Minimal Ternary Linear Codes from Vectorial Functions
本文首次从向量函数构造最小三元线性码，给出充分必要条件，构造三重量码并确定重量分布，同时找到违反AB条件的码，解决Li等人提出的问题。
2024-03-18 cs.IT math.IT
A New Constructions of Minimal Binary Linear Codes
近年来，极小线性码由于其在秘密共享方案、安全两方计算等方面的应用而得到了广泛的研究，构造不满足Ashikhmin-Barg条件的极小线性码并确定其权分布是编码理论和密码学中的一个热点问题。本文给出了维数为$m+2$的二元线性码的一般构造，并给出了这种二元线性码为极小码的一个充要条件。基于这一条件和指数和，得到了一类新的不满足Ashikhmin-Barg条件的极小二元线性码，并确定了它们的重量计数元。
2022-01-09 cs.IT math.IT
Minimal Linear Codes over Finite Fields
极小线性码作为一类特殊的线性码，在秘密共享和安全两方计算中有着重要的应用。构造具有新的理想参数的极小线性码一直是编码理论和密码学中一个有趣的研究课题。Ashikhmin和Barg证明了$w_{\min}/w_{\max}> (q-1)/q$是有限域$\gf(q)$上的线性码是极小码的充分条件，其中$q$是素数幂，$w_{\min}$和$w_{\max}$分别表示码中的最小和最大非零权.本文的第一个目的是给出有限域上线性码是极小码的一个充要条件。本文的第二个目标是构造出一类满足$w_{\min}/w_{\max}\leq 2/3$的三元极小线性码。据我们所知，这是第一个违反Ashikhmin和Barg条件的非二元极小线性码的无限族。
2018-03-27 cs.IT math.IT
Two Constructions for Minimal Ternary Linear Codes
近年来，极小线性码因其在秘密共享方案、两方计算等方面的应用而得到了广泛的研究，构造不满足Ashikhmin-Barg条件的极小线性码并确定其权分布是编码理论和密码学中的一个热点问题。本文利用指数和、Krawtchouk多项式以及$\mathbb{F}_3^m$中定义在特殊向量集上的函数，提出了两类新的不满足Ashikhmin-Barg条件的极小三元线性码，并确定了它们的完全重量计数元.特别地，一类这类码的最小距离优于在\cite{Heng-Ding-Zhou}中构造的码。
2021-11-21 cs.IT math.IT
Chain of Separable Binary Goppa Codes and their Minimal Distance
证明了可分二进制Goppa码的子类$Γ(L,G)$ -码，具有$L=\{α\in GF(2^{2l}):G(α)\neq 0 \}$和特殊的Goppa多项式G（x），可以表示为一个嵌入码链.对于链上的所有码，都得到了真正的最小距离。
2007-07-27 cs.IT math.IT
A Novel Application of Boolean Functions with High Algebraic Immunity in Minimal Codes
具有高代数免疫性的布尔函数是一些流密码中重要的密码基元。本文提出了由集合、布尔函数和向量布尔函数构造具有高代数免疫度的二元极小码的两种方法。更确切地说，利用Reed-Muller码中包含的极小码和不含非零低阶零化子的集合构造了新的极小码。另一种构造使我们能够从Reed-Muller码的某些子码和具有高代数免疫性的向量布尔函数中产生最小码。通过这些一般构造，得到了维数为$m$且长度小于或等于$m(m+1)/2$的极小二元线性码的无限族.此外，建立了所提出的最小线性码的最小距离的下界。猜想和开放的问题也提出。结果表明，具有高代数免疫度的布尔函数在对称密码学、编码理论和秘密共享等领域有着广泛的应用。
2020-04-10 cs.IT math.IT
$r$-Minimal Codes with Respect to Rank Metric
本文提出并研究了 $r$-极小码，在一般设定和域扩张下刻画了其性质，推导了极小长度的上下界，并给出了 $m=3$ 时 $k$ 维极小码极小长度的显式公式。
2024-08-28 cs.IT math.IT
Construction of Minimal Tail-Biting Trellises for Codes over Finite Abelian Groups
