Lattice-like Packings and Coverings with Congruent Translation Balls and Cylinders in Sol geometry
Department of Algebra and Geometry, Institute of Mathematics, Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯理工大学数学研究所代数与几何系）
本文研究了在Sol空间中，利用等距平移球和圆柱进行类似晶格的包装与覆盖，并确定了相关密度的最优解。
2025-12-03 math.MG
Computing upper bounds for the packing density of congruent copies of a convex body
本文证明了一个定理，它给出了$\mathbb{R}^n$中给定凸体的全等副本的填充密度的上界，这个定理是球面填充的线性规划界的推广.我们说明了它的使用计算的上界的最大密度包装的正五边形在平面上。我们的计算方法是数值的，并使用半定规划，平方和，和调和分析的欧几里德运动组的组合。我们展示了如何，与一些额外的工作，这样得到的界限可以严格。
2016-07-06 math.MG
Dense Packings of Congruent Circles in Rectangles with a Variable Aspect Ratio
我们使用计算实验，以找到一个给定的数量n的非重叠全等圆可以包装成最小面积的矩形。没有对矩形的形状做出任何假设。发现的大多数填料具有通常的规则正方形或六边形图案。然而，对于测试范围内的1495个n值，n =< 5000，具体地，对于n = 49、61、79、97、107、. 4999，我们证明，最优不可能实现这样的定期安排。证据表明，当n趋于无穷大时，包含最佳六边形排列的圆的矩形的极限高宽比趋于2-sqrt（3），如果极限存在的话。
2004-05-17 math.MG
Decomposition method and upper bound density related to congruent saturated hyperball packings in hyperbolic $n-$space
本文研究n维双曲空间全等饱和超球填充问题，提出空间截断单纯形分解算法，证明密度上界在正则截断单纯形中取得，测得4维空间上界约0.75864，并否定相关密度函数单调性猜想。
2025-06-13 math.MG
Optimal packings of congruent circles on a square flat torus
我们考虑正方形平面环面上全等圆的填充，即，定期（w.r.t.正方形格子）平面圆填充，具有最大圆半径。这个问题是有趣的，由于一个实际的原因-问题的“超分辨率的图像。“我们已经找到了N=6，7和8圈的最佳安排。令人惊讶的是，对于N=7的情况，存在三种不同的最佳布置。我们的证明是基于计算机枚举的环形不可约接触图。
2012-12-06 math.CO math.MG
Coverings with congruent and non-congruent hyperballs generated by doubly truncated Coxeter orthoschemes
在研究了与双截尾Coxeter正交分格\cite{SzJ1}相关的全等和非全等超球填充后，我们考虑了相应的覆盖问题.在\cite{MSSz}中，作者给出了某些双曲空间群的超群的部分分类，这些双曲空间群的基本域是截头四面体的整数部分，并确定了属于其中某些类的最优全等超球填充和覆盖构型.在本文中，我们补充这些结果与调查的非全等覆盖的情况下，和sampig全等情况。证明了在全等和非全等超球覆盖中，密度为$\approx 1.26829$的$\{7,3,7\}$ Coxeter平铺是最薄的.这个覆盖密度小于L.~ Fejes~Tóth用于带球和horoballs的覆盖物。我们还研究了与$\{u,3,7\}$ $(6< u < 7, ~ u\in \mathbb{R})$双截断正交格式相关的局部填充安排和相应的超球覆盖。我们证明了，这些覆盖在参数$u\approx 6.45953$处达到其最小密度，覆盖密度$\approx 1.26454$小于上述记录小密度，但这种与局部最优覆盖相关的超球排列不能推广到整个$\mathbb{H}^3$ .此外，我们还看到，在双曲平面$\mathbb{H}^2$中，全等圆、单圈、超圈覆盖密度$\frac{\sqrt{12}}π$的泛下界也可以用双截断Coxeter正交格式生成的非全等超圈覆盖任意好地逼近.
