A geometric approach to generalized covering radii of linear codes
Université de Rennes（雷恩大学）；Department of Mathematics and Applications “R. Caccioppoli”, University of Naples Federico II（那不勒斯费德里科二世大学数学与应用系）
通过引入(ρ,t)-饱和集，将线性码的广义覆盖半径问题转化为有限几何中的点集结构，统一了经典饱和集与强阻塞集，并给出了下界与构造。
2026-06-16 cs.IT math.CO math.IT
Explicit constructions of optimal blocking sets and minimal codes
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；Umeå University（于默奥大学）
本文提出了一种显式构造强s-阻集的方法，适用于有限射影空间，并由此得到最优的仿射阻集和s-极小码构造，方法基于expander图的构造，并引入了特定的超图结构。
2026-05-07 cs.IT math.CO math.IT
On the minimum blocking semioval in PG(2,11)
本文针对阶数小于11的有限射影平面最小阻塞半椭圆尺寸已知的背景，开展PG(2,11)中的最小阻塞半椭圆研究。
2023-05-08 math.CO
Dominating sets in projective planes
通过建立有限射影平面的关联图的小控制集的稳定性结果，证明了控制集与块集和覆盖集之间的强相关性.我们的主要结果表明，如果$q>81$阶射影平面中的控制集小于$2q+2[\sqrt{q}]+2$（即，Baer子平面大小的两倍），则它包含一条直线的所有点，但可能只有一个点，或者包含通过一个点的所有线，但可能只有一条线。此外，我们完全刻画了大小至多为$2q+\sqrt{q}+1$的控制集。在Despermesian平面上，我们可以依靠关于阻塞集的强稳定性结果来证明，如果一个控制集足够小于3q，那么它由一个阻塞集和一个覆盖集的并集组成，除了几个点和线。
2016-03-09 math.CO
Minimal additive codes and additive strong blocking sets
Université de Rennes（雷恩大学）
本文引入最小加法码的概念，通过建立与加法强阻塞集的一一对应关系，从几何角度研究其性质，并给出构造、存在性结果以及最小长度的上、下界和渐近界。
2026-06-24 cs.IT math.CO math.IT
Minimal blocking sets in PG(n,2) and covering groups by subgroups
本文证明了PG（n，2）的点集$B$是极小阻塞集当且仅当$B$是$<B>=PG(d,2)$的点集，且$B$是$PG(d,2)$的$d+2$点集，且它们的$d+1$不在同一超平面上.作为后一个结果的推论，我们证明了：如果$G$是有限2-群且$n$是正整数，则$G$允许$\mathfrak{C}_{n+1}$ -覆盖当且仅当$n$是偶数且$G\cong (C_2)^{n}$，其中，对于群$H$的$\mathfrak{C}_m$ -覆盖，我们表示$H$的极大子群的大小为$m$的集合$\mathcal{C}$，其集合-理论并是整个$H$，没有$\mathcal{C}$的真子集具有后一性质，极大子群的交是无核的.同样对于所有$n<10$，我们找到所有对$(m,p)$（$m>0$是整数，$p$是素数），对于这些对，存在$PG(m,p)$中大小为$n$的阻塞集$B$，使得$<B>=PG(m,p)$。
2007-08-16 math.CO math.GR
Blocking sets, minimal codes and trifferent codes
本文建立仿射阻塞集、强阻塞集、极小码与线性三相异码之间的等价关系，据此改进相关上下界，并给出更大的显式线性三相异码构造。
2024-05-09 cs.IT math.CO math.IT
On cutting blocking sets and their codes
设PG $(r, q)$是有限域${\rm GF}(q)$上的$r$维射影空间.如果对于PG $(r, q)$的每个超平面$Π$，集合$Π\cap \cal X$跨越$Π$，则PG $(r, q)$的点的集合$\cal X$是切割阻塞集。切割块集产生饱和集和最小线性码，并且具有尽可能小的尺寸的那些特别感兴趣。我们观察到，从Fancsali和Sziklai得到的切割块集，通过使用一组成对不相交的线，出现了一个最小的线性码，其长度线性增长的维数。我们还提供了两个不同的结构：一个切割块集PG $(3, q^3)$的大小$3(q+1)(q^2+1)$作为一个联盟的三个成对不相交的PDMATHAMU-阶子几何和切割块集PG $(5, q)$的大小PDMATHAMW从七行的Desketian线蔓延PG $(5, q)$。在这两种情况下，得到的切割块集小于已知的。作为一个副产品，我们进一步提高了某些饱和集的最小尺寸的上界和具有尺寸$4$和$6$的最小$q$元线性码的最小长度。