给出了一种分组码原子码字的定义。研究了群码原子码字的一些性质。利用这些性质，证明了有限阿贝尔群上群码的每一个最小咬尾格都可以由其特征生成元构造，从而推广了Koetter和Vardy关于域上线性码的工作.我们还提出了一个有效的算法，用于构建一个有限阿贝尔群上的群码的最小咬尾网格，给定的生成矩阵。
2007-05-17 cs.IT math.IT
Matrix Theory for Minimal Trellises
网格提供了矩阵行空间的图形表示。Kschischang和Sorokine的乘积构造从最小跨度形式的矩阵中构建最小的常规网格。Koetter和Vardy证明了最小咬尾网格可以通过将乘积构造应用于特征矩阵的子矩阵来获得。我们引入了矩阵的唯一约化最小跨度形式，并得到了唯一约化特征矩阵的表达式。在特征矩阵的新性质中，我们证明了特征矩阵是对偶的当且仅当它们具有正交的列空间，并且证明了特征矩阵的转置还是特征矩阵当且仅当特征矩阵是约化的。这些性质对咬尾网格的展开单位存储卷积码有明确的解释，它们解释了Koetter和Vardy网格类的对偶性，并且它们给出了基于特征矩阵的Koetter-Vardy构造和基于位移矩阵的Nori-Shankar构造之间的自然关系。对于一对对偶约化特征矩阵，其中一个在正方向上是字典序优先的，另一个在反方向上是字典序优先的。这证实了Koetter和Vardy在考虑到词典排序的不同方向后的猜想。
2015-09-28 cs.IT math.IT
Two Classes of Quantum MDS Codes with Large Minimal Distance
本文利用有限域乘法结构和陪集选择，构造了两类参数全新的量子MDS码，部分码的最小距离超过q/2。
2024-10-10 cs.IT math.IT
Minimal Binary Linear Codes of Dimension n+4 from Partial Spreads and Their Dual Access Structures
Visva-Bharati（维斯瓦·巴拉蒂大学）；Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）
本文提出基于特殊布尔函数的维数为n+4的极小二元线性码通用构造，利用有限域部分铺展几何性质确定其重量分布，推导极小性充要条件，该类码违反Ashikhmin-Barg条件，适用于高级通信系统。
2026-08-06 cs.IT math.IT
Minimal Linear Codes From Weakly Regular Plateaued Balanced Functions
线性码在秘密共享方案、安全两方计算、关联方案、强正则图、认证码和通信等方面有着广泛的应用。文献中有大量的小权线性码，但很少有极小权线性码。本文首次将奇特征有限域上的弱正则平台平衡函数用于线性码的第二类构造方法。本文的主要结果如下。我们首先从弱正则平衡函数出发，构造了几个带可变参数的三重和四重线性码。值得注意的是，（几乎）最佳的代码可以从这些功能。我们还观察到，本文所得到的所有码都是极小码，因此它们可以直接用来构造具有高度民主性的秘密共享方案。最后，利用我们的最小码的对偶码得到了民主秘密共享方案。
2020-05-10 cs.IT math.IT
Construction of Minimal Ternary Linear Codes with Dimension $m+2$ Via Krawtchouk Polynomials
Chengdu University of Information Technology（成都信息工程大学）；Sichuan Normal University（四川师范大学）
本文提出一种维数为$m+2$的三元线性码的通用构造，利用Krawtchouk多项式导出最小性充要条件，得到一类违反Ashikhmin-Barg条件的最小三元线性码并确定其完全重量枚举器。
2026-05-27 cs.IT math.IT
Number of minimal cyclic codes with given length and dimension
本文在有限域$\mathbb F_q$上，当$n$的素因子满足一定条件时，计算了长度为$n$，维数为$k$的极小循环码的个数.这个问题等价于计算次数为$k$的$x^n-1\in \mathbb F_q[x]$的不可约因子的个数。
2014-06-17 cs.IT math.IT
Minimal linear codes in odd characteristic
本文将丁恒、周刚的两篇文章中的构造推广到任意域$\mathbb{F}_q$，$q$奇，给出了Ashikhmin-Barg界不成立的极小码的无限族.