2021-03-11 math.MG
New lower bound for the optimal congruent geodesic ball packing density of screw motion groups in $\mathbf{H}^2\!\times\!\mathbf{R}$ space
该研究利用$\boldsymbol{\rm H}^2\boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rm R}$的射影模型，得到了螺旋运动群生成的全等测地球堆积的新密度纪录约0.80529，还开发了确定对应最优堆积半径的程序。
2024-07-31 math.MG
Minimum Perimeter Rectangles That Enclose Congruent Non-Overlapping Circles
我们使用计算实验，以找到一个给定的数量n的非重叠全等圆可以包装成最小周长的矩形。没有对矩形的形状做出任何假设。在发现的许多填料中，圆形成通常的规则正方形网格或六边形图案或它们的混合物。然而，对于测试范围内的大多数n值，n =< 5000，例如，对于n = 7，13，17，21，22，26，31，37，38，41，43...，4997，4998，4999，5000，我们证明了最优值不可能通过这样的规则安排来实现。通常，在最佳填充中发现的这种n的不规则性是对规则模式的小的局部修改;这些不规则性通常很容易预测。然而，对于某些这样的不规则n，所发现的最佳填充显示出我们没有预料到的大量的、扩展的不规则性。在我们仔细探索的范围内，最佳填充仅对于形式n = k（k+1）+1，k = 3，4，5，6，7的n基本上是不规则的，即，对于n = 13、21、31、43和57。证明了当n趋于无穷大时，包含n个全等圆填充的最小周长矩形的高宽比趋于1。
2008-05-30 math.MG
Density bounds for unit ball packings relative to their outer parallel domains
University of Calgary（卡尔加里大学）；University of Pannonia（潘诺尼亚大学）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
本文证明了在欧几里得平面上，单位球包的最高密度由格点包获得，并推广了经典结果，同时给出了球面和双曲平面中等圆盘及欧几里得3空间中等球的精确上界。
2024-04-19 math.MG
Remarks on soft ball packings in dimensions 2 and 3
本文研究二维中心对称凸域和三维全等球体的软平移排布，引入软密度概念，证明三重旋转对称凸域的最大软密度由软格堆积取得，并证明FCC格在软球格堆积中具有局部最大软密度。
2024-04-02 math.MG
On the existence of completely saturated packings and completely reduced covering
体$K$的填充是$K$的全等副本的集合（在欧几里得或双曲空间中），使得没有两个副本在其内部非平凡相交。$K$的覆盖是$K$的全等副本的集合，使得对于空间中的每个点$p$，在包含$p$的集合中存在副本。完全饱和的填料是这样一种填料，其中不可能用更大数量的填料体替换有限数量的填料体，并且仍然保持填料。一个完全约化的覆盖是这样一个覆盖，其中不可能用更少的覆盖替换有限数量的覆盖体，并且仍然是一个覆盖。它是由G. Fejes Toth，G. Kuperberg和W. Kuperberg证明了在$n$维欧氏空间或$n$维双曲空间中，每个实体$K$都存在完全饱和填充和完全约化覆盖.我们证明了这个猜想。
2001-10-23 math.MG
On Contact Numbers of Finite Lattice Sphere Packings and the Maximal Coordination of Monatomic Crystals
我们的算法特征的最大接触数问题的有限全等格子球填充在$\mathbb{R}^d$和显示，在$\mathbb{R}^3$这个问题是等价于确定最大协调的单原子晶体。
2016-02-06 math.MG
The number of touching pairs of congruent sphere packings in Euclidean 3-space
本文研究三维空间中n个全等球堆积的最大接触数c(n)，证明其极小刚性，确定n=6至9时的精确值，并给出一般下界及面心立方晶格情形下的上界与渐近公式。
2026-09-28 math.CO math.MG
Packings of Regular Pentagons in the Plane
