们和讨论的稳定性性质的近似问题。
2017-09-07 math.AP
Not all traces on the circle come from functions of least gradient in the disk
给出了圆上的$L^1$函数的一个例子，它不可能是圆上最小梯度的有界变差有界变差函数的迹。这表明，在定理的存在性和唯一性的解决方案，最小梯度问题，证明了斯滕伯格，威廉姆斯和齐默和出版于1992年至1993年，假设边界数据是连续的不能删除。
2013-11-06 math.AP
The planar Least Gradient problem in convex domains
本文研究了在一个凸但不一定是严格凸区域上的二维最小梯度问题。我们在$BV$函数空间中寻找迹意义下满足边界数据$f$的解。我们假设$f$也在$BV$中。我们的状态容许条件的跟踪和域上的解决方案的存在是足够的。
2017-12-19 math.AP
$L^p$ bounds for boundary-to-boundary transport densities, and $W^{1,p}$ bounds for the BV least gradient problem in 2D
最小梯度问题（最小化全变差与给定的边界数据）是等价的，在平面上，贝克曼最小流问题的源和目标的措施位于域的边界上，这反过来又涉及到一个最优输运问题。出于这一事实，我们证明了L p求和结果的贝克曼问题的解决方案在此设置，这改善了以前的结果，措施本身应该是L p。在平面上，我们进行了所有的分析一般严格凸规范，这需要首先引入相应的最优输运工具。在此基础上，得到了一致凸区域上各向异性最小梯度问题解的W1，p正则性的结果.
2018-05-02 math.AP math.CA math.OC
Least gradient problem with respect to a non-strictly convex norm
本文研究了连续边界条件下各向异性范数$ϕ$的平面最小梯度问题。证明了严格凸域$Ω$极小解的存在性.此外，我们仅根据$ϕ$和$Ω$的凸性模来考察极小解的唯一性和正则性问题.结果与$ϕ$的正则性无关。
2018-06-05 math.AP
Least gradient problem with Dirichlet condition imposed on a part of the boundary
我们提供了一个分析的情况下，当边界基准只施加在一部分的边界的最小梯度问题。首先，我们利用凸对偶理论给出了一般情形下解的特征。然后，我们讨论了解达到边值的途径，解的结构及其正则性。
2020-09-09 math.AP
Special cases of the planar least gradient problem
本文研究了平面最小梯度问题的两种特殊情形。在第一种方法中，边界条件被施加在部分严格凸区域上。在第二种情况下，我们施加的Dirichlet数据的边界上的矩形，一个例子的凸，但不是严格凸域。我们显示的解决方案的存在性，并研究其性质的特定情况下的数据。
2016-05-19 math.AP
The non-convex planar Least Gradient Problem
本文研究了平面中具有Lipschitz边界的非凸单连通有界区域内的最小梯度问题，通过利用最小梯度问题与Beckman问题的等价性，借助最优运输理论工具证明了解的存在性条件。
2024-08-23 math.AP
The Anzellotti-Gauss-Green formula and least gradient functions in metric measure spaces
在Gigli引入的一阶微分结构的框架下，得到了度量测度空间的正则有界开集上的Gauss-Green公式，该公式适用于BV函数和散度可积的向量场.然后，以该公式为主要工具，研究了度量测度空间中的最小梯度函数。
2021-05-02 math.AP
Planar least gradient problem: existence, regularity and anisotropic case
我们证明了$BV(\partialΩ)$中边界数据平面上最小梯度问题解的存在性。我们还提供了一个函数$f \in L^1(\partialΩ) \backslash (C(\partialΩ) \cup BV(\partialΩ))$的例子，其解存在。我们还显示了非唯一性的解决方案，即使是光滑的边界数据在各向异性的情况下，非光滑各向异性。此外，我们证明了一个规律性的结果也有效，在更高的维度。
2017-09-27 math.AP
The trace space of anisotropic least gradient functions depends on the anisotropy