2018-11-16 cs.IT math.CO math.IT
On cyclic codes of composite length and the minimal distance
在一个有趣的论文教授Cunsheng丁提供了三个建设循环码的长度是产品的两个素数。数值结果表明，这些码中的许多码是相同有限域上相同长度和维数的最佳循环码。然而，人们对这些代码知之甚少。在本文中，我们解释了一些神秘的数字数据，通过开发一个通用的方法循环码的复合长度和估计的最小距离。受新方法的启发，我们也给出了复合长度循环码的一般构造。数值结果表明，它也产生了许多最佳循环码。最后，我们指出如何利用这些循环码来构造具有大自由距离的卷积码。
2017-03-31 cs.IT math.IT
Minimal Linear Codes Constructed from partial spreads
本文利用几何方法，全面研究了由部分展布构造的线性码的极小性，无需依赖先前“足够大”的条件，从而扩展了极小线性码的构造范围。
2023-05-09 cs.IT math.IT
An inductive construction of minimal codes
我们提供了新的家庭在任何特征的最小码。最后给出了极小码的一个归纳构造。
2019-12-12 cs.IT math.CO math.IT
$r$-Minimal Poset Codes
Fudan University（复旦大学）；Yiwu Research Institute of Fudan University（复旦大学义乌研究院）；The University of Hong Kong（香港大学）
研究关于$\mathbf{P}$-支撑的$r$-极小码，通过切割$r$-阻塞映射等刻画，给出$r$-极小性条件，证明存在性结果，在$\mathbf{P}$分层时用$r$-极小汉明度量码刻画，还刻画相关切割$r$-阻塞集并回答问题。
2026-10-09 cs.IT math.IT
Minimal Binary Abelian Codes of length $p^m q^n$
本文考虑二元交换码的长度为$p^m q^n$，其中$p$和$q$在某些限制性假设下是素有理整数.在这种情况下，我们确定生成最小码的幂等元以及这些权重的相应权重或边界。我们给出的例子表明，这些界限达到在某些情况下。
2012-05-25 cs.IT math.IT
A geometric characterization of minimal codes and their asymptotic performance
本文给出了极小线性码的一个几何刻画。特别是，我们涉及到最小的线性码切割块集，在最近的一篇论文中介绍了博尼尼和Borello。利用这个特征，我们得到一些界限的长度和距离的最小码，根据其尺寸和基本字段的大小。此外，我们还证明了这类极小码是渐近好的。最后，我们给出了极小码的一些几何构造。
2019-12-12 cs.IT math.CO math.IT
On the Minimal Pseudo-Codewords of Codes from Finite Geometries
为了了解最大似然（ML）解码下的码的性能，知道最小码字是至关重要的。在线性规划（LP）解码的上下文中，有必要知道最小伪码字。本文研究了由射影平面和欧氏平面导出的几类码族的极小码字和极小伪码字。虽然我们的数值结果是只有非常适度的长度的代码，他们建议，这些代码的家庭表现出一个有趣的属性。即，不是最小码字的倍数的所有最小伪码字具有严格大于码的最小汉明权重的AWGNC伪权重。这种观察不仅对LP解码而且对迭代解码具有积极的影响。
2005-08-02 cs.DM cs.IT math.IT
Function-Based Minimal Linear Codes over Galois Rings $\mathrm{GR}(p^{n}, \ell)$: Minimality Criteria and Infinite Constructions
NIT Jamshedpur（印度技术学院贾姆谢德布尔分校）；University of Paris VIII（巴黎第八大学）；Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）；Visva-Bharati（维斯瓦-巴拉蒂大学）
本文扩展了 Galois 环上线性码为最小码的必要充分条件，并建立了 m 维最小线性码长度的新界。通过 Frobenius 对偶性和 Galois 环的链结构，推导出确保函数 over GR(p^n, ℓ) 上线性码为最小码的条件，并构造了若干无限族最小线性码。
2026-03-27 cs.IT math.IT
Several new classes of self-orthogonal minimal linear codes violating the Ashikhmin-Barg condition
本文研究并构造了几类在有限域上违反Ashikhmin-Barg条件且满足自正交性的极小线性码，确定了其重量分布，并首次探讨了该类兼具极小性与自正交性码的构造方法。
2025-07-14 cs.IT math.IT
Several classes of minimal linear codes with few weights from weakly regular plateaued functions
极小线性码在秘密共享方案和安全两方计算中有重要的应用。构造线性码的方法有多种，其中之一是基于有限域上的函数。近年来，文献中提出了许多基于函数的线性码的构造方法。本文将Tang等人在[IEEE Transactions on信息论，62（3），1166-1176，2016]中给出的最新构造方法推广到奇特征有限域上的弱正则平台函数。首先，我们构造了三个重量线性码的弱正则平台函数的基础上的第二个一般的建设，并确定其重量分布。接下来，我们给出一个子码，每个构造的代码有两个或三个权重以及它的参数。最后证明了本文所构造的码是最小的，从而证实了基于对偶码的秘密共享方案具有良好的访问结构。
2018-08-11 cs.IT math.IT
Minimal Linear Codes Constructed from hierarchical posets with two levels
本文利用几何方法，将两级层次偏序集中由一个或两个序理想生成线性码的极小性判定推广至任意多个序，并完全确定了其极小性。
2023-05-09 cs.IT math.IT
Distribution of the minimal distance of random linear codes
本文研究了维数为$k$的随机线性码在$\mathbb{F}_q^n$中的最小距离（在Hamming度量下）的分布.我们提供了定量估计表明，最小距离的分布函数是接近（{ \it{}超多项式}在$n$）的累积分布函数的最小值的$(q^k-1)/(q-1)$独立二项随机变量的参数$\frac{1}{q}$和$n$。当$\frac{k}{n}$在$(0,1)$中收敛到一个固定数时，后者又在整数点处收敛到一个Gumbel分布。我们的结果证实了在很强的意义上，除了识别的比例码字的权重，随机码的线性结构引入的概率依赖性，产生的最小码的重量可以忽略不计的影响。作为主要结果的推论，我们得到了$2<q<49$的Gilbert-Varshamov界的一个改进.