2020-11-22 cs.IT math.CO math.IT
Linear Cutting Blocking Sets and Minimal Codes in the Rank Metric
这项工作调查的结构秩度量码的概念，从有限几何，最显着的$q$ -类似物的投影系统和阻塞集。我们还说明了如何将一个经典的汉明度量码的秩度量之一，在这样一种方式，各种秩度量性质自然转化为hommandy汉明度量的概念下，这种对应关系。最有趣的应用，我们的结果在于理论的最小秩度量码，我们介绍和研究从几个角度。我们的主要贡献是一个最小的秩度量码，一般存在的组合参数的基础上的结果，和一个明确的代码建设的一些参数集，使用的概念，分散的线性集的参数范围。在整个文件中，我们还显示和评论奇怪的类比/分歧之间的理论纠错码的秩和汉明度量。
2021-06-23 cs.IT math.CO math.IT
Minimal multiple blocking sets
证明了$n$阶的有限射影平面上的极小$t$ -fold阻塞集的基数至多为\[\frac{1}{2} n\sqrt{4tn - (3t + 1)(t - 1)} + \frac{1}{2} (t - 1)n + t.\].这是有限射影平面上极小$t$ -fold阻塞集的大小的第一个一般上界，推广了Bruen和Thas关于极小阻塞集的经典结果.从证明可以直接得出，如果在这个界限中出现相等，则每条线都在$t$点或$\frac{1}{2}(\sqrt{4tn - (3t + 1)(t - 1)} + t - 1) + 1$点中与阻塞集$S$相交。我们用它来表明，对于$n$一个素数幂，等式可以在以下三种情况中的一种情况下发生在我们的界中：（a）$t = 1$，$n$是一个正方形，$S$是一个单位;（b）$t = n - \sqrt{n}$，$n$是一个正方形，$S$是一个Baer子平面的补;（c）$t = n$和$S$等于除一个点之外的所有点的集合。对于平方素数幂$q$和$t \leq \sqrt{q} + 1$，我们给出了在$\mathrm{PG}(2,q)$中用$|S| = q\sqrt{q} + 1 + (t - 1)(q - \sqrt{q} + 1)$构造极小$t$ -重阻塞集$S$.此外，我们还得到了对称$2$ -设计中最小阻塞集大小的一个上界，并利用它对高维有限射影空间中的切集…
2018-12-13 math.CO
A Simple Explicit Construction of Smaller Strong Blocking Sets
College of Information Science and Technology, Jinan University（暨南大学信息科学技术学院）
本文提出一种简单方法，通过级联(q-1)幂相交代数几何码构造显式强阻塞集与最小码，q≤11时性能优于Alon等人的构造，且无需依赖扩张器图。
2026-10-12 cs.IT math.CO math.IT
Synthetic projective lines, geometric closure and AB-sets
本文介绍了一种新的“合成”投影线的提取方法。我们讨论了我们的方法的各个方面，并比较这些方面与经典的。出现了一些有趣的问题。在这些方面，我们讨论了几何闭包，并引入自同构阻塞集。我们还构建了一些（反）无限情况下的例子。
2022-06-14 math.CO
Groups with maximal irredundant covers and minimal blocking sets
令$n$为正整数。用$\mathrm{PG}(n,q)$表示$q$阶有限域$\mathbb{F}_q$上的$n$维射影空间. $\mathrm{PG}(n,q)$中的阻塞集是与$\mathrm{PG}(n,q)$的每个超平面具有非空交集的点的集合。一个阻塞集称为极小的，如果它的真子集都不是阻塞集。本文证明了如果$\mathrm{PG}(n_i,q)$包含$i\in\{1,2\}$的大小为$k_i$的最小阻塞集，则$\mathrm{PG}(n_1+n_2+1,q)$包含大小为$k_1+k_2-1$的最小阻塞集.这一结果是证明了一个结果的群体与最大的非冗余覆盖。
2009-01-13 math.CO math.GR
A note on strong blocking sets and higgledy-piggledy sets of lines
本文研究了有限射影空间中的强阻塞集，证明了某些并集不能构成强阻塞集从而得到新的大小下界，并在特定条件下构造了呈杂乱排列的直线子集以生成强阻塞集。
2024-02-10 math.CO
Three Combinatorial Perspectives on Minimal Codes