研究了各向异性最小梯度函数的可能迹集。我们表明，即使在单位圆盘上，它的变化与各向异性的规范：两个充分经常严格凸规范的迹空间重合当且仅当规范重合。一个函数恰好在一个迹空间中的例子由一个适当选择的康托尔集的特征函数给出。
2022-09-30 math.AP
The planar Least Gradient problem in convex domains, the case of continuous datum
研究了平面上凸多边形集上的二维最小梯度问题。当边界数据在迹意义下达到时，我们证明了解的存在性。由于缺乏严格的凸性，经典的结果不适用。我们陈述了连续边界数据$f$上的容许性条件，这些条件足以建立存在性和唯一性结果。的解决方案是由一个限制的过程，它使用了众所周知的几何最小梯度函数的superlevel集。
2019-11-19 math.AP
Existence of minimisers in the least gradient problem for general boundary data
研究了两种情形下严格凸区域上最小梯度问题极小解的存在性。在有界区域上，我们允许边界数据是不连续的，并证明了极小的存在性的Hausdorff措施的不连续集。之后，我们允许域是无界的，证明极小的存在性，并研究其性质的规则性的边界数据和形状的域。
2018-11-27 math.AP
$L^p$ regularity of least gradient functions
结果表明，解决方案的各向异性最小梯度问题的边界数据$f \in L^p(\partialΩ)$位于$L^{\frac{Np}{N-1}}(Ω)$的指数是最佳的。此外，该解决方案被证明是本地有界的明确边界上的解决方案的爆破率在两个设置：在各向异性的情况下，在平面上和在各向同性的情况下，在任何维度。
2019-04-24 math.AP
A regularized weighted least gradient problem for conductivity imaging
我们提出并研究了一种正则化方法，用于仅从一个内部电流密度场的大小恢复近似的电导率。如果没有边界电势的最小知识，最近已经证明该问题具有非唯一解，因此恢复精确的电导率是不可能的。该方法是基于求解具有平方可积〔的〕的有界变差函数的子空间中的加权最小梯度问题。数值实验证明了该方法的计算有效性。
2018-04-02 math.AP
Uniqueness of minimizers of weighted least gradient problems arising in conductivity imaging
我们证明了加权最小梯度问题\[\inf \left\lbrace \int_Ω a|Du|: \ \ u\in BV(Ω), \ \ u|_{\partial Ω}=f \right\rbrace.\]的极小值的唯一性权函数$a$被假定为连续的，它是允许消失在某些子集的$Ω$。存在被假定为先验的。我们的方法的动机是从内部知识（可通过MRI）的电流密度向量场的大小的成像电导率的混合动力逆问题。
2014-04-23 math.AP
Domains in metric measure spaces with boundary of positive mean curvature, and the Dirichlet problem for functions of least gradient
研究了完备度量测度空间中具有支持$1$ -Poincaré不等式的加倍测度的域的几何.我们提出了\emph{domain with boundary of positive mean curvature}的概念，并证明了，对于这样的域，总是有一个解决方案的狄利克雷问题的最小梯度连续边界数据。这里，\emph{least gradient}被定义为最小化全变差（在BV函数的意义上），并且在解的\emph{boundary trace}存在并且与给定的边界数据一致的意义上满足边界条件。这将Sternberg、Williams和Ziemer的结果扩展到了非平滑环境。通过反例，我们还表明，解决方案的唯一性和存在的\emph{continuous}解决方案可能会失败，即使在加权欧几里德设置与Lipschitz权重。
2017-06-22 math.AP
Non-locality, non-linearity, and existence of solutions to the Dirichlet problem for least gradient functions in metric measure spaces
