Iterative Algebraic Soft-Decision List Decoding of Reed-Solomon Codes
在本文中，我们提出了一种迭代软判决译码算法的里德所罗门码提供了复杂度和性能的优势，以前已知的译码算法。我们的算法是一个列表解码算法，它结合了两个强大的软判决解码技术，以前被认为是在文献中的竞争，即Koetter-Vardy代数软判决解码算法和信念传播的基础上，自适应奇偶检验矩阵，最近提出的江和Narayanan。在Jiang-Narayanan算法的基础上，提出了一种基于置信传播的算法，该算法大大降低了计算复杂性。我们引入的概念，使用一个基于置信传播的解码器，以提高软输入信息之前，用代数软判决解码器解码。我们的算法也可以看作是一个插值多重分配方案的代数软判决译码的Reed-Solomon码。
2005-09-29 cs.IT math.IT
Performance Analysis of Algebraic Soft Decoding of Reed-Solomon Codes over Binary Symmetric and Erasure Channels
本文研究了RS码在擦除信道和二进制对称信道下的代数软译码的译码域。最佳多重数分配策略（MAS）的调查和紧界推导出ASD可以显着优于传统的Berlekamp Massey（BM）解码在这些信道的一个很宽的码率范围。该分析技术还可以扩展到其他信道模型，例如，擦除信道上的RS编码调制。
2005-06-17 cs.IT math.IT
The Re-Encoding Transformation in Algebraic List-Decoding of Reed-Solomon Codes
Reed-Solomon码的代数软译码和Sudan型列表译码的主要计算步骤是二元多项式插值和因式分解。我们介绍了一种计算技术，基于重新编码和坐标变换，显着降低了二元插值过程的复杂性。这种重新编码和坐标变换将原始插值问题转换为另一个简化的插值问题，该简化的插值问题比原始插值问题小几个数量级。给出了严格的证明，证明了这两个插值问题是等价的。一个有效的因式分解过程，直接适用于减少插值问题。
2010-05-31 cs.IT math.IT
Performance Analysis of Algebraic Soft-Decision Decoding of Reed-Solomon Codes
本文研究了离散无记忆加性噪声信道中Reed-Solomon码的代数软判决译码（ASD）的译码区域。推导出一个表达式的纠错半径内的软判决解码器产生一个列表，其中包含发送的码字。ASD的错误半径被证明是大于Guruswami-Sudan硬判决解码的低速率码的子集。这些结果也扩展到Parvaresh和Vardy意义上的多变量插值。然后给出ASD的错误概率的上限，其中错误被定义为解码器从其列表中选择错误码字的事件。这个新的定义给出了一个更准确的范围的ASD的错误的概率比文献中的结果。
2007-01-04 cs.IT math.IT
An Algebraic Approach for Decoding Spread Codes
在本文中，我们研究的扩频码：一个家庭的恒定尺寸的随机线性网络编码的代码。换句话说，码字是具有有限域F_q中的条目的大小为（k X n）的满秩矩阵。扩频码是一类具有最大最小距离的最优码。本文给出了一个在扩展域F_{q^k}上的最小距离译码算法，该算法的时间复杂度为O（（n-k）k^3）.我们的算法是更有效的比以前的文献中，当码字的维数k相对于n是小的。解码算法利用的代数结构的代码，它使用原来的结果对未成年人的矩阵和多项式的因式分解在有限领域。
2012-06-06 cs.IT math.IT
Improved Power Decoding of Algebraic Geometry Codes
幂译码是任意代数几何码的部分译码范例，用于译码超过最小距离的一半，其通常返回唯一最接近的码字，但在极少数情况下不能返回任何东西。原始版本解码大致达苏丹半径，而改进的版本解码达约翰逊半径，但迄今为止只描述了里德-所罗门和一点厄米特码。在本文中，我们将展示如何改进的版本可以适用于任何代数几何代码。
2021-05-17 cs.IT math.AG math.IT
Spatially-coupled Split-component Codes with Iterative Algebraic Decoding
分析了一类适用于高速光纤通信系统的高性能、低译码数据流的纠错码。一个空间耦合的分裂组件合奏的定义，概括从最重要的代码这一类，楼梯码和编织块码，并保持确定性分区的组件代码位代码块。我们的分析集中在低复杂度的迭代代数解码，其中，对于二进制擦除信道，相当于剥离解码器的推广。使用微分方程方法，我们推导出一个向量递归，跟踪整个解码过程中的预期残差图的演变。使用势函数分析找到了递归的阈值。我们推广的分析混合集成组成的一个以上类型的组件代码，它提供了更大的灵活性集成参数，可以提高性能。分析扩展到二进制对称信道，假设误校正自由分量码解码。简单的上界的数目可校正的合奏推导。最后，我们分析了空间耦合分裂分量集成在超有界距离分量解码下的阈值。
2015-12-03 cs.IT math.IT
Duality and decoding of linearized Algebraic Geometry codes