我们发展了三种组合味方法来研究有限几何中极小码的结构和截块集，每一种方法都有特定的应用。第一种方法使用代数组合学中的技术，通过Alon-Füredi定理和组合零点定理描述线性码中的支持。第二种方法结合了编码理论和统计学的方法来比较最小码中非零权重的均值和方差。最后，第三种方法把极小码看作割块集，并利用有限几何中的扩展理论来研究它们。应用这些方法并将其相互结合，我们得到了一些新的最小码参数的界和约束。在有限射影空间中，得到了小基数截块集的两个新的构造。反过来，这些使我们能够给出明确的结构的最小码具有短的长度为给定的字段和尺寸。
2020-12-02 cs.IT math.CO math.IT
Constructing minimal blocking sets using field reduction
给出了$\mathrm{PG}(n-1,q^t)$空间中$(k-1)$ -空间的最小阻塞集的一个构造. $(k-1)$是$q^t$阶有限域$\mathbb{F}_{q^t}$上的$(n-1)$维射影空间.该构造依赖于在$\mathrm{PG}(n-1,q^t)$的{ \em场缩减}表示中使用阻塞锥，扩展了线性阻塞集的公知构造。这种结构的灵感来自于Mazzocca，Polverino和Storme（{ \em的MPS-建设}）的超平面的最小阻塞集的建设，我们表明，对于一个合适的选择的阻塞锥平面阻塞集，我们得到更大的阻塞集比从平面阻塞集\cite{pol}。进一步证明了在$\mathrm{PG}(nt-1,q)$中对关于$(nt-t-1)$ -空间的极小块集进行域约化，可以得到关于$\mathrm{PG}PG(n-1,q^t)$中超平面的极小块集.最后，我们将这些结构的线性猜想小的最小块集。我们证明了，如果一个小的极小阻塞集构造的MPS-结构，它是Rédei型，而一个小的极小阻塞集产生于我们的锥结构当且仅当它是线性的。
2015-12-15 math.CO
Subspace coverings and generalized covering radii of generalized Zetterberg codes
Anhui University（安徽大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；Hefei University of Technology（合肥工业大学）
本文研究广义Zetterberg码的广义覆盖半径，建立上界$2t+1$并给出下界，证明大$t$时达到最小值$t$，并确定二元码的第二、第三半径。
2026-09-23 cs.IT math.CO math.IT
Blocking sets from a union of plane curves
Santa Clara University（圣克拉拉大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文受Erdős问题启发，利用固定次数几何不可约曲线的并集在有限域射影平面上构造阻塞集，并给出所需曲线数量的下界，证明结合算术几何与组合方法。
2026-10-01 math.AG math.CO math.NT
Further results on binary linear covering codes and saturating sets in projective spaces
Kharkevich Institute for Information Transmission Problems Russian Academy of Sciences（信息传输问题哈尔维奇研究所 俄罗斯科学院）；Department of Mathematics and Computer Science, University of Perugia（佩鲁贾大学数学与计算机科学系）；Independent（独立研究者）
本文构造新的无限二元码族，改进覆盖半径为2的码长上界，并降低渐近覆盖密度至1.27002，从而改进Green问题40的常数上界。
2026-10-14 cs.IT math.CO math.IT
New covering codes of radius $R$, codimension $tR$ and $tR+\frac{R}{2}$, and saturating sets in projective spaces
长度函数$\ell_q(r,R)$是余维$r$和覆盖半径$R$的$ q $元线性码的最小长度。在这项工作中，我们得到了新的建设性的上界$\ell_q(r,R)$所有$R\ge4$，$r=tR$，$t\ge2$，也为所有甚至$R\ge2$，$r=tR+\frac{R}{2}$，$t\ge1$。新的界限提供了无限家庭的新的覆盖码固定$R$和增加余维。新的界限改进了已知的界限。我们提出了一个在射影空间$\mathrm{PG}(2ρ+1,q)$中对于所有$ρ\ge0$的极小$ρ$ -饱和$((ρ+1)q+1)$ -集的一般正则构造（称为"线+椭圆“）.这样的集合对应于覆盖半径$R=ρ+1$的$[Rq+1,Rq+1-2R,3]_qR$局部最优$^1$码。基于这些码关于球形胶囊$^1$的组合性质，我们给出了码余维提升的构造，得到了具有余维$r=tR$，$t\ge2$的新的表面覆盖$^1$码的无限族。此外，我们还得到了射影平面$\mathrm{PG}(2,q^2)$上新的1-饱和集，并在此基础上构造了具有固定偶半径$R\ge2$和余维数$r=tR+\frac{R}{2}$，$t\ge1$的无限码族.（$^1$参见第1节中的定义）