研究了度量空间中具有加倍测度且支持（1，1）-Poincaré不等式的区域的最小梯度函数的狄利克雷问题，当区域的边界满足正的中曲率条件时.在这种情况下，Malcolm、Lahti、Shanmugalingam和Speight证明了连续边界数据存在解。我们扩展这些结果，显示存在的解决方案的边界数据，是近似从上面和下面的连续函数。我们还证明了对于每个$f\in L^1(\partialΩ),$，在$Ω$中存在一个最小梯度函数，其迹在$f$的连续点处与$f$一致，从而得到了几乎处处连续的边界数据解的存在性.这与Spradlin和Tamasan的结果相反，他们在单位圆上构造了一个$L^1$ -函数，该函数在$\mathbb{R}^2.$中的单位圆上没有最小梯度解。修改Spradlin和Tamasan的例子，我们证明了单位圆上的可解$L^1$ -函数空间是非线性的，即使单位圆满足正的中曲率条件。
2022-10-14 math.AP
The planar Least Gradient problem in convex domains: the discontinuous case
本文研究平面凸多边形集上的二维最小梯度问题$Ω$。当边界数据$f$在迹的意义下达到时，我们证明了解的存在性.这里的主要困难是$f$可能不连续。此外，由于$Ω$缺乏严格的凸性，经典结果不适用。我们陈述了边界数据$f$上的容许条件，这些条件足以建立存在性结果。其中之一就是那个$f\in BV(\partialΩ)$。解是通过一个极限过程构造的，该过程使用已知问题的解
2020-07-13 math.AP
Least Gradient Problems with Neumann Boundary Condition
研究了最小梯度问题\[\inf_{v \in BV_g} \int_Ωφ(x, Dv),\]极小解的存在性，其中$BV_g=\{v \in BV(Ω): \int_{\partial Ω}gv=1\}$，$φ(x,p): Ω\times \R^n \rightarrow \R$是关于$p$变量的凸的、连续的、齐次函数$1$，且$g$满足相似性条件$\int_{\partial Ω} g dS=0$ .我们证明了对于每一个$0\not \equiv g \in L^{\infty}(\partial Ω)$，在$BV(Ω)$中存在无穷多个极小元。此外，还存在一个无发散向量场$T\in (L^{\infty}(Ω))^n$，它决定了所有极小元的水平集的结构，即$T$决定了$\frac{Du}{|Du|}$，$|Du|-$也就是.在$Ω$中，对于每个极小化器$u$。我们还证明了一般1-Laplacian型方程在Neumann边界条件下解的存在性。提出了一种数值算法，同时发现$T$和上述最小梯度问题的最小值。讨论了所得结果在电导率成像中的应用。
2017-03-06 math.AP
Existence and structure of minimizers of least gradient problems
研究了一般最小梯度问题\[\inf_{u \in BV_f} \int_Ωφ(x,Du),\]最小解的存在性，其中$BV_f=\{u \in BV(Ω): \ \ u|_{\partial Ω}=f\}$，$f\in L^{1}(\partial Ω)$，和$φ(x,ξ)$是凸的，连续的，关于$ξ$变量的齐次函数.证明了存在一个无发散向量场$T\in (L^{\infty}(Ω))^n$，它决定了所有（可能的）极小元的水平集的结构，即$T$决定了$\frac{Du}{|Du|}$，$|Du|-$ a.e.在$Ω$中，对于所有极小化器$u$。我们还证明了上述最小梯度问题的每一个极小元也是\[\inf_{u\in \mathcal{A}_f} \int_{\R^n}φ(x,Du),\]的极小元，其中$\mathcal{A}_f=\{v\in BV(\R^n): \ \ v=f \ \ \hbox{on}\ \ Ω^c\}$和$f\in W^{1,1}(\R^n)$是$f\in L^1(\partial Ω)$的紧支撑扩张，并证明了$T$也决定了后一个问题的所有极小元的水平集结构。利用上述两个最小梯度问题的极小值之间的这种关系，可以从总是存在的最小梯度问题的极小值中获得关于前一个问题的极小值的存在性和结构的信息。
2016-12-26 math.AP
General Least Gradient Problems with Obstacle
