A combinatorial proof of the supper symmetric property of hook length
Masanori Ando
$k$有多种长度的$k$钩，具有不同的臂长。实际上，这类$k$均匀地出现在大小为$n$的杨氏图中。“均匀出现”的性质称为超对称。给出了钩长超对称性的一个组合证明。
There are $k$ kinds of length $k$ hooks with different arm length. Actually, this $k$ kinds appear uniformly in Young diagrams of size $n$. The property ``appear uniformly'' is called super symmetric. We give a combinatorial proof of the supper symmetric property of hook length.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Some Combinatorial Properties of Hook Lengths, Contents, and Parts of Partitions
本文证明了韩国牛的一个猜想的推广，这个猜想最初是由Nekrasov和Okounkov的一个恒等式启发的。主要结果表明，n的分划p上的某些和，涉及p的钩长平方的对称函数，是n的多项式函数。对于n的内容和移位部分的对称函数，也得到了类似的结果。
Combinatorial families of multilabelled increasing trees and hook-length formulas
在这项工作中，我们介绍和研究的概念越来越多的标签树，其中的子节点的标签总是大于其父节点的标签，多标签树的家庭，在树中的节点可以得到多个标签的各种概括。对于所有的树类，我们通过微分方程的树枚举序列显示合适的生成函数的特征。此外，对于多标号增树族的几个组合类，我们提出了明确的枚举结果。我们还提出了多标记的增加树家族的椭圆性质，其中的指数母函数可以表示在Weierstrass-p函数或双纽线正弦函数。此外，我们将展示如何翻译枚举公式的multilabelled增加树到钩长公式的树，并提出了一个通用的“逆向工程”方法来发现钩长公式与这样的树家庭。
On the Hook Length Formula for Binary Trees
我们提出了一个简单的组合证明Postnikov的钩长公式的二叉树。
A combinatorial proof of a Weyl type formula for hook Schur polynomials
本文给出了Hook Schur多项式的Weyl型公式的一个简单的组合证明，该公式是利用$\frak{gl}_{m|n}$的Kostant型上同调公式得到的.一般地，我们可以用组合的方法得到李超代数的各种最高权表示的Weyl型公式，这些表示与一般的线性代数构成一个Howe对偶对.
On Han's Hook Length Formulas for Trees
最近，Han得到了二叉树的两个钩长公式，并要求进行组合证明。其中一个公式已推广到k元树杨。萨根找到了杨延拓的概率证明。给出了杨的k元树公式和韩的二叉树公式的组合证明。我们的双射是基于k元树的结构与楼梯标号。
A corollary of Stanley's Hook Content Formula
我们使用分区的钩子长度来定义两个矩形tableaux。我们证明这些tableaux有相等的多个条目，首先由初等组合参数，然后使用斯坦利的钩内容公式和对称多项式。
Hook Weighted Increasing Trees, Cayley Trees and Abel-Hurwitz Identities
最近Féray，Goulden和Lascoux通过推广标号树的Prüfer码给出了无序增树的一个新的Hook求和公式的证明，并提出了寻找加权增树和Cayley树之间的双射的问题。我们给这样一个双射，提供了一个答案所提出的问题Féray，Goulden和Lascoux以及显示组合连接到理论的树量定义的凯尔曼斯。此外，还给出了钩求和公式的两个简单证明.作为一个应用程序，我们描述了如何钩求和公式给出了一个组合证明的推广阿贝尔和赫维茨定理，最初证明了斯特列尔。