我们证明了欧氏平面上全等正五边形的每一个填充都有至多$(5-\sqrt5)/3$的密度，约为0.92。更具体地说，本文证明了Henley（1986）和Kuperberg and Kuperberg（1990）的五边形冰射线猜想，该猜想断言全等正五边形在平面上的最优填充是一个双格，由对准的垂直向上指向的五边形列和对准的垂直向下指向的五边形列交替形成。该策略基于对Delaunay三角形面积的估计。我们的策略减少了五边形冰射线猜想，涉及最多四个Delaunay三角形的面积最小化问题。这些极小化问题都是用计算机解决的。证明的计算机辅助部分使用了诸如区间运算、自动微分和中间相遇算法等技术。
2016-09-13 math.MG
Optimal densities of packings consisting of highly unequal objects
令$Δ$为单位球的$\mathbb R^n$的最佳堆积密度。我们表明，使用两种尺寸的球的最佳填充密度接近$Δ+ (1 - Δ) Δ$的半径的比率趋于无穷大。更一般地说，如果$B$是一个实体，而$D$是一个有限的实体集，那么由来自$\{rB\} \cup D$的实体的全等拷贝组成的填充的最优密度$Δ_{\{rB\} \cup D}$收敛于$Δ_D + (1 - Δ_D) Δ_{\{B\}}$，因为$r$趋于零。
2016-03-03 math.MG
Top dense hyperbolic ball packings and coverings for complete Coxeter orthoscheme groups
在$n$ -维双曲空间$\mathbf{H}^n$ $(n\ge2)$中，有$n$-型球（球）：球、时球和超球.如果$n=2,3$，我们知道球堆积密度的普遍上限，其中每个球的体积与相应的Dirichlet-Voronoi（D-V）细胞的体积有关。例如，在$\mathbf{H}^3$中，密度球填充是从由具有二面角$\fracπ{3}$的理想规则单形$T_{reg}^\infty$组成的$\{3,3,6\}$ Coxeter平铺导出的。这种堆积的密度是$δ_3^\infty\approx 0.85328$，这也为球堆积密度提供了一个非常粗略的上限。然而，对于全等球的“经典”球填充和球覆盖，没有“本质”的结果。本文的目的是寻找具有“经典球”的$\mathbf{H}^3$中的极值球排列。我们只考虑与广义的，所谓的{ \it完全Coxeter orthoschemes}及其扩展群相关的周期全等球安排（为了简单起见）。在定理1.1-1.2中，我们还分别给出了密度为$0.77147\dots$的齿球填充和密度为$1.36893\dots$的齿球覆盖的结构。两者都与扩展的Coxeter群$(5, 3, 5)$和所谓的双曲足球流形有关（参见图~）。3）。这些事实在晶体学中与富勒烯有着重要的关系。
2016-12-14 math.MG
Improving Rogers' upper bound for the density of unit ball packings via estimating the surface area of Voronoi cells from below in Euclidean d-space for all d>7
球填充问题要求单位球在d维欧几里得空间中的稠密填充。这个问题有其根源的几何，数论，它是一部分希尔伯特的第18个问题。1958年C. A.罗杰斯证明了一个非平凡的上界的密度单位球填充在d维欧几里得空间的所有d>0。1978年Kabatjanskii和Levenstein改进了大d的这个界。事实上，罗杰斯的界限是目前已知的43>d>3的最佳界限，在此之上，Kabatjanskiii-Levenstein界限接管。本文改进了Rogers关于欧氏d-空间中单位球填充密度的上界，其中d>7。我们这样做是通过估计从下面的表面积的Voronoi细胞在任何包装的单位球在欧几里德d-空间的所有d>7。
2001-10-18 math.MG
Non-fundamental trunc-simplex tilings and their optimal hyperball packings and coverings in hyperbolic space I. For families F1-F4
某些双曲空间群的超群被分类为我们以前工作的继续。基本区将是属于F1 - F4族的截顶四面体的整数部分，暂时用E表示。Molnár等人，见$2006$。作为应用，计算了截断基平面上的最优全等超球填充和覆盖，它们具有很好的密度。这一覆盖密度优于L.~ Fejes~Tóth用于$1964$中的球和horoballs。
2020-03-30 math.MG
Sphere packings IV
这是第六次在一系列的文件给予证明开普勒猜想，其中声称，密度包装的全等领域在三维空间是从来没有大于$π/\sqrt{18}\approx 0.74048...$。这是离散几何中最古老的问题，也是希尔伯特第18问题的重要组成部分。实现该密度的堆积的示例是面心立方堆积。本文完成了Math.MG/9811073中程序第四步的一部分：证明了如果某个标准区域的边数大于四边，则星的得分小于$8 \pt$。