CNRS, Mathematical Institute of Bordeaux, University of Bordeaux（法国国家科学研究中心，波尔多大学数学研究所）；Mathematical Institute of Bordeaux, University of Bordeaux（波尔多大学数学研究所）
本文提出了一种多项式时间解码算法，用于解码线性化代数几何码，并证明其对偶码与自身在余代数上相同。
2026-03-12 cs.IT math.AG math.IT
Algebraic-geometric codes from vector bundles and their decoding
代数几何码可以通过在代数曲线的一组不同的有理点上计算某组函数来构造。被求值的函数集是给定除数的线性空间，或者等价地，是给定线丛的截面集。利用代数曲线上的任意秩向量丛，我们提出了上述构造的自然推广。我们的代码也可以被看作是经典的代数几何码的交织版本。我们表明，布朗，明德和Shokrollahi的算法可以扩展到这一类新的代码，它纠正任何数量的错误高达$t^{*} - g/2$，其中$t^{*}$是设计的纠正能力的代码和$g$是曲线属。
2008-03-07 cs.IT math.IT
Attaining Sudan's decoding radius with no genus penalty for algebraic geometry codes
本文提出了一种纠错能力超过码设计距离一半的代数几何码的译码算法。该算法融合了代数几何代码的幂错误定位对算法和Ehrhard所使用的技术，以便将这些代码校正到设计距离的一半。该算法的译码半径达到了Sudan算法的译码半径，且不受曲线亏格的影响。
2021-03-23 cs.IT math.AG math.IT
Rank Two Bundles on Algebraic Curves and Decoding of Goppa Codes
我们研究了两个主题之间的连接：解码Goppa码所产生的代数曲线，并排名两个扩展的某些线束的曲线。
2003-01-14 alg-geom cs.IT math.AG
Algebraic Decoding for Doubly Cyclic Convolutional Codes
提出了一种卷积码的迭代译码算法。它连续地处理接收字的$N$连续块，以便解码第一块。一个界限，显示错误的配置可以纠正。该算法可以有效地用于特定类别的卷积码，称为双循环卷积码。由于它们的高度代数结构，这些代码非常适合于该算法，并且该过程的主要步骤可以使用Reed-Solomon解码来执行。实例说明了解码和与现有算法的比较。
2009-08-05 cs.IT math.IT math.OC
Decoding method for generalized algebraic geometry codes
本文提出了一种对Xing等人提出的广义代数几何码的译码方法，为了说明它的实用性，我们给出了一个F8上长度为567的广义代数几何码的例子，在大多数维数范围内，该码的可纠正错误数都大于长度为4095的本原BCH码的缩短码。
2001-04-24 cs.IT math.AG math.IT
Permutation decoding of algebraic geometry codes from Hermitian and norm-trace curves
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；Texas A&M University-Commerce（德克萨斯农工大学科默斯分校）
本文研究了利用赫米特和范数-轨迹曲线的一点码的排列解码方法，用于纠正特定突发错误。
2026-02-24 cs.IT math.AC math.IT
Enhanced Algebraic Error Control for Random Linear Network Coding
差错控制对网络编码具有重要意义，因为如果不加以控制，差错会极大地降低网络编码的吞吐量增益，并严重破坏数据的可靠性和安全性。两个家庭的代码，子空间和秩度量码，已被用来提供随机线性网络编码的错误控制。在本文中，我们提高了这两个家庭的代码的纠错能力，通过使用一种新的双层解码方案。虽然子空间和秩度量码的解码服务于第二层解码，我们建议通过利用子空间和秩度量码的汉明距离特性在分组级上执行第一层解码。这种分组级解码也可以由中间结点实现以减少错误传播。为了支持第一层解码，我们还研究了三个重要的家庭的子空间和秩度量码，Gabidulin码，Kotter-Kschischang码，Mahdavifar-Vardy码的汉明距离性质。据我们所知，这些代码的两层解码方案和海明距离属性都是新颖的。
2012-05-03 cs.IT math.IT
An Algebraic View to Gradient Descent Decoding
有两个梯度下降解码过程的二进制码提出独立的Liebler和Ashikhmin和Barg。Liebler在他的论文中提到，这两种算法具有相同的哲学，但实际上它们是相当不同的。本通信的目的是表明这两种算法都可以看作是理解简化过程中代数幺半群结构相关代码的两种方法。用于说明这一点的主要工具是与线性码相关联的幺半群的Gröbner表示。