Hook formulas for skew shapes II. Combinatorial proofs and enumerative applications
成濑钩长公式是一个最近的通用公式的数量标准杨tableaux的斜形状，作为一个积极的总和超过激发图的产品钩长。在2015年，我们给出了两个不同的$q$ -Naruse公式的类似物：用于斜Schur函数，以及用于计数斜形状的反向平面划分。本文以边界条为例，给出了成濑公式的初等证明。对于特殊的边界带，我们得到好奇的新公式的欧拉和$q$ -欧拉数在某些戴克路径求和。
A combinatorial model for $\nabla m_μ$
由Garsia和Haiman（1996）引入的修正Macdonald多项式具有许多显著的组合性质。其中一类性质涉及将Bergeron和Garsia（1999）的$\nabla$算子应用于基本对称函数。这种类型的第一个发现是Haglund，Haiman，Loehr，Remmel和Ulyanov（2005）的洗牌猜想，它将表达式$\nabla e_n$与停车函数联系起来。这个猜想的一个改进，称为组合洗牌猜想，由Haglund，Morse和Zabrocki（2012）引入，并由Carlsson和Mellit（2015）证明。本文给出了一个将钩单项式对称函数与合成洗牌猜想中的算子联系起来的对称函数恒等式。这意味着一个停车功能解释nabla的钩单项对称函数，以及LLT的积极性。我们证明了我们的恒等式是一个$q$ -类似于由Kulikauskas和Remmel（2006）给出的钩子单项式到完全齐次对称函数的展开。我们使用这种连接来推测当$μ$不是钩子时以这种方式扩展$\nabla m_μ$的模型。
A multiset hook length formula and some applications
利用组合运算建立了整数分拆的多集钩长公式。作为特例，我们重新推导了三个钩长公式，其中两个是Nekrasov-Okounkov得到的，第三个是Iqbal，Nazir，Raza和Saleem利用拓扑顶点的循环对称得到的.本文还证明了一个多集钩含量公式。
On some new hook-content identities
在A. Vershik，我们引入两个新的组合恒等式。我们将展示如何使用这些身份来证明一个新的挂钩内容的身份。推导这个恒等式的主要动机是量子信息处理领域中的一个特殊的最优化问题。
Kronecker coefficients via the Giambelli identity for Schur functions
本文通过结合Littlewood的Schur函数恒等式和Giambelli恒等式，提出了一种研究Kronecker系数的框架，将问题转化为涉及钩形索引的交替和，并应用于特定分区的Kronecker系数的组合解释。
A sign-reversing involution for rooted special rim-hook tableaux
Egecioglu和Remmel用特殊的边钩图给出了逆Kostka矩阵K^{-1}的元素的解释。他们能够使用这种解释来给出KK^{-1}=I的组合证明，但不能对方程K^{-1}K=I做同样的证明。我们定义了一个符号反转的对合上有根特殊rim-hook tableaux，可以用来证明这第二个产品的最后一列是正确的。此外，根据Chow的建议，我们将对合与Gasharov的一个结果相结合，给出了Stanley和Stembridge的（3+1）-free猜想的一个特例的组合证明.
A bijective proof of the hook-length formula for standard immaculate tableaux
本文给出了在非交换对称函数研究中出现的标准完美图的钩长公式的一个直接双射证明。我们的证明是沿着Novelli，Pak和Stoyanovskii的组合证明的钩长度公式标准的杨tableaux的精神。
Hook length polynomials for plane forests of a certain type
研究钩长多项式的最初动机是为了找到Postnikov给出的二叉树钩长公式的组合证明，以及Lascoux给出的钩长多项式公式的证明。在本文中，我们定义了一个给定的度序列类型的平面森林的钩长多项式，并表明它可以分解成一个产品的线性型。文中还给出了森林的其它一些计数结果。
Discovering hook length formulas by expansion technique
