General adaptive rational interpolation with maximum order close to discontinuities
自适应有理插值作为一种新的非线性插值方法，在图像处理中被提出来，它可以避免在逼近不连续函数时出现的吉布斯现象。在这项工作中，我们提出了一个推广的方法，为任何顺序的算法的所有权重给出明确的表达式。它与加权本质不振荡（WENO）方法具有相似的性质，但由于加权WENO方法的权值设计更为简单，我们提出了一种新的方法来构造加权WENO方法，从而在不连续点附近获得最大阶。进行了一些实验来证明我们的结果，并与标准方法进行比较。
2020-10-02 cs.NA math.NA
Moving Least Squares Approximation using Variably Scaled Discontinuous Weight Function
在图像重建、信号处理、最优控制问题、界面问题、工程应用等领域中，经常会遇到具有间断的函数，因此对这些函数进行精确的逼近和插值是非常重要的。在本文中，我们设计了一个移动最小二乘方法的离散数据近似，其中包括不连续的权函数。这个想法是为了控制数据站点对近似的影响，不仅是关于它们与评估点的距离，而且关于基础函数的不连续性。在适当的{ \it分段}索伯列夫空间上给出了误差估计.数值实验结果与理论推导的收敛速度一致。
2023-02-06 cs.NA math.NA
Analysis of a mixed discontinuous Galerkin method for the time-harmonic Maxwell equations with minimal smoothness requirements
对求解时谐Maxwell方程组的Brezzi型混合间断Galerkin（DG）方法进行了误差分析. DG法误差分析的关键难点是精确解的切向迹或法向迹在计算网格的网格面上没有很好的定义。我们分两步克服了这个困难。首先，我们采用提升算子来取代网格面上的切向/法向迹线的积分的体积积分。第二，最佳的收敛速度证明了使用平滑插值是定义良好的仅仅是可积函数。作为我们的分析的副产品，一个明确的和容易计算的稳定参数。
2020-09-14 cs.NA math.NA
Variational analysis of the discontinuous Galerkin time-stepping method for parabolic equations
利用变分方法研究了求解抽象抛物型发展方程的间断Galerkin（DG）时间步方法。我们建立了DG双线性型的inf-sup条件或Babuška-Brezzi条件。作为推论，得到了该方法的一个近似最佳逼近性质和一个近似对称的误差估计。作为标准插值误差估计的直接应用，在适当的正则性假设下，得到了最优阶误差估计.我们的分析方法是新的DG时间步进法，它不同于以前的作品，该方法被制定为单步法。本文将抽象结果应用于多面体区域上具有时空变系数函数的二阶抛物型方程的有限元逼近，得到了几种范数下的最优阶误差估计.
2020-01-23 cs.NA math.NA
Non-hydrostatic mesoscale atmospheric modeling by the anisotropic mesh adaptive discontinuous Galerkin method
本文提出结合各向异性 hp-网格自适应的全隐式时空间断 Galerkin 方法，用于非静力中尺度大气建模，可在满足插值误差容差的同时最小化自由度，并通过多个基准验证性能。
2024-01-19 cs.NA math.NA
A hybrid interpolation ACA accelerated method for parabolic boundary integral operators
本文针对热方程边界积分方程离散后稠密分块下三角系统的快速求解，提出时间方向切比雪夫插值与空间方向自适应交叉近似（ACA）相结合的混合加速方法，并给出容差调整准则及数值验证。
2024-08-07 cs.NA math.NA
R-adaptive DeepONet: Learning Solution Operators for PDEs with Discontinuous Solutions Using an R-adaptive Strategy
本文提出R-自适应DeepONet，通过等分布原理将物理域变换到计算域并分别学习解映射与坐标变换，克服了DeepONet处理不连续解时的线性重构下界，实现超线性误差衰减。
2024-08-08 cs.NA math.NA
Superconvergence of discontinuous Galerkin method for scalar and vector linear advection equations
本文利用傅里叶分析研究了一维标量线性平流方程半离散间断Galerkin方法的超收敛性。本文给出了用$L_2$投影、Gauss-Radau投影和Cao等人提出的其它投影进行初始离散时的误差界和渐近误差。为了教学的目的，以两种不同的方式计算误差。在第一种方法中，我们计算的数值解和精确解的特殊插值之间的差异，并表明，它包括一个渐近误差的顺序$2k+1$和一个瞬态误差的较低的顺序。在第二种方法中，由Chalmers和Krivodonova，我们计算的误差直接分解成物理和非物理模式，并获得与第一种方法的协议。然后，我们扩展到矢量守恒律的分析，解决了使用拉克斯-弗里德里希通量。我们证明了超收敛具有相同的阶。通过对标量和矢量平流方程的数值实验，证明了该方法的误差界和渐近误差。
2021-01-31 cs.NA math.NA
A roadmap for Generalized Plane Waves and their interpolation properties
本文主要研究了基于偏微分方程的间断Galerkin方法的基函数在变系数波动边值问题数值求解中的应用。为了解决常系数问题，基于波的方法在文献中得到了广泛的研究：它们依赖于Trefftz函数的概念，即控制PDE的局部解，使用振荡基函数而不是多项式函数来表示数值解。广义平面波（GPW）是为解决变系数问题而开发的一种替代方法，在这种情况下，Trefftz函数不可用。以类似的方式，它们包含PDE的信息，但是它们只是近似的Trefftz函数，因为它们没有精确地求解控制PDE，而只是近似的PDE。考虑到Helmholtz方程之外的一组新的偏微分方程，我们建议为GPW的局部插值性质的构造和研究设定一个路线图。仔细识别的过程中的各个步骤，我们提供了一个算法来总结这些函数的建设，并建立必要条件，以获得相应的基的高阶插值性质。