2010-08-26 cs.IT math.CO math.IT
An algebraic approach to source coding with side information using list decoding
现有的关于具有边信息的信源编码（SCSI）的文献大多使用最先进的信道码，即LDPC码、Turbo码及其变体，并假设经典的唯一解码。在本文中，我们提出了一种代数方法的SCSI的基础上的列表解码的基础上的信道码。我们表明，SCSI的理论极限可以实现在建议的列表解码为基础的框架时，源和边信息之间的相关性是$q$ -ary对称的。我们认为，相对于信道编码，正确的序列从列表解码器产生的列表可以有效地恢复SCSI的情况下，与几个CRC符号。允许解码器识别正确序列的CRC符号对于大块长度产生可忽略的开销。更重要的是，这些CRC符号不受噪声影响，因为我们处理的是虚拟噪声信道而不是真实噪声信道。最后，我们提出了一个指导方针，分别为非二进制和二进制源使用里德所罗门码和BCH码，设计建设性的SCSI计划。这一准则使我们能够设计一个SCSI方案的任何任意$q$ -ary对称相关，而不诉诸模拟。
2011-10-31 cs.IT math.IT
Towards an Algebraic Network Information Theory: Simultaneous Joint Typicality Decoding
考虑多用户网络中希望解码多条消息的接收器。同时联合典型性解码是用于确定可靠解码可能的基本限制的最强大的技术之一。该技术历来与随机i.i.d.结合使用。码本以建立网络的可达到速率区域。最近，已经表明，在某些情况下，嵌套线性码本结合“单用户”或顺序解码可以产生更好的可实现速率。例如，计算前向问题检查在$K$ -用户多址信道（MAC）上恢复所发送码字的$L \le K$线性组合的情形，并且已经确定线性码本可以产生更高的速率。在这里，我们开发的同时联合典型性解码结合嵌套线性码本使用的界限，并应用它们来获得一个更大的可实现的区域计算前向在一个$K$用户离散无记忆MAC。关键的技术挑战是，线性依赖于真实码字元组的竞争码字元组引入统计依赖性，这需要仔细划分相关的错误事件。
2019-01-10 cs.IT math.IT
Fractional decoding of algebraic geometry codes over extension fields
该研究针对扩张域上的代数几何码，利用其在基域上的虚拟投影构造分式译码算法，可通过更少的基域符号纠错，两种实现情形分别给出纠错数界的差异特性与高概率超预期纠错的效果。
2024-04-10 cs.IT math.AG math.IT
Hybrid Decoding of Finite Geometry LDPC Codes
对于有限几何低密度奇偶校验码，其奇偶检验矩阵中的重的行和列权重使得使用偶最小和（MS）变体的解码在计算上昂贵。为了减轻它，我们提出了一类混合方案，通过连接一个并行位翻转（BF）的变种与最小和（MS）的变种。仿真结果表明，在大部分信噪比范围内，所提出的混合方案在不影响性能和收敛速度的情况下，相对于单独的MS变码译码，可以节省大量的计算复杂性。具体地，具有小得多的计算复杂性的BF变体在诉诸MS变体之前承担大部分解码负载。计算和硬件的复杂性也阐述了证明混合方案的可行性。
2009-07-02 cs.IT math.IT
Algebraic Decoding of Negacyclic Codes Over Z_4
在这篇文章中，我们调查Berlekamp的非循环码，并发现这些代码，当考虑在整数模4，不受任何限制的最小距离Berlekamp的原始文件中观察到的。这里考虑的码的最小Lee距离至少为2 t +1，其中码的生成多项式的根为z，z^3，.，z^{2 t +1}，对于Z4的伽罗瓦扩张中的本原2阶单位根z。对t没有限制。我们提出了这类码的代数译码算法，它能纠正李权码在t以内的任何错误模式。我们的处理使用Grobner基地和解码复杂度是平方的t。
2011-03-18 cs.IT math.CO math.IT
Attaining Capacity with Algebraic Geometry Codes through the $(U|U+V)$ Construction and Koetter-Vardy Soft Decoding
在本文中，我们将展示如何获得的容量与多项式时间的解码复杂度的离散对称信道考虑迭代$(U|U+V)$建设与里德-所罗门码或代数几何码组件。这些代码通过代码符号的{ \em后验}概率的递归计算以及用于在多项式时间中解码代码分量的Koetter-Vardy软解码器来解码。我们表明，当迭代的$(U|U+V)$建设的水平的数量趋于无穷大，我们达到任何离散对称信道的容量，以这种方式。这个结果来自极化定理以及解释Koetter-Vardy解码器对于速率接近$1$的Reed-Solomon码的行为的简单引理。然而，即使这种获得对称信道容量的方式本质上是Arıkan极化定理，但与标准极化码存在一些差异。实际上，利用这种策略，即使迭代$(U|U+V)$构造的级别较少，我们也可以成功地接近信道容量进行操作，并且在这种情况下，错误概率随着代码长度准指数地衰减（即，如果我们忘记指数中的对数项，则指数地衰减）。我们甚至可以通过考虑在\cite{TVZ82}中构造的代数几何码来改进这个结果。在这种情况下，对于低于信道容量的任何速率，错误的概率在码长中呈指数衰减。此外，当将该策略与使用Koetter-Vardy解码算法解码的Reed-Solomon码（或更一般的代数几何码）进行比较时，它不仅提高了代码可以容忍的噪声水平，而且还导致了显着的复杂度增益。