我们介绍了钩子长度扩展技术，并解释了如何发现划分和平面树的新旧钩子长度公式。用我们的方法得到的树的新钩长公式证明起来相当容易，而划分的钩长公式则困难得多，其中有些公式至今仍是公开的。我们还开发了一个Maple软件包HookExp用于计算钩长展开。本文可以看作是一个收集的钩长公式的partitons和平面树。所有的例子都说明了HookExp和，对于许多简单的情况下，expained由著名的组合参数。
The weighted hook length formula
本文在[CKP]的基础上，引入了经典钩长公式分支规则的加权模拟，并给出了这一结果的两个证明。第一个证明是完全双射的，并在特殊情况下给出了钩长公式的一个新的简短的组合证明。我们的第二个证明是概率的，推广了Green-Nijenhuis-Wilf的（通常的）钩走证明，以及Kerov的q-行走。还提出了进一步的应用。
Character polynomials for two rows and hook partitions
对称群$\mathfrak{S}_n$的表示论具有非常独特的组合特征。共轭类和不可约特征标都用整数分区$λ\vdash n$来索引。我们引入类函数的$\mathfrak{S}_n$，计数的数量，某些平铺的杨图。计数解释给出了这些类函数在特征多项式环中的统一表达式，如\cite{murnaghanfirst}所定义的。在\cite{orellana-zabrocki}中给出了特征多项式的现代处理方法。我们证明了这些组合类函数之间的关系（虚拟）字符环。从这个关系式中，我们能够证明Gouffelt的生成函数恒等式\cite{goupil}，然后可以用它来推导Rosas的公式\cite{rosas}的钩形划分和两行划分的克罗内克系数。
Fixed hooks in arbitrary columns
本文将分拆第一列的不动点概念推广到任意列的固定钩，建立其与彩色分拆的组合联系，并给出多种分拆限制下按固定度分类的生成函数。
(k,m)-Catalan Numbers and Hook Length Polynomials for Plane Trees
由A.在Postnikov有关二叉树的基础上，我们定义了m元树和平面森林的钩长多项式，并证明了这些多项式有一个简单的二项式表达式。这个表达式的整数值是C_{k,m}（n）= \frac{1}{mn+1}{(mn+1)k \choose n}，我们称之为（k，m）-Catalan数。为了证明钩长公式，我们还引入了一个组合族，（k，m）-ary树，这是计数的（k，m）-Catalan数。
Proofs of two conjectures of Berkovich and Dhar on hook lengths
本文证明了 Berkovich 和 Dhar 关于有界划分中钩长系数的两个猜想的更强形式，通过组合和解析方法建立奇数划分与不同划分中钩对数量的不等式。
Hook-Length Biases in $t$-regular partitions
本文通过生成函数方法证明了t-正则划分中钩长度相关结果，并揭示了钩长度与不同部分划分之间的新联系。
A combinatorial interpretation of the noncommutative inverse Kostka matrix
该研究提出无瑕非交换对称函数展开为完全齐次非交换对称函数的组合公式，引入GBPR图与隧道钩，推广至斜形状及整数序列索引的无瑕函数，并拓展了Campbell的带状分解结果。
Superization and (q,t)-specialization in combinatorial Hopf algebras
我们扩展了一个经典的对称函数，超化过程，到几个组合霍普夫代数，并获得类似的钩内容公式的（q，t）-专业化的各种基地。利用树状结构产生特别是（q，t）-类似物的Bjorner-Wachs q-钩长度公式的二叉树，和类似的公式的平面树。
Hook lengths and 3-cores
最近，第一作者推广了Nekrasov和Okounkov的一个公式，该公式给出了某些幂级数的系数的一个关于划分的钩长的组合公式。在这个调查过程中，他证明了$A000731(n)=0$当且仅当$A033687(n)=0$。数字$A000731(n)$是根据分区的钩子长度给出的，而$A033687(n)$等于$n$的3核分区的数量。我们在这里证明这个猜想。
Hook length and symplectic content in partitions