2002-05-20 math.MG
The Strong Dodecahedral Conjecture and Fejes Toth's Conjecture on Sphere Packings with Kissing Number Twelve
本文简述了欧氏空间中关于球面填充的两个定理的证明。第一个是K。Bezdek强十二面体猜想：半径为1的球的堆积中的每个有界Voronoi胞的表面积至少是半径为1的正十二面体的表面积。第二个定理是L。Toth的接触猜想，它断言在三维空间中，任何全等球的包装，使得每个球都被其他12个球接触，都由六边形层组成。这两个证明都是计算机辅助的。这些定理的完整证明出现在作者的著作《稠密球填充》和相关的预印本中
2012-11-19 math.MG
Sphere packings III
这是第五次在一系列的文件给予证明开普勒猜想，其中声称，密度包装的全等领域在三维空间是从来没有大于$π/\sqrt{18}\approx 0.74048...$。这是离散几何中最古老的问题，也是希尔伯特第18问题的重要组成部分。实现该密度的堆积的示例是面心立方堆积。本文实现了数学MG/9811073中概述的程序的第三步：证明如果所有标准区域都是三角形或四边形，则总分小于$8 \pt$（不包括五角棱镜的情况）。
2002-05-20 math.MG
Dense packing of space with various convex solids
离散几何中的一个基本问题是确定给定凸集$K$的全等副本在平面或空间中的最有效填充。最常用的效率度量是密度。几种类型的问题出现取决于类型的等距允许的包装：包装的平移，晶格包装，平移和点反射，或所有等距。由于它与数论、晶体学等的联系，对晶格堆积的研究最为广泛。在二维空间中，这个理论已经发展得相当好，在三维空间中，晶格堆积也有一些重要的结果。本文综述了已知的结果，重点是最新的进展。提出了许多新的问题，指出了三维一般堆积理论今后发展的方向。
2010-08-13 math.MG
Sphere packing bounds via spherical codes
球填充问题要求在欧几里得空间中全等球的填充的最大密度。目前最好的上界在所有足够高的维度是由于Kabatiansky和Levenshtein在1978年。我们重新审视他们的论点，并提高他们的边界由一个常数因子，使用一个简单的几何参数，我们扩展的参数，包装在双曲空间，它给出了一个指数的改善，以前已知的界限。此外，我们证明了Cohn-Elkies线性规划界总是至少与Kabatiansky-Levenshtein界一样强，这一结果类似于编码理论中的Rodemich定理。最后，我们推导了双曲型线性规划界，并证明了罗德米奇定理的类似物。
2013-12-21 math.MG
Contact graphs of unit sphere packings revisited
三维欧氏空间中单位球的任意有限填充的接触图是其顶点对应于填充元且如果对应的两个填充元彼此接触则其两个顶点由边连接的（简单）图。关于接触图的一个最基本的问题是求n个单位球的填充的接触图的最大边数。本文改进了以前的估计，证明了欧氏空间中n个单位球的任意填充中的接触对数总是小于$6n-0.926n^{2/3}$ .而且，作为上述问题的自然扩张，我们建议研究接触三胞胎的最大数量（分别为，四元组）在欧氏3-空间中的n个单位球的任意包装中。特别是，我们证明了接触三胞胎（分别为，四元组）至多是$25/3n$（相应地，$11/4n$）。
2012-10-21 math.MG
Fibre-like cylinders, their packings and coverings in $\widetilde{\mathbf{S}\mathbf{L}_2\mathbf{R}}$ space
该研究在$\u200e\widetilde{\mathbf{S}\mathbf{L}_2\mathbf{R}}$空间中定义类纤维测地柱体，推导其体积与表面积公式，结合正棱柱平铺引入柱体堆积覆盖密度，确定最密堆积与最疏覆盖构型及其关联。
2023-06-09 math.MG
The optimal hyperball packings related to the smallest compact arithmetic 5-orbifolds
最小的三个双曲紧致算术5-轨道折叠可以从两个紧致Coxeter多面体导出，它们是五维双曲空间$\mathbf{H}^5$中的组合单纯棱柱（或次数为$d=1$的完全正交方案）（参见\cite{BE}和\cite{EK}）。相应的双曲平铺是由反射通过其定界超平面产生的，这些超平面涉及到与全等超球相关的密超球（超球）填充的研究。在双曲空间$\mathbf{H}^n$ $(n=3,4)$的\cite{Sz06-1}和\cite{Sz06-2}中讨论了类似的问题.在本文中，我们将这一过程推广到确定上述5维棱柱镶嵌的最优超球填充。计算了它们的度量数据和最优超球填充的密度，并对5维双曲空间$\mathbf{H}^5$中的最优超球填充的候选项提出了一个猜想.