2017-01-24 cs.IT math.IT
Algebraic List-decoding of Subspace Codes
在网络拓扑未知的情况下（非相干情况），为了纠正随机网络编码的错误和擦除，引入了子空间码。子空间码实际上是有限域上某个向量空间的子空间的集合。子空间码的Koetter-Kschischang构造类似于Reed-Solomon码，因为码字是通过评估某些（线性化）多项式获得的。本文研究Koetter-Kschischang子空间码的列表译码问题。从某种意义上说，我们能够实现这些代码苏丹能够实现里德所罗门码。为了做到这一点，我们必须在许多重要方面修改和概括原始的Koetter-Kschischang结构。最终结果是这样的：对于任何整数$L$，假设误差的归一化维数至多为$ L - \frac{L(L+1)}{2}R $，则我们的列表- $L$解码器保证消息子空间的成功恢复，其中$R$是归一化分组速率。正如在苏丹的列表解码算法的情况下，这超过了以前最好的已知的纠错半径$1-R$，由Koetter和Kschischang证明，低速率$R$。
2012-02-02 cs.IT math.IT
Algebraic Distributed Space-Time Codes with Low ML Decoding Complexity
引入"扩展Clifford代数"作为获得低ML译码复杂度空时分组码的一种手段。利用两类扩展Clifford代数的左正则矩阵表示，给出了两种系统的全分集分布式空时码的代数构造.左正则矩阵表示已被证明自然导致满足DSTC所需的附加约束的空时码。这样构造的DSTC具有降低最大似然（ML）解码复杂度的显著特征。特别地，这些代码的ML解码可以通过在比通常所需的维度小四倍的维度的晶格上应用晶格解码器算法来执行。此外，这些码在中继器之间和在时间上具有均匀的功率分布，从而导致中继器处的低峰均功率比。
2007-04-19 cs.DM cs.IT math.IT
On Algebraic Decoding of $q$-ary Reed-Muller and Product-Reed-Solomon Codes
我们考虑最近由Pellikaan-Wu \cite{PW2005}提出的一种列表译码算法，当$\ell \leq q$时，$q$元Reed-Muller码的长度为$n \leq q^m$。给出了一个简单易行的正确性证明，证明了该算法的相对纠错半径为$τ\leq (1 - \sqrt{\ell q^{m-1}/{n}})$。这是对\cite{PW2005}中给出的使用单点代数-几何码的证明的改进。所描述的算法可以适用于解码乘积里德所罗门码。然后，我们提出了一个新的低复杂度的递归代数译码算法的Reed-Muller和积Reed-Solomon码。我们的算法实现了相对误差校正半径为$τ\leq \prod_{i=1}^m (1 - \sqrt{k_i/q})$。该方法在较宽的码率范围内，在复杂度和纠错半径上都优于Pellikaan-Wu方法。
2007-04-22 cs.DM cs.IT math.IT
On the Decoding Complexity of Cyclic Codes Up to the BCH Bound
循环码$[n,k,d]$的标准代数解码算法直到BCH界$t$对于相对小的$n$是非常有效和实用的，而对于大的$n$则变得不实用，因为其计算复杂性是$O(nt)$。本文的目的是显示如何使这种代数解码计算更有效：在二进制码的情况下，例如，从$O(nt)$到$O(t\sqrt n)$的伴随式计算的复杂性下降，并从$O(nt)$到最多$\max \{O(t\sqrt n), O(t^2\log(t)\log(n))\}$的错误位置。
2011-05-27 cs.IT math.IT
Collaborative Decoding of Interleaved Reed-Solomon Codes and Concatenated Code Designs
交织Reed-Solomon码应用于许多数据处理、数据传输和数据存储系统中。它们是通过交织几个码字的普通里德-所罗门码。通常，这些码字通过经典的代数解码方法被独立地解码。然而，通过协作代数解码方法，如果接收信号中的错误以突发的形式出现，则这种交织方案允许对超过最小距离的一半的错误模式进行校正。在这项工作中，多序列移位寄存器综合的交织里德所罗门码的协同解码的考虑和分析。基于交织Reed-Solomon码的基本框架，研究了级联码的设计，该级联码是将多个Reed-Solomon码交织，然后与一个内部分组码级联而成的。
2006-10-12 cs.IT math.IT
Feng-Rao decoding of primary codes
