Some Open Problems in Sasaki Geometry
Charles P. Boyer, Hongnian Huang, Eveline Legendre, Christina W. Tønnesen-Friedman
本文已提交给2019年2月2日至2月14日在澳大利亚维多利亚州Creswick的数学研究所MATRIX举行的澳大利亚-德国大型微分几何研讨会论文集。我们描述并讨论了Sasaki几何中的2个重要开放问题。
This paper has been submitted to the Proceedings of the Australian-German Workshop on Differential Geometry in the Large held at the mathematical research institute MATRIX in Creswick, Victoria, Australia, Feb.2-Feb.14, 2019. We describe and discuss 2 important open problems in Sasaki geometry.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The generalized Frankel conjecture in Sasaki geometry
我们证明了\emph{transverse reducible} Sasaki流形的一些结构结果。特别是，我们表明Sasaki流形与积极的里奇曲率是横向不可约的，所以没有加入（产品）建设不规则Sasaki爱因斯坦流形，而不是准正规的情况下，由王齐勒和Boyer Galicki。作为应用，我们对具有非负横对分曲率的紧致Sasaki流形进行了分类。在Sasaki几何学中的Mok定理。
On Lightlike Geometry of Indefinite Sasakian Statistical Manifolds
在本研究中，我们引进了不定sasakian统计流形和不定sasakian统计流形的类光超曲面。得到了不定Sasakian流形的类光超曲面中诱导几何对象之间关于对偶联络的关系。还介绍了与这些概念有关的一些例子。最后证明了不定Sasaki统计流形的不变类光子流形是不定Sasaki统计流形。
Some topics in Sasakian geometry, a survey
本文综述了Sasakian几何中关于拓扑性质与结构存在性问题的最新研究进展，基于Boyer和Galicki提出的研究纲领。
Berglund-Hübsch Transpose Rule and Sasakian Geometry
我们应用BHK镜像对称的Berglund-Hübsch转置规则，证明对于由可逆多项式定义的加权射影空间中的$n-1$ -维Calabi-Yau orbifold，我们可以关联四个（可能）不同的$2n+1$维Sasaki流形，它们是$n-1$ -连通的，并且允许正里奇曲率度量。我们应用这个定理证明了对于一个给定的K3 orbifold，存在四个正里奇曲率的七维Sasakian流形，其中两个实际上是Sasaki-Einstein流形.
On Positivity in Sasaki Geometry
众所周知，如果Sasaki锥的维数大于1，则所有的Sasaki结构要么是正的，要么是不定的。我们讨论了在一个固定的Sasaki锥内的类型变化现象。假设Sasaki锥的维数大于1，则有三种可能性，或者所有元素都是正的，或者所有元素都是不定的，或者正的和不定的Sasaki结构都出现。我们举例说明如何类型可以改变，因为我们在佐佐木锥移动。如果锥中存在总横数量曲率为非正的Sasaki结构，则Sasaki锥的所有元素都是不定的。进一步证明了如果第一个Chern类是挠类或用正定（1，1）形式表示，则Sasaki锥的所有元素都是正的.