2013-06-18 math.MG
Horoball packings to the totally asymptotic regular simplex in the hyperbolic $n$-space
在\cite{Sz11}中，我们推广了扩展双曲空间$\bar{\mathbf{H}}^n, ~(n \ge 2)$中的单密度函数的概念，其中我们允许{ \it不同类型的全等球}以全渐近四面体的各个顶点为中心。利用这一新的观点，本文研究了双曲型$n$ -空间$\bar{\mathbf{H}}^n$中关于全渐近正四面体的局部可解的方球填充排列及其密度，其中方球的理想中心产生全渐近正四面体的顶点.我们将证明，在这个意义上，{ \it众所周知的“全等球”填充$\bar{\mathbf{H}}^n$的Böröczky密度上界不保持有效的$n\ge4$，}但这些局部最优球安排没有扩展到整个$n$维双曲空间。此外，我们确定了上述局部最优horoball填充的密度的显式公式，允许horoball在不同的类型。
2011-12-08 math.MG math.SG
From the separable Tammes problem to extremal distributions of great circles in the unit sphere
本文研究单位球面上全等球冠的完全可分离堆积与覆盖问题，解决了最多8个球冠的可分离Tammes问题，证明三维欧氏球的中心可分离亲吻数为8，并给出大圆铺砌胞腔最小内切半径及TS-覆盖的界，部分结果推广到高维球面。
2022-04-14 math.MG
Optimally Dense Packings for Fully Asymptotic Coxeter Tilings by Horoballs of Different Types
本文的目的是确定双曲三维空间$\mathbb{H}^3$中所有四种完全渐近Coxeter镶嵌（Coxeter honeycombs）的最优Horoball填充排列及其密度。要求水平球的中心位于构成镶嵌的规则多面体单元的顶点处。我们允许不同类型的horoball在不同的顶点。我们的结果是通过推广的投影方法双曲空间。主要结果表明，已知的Böröczky-弗洛里安密度上界的“全等horoball”包装的$\mathbb{H}^3$仍然有效的类完全渐近Coxeter平铺，即使包装条件放宽，允许horoball的不同类型下规定的对称群。这一显着的结果的后果进行了讨论，为各种考克斯特瓷砖。
2012-07-12 math.MG
On contact numbers of locally separable unit sphere packings
在欧氏$d$ -空间中的一个多球填充的接触数是填充中的球接触对的数目。球填充的一个突出的子类是由所谓的完全可分球填充形成的：在这里，球在欧几里得$d$ -空间中的填充被称为完全可分，如果任何两个球可以被一个超平面分开，使得它与填充中每个球的内部不相交。Bezdek、Szalkai和Szalkai（Discrete Math.339（2）：668-676，2016）在欧几里得$d$ -空间中用$n$和$d$给出了$n$单位球的完全可分填充的接触数的上界。本文改进了它们的上界，并将新的上界推广到单位球的局部可分填充。我们称单位球的填充为局部可分填充，如果填充的每个单位球与与它相切的单位球一起形成完全可分填充。在平面上，我们证明了一个结晶的结果，通过表征所有的局部可分包装的$n$单位盘具有最大的接触数。
2021-05-14 math.MG
Sphere packing bounds via rescaling
我们研究了球填充的局部和全局密度之间的关系，特别是在大的，紧凑的区域的欧几里德极限的包装密度的收敛性。我们公理化的关键性质的球包装界的包装界函数的概念，我们研究的特殊情况下，三明治功能，这给了一个框架，由Lovász三明治定理给出的不等式。我们表明，每一个包装界函数往往是一个欧氏极限的可求积集，推广工作Borodachov，哈丁和萨夫。线性和半定规划界产生包装界函数，我们开发了一个Lasserre层次结构，收敛到最佳的球体包装密度。