我们证明了对偶码的Feng-Rao界和Andersen和Geil [H. E. Andersen和O. Geil，从序域理论计算代码，有限域应用，14（2008），pp. 122.第123章彼此的区别这意味着，Feng-Rao译码算法可以应用于初级码的译码，直到其设计的最小距离的一半。该技术适用于任何线性代码的信息表现良好的对是可用的。因此，我们能够有效地解码的代码，没有非平凡的解码算法是以前已知的一大类。其中有许多重要的多元多项式码。Matsumoto和Miura在[R. Matsumoto和S.李明，代数几何码L-构造的Feng-Rao界，IEICE Trans. Fundamentals，E83-A（2000），pp. 926-930]（参见[P. Beelen and T. Høholdt，代数几何代码的解码，在代数几何代码的进展，pp。49-98]）从Feng-Rao界导出了初等单点代数几何码的界，并展示了如何解码到它们的界所保证的值。Matsumoto和Miura的阐述需要使用微分，而这在[Andersen and Geil 2008]中是不需要的。然而，我们证明了一个非常强大的连接之间的松本和三浦的界和安德森和盖尔的界时，适用于小学一点代数几何码。
2012-10-31 cs.IT math.IT
Decoding Algebraic Geometry codes by a key equation
本文提出一种基于广义关键方程和Duursma多数陪集方案的代数几何码解码算法，改进Ehrhard算法，纠错能力达戈帕距离一半，复杂度O(n^2.81)，无需额外假设。
1999-10-27 cs.IT cs.NA math.AG
Algebraic reduction for space-time codes based on quaternion algebras
本文介绍了一种新的用于2x 2代数STBC解码的右预处理方法，称为代数归约，它利用了代码的乘法结构。新的简化的原理是通过用代数的最大阶的元素来近似信道矩阵，将信道的一部分吸收到码中。我们证明，代数减少达到接收分集时，其次是一个简单的ZF检测。对黄金码的仿真结果表明，使用MMSE-GDFE左预处理，简单ZF检测的代数约简相对于ML解码只有$3 \dB$的损失。
2008-09-30 cs.IT math.IT
Fast Erasure-and-Error Decoding and Systematic Encoding of a Class of Affine Variety Codes
本文建立了代数编码理论中的一个引理，该引理在代数码如Reed-Solomon码和代数几何码的编码和译码中经常出现。该引理指出，两个向量空间，一个对应于信息符号，另一个以Grobner基的支撑为索引，是规范同构的，而且这种同构是由Grobner基和离散傅立叶变换通过线性反馈移位寄存器的扩张给出的.其次，将该引理应用于一类仿射多样码的纠删错误的快速统一编码和译码系统。
2012-08-27 cs.DM cs.IT math.IT
Erasure List-Decodable Codes from Random and Algebraic Geometry Codes
引入擦除列表解码以通过输出可能的候选列表来校正大量擦除。在本文中，我们考虑了随机线性码和代数几何码的列表解码擦除错误。本文的贡献是双重的。首先，我们证明了，对于任意的$0<R<1$和$ε>0$（$R$和$ε$是独立的），随机线性码是具有恒定列表大小$2^{O(1/ε)}$的擦除列表可解码码的概率很高，该擦除列表可解码码可以校正擦除的一部分$1-R-ε$，即，随机线性码实现了信息速率和擦除错误分数之间的信息理论最佳折衷。其次，我们证明了代数几何码是良好的纠删列表可译码码。准确地说，对于任何$0<R<1$和$ε>0$，来自Garcia-Stichtenoth塔的速率$R$的$q$ -元代数几何码可以校正具有列表大小$O(1/ε)$的擦除错误的$1-R-\frac{1}{\sqrt{q}-1}+\frac{1}{q}-ε$部分。这改进了应用于代数几何码的Johnson界。此外，这些代数几何码的列表解码可以在多项式时间内实现。
2014-01-13 cs.IT math.IT
A simple algorithm for decoding Reed-Solomon codes and its relation to the Welch-Berlekamp algorithm
本文提出了一种简单而自然的高氏代数码译码算法。给出了它与Welch-Berlekamp和Euclidean算法的关系。
2005-01-06 cs.IT math.IT
Unique Decoding of Plane AG Codes Revisited
利用基曲线坐标环上模的格罗布纳基理论，重新构造了一种基于插值的代数几何码唯一译码算法.在相同的解码性能下，新算法具有更多的概念性描述，使我们更好地理解基于插值的唯一解码中的多数表决过程。
2012-06-06 cs.IT math.IT
Design and Practical Decoding of Full-Diversity Construction A Lattices for Block-Fading Channels