The CR geometry of weighted extremal Kahler and Sasaki metrics
我们建立了共形Einstein-Maxwell Kahler四维流形（最近在许多作品中研究过）和极值Kahler四维流形（在Calabi意义下）之间的等价性，其中无处可消失的数量曲率.相应的Kahler度量对作为Sasaki度量的横向Kahler结构而产生，该结构与相同的CR结构兼容，并且具有交换的Sasaki-Reeb向量场。这种对应关系延伸到更高的维度使用加权极值Kahler度量的概念，照亮和团结在Kahler和Sasaki几何几个明确的建设。它还导致新的存在性和不存在的结果极值Sasaki度量，建议之间的联系概念的相对加权K-稳定性的极化品种，相对K-稳定的Kahler锥对应的Sasaki极化。
Nearly Sasakian geometry and $SU(2)$-structures
对几乎Sasakian流形进行了系统的研究。证明了任何近似Sasakian流形都存在两类具有全测地叶的可积分布，它们分别是Sasakian或$5$维近似Sasakian流形.因此，任何近似Sasakian流形都是切触流形。针对$5$ -维情形，我们证明了近似Sasakian结构与一类特殊的近似次$SU(2)$ -结构之间存在一一对应关系.通过使这种$SU(2)$结构变形，实际上得到了Sasaki-Einstein结构。进一步证明了几乎Sasakian和Sasaki-Einstein $5$ -流形都具有补充的几乎余辛结构。我们发现，有一个几乎共辛结构和一类特殊的hypo $SU(2)$ -结构，这是再次严格相关的Sasaki-Einstein结构之间的一一对应。此外，我们还研究了近Kähler 6-流形的可定向超曲面，在本文的最后一部分，我们定义了近Sasakian流形的典范联络，它在近Kähler几何中起着类似于Gray联络的作用。在维度$5$中，我们确定了一个连接，它平行化了所有的近Sasakian $SU(2)$ -结构以及挠率张量场。类似的结果也适用于Sasaki-Einstein结构。
Reducibility in Sasakian Geometry
本文的目的是研究Sasakian几何中的可约性性质。首先，我们给佐佐木版本的德拉姆分解定理，但是，我们需要一个温和的技术假设佐佐木自同构群，其中包括复曲面的情况。其次，我们引入了{ \it cone reducible}的概念，并考虑了光滑射影代数簇上的$S^3$丛，给出了关于容许Reeb型2-环面作用的切触结构的分类结果.特别地，我们可以将所有这样的Sasaki结构分类到亏格大于零的黎曼曲面上的$S^3$丛上的接触合痕。最后，我们表明，在环面的情况下，一个极值Sasaki度量的Sasaki加入总是分裂。
On the transverse scalar curvature of a compact Sasaki manifold
我们表明，标准的图片关于稳定的概念常数数量曲率度量的Kähler几何描述的S.K. Donaldson涉及到无穷维群和空间的几何，它可以应用于Sasaki几何中的常数数量曲率度量，只需很少的修改。我们证明了Sasaki度量空间是一个无限维对称空间，Sasaki度量的横数量曲率是严格接触自同构群的一个矩映射.
Geometry and Topology of Gradient Shrinking Sasaki-Ricci Solitons
研究梯度收缩Sasaki-里奇溶菌的几何与拓扑性质，证明其在无穷远处连通，并在正截面曲率或正横holomorphic双 sectional曲率下为紧致的，扩展了Perelman、Naber和Munteanu-Wang的结果。
Frankel Conjecture and Sasaki geometry
我们对具有正横截对分曲率的$2n+1$维单连通紧致Sasaki流形进行了分类.特别地，对应于这种流形的凯勒锥必须是对$\C^{n+1}\backslash \{0\}$的双全纯。作为应用，我们恢复了关于Frankel猜想的Mori-Siu-Yau定理，并将其推广到某些轨道形式。其主要思想是通过两个步骤将Sasaki流形变形为标准的圆形球面，这两个步骤都将复结构固定在Kähler锥上。首先，我们沿着Sasaki-里奇流对度规进行变形，得到一个具有正横截曲率的极限Sasaki-Ricci孤子。然后通过沿体积泛函的负梯度改变Reeb向量场，将Sasaki-Ricci孤子变形为具有正横截曲率的Sasaki-Einstein度规，即一个圆球.第二种变形只有在同时处理正则和不正则的Sasaki流形时才是可能的，即使一开始的流形是正则的（拟正则的），即Kähler流形（orbifolds）。
An application of the Duistertmaat--Heckman Theorem and its extensions in Sasaki Geometry
基于Martelli-Sparks-Yau提出的一个想法，我们使用Duistermaat-Heckman局部化公式和它的扩展来给出体积、总横向数量曲率和Einstein-Hilbert泛函的合理和明确的表达式，这些泛函被视为Sasaki锥（Reeb锥）上的泛函。通过对这些首项的研究，证明了它们都是正确的.其中我们得到Einstein-Hilbert泛函达到其极小值，并且每个Sasaki锥至少有一个横截Futaki不变量为零的Reeb向量场.