研究了障碍问题\begin{equation*} \inf_{u\in BV_f(Ω)}\int_{\mathbb{R}^n}ϕ(x,Du), \end{equation*}解的存在性、结构、唯一性和正则性，其中$BV_f(Ω)=\{u\in BV(Ω): u\geq ψ\text{ in }Ω\text{ and } u|_{\partial Ω}=f|_{\partial Ω}\}$，$f \in W^{1,1}_0(\mathbb{R}^n)$，$ψ$是障碍，$ϕ(x,ξ)$是关于$ξ$变量的凸的、连续的、一次齐次函数.我们证明了这个问题的每一个极小也是最小梯度问题\[\inf_{u\in \mathcal{A}_f(Ω)}\int_{\mathbb{R}^n}ϕ(x,Du),\]的极小，其中$\mathcal{A}_f(Ω)=\{u\in BV(Ω): u\geq ψ, \text{ and } u=f \text{ in }Ω^c\}$。此外，还存在一个向量场$T$，其中$Ω$中的$\nabla \cdot T \leq 0$决定了这两个问题的所有极小元的结构，并且对于任何极小元$u$，$T$在$\{x\in Ω: u(x)>ψ(x)\}$上是发散自由的.我们还提出了唯一性和规律性的结果，最大的原则的基础上最小的表面。由于有障碍物的最小梯度问题的极小元不能击中足够小的障碍…
2019-04-16 math.AP
Median values, 1-harmonic functions, and functions of least gradient
受调和函数的中值性质的启发，我们引入了二元连续函数的局部中值性质和整体中值性质。我们证明了与局部中值性质相关的狄利克雷问题要么容易解决，要么不可能解决，并且证明了具有此性质的连续函数在粘性意义下是1-调和函数.最后，我们提出如下猜想：具有全局中值性质和给定边界值的连续函数与具有相同边界值的最小梯度函数重合。
2011-08-05 math.AP math.CA
Notions of Dirichlet problem for functions of least gradient in metric measure spaces
在测度为双倍且支持$(1,1)$ -Poincaré不等式的度量测度空间中，研究了有界区域上BV能量极小（也称为最小梯度函数）的狄利克雷问题的两个概念.由于这两个概念中的一个不适合变分法的直接法，我们构造，基于[23，29]的方法，通过考虑$p$ -调和函数的狄利克雷问题，$p>1$，并让$p\to 1$。本文开发和使用的工具包括一个域的内周长测量。
2016-12-19 math.AP math.MG
A least-squares Galerkin gradient recovery method for fully nonlinear elliptic equations
本文提出了一种基于最小二乘Galerkin的梯度恢复方法来逼近狄利克雷问题，得到了线性椭圆型非发散问题的强解及其相应的先验和后验误差界.这种方法用于解决完全非线性椭圆问题，例如，Monge-Ampère，Hamilton-Jacobi-Bellman，使用光滑（香草）和半光滑牛顿线性化。我们讨论了数值结果，包括自适应方法的基础上的后验误差指标。
2020-07-30 cs.NA math.AP math.NA
A least-squares Galerkin approach to gradient and Hessian recovery for nondivergence-form elliptic equations
本文提出了一种最小二乘方法，该方法包括恢复梯度和可能的Hessian，用于求解非发散形式的椭圆型方程。由于我们的方法是基于Lax-Milgram定理与curl-free约束内置到目标（或成本）功能，离散空间不需要inf-sup稳定。我们表明，标准协调有限元可以用来产生先验和后验收敛的结果。我们用均匀或自适应网格细化的数值实验来说明我们的研究结果。
2021-04-10 cs.NA math.AP math.NA
A least-squares Galerkin approach to gradient recovery for Hamilton-Jacobi-Bellman equation with Cordes coefficients
本文提出一种协调有限元方法，结合半光滑牛顿线性化与最小二乘梯度恢复，求解带Cordes系数的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，给出最优阶误差界并用于自适应细化，实验验证了理论结果。
2024-05-26 cs.NA math.AP math.NA
Existence and uniqueness of minimizers of general least gradient problems