块衰落信道（BF）是室内和室外环境中各种无线通信信道的有用模型。BF信道的格型设计是一个具有挑战性的问题，它与AWGN信道有很大的不同。最近，由Forney提出的格的二元构造A被推广到由全实域和复乘法域构成的格构造。格的这种广义代数构造A本质上提供了信号空间分集，这是为衰落信道设计的信号集的主要要求。本文利用全实数域上的构造A构造了BF信道的全分集代数格。我们提出了两种新的解码方法，这些格子的复杂性，线性增长的维度的格子。第一个译码器是针对广义构造A格提出的，它以二进制LDPC码作为底层码。该解码方法包含迭代和非迭代阶段。为了实现迭代阶段，我们提出了构造A格的奇偶校验矩阵和Tanner图的定义。我们还证明，使用一个基本的LDPC码，实现中断概率限制在一个BF信道，构造的代数LDPC格连同建议的解码方法允许分集阶n。然后，我们修改所提出的算法，删除其迭代阶段，使全多样性的实际解码的所有广义构造A格，而无需任何假设其底层代码。我们提供了一些例子，表明在BF信道中，由二进制码获得的代数构造A格优于基于非二进制码的代数构造A格。我们将代数构式A格推广到更广泛的数域族上，即单演数域。
2020-07-09 cs.IT math.IT
Exploiting Matrix Information Geometry for Integrated Decoding of Massive Uncoupled Unsourced Random Access
本文针对6G大规模通信中的无耦合免调度随机接入问题，提出基于矩阵信息几何的一体化解码方案，实现子消息到达即检测与拼接，从而降低处理时延并提升消息恢复效率。
2024-05-06 cs.IT math.IT
Permutation Decoding of AG Codes from Curves Defined by Separated Polynomials
Universidade Federal de Uberlândia（乌贝兰迪亚联邦大学）；Universidad Industrial de Santander（桑坦德工业大学）
本研究针对分离多项式定义曲线上的AG码，利用曲线自同构构造置换译码集，针对SAP曲线等子类实现更有效的突发错误校正，拓展了AG码的译码方法。
2026-08-05 cs.IT math.AG math.IT
Decoding of Subspace Codes, a Problem of Schubert Calculus over Finite Fields
舒伯特演算提供了解决枚举问题的代数工具。在系统论、线性代数和物理学中，已有许多应用问题是用Schubert微积分来研究的。当基域是代数闭域时，该方法是最强大的。在这篇文章中，我们首先回顾了一些成功的舒伯特微积分在过去。然后，我们展示了如何使用的子空间码的随机网络编码的解码问题可以制定为舒伯特演算的问题。由于这种应用的基本领域已被假定为一个有限的领域，新的技术将不得不在未来的发展。
2012-09-13 cs.IT math.IT
A decoding algorithm for binary linear codes using Groebner bases
已经发现线性码可以由二项式理想描述。这使得用交换代数和代数几何方法研究线性码成为可能。本文利用伴随理想的Groebner基给出了二元线性码的一个译码算法。
2018-10-09 cs.IT math.IT
A Joint Typicality Approach to Algebraic Network Information Theory
本文提出了一种用于多用户网络的嵌套线性码的联合典型性编码和解码框架。这个框架提供了一个新的角度在离散无记忆网络的背景下计算向前。特别是，它建立了一个可实现的速率区域计算嵌套的线性码字的加权和在离散无记忆多址接入信道（MAC）。当专门用于高斯MAC时，该速率区域恢复并改进了Nazer和Gastpar的基于格的计算转发速率区域，从而为离散无记忆和高斯网络提供了统一的方法。此外，该框架可以用来阐明计算前向的联合解码速率区域，这被认为是一个开放的问题。具体地说，这项工作建立了一个可实现的速率区域，同时解码两个线性组合的嵌套线性码字从K *。
2016-06-30 cs.IT math.IT
Optimal rate algebraic list decoding using narrow ray class fields
我们使用类域理论，特别是Drinfeld模块的秩1，构造一个家庭的渐近良好的代数几何（AG）代码在固定的字母。在大小为$\ell^2$的字段上，这些代码在单例界限的$2/(\sqrt{\ell}-1)$内。这些代码下的函数域是具有某些函数域的窄射线类域的循环伽罗瓦群的子域。由此产生的代码使用伽罗瓦群的生成器“折叠”。这概括了早期工作的第一作者折叠AG代码的基础上分圆函数字段。使用Chebotarev密度定理，我们认为在我们的循环扩展的惰性的地方大的程度的丰度，并使用此设计一个线性代数算法来列出解码这些折叠码接近$1-R$的错误分数$R$是率。给定关于函数字段的多项式量的预处理信息，可以在多项式时间内执行列表译码。我们的建设产生的代数代码在常数大小的字母表，可以列表解码的Singleton界-具体地说，对于任何所需的速率$R \in (0,1)$和常数$\eps > 0$，我们得到的代码在一个字母表大小$(1/\eps)^{O(1/\eps^2)}$，可以列表解码的错误分数$1-R-\eps$限制附近的消息的子空间与$N^{O(1/\eps^2)}$元素。以前的结果列表译码错误分数$1-R-\eps$在恒定大小的字母是基于级联或涉及采取仔细抽样的子码的代数几何码。相反，我们的结果表明，这些折叠代数几何码{PDMATHAMV本身}具有所要求的列表译码性质.