2020-07-13 cs.IT math.IT
Minimal and Optimal binary codes obtained using $C_D$-construction over the non-unital ring $I$
本文在大小为 4 的交换非含幺环 $I$ 上利用 $C_D$-构造法构建线性码，求得其 Lee 重量分布与二元 Gray 像，证明所得二元码具有极小、自正交、少重量及距离最优等性质。
2023-05-15 cs.IT math.IT
Full Characterization of Minimal Linear Codes as Cutting Blocking Sets
本文首先详细研究了最近由Bonini和Borello提出的极小线性码与截块集之间的关系，然后将极小线性码完全刻画为截块集.作为一个直接的结果，在射影平面上，维数为$3$的极小射影码与维数为$t\ge 2$的$t$ -重块集的极小射影码是同一对象.由这一刻画得到了极小码参数的一些界。这证实了Alfarano，Borello和Neri最近在[最小码的几何特征及其渐近性能，arXiv：1911.11738，2019]中关于最小码的最小距离的下界的猜想。利用这一新的最小码和阻塞集之间的联系，我们还提出了新的一般的小学和中学的最小线性码的建设。结果得到了不满足Aschikhmin-Barg条件的极小线性码的无限族。此外，建立了所提出的极小线性码的两个子族的重量分布。开放的问题也提出。
2020-04-26 cs.IT math.CO math.IT
On the maximum number of minimal codewords
最小码字在线性码的译码和密码学中有应用。研究了给定长度和维数的二元线性码中最小码字的最大个数。改进的最大数的上下界。我们确定的情况下，尺寸$k$和长度$k+2$的线性代码和小值的长度和尺寸的精确值。我们还给出了维数为$k$、长度为$k+3$的线性码的最小码字数的一个公式。
2020-10-21 cs.IT math.CO math.IT
On the weight distribution of some minimal codes
极小码是近年来引起人们兴趣的一类线性码，这要归功于它们与秘密共享方案的联系。本文给出了C。唐，Y。邱，智-地廖，Z.周，回答一些开放性问题。
2020-04-28 cs.IT math.CO math.IT
A class of few-Lee weight $\mathbb{Z}_2[u]$-linear codes using simplicial complexes and minimal codes via Gray map
近年来，一些混合字母环利用合适的定义集或下集构造了具有最优或最小Gray像的少Lee重量可加码。受这些工作的启发，我们选择混合字母环$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_2[u]$，利用单个极大元生成的单纯复形构造一类特殊的线性码$C_L$ over $\mathbb{Z}_2[u]$ with $u^2=0$.通过确定$C_L$的Lee权分布，证明了$C_L$具有较少的Lee权.从理论上讲，这表明，即使在混合字母环的情况下，我们也可以利用单纯复形来获得少重量码。证明了$C_L$的Gray像是自正交的，并通过Gray映射得到了$\mathbb{Z}_2$上的无穷小码族，可用于秘密共享方案.