出于电导率成像中出现的问题，我们证明存在性，唯一性和比较定理-在某些尖锐的条件下-最小的一般最小梯度问题\[\inf_{u\in BV_f(Ω)} \int_Ωφ(x,Du),\] $f:\partial Ω\to \R$是连续的，\[ BV_f(Ω):=\{v\in BV(Ω): \ \ \forall x\in \partial Ω, \ \ \lim_{r\to 0} \ \esssup_{y\in Ω, |x-y|<r} |f(x) - v(y)| = 0 \ \} %BV_f(Ω)=\{u\in BV(Ω): {0.1cm} u|_{\partial Ω}=f {0.1cm} \hbox{and} {0.1cm} {0.1cm} u {0.1cm} \hbox{is continuous at} {0.1cm} \partial Ω\}. \]和$φ(x,ξ)$是一个函数，除其他属性外，是凸和均匀度1相对于$ξ$变量。特别是，我们证明了，如果$a\in C^{1,1}(Ω)$是有界远离零，然后极小的加权最小梯度问题$\inf_{u \in BV_f}\int_Ω a|Du|$是唯一的$BV_f(Ω)$。我们构造反例来证明正则性假设$a\in C^{1,1}$是尖锐的，在这个意义上，它不能被替换为$a\in C^{1,α}(Ω)$与任何$α<1$。
2013-05-02 math.AP math.FA
Continuity of minimizers to weighted least gradient problems
在Dirichlet边界条件下，当边界数据连续且权函数为C^2且有界远离零时，我们重新讨论了固定有界区域上加权最小梯度问题极小解的存在性和正则性问题.在R^n中区域上适当的几何条件下，通过将Sternberg-Williams-Ziemer技巧推广到非齐次变分的情形，我们构造了上述变分问题在任意维数n>=2上的连续解。我们证明了所构造的极小元的水平集是由权函数确定的共形度量中的极小曲面。这一结果补充了Jerrard，Moradifam和Nachman的方法，因为它提供了一个连续的解决方案，即使在高维的水平集发展奇点的可能性存在。证明依赖于应用严格的最大值原理的面积最小化边界由莱昂西蒙建立的集。
2018-07-18 math.AP math.DG
Obstacle problems with double boundary condition for least gradient functions in metric measure spaces
在度量空间中具有支持$(1,1)$ -Poincaré不等式的加倍测度的情况下，研究了有界区域$Ω$中的BV-能量极小化问题，该有界区域$Ω$中的函数界于两个障碍函数之间，且其迹位于$Ω.$边界上的两个指定函数之间。我们表明，当$Ω$是一个均匀域，其边界在Lahti，Malcolm，Shanmugalingam和Speight（2019）的意义下具有正的中曲率时，连续障碍物和连续边界数据的解存在。虽然这样的解决方案是不是唯一的一般情况下，我们证明了唯一的最小解的存在性。我们的存在性结果推广了Ziemer和Zumbrun（1999）的结果，他们在具有单个障碍物和单个边界条件的欧氏环境中研究了该问题。
2022-10-19 math.AP math.MG
The Obstacle Problem for Functions of Least Gradient
对于给定的区域$Ω\subset \Bbb{R}^n$，考虑函数$u$在$Ω$上的梯度的$L^1$ -范数最小化的变分问题，该函数具有给定的连续边值，且满足$Ω$内部的连续下障碍条件$u\ge Ψ$.在边界$\partialΩ$的中曲率严格为正的假设下，证明了该问题的连续解的存在性，其Hölder指数为数据和障碍物的Hölder指数的一半.这推广了以前的无约束和双障碍问题的结果。在本分析的主要新特点是需要扩展各种最大值原理的情况下，两个面积最小化集的情况下，一个子和一个superminimizing集。这是我们在其中一个集合上的弱正则性假设下完成的，足以进行分析。有趣的开放性问题包括解的唯一性和面积超极小集的正则性的完整分析。我们提供了一些初步的结果，在后一个方向，即一个新的单调性原则superminimizing集，并存在的“泡沫”superminimizers在两个维度。
1998-11-07 math.AP math.CA
Exponential growth of the vorticity gradient for the Euler equation on the torus
我们证明，有解决方案的欧拉方程的环面$C^{1,α}$涡和光滑，除了在一个点，使涡梯度增长$L^\infty$至少指数为$t\to\infty$。同样的结果也适用于涡度海森解和光滑解。我们的证明使用了Kiselev和Sverak最近结果的一个版本。
2014-10-08 math.AP
Exterior free-boundary minimal surfaces of every topological type with at least two ends
Independent University of Moscow（莫斯科独立大学）
该研究构造出具有至少两个端点、任意拓扑类型的连通可定向真嵌入外部自由边界极小曲面，通过两种粘合方法实现，解决了此类曲面的拓扑类型覆盖问题。
2026-10-14 math.AP math.DG