$GL(n,\mathbb{C})$、$Sp(2n)$或$SO(n)$的不可约表示的维数由相应分区的相应钩长度和内容公式给出。第一作者受到Nekrasov-Okounkov公式的启发，对涉及钩长和辛/正交内容的类似表达式进行了组合解释。我们证明了这些代数的特殊情况。在这个过程中，我们表明，分区的$n$与所有辛内容非零是equinumerous分区的$n$到不同的甚至部分。我们也提出贝克型同伴这个身份。在这种情况下，我们给奇偶性的分区成不同的部分奇数（分别，甚至）的秩。研究了划分的二元表示中的钩长和与反演和之间的关系。此外，我们引入了一个新的分区统计，分区的$x$射线列表，并探讨其与不同的分区，以及分区最大限度地包含在一个给定的楼梯分区连接。
A generalization of RSK to $d$-complete posets
本文通过定义 Robinson-Schensted-Knuth 双射在 d-完全偏序集上的推广，给出了 d-完全偏序集钩长公式的一个初等纯组合新证明。
Equivariant Quantum Cohomology of the Grassmannian via the Rim Hook Rule
旗簇的（量子）上同调中的一个驱动问题是找到非递归的正组合公式，用于在一个特别好的基（称为舒伯特基）中表达两个类的乘积。Bertram、Ciocan-Fontanine和Fulton提供了一种方法来计算复n-空间中k-平面的格拉斯曼中Schubert类的量子乘积，方法是进行经典乘法，然后应用组合边缘钩规则产生量子参数。在本文中，我们提供了一个推广的边缘钩规则的设置，其中也有一个复杂的环面的行动。将此结果与Knutson和Tao的谜题规则相结合，给出了计算所有等变量子Littlewood-Richardson系数的有效算法。有趣的是，这条规则需要特殊化模n的环面权重，这表明与量子和仿射舒伯特演算相关的彼得森同构有直接联系。
Stack-Sorting, Set Partitions, and Lassalle's Sequence
我们表现出最近推出的组合对象之间的双射称为有效的钩子配置和某些加权集分区。当限制我们的注意力集分区匹配，我们得到三个新的组合解释拉萨尔序列。其中一种解释涉及在（西）堆栈排序映射下只有一个原像的排列。我们证明了由这些排列的第一个元素计数得到的序列是对称的，并推测它们是对数凹的。我们还获得了新的递归关系，涉及拉萨尔的序列和序列，列举了有效的钩配置。最后，我们对今后的工作提出几点建议。
An Elementary Proof of the Hook Content Formula
本文用归纳法证明了Hook含量公式（HCF）和Hook长度公式（HLF）。而不是直接与杨tableaux工作，我们引入了一个矢量符号（这些矢量的序列表示（“单票”）投票序列的情况下，SYT和“多票”投票序列-其中选民可以选择任何数量的候选人-在SSYT的情况下），以帮助归纳论证。接下来，我们建立一个身份，使我们能够证明一个公式，计算多票投票序列。我们证明，在非简并的情况下（当这个公式计数SSYT），它与HCF一致。为了做到后者，我们借用了威尔逊和范林特在他们的HLF证明中概述的技术的一部分。然后，我们建立一个恒等式，它实际上是上述方程的一个特例，并证明HLF可以从它推导出来（威尔逊和范林特直接证明了这个恒等式，并用它以类似的方式证明了HLF）。然后，我们注意到外观的一个表达式类似的Weyl尺寸公式，并得出结论与组合的结果。
Hook length biases and general linear partition inequalities
该研究对比奇分拆与互异分拆的固定长度钩数量偏差，证明2、3长钩的数量差异并提出一般猜想，同时建立互异分拆数的通用线性不等式，方法横跨解析与组合领域。
Combinatorial proofs of some properties of tangent and Genocchi numbers
切线数$T_{2n+1}$等于具有$2n+1$顶点的递增标号完全二叉树的数目。这种组合解释立即证明了$T_{2n+1}$可被$2^n$整除。然而，在伯努利数和Genocchi数的研究中已知更强的整除性，即$(n+1)T_{2n+1}$被$2^{2n}$整除。这一事实的传统证明需要大量的计算。在本文中，我们提供了一个组合的证明，后者整除使用树的钩长公式。此外，我们的方法被扩展到$k$ -ary树，导致一个新的推广的Genocchi数。