2022-06-05 cs.IT math.IT
Bounds on the Pseudo-Weight of Minimal Pseudo-Codewords of Projective Geometry Codes
在本文中，我们专注于我们的注意力集中在一族有限几何码，称为I型投影几何低密度奇偶校验（PG-LDPC）码，这是基于投影平面PG（2，q）构造的。特别是，我们研究了它们的最小码字和伪码字，因为它是已知的，这些向量完全表征下的最大似然解码和线性规划解码，分别代码的性能。本文的主要结果包括第一类PG-LDPC码的最小伪码字的伪重量的上界和下界。
2005-10-17 cs.DM cs.IT math.IT
Geometric dual and sum-rank minimal codes
本文的主要目的是在秩和度量下进一步研究最近引入的极小码的结构、参数和构造。这些对象形成了一个桥梁之间的经典最小码的汉明度量，在过去的三十年里，激烈的研究的主题，部分是因为他们的密码学性质，和最近的秩度量最小码。我们证明了他们的参数，存在性结果的一些界限，并通过一个工具，我们命名为几何对偶，我们设法构造最小码的重量很少。著名的Ashikhmin-Barg条件的推广证明和使用，以确保某些结构的极小。
2023-03-13 cs.IT math.CO math.IT
Singly-even self-dual codes with minimal shadow
本文研究了具有最小阴影的极值单偶自对偶码。对于特定的参数，我们证明不存在这样的代码。利用Rains \cite{Rains-asymptotic}的一个结果，证明了极值单偶自对偶码的长度是有界的.我们给出明确的界限的情况下，阴影是最小的。
2012-01-23 cs.IT math.CO math.IT
Constructions of binary self-orthogonal singly-even minimal linear codes violating the Aschikhmin-Barg condition with few weights
College of Science, National University of Defense Technology（国防科技大学理学院）；College of Information Science and Technology, Jinan University（暨南大学信息科学技术学院）
本文提出三种框架，构造违反AB条件且具有少量重量的二元自正交单偶最小线性码，并展示其重量分布特性。
2026-01-06 cs.IT math.IT
A Bound on the Minimal Field Size of LRCs, and Cyclic MR Codes That Attain It
证明了局部可修码域大小的一个新下界。此外，我们还构造了循环的最大可恢复（MR）码。虽然MR码的已知构造具有相同的参数，但它产生非循环码。此外，我们证明了必要条件和充分条件，指定当已知的非循环MR码可以置换成为循环，从而证明我们的建设产生循环MR码与新的参数。此外，使用我们的新的界的字段大小，我们表明，新的循环MR码有最佳的字段大小在某些情况下。其他已知的LRC也被证明在某些情况下具有最佳的字段大小。
2022-08-22 cs.IT math.IT
A Framework of Constructions of Minimal Storage Regenerating Codes with the Optimal Access/Update Property
本文提出了一种基于不变子空间技术构造具有两个奇偶节点的系统最小存储再生码的通用框架。在我们的框架中构造的代码不仅包含一些最著名的代码作为特殊情况，但也包括一些新的代码的关键属性，如最佳访问属性和最佳更新属性。特别地，对于单个节点的给定存储容量，新代码中的一个具有最大数量的系统节点，并且新代码中的两个具有最大数量的具有最优更新属性的系统节点。
2015-03-06 cs.IT math.IT
Minimal codewords in Norm-Trace codes
本文考虑在范数-迹曲线的仿射$\F_{q^r}$ -有理点上对多项式$by=a_kx^k+\dots+a_1x+a_0$，$b,a_i\in\mathbb{F}_{q^r}$求值所得到的仿射簇码.特别是，我们调查的权重分布和最小码字的集合。我们的方法，它使用的工具，代数几何，是基于研究的绝对不可约的某些代数簇。
2022-11-04 cs.IT math.AG math.IT
On minimality of convolutional ring encoders
