Let $B_n$ be the Euclidean unit ball in ${\mathbb R}^n$ given by the inequality $\|x\|\leq 1$, $\|x\|:=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}$. By $C(B_n)$ we mean the space of continuous functions $f:B_n\to{\mathbb R}$ with the norm $\|f\|_{C(B_n)} := \max\limits_{x\in B_n}|f(x)|$. The symbol $Π_1\left({\mathbb R}^n\right)$ denotes the set of polynomials in $n$ variables of degree $\leq 1$, i.e., the set of linear functions upon ${\mathbb R}^n$. Assume $x^{(1)}, \ldots, x^{(n+1)}$ are the vertices of an $n$-dimensional nondegenerate simplex $S\subset B_n$. The interpolation projector $P:C(B_n)\to Π_1({\mathbb R}^n)$ corresponding to $S$ is defined by the equalities $Pf\left(x^{(j)}\right) = f\left(x^{(j)}\right).$ Denote by $\|P\|_{B_n}$ the norm of $P$ as an operator from $C(B_n)$ onto $C(B_n)$. We describe the approach in which $\|P\|_{B_n}$ can be estimated from below via the volume of $S$.
Compensated Convexity Methods for Approximations and Interpolations of Sampled Functions in Euclidean Spaces: Applications to Contour Lines, Sparse Data and Inpainting
本文讨论了[K。Zhang，E. Crooks，A. Orlando，欧几里得空间中采样函数的近似和插值的补偿凸性方法：理论基础。SIAM Journal on Mathematical Analysis 48（2016）4126-4154]。我们应用我们的方法$(i)$表面重建开始从知识的许多水平集（或“轮廓线”）; $(ii)$分散的数据近似; $(iii)$图像修复。对于$(i)$和$(ii)$，我们的方法给出插值。对于有限集（分散的数据）的情况下，特别是，我们的近似提供了一个自然的三角剖分和分段仿射插值。显式计算的近似和修补结果的原型例子有限和紧凑的集合。我们还展示了我们的方法的应用程序的数值实验高密度盐和胡椒噪声降低图像处理中，图像修复和近似和插值的连续函数上采样的许多水平集和分散的点。
Improving Rogers' upper bound for the density of unit ball packings via estimating the surface area of Voronoi cells from below in Euclidean d-space for all d>7
Selected topics from the theory of intersections of balls
University of Calgary（卡尔加里大学）；Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary（卡尔加里大学数学与统计系）；Department of Mathematics, University of Pannonia（佩奇大学数学系）；Bolyai Institute, University of Szeged（塞格德大学博莱伊研究所）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Loránd Eötvös University（罗兰·厄特沃什大学）
Case Western Reserve University（凯斯西储大学）；Institut de Mathématiques de Jussieu-PRG, Sorbonne Université（索邦大学数学研究所Jussieu-PRG）；Institut de Mathématiques de Toulouse, Université de Toulouse & CNRS（图卢兹数学研究所，图卢兹大学与法国国家科学研究中心）；ECMWF（欧洲中期天气预报中心）
Circumspheres of sets of n+1 random points in the d-dimensional Euclidean unit ball (0<n<d+1)
在d维欧几里得空间中，任何均匀分布在圆心为O的单位球内部的n+1个独立随机点的集合几乎必然确定圆心为C、半径为R的外接球，其中n为正且小于d+1，当n为正且小于d时，n为平坦的。O在n平面上的投影称为O '。焦点设置在包含在这个单位球中的外接球上。对于任意大于1的d和任意小于d的正n，距离D = O 'C和R的联合密度函数有一个简单的封闭形式表达式。它们的边际密度函数都是幂和高斯超几何函数的乘积。D和R的随机表示表示为两个独立β随机变量的几何平均值。对于n等于d，正的，D和R具有狄利克雷分布，而D和R均为贝塔分布。Monte-Carlo模拟结果与计算结果吻合得很好
Almost bi--Lipschitz embeddings using covers of balls centred at the origin
2010年，Olson \& Robinson [Transactions of the American Mathematical Society，362（1），145-168]引入了几乎齐次度量空间的概念，并证明了如果$X$是希尔伯特空间的子集，使得$X-X$几乎齐次，则$X$允许几乎双Lipschitz嵌入到欧几里得空间中。在本文中，我们推广了这个结果，我们表明，如果$X$是一个子集的巴拿赫空间，使$X-X$是几乎齐次在原点，那么$X$可以嵌入在一个欧几里得空间在几乎双Lipschitz的方式。
Intersecting diametral balls induced by a geometric graph
对于一个顶点集是欧氏$d$ -空间中有限点集的图，考虑其边诱导直径的闭（开）球。如果这些闭（开）球相交，则该图称为（开）Tverberg图。利用二等分线的思想，证明了（$i$）对于平面上的任意有限点集，存在一个哈密顿圈即Tverberg图;（$ii$）对于平面上的任意$ n $红点和$ n $蓝点，存在一个完美红蓝匹配即Tverberg图.此外，我们证明了（$iii$）的任何偶数点集在欧几里德$ d $ -空间，存在一个完美的匹配，这是一个开放的Tverberg图;（$iv$）的任何$ n $红色和$ n $蓝色的点在欧几里德$ d $ -空间，存在一个完美的红蓝匹配，这是一个Tverberg图。
On the weighted hard-core model and Rado's covering problem for congruent Euclidean balls
Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）；School of Mathematical Sciences, Capital Normal University（首都师范大学数学科学学院）