2019-03-16 math.CO
Clubs in projective spaces and three-weight rank-metric codes
该文研究高维射影空间中$i$-club的结构，通过关联秩度量码与MacWilliams恒等式推导秩上界，给出多类显式构造与分类结果，并拓展构造了三重量秩度量码。
2025-08-01 cs.IT math.CO math.IT
A note on short minimal codes from subgeometries
Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Eotvos L. University（厄特沃什·洛兰德大学）；J. Selye University（J. 塞利耶大学）
针对已有学者证明的射影空间子几何构造特定参数线性极小码的结论，本文利用射影平面小阻塞集理论，对q>9的奇数情形给出该结论的简短证明。
2025-11-19 math.CO
Linear sets on the projective line with complementary weights
射影直线上的线性集由于与块集、KM-弧和秩度量码等有着密切的联系而引起了人们的广泛关注。本文研究了具有两点互补权的线性集，即两点的权之和等于线性集的秩。作为一种特殊情况，我们研究了那些线性集有两个点的重量大于一，通过展示新的例子，并研究其等价性问题。此外，我们确定了一些线性化多项式，定义了Jena和Van de Voorde（2021）最近引入的线性集。
2021-07-22 math.CO
Linear nonbinary covering codes and saturating sets in projective spaces
设A_{R,q}表示一类覆盖码，其中覆盖半径R和基域的大小q是固定的，而码长趋于无穷大.本文考虑了A_{R,q}族的无限集，其中R是固定的，但q在一个无限素幂集上，并研究了A_{R,q}族的渐近覆盖密度对q的依赖性.证明了对于A_{R,q}的覆盖密度的上极限，最佳可能性为O（q）.本文的主要成果是对任意覆盖半径R >= 2构造了族A_{R,q}的渐近最优无限集。我们首先证明了，对于给定的R，为了得到族的最优无限集，构造R个无限族A_{R,q} ^{（0）}，A_{R,q} ^{（1）}，.，A_{R,q} ^{（R-1）}，使得对于所有u >= u_{0}，族A_{R,q} ^{（v）}包含余维r_{u} =Ru+v和长度f_{q} ^{v}（r_{u}）的码，其中f_{q} ^{v}（r）=O（q^{（r-R）/R），并且u_{0}是常数。然后，我们能够为任何覆盖半径R >= 2构造所需的族A_{R,q} ^{（v）}，其中q的范围在R次幂的（无限）集合上。对于这些族A_{R,q} ^{（v）}中的每一个，覆盖密度的下极限由与q无关的常数从上限定。
2009-04-24 math.CO
Coverings of abelian groups and vector spaces
本文研究了当对覆盖系统的结构有一些自然限制时，需要多少子群、陪集或子空间来覆盖一个有限的阿贝尔群或向量空间的问题。例如，我们确定，我们需要多少陪集，如果我们想覆盖所有，但一个元素的阿贝尔群。这个结果是Brouwer，Jamison和Schrijver关于仿射空间的阻塞数定理的一个群论推广。我们发现，这些覆盖问题是密切相关的组合问题，包括所谓的添加剂的基础猜想，三流猜想，和猜想的Alon，Jaeger和Tarsi无处零向量。
2004-11-11 math.CO math.GR
Resolving sets and semi-resolving sets in finite projective planes
我们证明了$q\geq 23$阶的有限射影平面的度量维数是$4q-4$，并描述了该大小的所有解析集。令$τ_2$表示$\mathrm{PG}(2,q)$（$q$阶的狄氏射影平面）中的最小双重阻塞集的大小。证明了对于$\mathrm{PG}(2,q)$的关联图中的半可分解集$S$，$|S|\geq \min \{2q+q/4-3, τ_2-2\}$成立.特别地，如果$q\geq9$是正方形，则$\mathrm{PG}(2,q)$中的最小半解析集的大小为$2q+2\sqrt{q}$。
2017-01-30 math.CO
Blocking Planes by Lines in $\operatorname{PG}(n,q)$
本文研究了有限射影空间 $\operatorname{PG}(n,q)$ 中用线阻挡平面的最小集合基数问题，通过改进的递归构造方案优化了 Etzion 和 Metsch 的上界，并在一般情形下同样取得改进。
2025-04-05 math.CO
Prime Power Residues and Blocking Sets