Projective geometry of 3-Sasaki structures
我们表明，$3$ -Sasaki结构承认一个自然的描述，在射影微分几何。本说明书通过一个统一的图像提供了$3$ -Sasaki结构与其他几种几何形状和结构之间的具体联系。首先，我们建立了一个$3$结构可以理解为一个投射结构，该投射结构配备了到（可能是不定的）酉四元数群$\textrm{Sp}(p,q)$的某种完整约化，即满足特定的一般性条件的投射牵引丛上的平行超kähler结构.反之，当我们从投射牵引丛上的一般平行超凯勒结构开始时，一般性条件不是自动的。事实上，我们证明，一般这样的减少分解成一个不相交的工会层的底层流形，包括开放的流形（不定）$3$ -佐佐木结构和一个封闭的分离超曲面在无穷远的$3$ -佐佐木度量。此外，它表明，后者的超曲面继承了一个双四元-费曼共形结构，从而（局部）纤维在四元数切触结构，这反过来又紧化自然四元数Kähler的开流形上的$3$ -Sasaki结构。作为一个应用，我们描述了（适当）完整的，非紧（不定）$3$ -Sasaki流形的射影紧化和恢复Biquard的渐近双曲四元数Kähler度量的概念。
A Note on Smale Manifolds and Lorentzian Sasaki-Einstein Geometry
在本文中，我们构造了Smale流形$M.$上Lorentzian Sasaki-Einstein（LSE）度量的新例子。在\cite{Gmz2}中已经建立了这种度量存在于所谓的无挠Smale流形上，即$S^{2}\times S^{3}.$的$k$ -折叠连通和。现在，我们证明了LSE度量存在于$H_{2}(M,\mathbb{Z})_{tor}$非平凡的Smale流形上。特别是，我们表明，大多数简单连接的正Sasakian有理同调5-球也是负Sasakian（因此洛伦兹Sasaki-Einstein）。证明了对于每对正整数$(n,s)$和$n,s >1$，存在Lorentzian Sasaki-Einstein Smale流形$M$，使得$H_{2}(M,{\mathbb{Z}})_{tors}=(\mathbb{Z}/n)^{2s}$ .最后，我们能够构造所谓的混合Smale流形（连接无挠Smale流形与有理同调球面的和），它允许LSE度量，并具有任意的第二Betti数。这给出了无限多的例子，不承认积极的佐佐木结构。这些结果部分解决了开放的问题
The Sasaki Join, Hamiltonian 2-forms, and Sasaki-Einstein Metrics
通过结合Sasakian几何的连接构造和Kähler几何的Hamilton 2-形式构造，我们恢复了物理学家发现的Sasaki-Einstein度量。我们的几何方法使我们能够给出一个算法来计算这些佐佐木-爱因斯坦流形的拓扑结构。特别地，我们明确地计算了几种情况下的上同调环，并给出了一个公式的同伦等价在一个特定的7维情况下。我们还表明，我们的建设给出了至少一个二维锥的Sasaki-Ricci孤子和极值Sasaki度量。
Projective geometry of Sasaki-Einstein structures and their compactification
我们表明，Sasaki结构的标准定义有优雅和简化的解释，在射影微分几何。对于Sasaki-爱因斯坦结构，我们使用射影几何来提供这样的结构到几何刚性较低的组件的分辨率;后者的基本组件是单独的，复杂的，正交的，和辛holonomy减少的规范投影拖拉机/Cartan连接。这导致了一个表征佐佐木-爱因斯坦结构的投影结构与某些单一的完整性减少。作为一个直接的应用，这是用来描述不确定的（适当的）完整的非紧的佐佐木-爱因斯坦结构的射影紧化，并证明在无穷远的边界是一个费曼共形流形，从而纤维的非退化CR流形（超曲面型）。我们证明了这个CR流形与Kähler-Einstein流形的c-投射紧化在无穷远处的边界重合，Kähler-Einstein流形的c-投射紧化以通常的方式作为给定Sasaki-Einstein流形的定义Killing场的叶空间而产生。给出了构造示例的过程。对射影结构的辛完整约化的讨论还使我们得到一种新的、简化的接触射影几何方法。这是独立的利益，并在一定程度上详细处理。