2013-02-27 cs.CC cs.IT math.IT
Power Error Locating Pairs
我们提出了一种新的解码算法的基础上错误定位对和纠正的错误量超过一半的最小距离。当应用于Reed-Solomon或代数几何码时，该算法是所谓的{ \em幂译码}算法的重新表述。渐进地，它纠正了苏丹半径的错误。此外，这个新框架适用于任何受益于错误定位对的代码。类似于Pellikaan的和Kötter的独特的代数解码的方法，我们的算法提供了一个统一的观点，解码代码的代数结构超过一半的最小距离。它允许得到一个抽象的描述解码只使用代码和线性代数，而不涉及用于定义代码本身的多项式和有理函数代数的算术。这样的算法例如对于密码分析可以是有价值的，以在不访问代码的隐藏代数结构的情况下构造代码的解码算法。
2020-07-09 cs.IT math.AG math.IT
Linear-algebraic list decoding of folded Reed-Solomon codes
折叠Reed-Solomon码是实现速率和纠错能力之间的最佳折衷的显式码族：具体地，对于任何$\eps > 0$，作者和Rudra（2006，08）提出了$n^{O(1/\eps)}$时间算法，以从错误的一部分$1-R-\eps$中列表解码速率为$R$的适当折叠RS码。该算法基于多元多项式插值和延拓域上的求根。Vadhan指出，如果满足于较小的解码半径，则插值线性多项式就足够了（但对于上述形式的陈述仍然足够）。在这里，我们给出了一个简单的线性代数为基础的分析这个变种，消除了计算昂贵的根查找步骤的需要，在扩展字段（实际上任何提到的扩展字段）。整个列表解码算法是线性代数的，求解一个线性系统用于插值步骤，另一个线性系统用于找到候选解的小子空间。除了修剪这个子空间的步骤，该算法可以实现在{ \em quadratic}时间内运行。折叠RS码的理论缺陷是解码复杂度和已证明的最坏情况列表大小界都是$n^{Ω(1/\eps)}$。通过将上述思想与作为消息的所有多项式的伪随机子集相结合，我们得到了实现$O(1/\eps^2)$的列表大小界的Monte Carlo构造，该列表大小界非常接近于存在的$O(1/\eps)$界（然而，解码复杂度仍然是$n^{Ω(1/\eps)}$）。我们的工作强调，构建与低维子空间具有小交集的显式{ \em子空间规避}子集可以产生具有更好列表解码保证的显式代码。
2011-06-02 cs.DS cs.IT math.IT
On Fast-Decodable Algebraic Space--Time Codes
在不久的将来，将建立$5^{th}$代（5G）无线系统。它们将包括不同技术的集成，包括分布式天线系统和大规模多输入多输出系统，并且整体性能将高度依赖于所采用的信道编码技术。由于未来无线网络的性质，空时码不再仅仅是一个选择的对象，而是经常自然地出现在通信环境中。然而，由于所涉及的通信设备通常表现出适度的计算能力，因此对于可能的实际实现，要使用的代码的复杂度应该合理地低。快速解码的代码享受降低的复杂性的最大似然（ML）解码由于智能内部结构允许并行化的ML搜索。本章中考虑的复杂性降低完全是由于所考虑的代码的代数结构，并且可以通过采用非ML解码方法进一步改进，但是产生次优性能。本章的目的是双重的。首先，我们提供了一个教程介绍时空编码和学习强大的代数工具，其设计和建设。其次，我们重新审视代数技术用于减少最坏情况下的单用户和多用户空时码的解码复杂度，以及一般的代码家庭和说明性的例子。
2017-10-16 cs.IT math.IT
Unique Decoding of Plane AG Codes via Interpolation
本文从插值的角度给出了平面曲线上代数几何码，特别是Hermitian码的一种唯一的译码算法。该算法成功地纠正错误的重量高达一半的阶上界的最小距离的AG码。该译码算法首次将基于内插的列表译码的某些特性与具有多数表决方案的伴随式译码的性能相结合。算法的规则结构允许直接的并行实现。
2011-10-28 cs.IT math.IT
Decoding of Quasi-Cyclic Codes up to A New Lower Bound on the Minimum Distance
提出了有限域上线性拟循环码的最小汉明距离的一个新的下界。它是基于谱分析和推广的Semenov-Trifonov界以类似的方式Hartmann-Tzeng界扩展BCH方法的循环码。在此基础上，给出了一种基于伴随式的代数译码算法。
2014-04-10 cs.IT math.IT
Algebraic Distributed Differential Space-Time Codes with Low Decoding Complexity
Kiran等人、Oggier-Hassibi和Jing-Jafarkhani针对使用由酉矩阵组成的码本的无线中继网络引入的差分编码/解码设置被扩展以允许由缩放酉矩阵组成的码本。对于这样的码本是可用于在Jing-Hassibi协议的合作分集，涉及的中继矩阵和码本，需要满足的条件被确定。利用扩展Clifford代数的代数框架，提出了一类新的分布式差分空时码，该码满足中继节点数为2的幂次条件，并能以低复杂度的次优接收机实现全协作分集.仿真结果表明，所提出的码性能优于循环码和循环码。此外，这些码也可以作为差分空时码应用于经典的点对点多天线系统中的非相干通信。
2007-11-23 cs.DM cs.IT math.IT
Unique Decoding of General AG Codes