本研究建立数论中素数模$q$次幂剩余问题与伽罗瓦几何中阻塞集的等价联系，证明该剩余性质在几何$q$等价下不变，并据此分类极小整数集且给出其大小界。
2025-07-10 math.CO math.NT
Existence of 3 anti-cocircular truncated Möbius planes and constructions of strength-4 covering arrays
University of Ottawa（渥太华大学）；Carleton University（卡尔顿大学）
本文证明了存在三个截断莫比乌斯平面，并利用它们构造了强度4的覆盖数组，显著改进了现有覆盖数组的大小。
2026-10-19 math.CO
The topology of projective codes and the distribution of zeros of odd maps
我们证明了射影空间中码的大小控制了从球面到欧几里得空间的奇映射的零点的结构结果。事实上，这个关系是通过球面上的概率测度空间的拓扑给出的，球面的支撑具有由某些特定参数限定的直径。我们的主要结果是Borsuk-Ulam定理的推广，并由此得到四个结果：（i）给出了Simonyi和Tardos关于图的圆色数的拓扑下界的一个结果的新证明;（ii）研究了球面在欧几里得空间中的通有嵌入，证明了投射码给出了球面嵌入通有度量的定量界;我们证明了推广的（iii）火腿三明治定理和（iv）Lyusternik-Shnirel'man-Borsuk覆盖定理的情况下，措施或集的数量在覆盖，分别可能会超过周围的尺寸。
2022-08-28 math.CO math.GT math.MG
Sets of mutually orthogoval projective and affine planes
如果一个平面的每一条直线与另一个平面的每一条直线至多相交于两点，则同一阶且位于同一点集上的一对平面（都是射影的或都是仿射的）是正交的。在本文中，我们证明了新的建设集的相互正交的平面，投影和仿射，并审查已知的结果，相当于两个以上的相互正交的平面集。我们还讨论了相互正交的平面集和覆盖阵列之间的联系。
2022-10-21 cs.DM math.CO
Equivalence and automorphism groups of two families of maximum scattered linear sets
有限域上的射影空间中的线性集在块集、半域、秩度量码等的研究中起着重要的作用。尽管经过二十年的研究，在射影直线中只有少数已知的最大离散线性集，包括Csajbók，Marino，Polverino和Zanella 2018构造的族，以及Csajbók，Marino，Zullo 2018构造的族（也包括Marino，Montanucci和Zullo 2020）。本文的目的是解决每个族中线性集的等价问题，并确定它们的自同构群。
2022-12-26 math.CO
A probabilistic construction of small complete caps in projective spaces
在这项工作中，通过概率方法获得了大小为$O(q^{\frac{N-1}{2}}\log^{300} q)$的$PG(N,q)$中的完整上限。这给出了一个上界渐近非常接近平凡的下界$\sqrt{2}q^{\frac{N-1}{2}}$和它提高了最知名的界在文献中的小完整帽在射影空间的任何维度。本文的结果还给出了$l(m,2,q)_4$的一个新的上界，即对于给定的$m$和$q$，存在一个$[n,n-m, 4]_q2$覆盖码的最小长度$n$.
2014-06-03 math.CO
Further results on multiple coverings of the farthest-off points
研究了射影空间$PG(N,q)$中最远点的多重覆盖（$(R,μ)$-MCF码）和相应的$(ρ,μ)$ -饱和集.我们提出并发展了一些方法，使我们能够获得新的小$(1,μ)$饱和集和短$(2,μ)$码的$μ$密度等于1（最佳饱和集和几乎完美的MCF码）或接近1（大致$1+1/cq$，$c\ge1$）。特别是，我们提供了新的代数结构和一些界限。此外，我们分类的最小和最佳的$(1,μ)$饱和集在$PG(2,q)$，$q$小。
2015-06-01 math.CO
On the code generated by the incidence matrix of points and hyperplanes in PG(n,q) and its dual
本文研究了由点与超平面的关联矩阵生成的p元线性码C（PG（n，q）），q = p^h，p素，h >= 1及其对偶码.我们链接的码字的小重量，这个代码的阻塞集相对于PG（n，q）中的线，我们排除所有可能的码字所产生的小线性阻塞集。我们还研究了C（PG（n，q））的对偶码，证明了寻找对偶码的最小权可以归结为寻找PG（2，q）中点和线的对偶码的最小权。我们提出了一个改进的上界这个最小重量，我们表明，我们可以下降的可分性条件的重量的码字在Sachar的下界[12]。
2012-01-16 math.CO