Twins in K{ä}hler and Sasaki geometry
本文提出加权极值 Kähler 孪生与极值 Sasaki 孪生概念，将 Hirzebruch 曲面上的孪生现象推广到加权极值度量，并重点研究环面 Sasaki 情形下 Sasaki 锥中多条极值射线的存在性。
Sasakian Geometry on Sphere Bundles II: Constant Scalar Curvature
本文在球丛上继续研究佐佐木几何，利用最近的存在性定理证明在特定条件下佐佐木锥中总存在常数量曲率佐佐木度量，并明确给出 5 维和 7 维球丛的构造。
On simply connected K-contact non-Sasakian manifolds
我们解决了Boyer和Galicki提出的不具有Sasakian结构的K-切触单连通流形的存在性问题。虽然结果是在度量接触几何的框架内，我们的方法来自接触和辛几何，并基于Sternberg，Weinstein和Lerman开发的脂肪束方法。
On Sasakian-Einstein Geometry
在准正则性假设下讨论了Sasakian-Einstein几何。证明了所有拟正则Sasakian-Einstein轨道折叠的空间都有自然乘法，并给出了两个Sasakian-Einstein流形的“乘积”是光滑Sasakian-Einstein流形的充要条件.利用谱序列变元，我们在许多感兴趣的情况下求出了上同调环。这种类型的几何最近已成为超对称共形域论物理学的兴趣。
Extremal Sasakian Geometry on S^3-bundles over Riemann Surfaces
本文研究亏格g>0的黎曼曲面上S^3-丛上的Sasaki几何，重点是极值Sasaki度量。我们证明了存在可数无穷多个不等价的切触结构的全空间，这样的丛，承认2维Sasaki锥，每个Sasaki度量的常数数量曲率（CSC）。这个CSC Sasaki度量通常是不规则的。我们进一步研究了Sasaki锥的极值子集，证明了当0<g<5时，它会耗尽整个锥。给出了用尽失败的例子。
Kahler-Sasaki geometry of toric symplectic cones in action-angle coordinates
与切触流形决定并被辛锥决定的方式相同，Sasaki流形决定并被适当的Kahler锥决定。Kahler-Sasaki几何是这些圆锥的几何。本文介绍了复曲面Kahler几何的辛作用角坐标方法，以及Burns-Guillemin-Lerman和Martelli-Sparks-Yau最近如何将其推广到复曲面Kahler-Sasaki几何。它还介绍了，作为一个应用程序，如何使用这种方法可以用来与最近的一个新的家庭的Sasaki-爱因斯坦度量构造的Gauntagli-Martelli-Sparks-Walkenstein在2004年，一个老家庭的极端Kahler度量构造的卡拉比在1982年。
Transverse Kähler geometry of Sasaki manifolds and toric Sasaki-Einstein manifolds
本文从横Kähler几何的角度研究紧Sasaki流形，并将Kähler几何中的一些结果推广到Sasaki流形.特别是我们定义的积分不变量，阻碍存在的横向Kähler度量与调和陈形式。对于第一类Chern类情形，积分不变量$f_1$成为常数量曲率的横截Kähler度量存在的障碍.本文证明了紧致复曲面Sasaki流形上的横Kähler-Ricci孤子（或{ \it Sasaki-Ricci孤子}）的存在性，其中Reeb叶状的法丛的基本第一Chern形式为正，接触丛的第一Chern类为平凡.我们将进一步证明，如果$S$是一个紧复曲面Sasaki流形，在上述假设下，通过变形Reeb场，我们得到$S$上的Sasaki-Einstein结构.作为应用，我们得到了复射影平面两点爆破的典范丛的幂的单位圆丛上的非正则环面Sasaki-Einstein度量.