本文提出了一般AG码，即代数曲线上的多点求值码的一种独特的译码算法。它是对以往的单点AG码译码算法的自然推广。因此，它保留了与以前的算法相同的速度快，结构规则的优点。与其它已知的一般AG码译码算法相比，它在描述和实现上都要简单得多。
2012-11-02 cs.IT math.IT
Introduction to Mathematical Programming-Based Error-Correction Decoding
解码error-correctingg码的数学优化方法，最重要的是线性规划，已成为一个重要的替代方法，代数和迭代解码方法，因为它的介绍费尔德曼等人。首先庆祝主要是其分析能力，现实世界中的应用LP解码现在触手可及的最新研究。本文详细介绍了数学优化和编码理论，并回顾了这两个领域的共同点。
2015-08-31 cs.IT math.IT
Solving Systems of Algebraic Equations Over Finite Commutative Rings and Applications
本文结合Gröbner基方法求解有限交换环上的代数方程组，并利用斜多项式与Plücker坐标将有限域上的秩解码和MinRank代数方法推广到有限主理想环。
2023-04-17 cs.IT math.IT
Convolutional codes from unit schemes
卷积码的构造，设计和分析使用行和/或块结构的单位代数计划。导出了此类码和具有特定性质的码的无穷级数。性质代数和代数译码方法的推导。对于给定的速率和给定的纠错能力，在每个组件，卷积码与这些规格和有效的解码算法的构造。显式原型的例子，但在一般情况下，大的长度和大的错误能力是可以实现的。在参数可达到的最大自由距离处或附近具有有效解码算法的卷积码是可构造的。用实用的代数译码算法设计了具有最大可能自由距离的单位记忆卷积码。利用这些方法构造并分析了具有高效译码方案的LDPC（低密度奇偶校验）卷积码。自对偶和双包含卷积码也可以通过该方法设计;双包含码使得量子码的构造成为可能。
2018-04-02 cs.DM cs.IT math.IT
Geometric decoding of subspace codes with explicit Schubert calculus applied to spread codes
本文是关于纠错子空间码的一种译码算法。Rosenthal、Silberstein和Trautmann先前描述了该算法的一个版本。解码算法要求码被定义为格拉斯曼的Plücker嵌入和代数簇的交集。我们称这种代码为\emph{geometric subspace codes}。与Rosenthal、Silberstein和Trautmann的算法相比，复杂性得到了大幅提高，并给出了与有限几何的连接。解码算法适用于Desklesian扩频码，这是已知的被定义为交叉的Plücker嵌入的格拉斯曼与线性空间。
2016-10-06 cs.IT math.IT
Optimal rate list decoding over bounded alphabets using algebraic-geometric codes
我们给出了两类代数码族的新的构造，这两类代数码族可以有效地从对抗性错误的一部分$1-R-ε$中以小的输出列表大小进行列表解码，其中$R$是码的速率，对于任何期望的正常数$ε$。字母表大小仅取决于$ε$，并且接近最优。第一类代码是通过折叠代数几何代码使用的基本函数域的自同构。列表解码算法基于线性代数方法，将候选消息固定到具有良好“周期”结构的子空间。通过预编码将列表修剪成伪随机构造的特殊形式的“子空间规避”集合。用Garcia-Stichtenoth函数域塔实例化该构造产生可列表解码的代码，其具有由$1-R-ε$限制的列表大小，匹配到常数因子的存在性限制。因此，我们实现的参数在所有三个方面都非常接近存在性界限：纠错半径，字母表大小和列表大小。第二类码是通过将代数几何码的求值点限制为子域中的有理点而得到的。再一次，线性代数方法列表解码将候选消息固定到周期子空间。我们开发了一种基于“子空间设计”的替代方法来预编码消息。连同随后的明确的子空间设计的建设，这产生了一个确定性的建设率$R$的代数码族与有效的列表解码从$1-R-ε$分数的错误在一个恒定大小的字母表。列表大小由块长度$N$的非常缓慢增长的函数限定;特别地，对于任何固定整数$r$，它至多是$O(\log^{(r)} N)$（$r$的第迭代对数）。
2020-11-15 cs.CC cs.IT math.IT
Perturbed Adaptive Belief Propagation Decoding for High-Density Parity-Check Codes
诸如BCH码的代数码正在重新受到关注，因为它们的短块长度和低/无错误平层使它们对于5G无线网络中的超可靠低延迟通信（URLLC）具有吸引力。针对高密度奇偶检验（HDPC）代数码，如RS码、BCH码和乘积码，提出了一种改进的自适应置信传播（ABP）译码算法。传统ABP的核心思想是稀疏化奇偶检验矩阵中对应于具有小对数似然比（LLR）值的最不可靠比特的某些列。当一些比特具有大的LLR幅度但符号错误时，这种稀疏化策略可能不是最佳的。出于这一观察结果，我们提出了一个扰动ABP（P-ABP），将少量的不稳定位与大LLR到稀疏操作的奇偶检验矩阵。此外，我们建议应用部分分层调度或混合动态调度，以进一步提高性能的P-ABP。仿真结果表明，我们提出的解码算法导致改善的纠错性能和更快的收敛速度比现有技术的ABP变种。
2020-12-19 cs.IT math.IT