2021-08-24 math.MG
Enumeration of irreducible contact graphs on the sphere
本文利用计算机，在单位球面${\Bbb S}^2 $上，用$N < 12.$，用$N$全等圆（球冠）枚举了所有局部刚性填充。这等价于不可约球面接触图的枚举。
2013-12-19 math.MG
Dense Packings with Nonparallel Cylinders
\emph{cylinder packing}是一类在$3$维欧几里得空间中内部互不相交的全等无限圆柱体。圆柱填料的\emph{local density}是给定球体内圆柱体所占体积与整个球体体积之比。圆柱填料的\emph{global density}是通过使球的半径接近无穷大而得到的。众所周知，当所有圆柱体彼此平行且每个圆柱体正好被其他六个圆柱体包围时，可以获得最大的全局密度。在这种情况下，圆柱填料的整体密度等于$π/\sqrt{12}= 0.90689\ldots$。问题是，如果施加\emph{no two cylinders are parallel}的限制，圆柱填料的密度可以有多大。在本文中，我们证明了两个结果。首先，我们证明了存在没有两个圆柱相互平行的圆柱填充，其局部密度任意接近于平行圆柱填充的局部密度。其次，我们构造了一个没有两个平行圆柱的圆柱堆积，其整体密度为$1/2$。这改进了K.库珀伯格角Graf和P. Paukowisch。
2018-09-27 math.MG
Rigidity of Circle Polyhedra in the 2-Sphere and of Hyperideal Polyhedra in Hyperbolic 3-Space
本文将Cauchy关于欧氏$3$ -空间$\mathbb{E}^{3}$中凸多面体整体刚性的著名定理推广到$2$ -球面$\mathbb{S}^{2}$中的圆多面体.证明了任意两个具有一致定向的Möbius全等面的凸的和真的非酉的c-多面体都是Möbius全等的。我们的结果包含了黎曼球面中凸反距离圆填充的整体刚性以及$\mathbb{H}^{3}$中某些超理想双曲多面体的整体刚性。
2017-06-01 math.MG
Volumetric bounds for intersections of congruent balls
本文研究了半径为$r$的球在欧氏$d$ -空间中的相交问题，称之为$r$ -球体.一个$r$传感器（分别，$r$ -主轴）是半径为$r$的两个球（分别为，包含给定点对的半径为$r$的球）。我们证明，在给定体积的$r$ -球体中，$r$ -lense（分别，$r$ -主轴）具有最小的内半径（分别为，最大外接圆半径）。一般来说，我们上（分别，下限）限定了给定内半径的$r$ -球体的本征体积（分别，外接圆）。这补充和扩展了$r$ -球体体积估计的一些早期结果。
2019-12-11 math.MG
Simultaneous packing and covering in the two-dimensional Euclidean plane II
本文确定了二维中心对称凸区域同时填充和覆盖常数的最优上界。它解决了一个开放了三十多年的问题。
2007-06-13 math.MG math.NT
Packing unequal disks in the Euclidean plane
本文综述了欧几里得平面中不等圆盘装填的若干未解决问题，并按紧致性、共轭性、密度、均匀性和可计算性五个主题进行组织。
2024-09-02 cs.CG math.MG
Neighbors
如果填料的两个成员有一个共同的边界点，则它们是相邻的。在包装中出现了与邻居有关的许多问题。最古老的一个涉及到牛顿和格雷戈里之间的争论，关于一个成员在一堆全等球中可以有多少个邻居。其他问题要求的平均数量的邻居或最大数量的相互相邻的成员在包装。本文对这些问题进行了综述。
2022-02-22 math.CO math.MG
A Proof of Fejes Toth's Conjecture on Sphere Packings with Kissing Number Twelve