The geometry of the Sasaki metric on the sphere bundle of Euclidean Atiyah vector bundles
设$(M,\langle,\rangle_{TM})$是一个黎曼流形.众所周知，$TM$上的Sasaki度量是非常严格的，但当限制到$T^{(r)}M=\{u\in TM,|u|=r \}$上时，它具有很好的性质。在本文中，我们考虑一个一般的情况下，我们取代$TM$的向量丛$E\longrightarrow M$赋予一个欧几里德产品$\langle,\rangle_E$和连接$\nabla^E$保持$\langle,\rangle_E$。我们定义了$E$上的Sasaki度量，并考虑了它对$h$到$E^{(r)}=\{a\in E,\langle a,a\rangle_E=r^2 \}$的限制。我们研究了$(E^{(r)},h)$的黎曼几何，推广了许多首次在$T^{(r)}M$上得到的结果，并建立了新的结果.我们将在此一般设置中获得的结果应用于作者在arXiv预印本arXiv：1808.01254（2018）中引入的欧几里得Atiyah向量丛类。最后，证明了任何三维幺模李群$G$都有一个左不变的黎曼度量，使得$(T^{(1)}G,h)$有一个正的标量曲率.
New Results in Sasaki-Einstein Geometry
这篇文章是作者关于佐佐木-爱因斯坦几何的一些工作的总结。弦理论中有一个相当普遍的猜想，称为AdS/CFT对应，它把低维的佐佐木-爱因斯坦几何与超共形域论联系起来;因此后者的性质反映在前者中，反之亦然。尽管有这种物理动机，许多最近的结果是独立的几何兴趣，并在这里描述的纯数学术语：明确建设的无限家庭的准正规和不正规的Sasaki-Einstein度量;复曲面Sasakian几何;极值问题，确定Reeb向量场，因此也是体积，Sasaki-Einstein流形;最后，Sasaki-Einstein度规存在的障碍。其中一些结果也提供了新的见解Kahler几何，特别是新的障碍存在的Kahler-Einstein度量的法诺orbifolds。
Sasakian Geometry, Holonomy, and Supersymmetry
本文讨论了Sasaki几何、约化完整性和超对称性之间的关系。众所周知，除了允许实Killing旋量的圆球之外，其他的黎曼流形都是Sasaki-Einstein流形、具有近似平行G2结构的7-流形和近似Kaehler 6-流形。然后讨论了后两者与Sasaki-Einstein几何的关系。
Some examples of toric Sasaki-Einstein manifolds
构造了一系列复曲面Sasaki-Einstein 5-流形的例子。这些是复曲面3-Sasaki 7-流形的子流形，并且这样的Sasaki-Einstein 5-流形唯一对应于复曲面3-Sasaki 7-流形。这就产生了在每#k（S^2 xS^3）上的准正则Sasaki-Einstein结构的例子，其中k是奇数。环面几何被用来构造非自旋5-流形上的正里奇曲率环面Sasaki结构的例子。然后利用并构式构造了无穷多个在每一个大于3的奇维上具有任意高第二贝蒂数的拟正则复曲面Sasaki-Einstein流形.
The $G_2$ geometry of $3$-Sasaki structures
本文系统研究了$3$-Sasaki流形第二Einstein度量及近似$G_2$结构的形变理论，证明无穷小形变等价，并由基础Laplacian特征函数参数化，进而确定了二阶无阻碍形变。
Sasakian Geometry on Sphere Bundles
本文的目的是研究光滑射影代数簇$N$上奇维球面丛上的Sasaki几何，其最终但可能无法实现的目标是理解极值和常数量曲率Sasaki度量的存在性和不存在性.我们将Yamazaki \cite{Yam99}关于K-切触流形的纤维连接构造应用到Sasaki情形。这种构造依赖于选择在$N$上的$d+1$积分Kähler类$[ω_j]$，这些类不一定在Kähler锥中共线。我们表明，共线的情况下是等价于一个子类的不同连接结构原始描述的\cite{BG00a,BGO06}，适用于球形的情况下，作者在\cite{BoTo13,BoTo14a}时$d=1$，并被称为锥可分解\cite{BHLT16}。非共线的情况下，产生了新的不等价锥不可分解的Sasaki接触CR在某些球面丛的无限家庭。我们证明，这些结构的Sasaki锥包含一个开放的极值Sasaki度量集，并在某些特殊情况下，在这个锥内的正规射线被证明具有常数标量曲率。我们还计算了黎曼曲面的乘积上所有这类球面丛的上同调群。
Quantizing Geodesics in Kähler and Sasaki Geometry
