一个尖锐的覆盖定理及欧几里得球的Solyanik估计
A sharp covering theorem and Solyanik estimates for Euclidean balls
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中文总结 AI 辅助
本文证明了一个尖锐的覆盖定理，解决了Han-Lu猜想，并据此确定了欧几里得球上非中心Hardy-Littlewood极大算子的最优Solyanik渐近行为及修正算子的弱型增长率和相关界。
中文摘要 AI 辅助
对于$\mathbb{R}^n$（$n\ge2$）中每一族有限的欧几里得球，以及每个$0<\delta<1/2$，我们选取一个子族，其$(1+\delta)$-膨胀覆盖原始并集，且未膨胀球的重复度至多为$C_n\delta^{-(n-1)/2}$。这证明了Han和Lu \cite{HL}所 conjectured 的覆盖估计。作为应用，我们确定了欧几里得球上非中心Hardy--Littlewood极大算子的最优Solyanik渐近行为\\[ \mathcal C_n(\alpha)-1\asymp_n(1-\alpha)^{2/(n+1)} \qquad(\alpha\uparrow1) \\]，这对应于Hagelstein和Parissis \cite{HP14}的猜想1(b)。对于修正的非中心极大算子，我们确定了当$k\downarrow1$时最优弱$(1,1)$增长率为$(k-1)^{-(n-1)/2}$，且对Radon测度一致成立。我们还获得了相应的$L^p$和Fefferman--Stein界。
英文摘要
For every finite family of Euclidean balls in $\mathbb{R}^n$, $n\ge2$, and every $0<δ<1/2$, we select a subfamily whose $(1+δ)$-dilations cover the original union and whose undilated balls have multiplicity at most $C_nδ^{-(n-1)/2}$. This proves the covering estimate conjectured by Han and Lu \cite{HL}. As an application, we determine the optimal Solyanik asymptotic \[ \mathcal C_n(α)-1\asymp_n(1-α)^{2/(n+1)} \qquad(α\uparrow1) \] for the uncentered Hardy--Littlewood maximal operator over Euclidean balls, which is Conjecture~1(b) of Hagelstein and Parissis \cite{HP14}. For the modified uncentered maximal operators, we determine the optimal weak $(1,1)$ growth rate $(k-1)^{-(n-1)/2}$ as $k\downarrow1$, uniformly over Radon measures. We also obtain the corresponding $L^p$ and Fefferman--Stein bounds.
发表机构
- Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）
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