广义algebraic geometry码的译码方法

Power Error Locating Pairs

We present a new decoding algorithm based on error locating pairs and correcting an amount of errors exceeding half the minimum distance. When applied to Reed--Solomon or algebraic geometry codes, the algorithm is a reformulation of the so--called {\em power decoding} algorithm. Asymptotically, it corrects errors up to Sudan's radius. In addition, this new framework applies to any code benefiting from an error locating pair. Similarly to Pellikaan's and Kötter's approach for unique algebraic decoding, our algorithm provides a unified point of view for decoding codes with an algebraic structure…

使用窄束类域的最佳速率代数列表译码

Optimal rate algebraic list decoding using narrow ray class fields

我们使用类域理论，特别是Drinfeld模块的秩1，构造一个家庭的渐近良好的代数几何（AG）代码在固定的字母。在大小为$\ell^2$的字段上，这些代码在单例界限的$2/(\sqrt{\ell}-1)$内。这些代码下的函数域是具有某些函数域的窄射线类域的循环伽罗瓦群的子域。由此产生的代码使用伽罗瓦群的生成器“折叠”。这概括了早期工作的第一作者折叠AG代码的基础上分圆函数字段。使用Chebotarev密度定理，我们认为在我们的循环扩展的惰性的地方大的程度的丰度，并使用此设计一个线性代数算法来列出解码这些折叠码接近$1-R$的错误分数$R$是率。给定关于函数字段的多项式量的预处理信息，可以在多项式时间内执行列表译码。我们的建设产生的代数代码在常数大小的字母表，可以列表解码的Singleton界-具体地说，对于任何所需的速率$R \in (0,1)$和常数$\eps > 0$，我们得到的代码在一个字母表大小$(1/\eps)^{O(1/\eps^2)}$，可以列表解码的错误分数$1-R-\eps$限制附近的消息的子空间与$N^{O(1/\eps^2)}$元素。以前的结果列表译码错误分数$1-R-\eps$在恒定大小的字母是基于级联或涉及采取仔细抽样的子码的代数几何码。相反，我们的结果表明，这些折叠代数几何码{PDMATHAMV本身}具有所要求的列表译码性质.

Optimal rate list decoding over bounded alphabets using algebraic-geometric codes

We give new constructions of two classes of algebraic code families which are efficiently list decodable with small output list size from a fraction $1-R-ε$ of adversarial errors where $R$ is the rate of the code, for any desired positive constant $ε$. The alphabet size depends only $ε$ and is nearly-optimal. The first class of codes are obtained by folding algebraic-geometric codes using automorphisms of the underlying function field. The list decoding algorithm is based on a linear-algebraic approach, which pins down the candidate messages to a subspace with a nice "periodic" structure. The …

Artin自同构、分圆函数域和折叠列表可解码码

Artin automorphisms, Cyclotomic function fields, and Folded list-decodable codes

最近，通过对Reed-Solomon码进行仔细的“折叠”，构造了实现列表译码能力的代数码。这种折叠操作的“低度数”性质对列表译码算法至关重要。我们展示了如何这样的折叠计划有利于列表译码产生的阿廷-弗罗贝尼乌斯自同构在素数伽罗瓦扩展。利用这种方法，我们构造了新的折叠代数-几何码的列表译码基于分圆函数域的循环伽罗瓦群。这样的函数场是通过邻接不可约$M \in \F_q[T]$的Carlitz作用的扭点得到的。Reed-Solomon情况对应于最简单的这种扩展（对应于情况$M=T$）。在一般情况下，我们需要下降到一个合适的伽罗瓦子群的固定域，以确保存在可用于编码的多次1位置。我们的方法为代数码及其列表译码提供了新的思路，并使新的码具有列表译码的能力。在量化上，这些码提供类似于折叠里德-所罗门码的列表译码（和列表恢复/软解码）保证，但是具有在分组长度上仅为多对数的字母表大小。相比之下，对于折叠RS码，字母表大小是分组长度的大多项式。这有应用程序的完全显式（无暴力搜索）的二进制链级码的列表译码的Zyablov半径。

Coppersmith定理的理想形式与Guruswami-Sudan列表译码

Ideal forms of Coppersmith's theorem and Guruswami-Sudan list decoding

我们开发了一个框架，用于解决多项式方程的解决方案的大小限制。我们得到我们的结果，显示如何应用技术的铜史密斯找到小的解决方案的多项式方程模整数类似的问题，在多项式环，数域和功能领域。这使我们对密码学、编码理论和格的研究中自然出现的几个问题有了统一的看法。本文给出了（1）求代数数域上模理想多项式方程小解的多项式时间算法，（2）求Reed-Solomon码列表译码的Guruswami-Sudan算法的一个更快的变形，（3）求代数-几何码的列表译码的一个算法，它既可处理单点码，也可处理多点码. Coppermith的算法使用格基约简在一个精心构造的格中找到一个短向量;来自代数数论的强大类比使我们能够在每个应用中识别适当的格类比，并提供有效的算法来找到一个适当的短向量，从而使我们能够完全并行地证明上述定理。

On cyclic algebraic-geometry codes

In this paper we initiate the study of cyclic algebraic geometry codes. We give conditions to construct cyclic algebraic geometry codes in the context of algebraic function fields over a finite field by using their group of automorphisms. We prove that cyclic algebraic geometry codes constructed in this way are closely related to cyclic extensions. We also give a detailed study of the monomial equivalence of cyclic algebraic geometry codes constructed with our method in the case of a rational function field.