研究通过经典Fu-Bini-Study映射量化凯勒势空间，探讨测地线在正定Hermitian矩阵空间中的图像如何形成准测地线，并扩展到Sasaki情形。
Transverse Kähler holonomy in Sasaki Geometry and ${\oldmathcal S}$-Stability
研究了Sasaki流形$(M,{\oldmathcal S})$上的横向Kähler和乐群及其在Reeb向量场对特征叶理的横向全纯变形下的稳定性.特别地，我们证明了当第一贝蒂数$b_1(M)$和基本Hodge数$h^{0,2}_B({\oldmathcal S})$为零时，${\oldmathcal S}$在横向Kähler流的变形下是稳定的.此外，我们还证明了不可约横截面超Kähler Sasaki结构是${\oldmathcal S}$ -不稳定的，而当$\dim M\geq 7$满足时，不可约横截面Calabi-Yau Sasaki结构是${\oldmathcal S}$ -稳定的.最后，我们证明了标准的Sasaki连接操作（横向holonomy $U(n_1)\times U(n_2)$）以及纤维连接操作保持${\oldmathcal S}$稳定性。
Contact Structures of Sasaki Type and their Associated Moduli
本文基于在意大利卡利亚里举行的RIEMain in Contact会议上的讲话，以纪念现代黎曼接触几何的创始人之一David Blair的78岁生日。本文综述了一种特殊的黎曼切触结构--Sasakian几何。本次调查的最终目标是了解Sasaki结构类的模量以及极值和常数数量曲率Sasaki度量的模量，特别是Sasaki-爱因斯坦度量的模量。
Einstein metrics and GIT stability
在这篇文章中，我们回顾了在紧致Kähler流形和Sasaki流形上寻找爱因斯坦度量的问题。在本文的前半部分，我们看到，在凯勒的情况下，如果我们将问题扩展到寻找极值凯勒度量或常数数量曲率凯勒（cscK）度量，则问题更适合几何不变理论中的稳定性概念。在本文的后半部分，我们看到Kähler几何中的大多数思想作为横Kähler几何推广到Sasaki几何。我们还总结了最近的结果复曲面Sasaki-Einstein度量的存在。
Sasaki-Einstein Geometry, GK Geometry and the AdS/CFT correspondence
本文综述Sasaki-Einstein与GK几何的相似性与联系，强调物理考虑在几何极值化原理中的关键作用，及其对AdS/CFT对应和对偶场论识别的贡献。
Sasaki-Einstein and paraSasaki-Einstein metrics from (κ,μ)-structures
证明了任何非Sasakian接触度量（κ，μ）-空间都存在一个标准的η-Einstein Sasakian或η-Einstein paraSasakian度量.给出了这些度规的曲率张量场的显式表达式，并求出了这类度规为Sasaki-Einstein和paraSasaki-Einstein时的κ和μ的值.相反，在某些自然假设下，我们证明了由两个相互正交的全测地Legendre叶状结构构成的K-切触流形或K-仿切触流形存在切触度量（κ，μ）-结构.进一步，我们将上述结果应用于切球面丛的几何，讨论了（κ，μ）-空间的一些拓扑和几何性质，这些性质与Einstein-Weyl和Lorentzian Sasakian Einstein结构的存在性有关.
Emergent Sasaki-Einstein geometry and AdS/CFT
我们考虑具有最小超对称性的五维Anti-De Sitter空间$AdS_{5}$中的超引力，该空间由五维紧致流形$M$上的Sasaki-Einstein度量编码。我们的主要结果揭示了Sasaki-Einstein度规是如何从对偶CFT中的正则态中出现的，该对偶CFT由四维Minkowski空间$\mathbb{R}^{3,1}$中的超共形规范理论定义，在t 'Hooft极限中，秩$N$趋于无穷大。我们得到明确的有限$N-$近似的佐佐木-爱因斯坦度规，表示在一个典型的（即背景自由）的BPS状态的规范理论方面。我们还提供了一个弦论解释的BPS-状态的问题，这揭示了新的光以前注意到的有趣的巨引力子的对偶性。
Some harmonic problems on the tangent bundle with a Berger-type deformed Sasaki metric
设$(M_{2k},φ,g)$是几乎反仿Hermitian流形，$(TM,g_{BS})$是它的切丛，且具有Berger型变形Sasaki度量$g_{BS}$ .本文讨论了正则投影$π:TM\rightarrow M$和向量场$ξ$的调和性，其中向量场$ξ$被认为是一个映射$ξ:M\rightarrow TM$ .