A new proof of an Eğecioğlu--Remmel inverse Kostka matrix problem via a Garsia--Milne involution involving Sym and NSym
本文通过引入隧道钩覆盖和反向双射，给出了Eğecioğlu--Remmel逆Kostka矩阵问题的全新证明，不同于Loehr和Mendes的结果。
Partitions with fixed points in the sequence of first-column hook lengths
本文研究整数分拆Young图第一列钩长序列中的不动钩，通过生成函数和组合证明进行计数，并建立其与部分大小等于重数的出现次数及五边形数定理截断等研究的联系。
Tree hook length formulae, Feynman rules and B-series
我们考虑树的加权生成函数，其中权重是子树的大小的函数的乘积。这项工作首先观察到，三个不同的社区，在很大程度上独立，发现基本上相同的结果，关于这些系列。我们统一这些结果与一个共同的推广。接下来，我们以两种不同的方式，将一个社区的见解用于另一个社区的问题。也就是说，我们使用的微分方程的角度来看，找到一些新的有趣的钩长公式的树木，我们使用的组合社区开发的例子的身体给量子场论玩具的例子与良好的性能。
A local framework for proving combinatorial matrix inversion theorems
本文提出递归组合结构下矩阵互逆的局部化证明框架，并以 Kostka 矩阵、对称群特征标表等应用给出新的规范双射证明。
Hook Length Biases in $t$-Core Partitions
本研究将钩长度偏倚理论扩展到t-核心分区，发现特定长度的钩数量存在偏倚关系。
Chromatic symmetric functions for annular webs
本文为环形网引入色对称函数，证明其对称性，推导钩子Schur系数公式，并引入网LLT函数，为HOMFLY--PT多项式系数提供组合表达式。
Symmetric Group Character Degrees and Hook Numbers
本文证明了对任意两个自然数k和j，以及对所有充分大的对称群Sym（n），存在k个Sym（n）的j个不可约特征标的不交集，使得每个集合由相同次数的特征标组成，不同的集合具有不同的次数。特别是，这解决了莫雷托最近提出的一个猜想。这里采用的方法是基于对称群的不可约特征和它们对应的分区之间的对偶性。因此，该文件是组合的性质。
Schur-hooks and Bernoulli number recurrences
本文利用 Schur 钩形函数的乘积展开、符号反转对合及 Hoffman 的多重调和级数结果，建立相关对称函数恒等式，并导出 Bernoulli 数的新递推式。
Hook formulas for skew shapes I. $q$-analogues and bijections
著名的钩长公式给出了一个产品公式的数量标准杨tableaux直的形状。2014年，成濑宣布了一个更通用的公式，用于计算标准的倾斜形状的杨氏图的数量，作为钩长乘积的激发图的正和。利用阶乘Schur函数和Hillman-Grassl对应的推广，分别给出了成濑公式的代数和组合证明.主要的新成果是两个不同的$q$ -类似物Naruse的公式：斜舒尔函数，并计数反平面分区的斜形状。我们建立明确的双射这些对象和家庭的整数数组与某些非零项目，这也证明了第二个公式。
An explicit expansion formula for the powers of the Euler Product in terms of partition hook lengths
我们发现了欧拉乘积（或Dedekind $η$ -函数）的幂$s$关于划分的钩长的显式展开式，其中指数$s$是任意复数. Euler，Jacobi，Klein，Schweinke，Atkin，Winquist，Dyson和Macdonald等对某些整数$s$导出了几个经典公式。特别地，Macdonald得到了存在$s$维半单李代数的整数指数$s$的展开式.对于类型$A_l^{(a)}$，他表示了欧拉乘积的$(t^2-1)$第一次幂，表示为任意整数$t$的长度为$t$的加权整数向量之和。Kostant已经考虑了任何正整数$s$的一般情况，并得到了进一步的性质。本文提出了一种新的方法。我们转换的加权向量的长度$t$麦克唐纳在他的身份类型$A_l^{(a)}$的加权分区与自由参数$t$，使后者的组合结构上的一个新的身份可以推导出没有任何限制$t$。令人惊讶的是，加权划分在划分的钩长度方面具有非常简单的形式。作为该公式的应用，我们得到了一些新的关于钩长的恒等式，包括“标记钩公式”。我们还改进了Kostant的一个结果。主要定理的证明基于$A_l^{(a)}$的Macdonald恒等式和Garvan，Kim和Stanton构造的$t$ -核与整数向量之间的双射的性质。