在1969年，Fejes Toth提出，在欧几里得三维空间中，任何一个相等的球的堆积，使得每个球都被其他12个球接触，都是由六边形层组成的。本文验证了这一猜想。
2012-09-26 math.MG
Ball packings in hyperbolic space
在双曲空间中，密度不能像我们在欧几里得空间中定义的那样由极限定义。我们描述了球填充的局部密度边界，我们讨论了不同的尝试来定义最佳安排在双曲空间。
2022-02-22 math.MG
On the Volume of Boolean expressions of Large Congruent Balls
在$d$维欧几里得空间中，研究了关于给定中心系的全等球的布尔表达式的体积。当球的半径$r$大时，该体积可以通过$r$的多项式来近似，其将被计算到$O(r^{d-3})$误差项。我们研究了这个多项式的顶部系数如何依赖于中心的集合。已知在球并的情况下，顶部系数是中心的凸包的固有体积的某个常数倍。因此，在一般情况下的系数导致泛化的内在体积，特别是，一个集的平均宽度的泛化。一些已知的结果的平均宽度，随着其单调性定理下的压缩推广到“布尔模拟”的平均宽度。
2017-12-21 math.MG
Stability of the simplex bound for packings by equal spherical caps determined by simplicial regular polytopes
众所周知，任何欧氏单纯正则多胞形的顶点决定了相等球面球的最优填充。我们证明了这个结果的最优阶的稳定性版本。
2017-11-01 math.MG
Separating circles on the sphere by polygonal tilings
我们说，一个平铺分离盘的包装在欧几里德平面，如果每个瓷砖包含的只是一个成员的包装。证明圆盘的每一个局部有限填充都存在一个由凸多边形构成的分离镶嵌是一个已知的初等几何问题。在本文中，我们表明，这种分离性质仍然适用于球上和双曲平面的圆填充。此外，我们表明，在欧氏平面圆是唯一的凸盘，其包装与类似的副本总是可以分开的多边形平铺。类似的说法在球面上不成立，在双曲平面上也不知道。
2021-11-06 math.MG
Uniqueness and Symmetry in Problems of Optimally Dense Packings
我们分析了确定最优稠密包装的一般问题，在欧几里德或双曲空间，一些固定的有限集的机构的全等副本。我们强烈指导的例子，非周期平铺在欧几里得空间和一个新的家庭的例子在双曲平面的详细分析。我们的目标是了解定性的最优密度问题，特别是适当的意义的唯一性的解决方案，和对称性的作用，在分类最优稠密包装。
2018-07-09 math.DS math.MG
Hyperball packings in hyperbolic $3$-space
在以前的工作\cite{Sz06-1}，\cite{Sz06-2}，\cite{Sz13-3}和\cite{Sz13-4}中，我们研究了$n$维双曲空间$\HYN$（$ 3 \le n \in \mathbb{N})$）中全等超球（超球）对正则棱柱镶嵌的稠密填充和最小稠密覆盖.本文研究了$3$维双曲空间中的一大类超球（超球）填充，它们可以由截断单纯形镶嵌（如\cite{S14}，\cite{MPSz}）导出。显然，为了得到上述超球填充的密度上界，在局部确定密度上界就足够了，例如在截断单形中。因此，我们研究了截顶单形（即截顶四面体）中的超球填充，并证明了如果截顶四面体是正则的，则超球填充的密度是$\approx 0.86338$ .这比球和horoball（horospheres）\cite{B--F64}的Böröczky-Florian密度上限大，但我们的局部最优超球填充配置不能扩展到整个双曲空间$\mathbb{H}^3$。但是我们的正截四面体构造，在具有顶密度$\approx 0.82251$的扩展Coxeter群$[3, 3, 7]$下，似乎足够好（表1）。此外，我们还证明了与正$p$ -正棱柱镶嵌\cite{Sz06-1}相关的已知的超球堆积也可以由正截四面体镶嵌对偶实现.