卷积码被认为是与代码序列建模为半无限洛朗级数。众所周知，有限群G上的卷积码C具有可以从码序列导出的最小网格表示。众所周知，对于G是有限域的情况，C的任何多项式编码器都可以代数地操作以产生最小多项式编码器，其控制器规范实现是最小网格。本文通过引入一个p-编码器，把这个结果推广到有限环G = Z_{p^r}的情形。我们展示了如何操纵一个多项式编码的非灾难性卷积码在Z_{p^r}产生一个特定类型的p-编码器（“最小的p-编码器”），其控制器规范实现是一个最小的网格与非线性功能。网格状态的最小数量然后被表示为p^gamma，其中gamma是最小p编码器的行度的总和。特别是，我们表明，任何卷积码在Z_{p^r}承认一个无延迟的p-编码器，这意味着新的结果，延迟自由不是一个属性的代码，但编码器，就像在现场的情况下。我们推测，类似的结果也适用于灾变，即，在Z_{p^r}上的任何灾难性卷积码允许非灾难性P编码器。
2009-04-14 cs.IT math.IT
The maximum number of minimal codewords in an $[n,k]-$code
本文导出了标题中的量的上、下界，并对$n$和$k.$的适度值进行了列表。
2012-03-04 cs.IT math.CO math.IT
On the Labeling Problem of Permutation Group Codes under the Infinity Metric
最近提出了无限范数下的置换码作为用于校正秩调制方案中的有限幅度误差的编码方案。给定这样的代码，我们表明，一个简单的重新标记操作，产生一个同构的代码，可能会大大改变代码的最小距离。因此，我们可以选择一个有效的编码/解码过程的代码结构，然后通过重新标记优化代码的最小距离。我们正式定义的重新标记问题，并表明，所有的代码可以重新标记，以获得最小的距离最多为2。一个码是否可以被重新标记为距离1的决策问题是NP完全的，并且计算重新标记后的最佳可实现的最小距离被证明是难以近似的。最后，我们考虑重新标记问题的一般界限。我们具体地展示了循环群的最佳重标记距离。一般概率参数的特定情况用于显示$\agl(p)$可以被重新标记为最小距离$p-O(\sqrt{p\ln p})$。
2011-09-19 cs.IT math.IT
A construction of minimal linear codes from partial difference sets
本文研究了一类由有限域的某些子集的特征函数定义的线性码。我们用特征理论方法得到了这种码是最小线性码的一个充分和必要条件。利用部分差集得到了不满足Ashikhmin-Barg条件的新的三权或四权极小线性码。我们表明，我们的建设产生最小的线性码，不产生切割向量块集，并讨论其在秘密共享方案中的应用。
2021-02-22 cs.IT math.CO math.IT
Construction of Minimal Binary Linear Codes of dimension $n+3$
本文提出维数为 $n+3$ 的二元线性码的通用构造，给出其最小性的充要条件，并利用违反 Ashikhmin-Barg 条件的布尔函数构造新码族，同时计算重量分布。
2024-03-20 cs.IT math.IT math.RA
On the next-to-minimal weight of projective Reed-Muller codes
本文给出了投影Reed-Muller码的次极小权值。我们用$q \geq 3$来研究$\mathbb{F}_q$，因为在IEEE-IT 62（11）p. 6300-6303（2016）中，我们已经确定了二进制投影Reed-Muller码的次最小权重的完整值。在LOC。前引书这里，我们还找到了具有次小权重的码字的例子，其零集合不在超平面排列中。
2017-01-06 cs.IT math.AG math.IT
On Minimal Tree Realizations of Linear Codes
代码坐标的树分解是从坐标集到树的顶点集的映射。树分解可以扩展到树实现，即，通过在树的每个边缘指定状态空间，以及在树的每个顶点指定局部约束代码，在底层树上实现代码的无环实现。树实现的约束复杂度是它的任何局部约束码的最大维数。最大似然译码复杂度的量度是其树宽，这是其任何树实现的最小约束复杂度。众所周知，在扩展给定树分解的代码的所有树实现中，存在唯一的最小实现，其最小化底层树的每个顶点处的状态空间维度。本文给出了这类极小实现的两个新的构造。作为副产品的第一个建设，一个概括的状态合并过程的网格实现，我们得到的事实是，最小的树实现也最小化的局部约束码的尺寸在每个顶点的底层树。第二种构造依赖于我们开发的某些代码分解技术。我们进一步观察到，代码的树宽与图复杂度的度量有关，也称为树宽。我们利用这种连接来解决Forney的猜想之间的差距的最小网格约束的复杂性和树宽的代码。我们提出了一个家庭的代码，这个差距可以任意大。
2007-11-09 cs.IT math.IT
Three Combinatorial Perspectives on Minimal Codes