Playing jeu de taquin on d-complete posets
使用一个修改版本的jeu de taquin，Novelli，Pak和Stoyanovskii给出了一个双射证明的钩长公式计数标准杨tableaux的固定形状。本文考虑Jeu de Taquin到任意偏序集的一个自然扩张。给定一个偏序集P，jeu de taquin定义了一个从偏序集元素的双射标号集到偏序集的线性扩张集的映射，该偏序集元素的双射标号集具有$\{1,2,...,|P|\}$。一个特别有趣的问题是，对于哪些偏序集，这个映射产生每个线性扩张的频率相等。我们分析了双尾钻石偏序集$D_{m,n}$，证明了均匀分布的存在性当且仅当$D_{m,n}$是d-完全的.此外，我们观察到，扩展的钩长公式计数线性扩展的d-完全偏序集提供了一个组合的答案，一个看似无关的问题，即：给定一个均匀随机的标准杨表的固定形状，什么是期望值的最左边的条目在第二行？
A decomposition rule for certain tensor product representations of the symmetric groups
本文给出了对称群${\mathfrak S}_n$的两个不可约复表示的张量积（Kronecker积）在其中一个表示对应于一个钩子$(n-m, 1^m)$时的分解的一个组合规则.
Exploring a Delta Schur Conjecture
在\cite{HRW15}，Haglund，Remmel，威尔逊国家一个猜想，预测一个纯粹的组合方式获得对称函数$Δ_{e_k}e_n$。这就是所谓的Delta猜想。最近在\cite{GHRY}中证明了当$q=0$或$t=0$时Delta猜想成立。在本文中，我们完成了一项工作开始Remmel的最初目的是探讨对称函数$Δ_{s_ν} e_n$的相同方法开发的\cite{GHRY}。这里我们首先需要的是一种构造对称函数的方法，该对称函数可以被视为$t=0$的对称函数$Δ_{s_ν} e_n$的“组合侧”。基于在\cite{GHRY}中所发现的，我们阐明了这样一种构造机制。我们在这里证明，在情况下，$ν=(m-k,1^k)$与$1\le m< n$的平等的双方可以建立相同的方法中使用的\cite{GHRY}。虽然这项工作正在进行中，我们了解到，罗兹和Shimozono以前也建造了这样一个“组合的一面”。最近，Jim Haglund能够证明他们的猜想来自于\cite{GHRY}的结果。我们在这里表明，适当修改的Haglund参数证明，多项式$Δ_{s_ν}e_n$以及Rhoades-Shimozono的“组合侧”有一个plethystic评价钩舒尔函数扩展。
Another proof of Harer-Zagier formula
对于常规的$2n$ -gon，有$(2n-1)!!$方法来匹配和粘合$2n$侧面。Harer-Zagier二元生成函数通过$n$和伴随曲面的亏格$g$来枚举胶合，并导出了参数为$n$和$g$的胶合计数的递推方程。这个公式最初是由多维高斯积分得到的。不久之后杰克逊和后来Zagier发现替代证明使用的对称群字符。在本说明中，我们给出了一个不同的，基于字符的证明。其核心是计算和边缘逆傅里叶变换的基础概率测度$S_{2n}$。除了单钩图的Murnaghan-Nakayama规则，我们使用的计数技术是初等的，组合的性质。
A Geometric Characterization of Maximal Unrefinable Partitions via the Keith-Nath Transformation and Young Diagrams
本文通过Keith-Nath变换和Young图分析，提出了一种几何方法来表征最大不可细分划分的结构特性。
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