2016-03-03 math.MG
On the multiplicity of arrangements of congruent zones on the sphere
Auburn University（奥本大学）；University of Szeged（塞格德大学）
研究球面上n个等距带的排列，证明当n足够大时，可安排n个合适宽度的等距带，使每个点至多属于常数个带；并展示用n个等距带覆盖球面，每个点至多属于A_d ln n个带，扩展了Frankl等人在三维中的结果。
2023-10-06 math.MG
On contact numbers of totally separable unit sphere packings
联系电话是接吻电话的自然扩张。本文给出了欧氏d-空间中n个单位球的全可分填充中的接触数的估计，其中n>1，d>1。
2015-09-18 math.MG
Bounding the density of spherical polygon packings
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；Universität zu Köln（科隆大学）
通过在光滑流形上的优化确定正则球面多边形的可能最优排列，利用扩展的Lovász theta数和代数准则，结合辛群SO(3)上的调和分析，将问题转化为半正定规划可解的三角和平方问题。
2026-04-23 math.MG math.OC
Characterization of the sphere by means of congruent support cones
Facultad de Matemáticas-Acapulco, Universidad Autónoma de Guerrero（格雷罗自治大学数学学院阿卡普尔科分部）
本文通过全等支撑锥的连续变换性质，证明了凸体为球体的充要条件。
2025-10-08 math.MG
The Formal Proof of the Kepler Conjecture: a critical retrospective
本文批判性回顾了开普勒猜想形式化证明项目，该项目源于1998年计算机辅助证明审稿延误，最终于2014年通过大规模合作完成。
2024-02-12 math.MG
The least dense hyperball covering to the regular prism tilings in the hyperbolic $n$-space
在研究了$n$维双曲空间$\mathbb{H}^n$（$n \in \mathbb{N}, n \ge 3)$）中全等超球对正则棱柱镶嵌的稠密填充之后，我们考虑了对偶覆盖问题，确定了最小稠密超球排列及其密度.
2013-12-09 math.MG
On the maximum size packings of disks with kissing radius 3
拉斯洛·费杰斯·托特和阿拉达·赫普斯提出了以下接吻数问题的推广。给定$\mathbb{R}^d$中的一个球，考虑一个球族与它接触，另一个球族与第一个球族接触。求出在这个排列中球的最大可能个数，条件是没有两个球相交于内部，并且所有球全等。他们表明，飞机上的磁盘的答案是$19$。他们还解释说，如果有三个家庭的磁盘，而不是两个，答案是$37$。本文证实了这一猜想。
2022-05-31 math.CO math.MG
Optimal Packings of Two to Four Equal Circles on Any Flat Torus
我们发现明确的公式半径和位置的圆在所有的最佳密集包装的两个，三个或四个平等的圆在任何平面环面，定义为商的欧几里得平面所产生的晶格由两个独立的向量。我们证明了最优的安排使用刚性理论和拓扑图论的技术。
2019-05-14 math.MG
Non-periodic geodesic ball packings to infinite regular prism tilings in $\SLR$ space
在\cite{Sz13-1}中，我们定义并描述了$\SLR$空间中的{ \it正则无限或有界} $p$-棱柱镶嵌.证明了对于整数参数$p,q;~3 \le p$，$ \frac{2p}{p-2} < q$，存在无穷多个正则无限$p$ -π面-面棱柱镶嵌$\cT^i_p(q)$和无穷多个正则有界$p$-π非面-面棱柱镶嵌$\cT_p(q)$.此外，在\cite{MSz14}和\cite{MSzV13}中，我们通过$\cT_p(q)$的指数为2的旋转子群确定了它的对称群，记为$\mathbf{pq2_1}$，并研究了相应的测地线和平移球填充.本文研究了正则无穷或有界$p$ -棱柱镶嵌的结构，证明了对于每个参数，其基图的侧曲线都是欧氏圆的弧。此外，我们还研究了由$\SLR$几何中的正无穷$p$ -正无穷面-面棱柱镶嵌$\cT^i_p(q)$导出的全等正非周期棱柱镶嵌的非周期测地球填充。我们发展了一个确定上述非周期最优测地球填充的密度的方法，并将此算法应用于它们。我们寻找上面的参数$p$和$q$，其中堆积密度尽可能大。现在，我们得到了$(p, q) = (29,3)$的最大密度$\approx 0.626606$，它大于相应的周期测地球填充在群$\mathbf{pq2_1}$下的最大密度.在我们的工作中，我们将使用由E. {Moln在\cite{M97}。
2014-03-13 math.MG