我们发展了三种组合味方法来研究有限几何中极小码的结构和截块集，每一种方法都有特定的应用。第一种方法使用代数组合学中的技术，通过Alon-Füredi定理和组合零点定理描述线性码中的支持。第二种方法结合了编码理论和统计学的方法来比较最小码中非零权重的均值和方差。最后，第三种方法把极小码看作割块集，并利用有限几何中的扩展理论来研究它们。应用这些方法并将其相互结合，我们得到了一些新的最小码参数的界和约束。在有限射影空间中，得到了小基数截块集的两个新的构造。反过来，这些使我们能够给出明确的结构的最小码具有短的长度为给定的字段和尺寸。
2020-12-02 cs.IT math.CO math.IT
Minimal Trellises for non-Degenerate and Degenerate Decoding of Quantum Stabilizer Codes
针对量子稳定子码非退化与退化译码需求，提出最小网格设计方法及多目标网格构建技术，将译码复杂度降低$\u0007f(n)$量级，并验证了其在CSS码上的有效性。
2024-10-10 cs.IT math.IT
Short minimal codes and covering codes via strong blocking sets in projective spaces
极小线性码与有限域上射影空间的特殊类型的阻塞集一一对应，这些阻塞集被称为强阻塞集或截阻塞集。本文证明了$q$元Galois域上维数为$k$且在$q$和$k$中均为线性的极小码的最小码长的一个上界，从而改进了已有的超线性界.这个结果决定了最小长度，直到一个小的常数因子。我们还改进了射影空间中所谓的higgledy-piggledy线集大小的上下上界，并应用这些结果给出了射影空间中覆盖码和饱和集大小的改进界.贡献依赖于几何和概率参数。
2021-05-17 cs.IT math.CO math.IT
Minimal linear codes arising from blocking sets
最小线性码是代数对象，在过去的二十年里，由于它们与Massey的秘密共享方案的联系而引起了人们的兴趣。在这方面，Ashikhmin和Barg给出了线性码是极小码的一个有用且易于处理的充分条件，该条件已被应用于许多极小线性码的构造中。本文推广了最近一些不基于Ashikhmin-Barg条件的极小线性码的构造。我们的证明涉及更多的组合和几何方法。特别是，我们提出了一个家庭的代码所产生的特定的块集，这是很好的研究组合对象。在这种情况下，我们需要定义割块集，并证明它们与块集理论中其他概念的关系。在文章的最后，我们给出了一族明确的截块集和相关的极小线性码，证明了它的无穷多个成员不满足Ashikhmin-Barg条件。
2019-12-06 cs.IT math.CO math.IT
Optimal minimal Linear codes from posets
最近，Hyun { \em et al}从单纯复形中构造了一些极小和最优二元线性码的无限族。我们将这种构造方法推广到任意偏序集。特别地，反链对应于单纯复形。本文给出了两种由两层递阶偏序集构造二元线性码的方法。特别地，我们确定了二元线性码的重量分布与层次偏序集的两个水平。在此基础上，我们还得到了一些不满足Ashikhmin-Barg条件的最优和最小二元线性码。
2020-08-17 cs.IT math.CO math.IT
Recent advances on minimal codes
本文是一篇关于极小码最新进展的短篇综述，探讨了这一编码理论经典对象与其他数学领域（特别是有限射影几何）的联系，并指出这种联系如何激发了对极小码的重新关注，催生了新的构造与问题。
2024-11-04 cs.IT math.CO math.HO
The next-to-minimal weights of binary projective Reed-Muller codes
投影Reed-Muller码是由Lachaud在1988年提出的，它们的维数和最小距离是由Serre和Sørensen在1991年确定的。在编码理论中，人们也对更高的汉明权重感兴趣，以研究码的性能。然而，对于这些码，并不知道很多较高汉明权重的值，甚至不能完全确定第二低权重（也称为次最小权重）。在本文中，我们确定了所有的值的次最小重量的二元投影Reed-Muller码，我们证明了等于次最小重量的Reed-Muller码在大多数情况下，但不是所有的情况下。
2017-01-06 cs.IT math.AG math.IT
Derivative Descendants and Ascendants of Binary Cyclic Codes, and Derivative Decoding
本文从Mattson-Solomon多项式的导数出发，定义了扩展循环码的循环和最小导数后代。首先，证明了循环DDs是相同的扩展循环码。它允许我们执行软判决解码的扩展循环码的基础上，他们的循环DD。然后证明了这些最小DDs是等价码。它还允许我们执行软判决解码的基础上最小的DD与排列。仿真结果表明，对于某些扩展循环码，包括某些扩展BCH码，我们提出的导数译码可以接近最大似然译码。
2022-12-09 cs.IT math.IT