Sasaki manifolds with positive transverse orthogonal bisectional curvature
设$(M^{2n+1},g)$（$n \geq 2$）是具有正横截正交对分曲率的紧致Sasaki流形.则$π_1(M)$是有限的，并且$(M^{2n+1},g)$的泛覆盖同构于一个加权Sasaki球面.在附加条件下，我们也得到了横截正交对分曲率非负的一些结果。这延续了他和孙的近期工作。证明使用Sasaki-里奇流。
Sasaki-Einstein Manifolds
本文概述了在过去十年中，Sasaki-Einstein几何所取得的一些显著进展，其中包括一些构造Sasaki-Einstein流形和障碍物的新方法。
On the Topology of some Sasaki-Einstein Manifolds
这是我们的论文arXiv：1402.2546的续集出现在几何分析杂志中，我们专注于发展Sasaki-爱因斯坦流形的一些拓扑性质。特别地，我们明确地计算了arXiv：1402.2546中未处理的几种情况下的上同调环，并给出了一个特定7维情况下的同伦等价公式。
Toric Geometry, Sasaki-Einstein Manifolds and a New Infinite Class of AdS/CFT Duals
最近在S^2 × S^3上发现了一个无限族的明确的Sasaki-Einstein度量Y^{p，q}，其中p和q是两个互质的正整数，q<p。借助于复曲面几何中最近的几个结果，我们证明了它们是卡勒对偶C^4//U（1），即带电荷（p，p，-p+q，-p-q）的规范线性西格玛模型的真空，从而推广了圆锥形，即p=1，q=0。我们给出了相应的复曲面图，并表明这些复曲面图可以嵌入到轨道C^3/ Z_{p+1} xZ_{p+1}的复曲面图中，其中q<p，p固定。因此，我们发现Y^{p，q}流形是一个无限类N=1超共形场论的AdS/CFT对偶，这些场论是作为具有规范群SU（N）^{2 p}的复曲面规范理论的IR不动点而产生的。作为一个非平凡的例子，我们证明了Y^{2，1}是第一个del Pezzo曲面上复锥视界上的一个显式非正则Sasaki-Einstein度量。对于这种情况，我们已经构造了对偶规范理论，因此我们可以利用AdS/CFT对应在IR不动点处预言该理论的精确中心荷。我们得到的值是一个二次无理数，值得注意的是，同意最近的纯场论计算使用a-最大化。
Geodesics and $F$-geodesics on tangent bundle with $φ$-Sasaki metric over para-Kähler-Norden manifold
本文研究仿凯勒-诺登流形上配备φ-Sasaki度量的切丛及φ-单位切丛中的测地线与F-测地线问题。
Greatest lower bounds on the transverse Ricci curvature of some toric Sasaki manifolds
我们确定了具有正基本第一陈类且接触丛的第一陈类为平凡的紧致复曲面Sasaki流形的横向里奇曲率的下确界。这是基于王铸和二木小野王的作品，是C。李的工作复曲面范诺流形。
Some results on harmonic metrics
本文证明了伪黎曼流形上度量的调和性等价于它的Sasaki（分别是Sasaki和Sasaki）的调和性。水平的和完全的）提升度量及其余切丛上的Sasaki提升度量。其中包括一些应用程序。
On the Geometry of Tangent Bundles with the Rescaled Metric
对于黎曼流形$M$，我们确定了具有重标度量的切丛的曲率性质，给出了$TM$上重标度量的显式表达式，并研究了切丛上关于重标Sasaki度量的测地线.
The odd side of torsion geometry
我们引入并研究了“Sasaki with torsion structure”（ST）的概念，它是Kähler with torsion geometrics（KT）的奇维模拟.这是正规几乎切触度量流形，它允许唯一的相容连接与3-形式挠。任何奇维紧致李群都可以有这样的结构，在这种情况下，这个结构是左不变的，并且具有闭扭形式。我们说明ST结构和其他Sasaki几何的推广之间的关系，并解释如何在Sasaki几何的一些标准结构可以适应这种设置。特别是，我们与ST结构的KT结构的空间上的叶子，并表明，无论是圆柱体和锥ST歧管是KT，虽然只有圆柱体的行为以及相对于封闭性的扭转形式。最后，我们引入了“G-矩映射”的概念.我们提供了基于等变上同调的标准，确保这些映射的存在，然后将它们用作减少ST结构的工具。
Lorentzian manifolds with shearfree congruences and Kähler-Sasaki geometry
本文研究了具有最大扭曲无切变零向量场$p_o$的$n\geq 4$维的洛伦兹流形$(M, g)$，其中叶空间$S = M/\{\exp t p_o\}$是光滑流形.若$n = 2k$，则商$S = M/\{\exp t p_o\}$自然具有接触型的次共形结构，并且在最有趣的情况下，它是投影到实维数$2k -2$的可量化Kähler流形上的正则Sasaki流形。通过这一思路向后追溯，对于任何可量化的Kähler流形与相关的Sasaki流形$S$，我们给出了所有洛伦兹度量$g$在$A$ -丛$π: M \to S$，$A = S^1, \mathbb R$的全空间$M$上的局部描述，使得群作用的生成元是一个最大扭曲无剪$g$ -零向量场$p_o$。我们还证明了在任何这样的洛伦兹流形$(M, g)$上存在一个以$p_o$为传播方向场的非平凡广义电磁平面波，这一结果可以被认为是经典的$4$维Robinson定理的推广.最后，对于爱因斯坦常数的任何规定值，我们在平凡丛$M = \mathbb R \times S$上构造了一个2参数爱因斯坦度量族。如果是$\dim M = 4$，则用这种方法得到的Ricci平坦度量就是著名的Taub-NUT度量。
Another infinite tri-Sasaki family and marginal deformations
在物理文献中出现的几个Einstein-Sasaki 7-度规被纤维化到四维Kahler-Einstein度规上。相反，我们考虑在任何四元数Kahler 4-空间的扭量空间Z上定义的自然Kahler-Einstein度量，以及相应的Einstein-Sasaki度量。我们制定出一个明确的表达这些指标，我们证明，他们确实是三佐佐木。此外，我们还提出了一个压缩的版本，这是弱$G_2$ holonomy。我们集中在三个交换的Killing矢量的例子，我们将它们扩展到超重力背景与$T^3$等距，其中一些与$AdS_4\times X_7$近视界极限和其他一些没有这个属性。我们要强调的是，有一个基本的线性结构描述这些空间。我们还考虑了Maldacena和Lunin提出的$SL(2,R)$解决方案生成技术对这些背景的影响，我们发现一些旋转膜配置再现E-S对数行为。
Sasaki-Einstein Manifolds and Volume Minimisation
本文研究了一个变分问题，其临界点决定了Sasaki-Einstein流形上的Reeb向量场。这扩展了我们以前的工作Sasakian几何解除的条件，流形是复曲面。我们证明了Einstein-Hilbert作用，限制在一个空间的Sasakian度量上的链接L的Calabi-Yau锥X，是体积泛函，这实际上是一个函数的空间Reeb向量场.我们将这个函数既与Duistermaat-Heckman公式有关，也与X上计数全纯函数的某个等变指数的极限有关。这两个公式都可以通过局部化来评估。这导致了一个一般公式的体积函数的拓扑不动点数据。作为结果，我们证明了Sasaki-Einstein流形的体积，相对于圆形球体，总是一个代数数。在复杂的维度n=3，这些结果提供，通过AdS/CFT，在四维超共形场论的a-最大化的几何对应。我们还表明，我们的变分问题动态设置为零的Futaki不变量的横向空间，后者是一个障碍存在的Kahler-Einstein度量。
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