2019-07-18 cs.NA math.NA
Mixed Finite Elements for Geometrically Exact Beams using Discontinuous Rotations and Discrete Curvature
Johannes Kepler University Linz（林茨约翰·开普勒大学）；University of the Bundeswehr Munich（慕尼黑联邦国防军大学）
本文提出了一种新的混合有限元形式，用于几何精确（Simo-Reissner）梁，引入了力矩向量作为额外的独立场。该混合形式允许在元素局部进行不连续的旋转近似，这对于简单高效的离散化框架至关重要。离散曲率的概念为旋转不连续性提供了数学上一致的处理方法。对于线性本构定律，混合形式通过曲率相关应变能的Legendre变换推导得出。通过相对旋转的乘法拆分保持离散层面的客观性；路径独立性内置于总Lagrangian设置中，并通过数值验证。多个基准测试显示了最优收敛率和精度，无论梁的细长比和近似阶数如何。值得注意的是，最低阶元完全避免了旋转插值，仅使用元素常数旋转。
2026-07-10 cs.NA math.NA
On the Use of RBF Interpolation for Flux Reconstruction
通量重建提供了一个框架，用于解决偏微分方程中的功能是不连续的元素内近似。通常，这通过使用多项式来完成。在这里，使用径向基函数作为一种方法，基本的功能近似探讨在一维，使用分析和数值方法。在一定的网格密度下，径向基函数通量重建优于多项式通量重建，并且随着径向基函数网格宽度的增加，网格密度的范围变得更细。一种方法，避免了不良的条件下，平坦的径向基函数被用来测试范围广泛的基础形状，并在非常小的值，多项式的行为被恢复。改变的解决方案点的位置被发现有一个效果类似于多项式FR，与高斯-勒让德点是最有效的。改变职能中心的位置被认为对业绩的影响非常小。对于非线性伯格斯方程也确定了类似的行为。
2022-01-05 cs.NA math.NA
On the error propagation of semi-Lagrange and Fourier methods for advection problems
本文研究对流方程数值格式在要求高精度情况下的误差传播。所考虑的数值方法是基于快速傅里叶变换，多项式插值（半拉格朗日方法使用拉格朗日或样条插值），和一个不连续的Galerkin半拉格朗日方法（这是保守的，每个单元格存储一个以上的值）。我们证明，通过进行数值实验，在文献中给出的最坏情况下的误差估计的插值为基础的半拉格朗日方法的误差传播提供了一个很好的解释。对于间断Galerkin半拉格朗日方法，然而，我们发现，半拉格朗日误差估计的特性（即误差成比例地增加的时间步长的数目）是没有观察到的。我们提供了这种行为的解释，并进行数值模拟，证实了不同的定性特征的错误，在两个各自类型的半拉格朗日方法。基于快速傅里叶变换的方法是精确的，但是由于舍入误差，容易受到时间步长数目中的误差的线性增加的影响。我们将展示如何修改的Cooley-Tukey算法，以获得一个误差的增长是成比例的时间步长的数量的平方根。最后，我们表明，对于一个简单的模型，我们的结论是正确的，如果平流求解器被用作分裂计划的一部分。
2014-06-07 cs.NA math.NA
Local and Dimension Adaptive Sparse Grid Interpolation and Quadrature
本文提出了一种局部和维数自适应的稀疏网格方法，用于高维间断函数的插值和积分。该算法结合了广义稀疏网格算法和层次剩余引导局部自适应的优势。一个高度的基础是用来获得一个高阶的方法，给予足够的光滑度，执行显着优于分段线性基础。底层的广义稀疏网格算法greetly选择的维度和变量的相互作用，最有助于一个功能的可变性。稀疏网格内的分层盈余点被用作局部细化的误差标准，其目的是将计算工作集中在快速变化或不连续的区域内。这种方法限制了在高维域中投资于“不重要”维度和区域的点的数量。我们展示了所提出的方法的实用性与数百个变量的非光滑函数。
2011-09-30 cs.DS cs.NA math.NA
A Parallel and Adaptive Mesh-Free Method for Discontinuous Coefficient Fields in Heterogeneous Porous Media
Florida State University（佛罗里达州立大学）；North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
提出一种并行自适应无网格近似（PAM）框架，通过径向基函数和Shepard归一化逼近不连续系数场，实现网格无关的连续表示，并利用稀疏回归和自适应细化提高精度，在达西流模拟中验证了准确性、可扩展性和下游影响。
2026-05-29 cs.NA math.NA
Non-linear Partition of Unity method
该研究提出融合径向基函数插值与WENO算法的非线性单位分解法，通过动态权重、光滑性指示器等提升不连续与光滑区域的插值精度，推导误差界并经数值实验验证有效性。
2025-01-16 cs.NA math.NA
A novel fourth-order WENO interpolation technique. A possible new tool designed for radiative transfer
上下文一些数值问题需要插值的离散数据，提出了各种类型的不连续性。辐射传递是这类问题的一个典型例子。这就需要高阶良好的技术来插值光滑和不连续的数据。目的。最后的目的是提出新的技术，适用于应用程序的背景下，数值辐射传输。方法.我们提出并测试了两种不同的技术。本质不振荡（ENO）技术基于不同的基元生成多个候选插值。最平滑的候选插值是从局部平滑度的测量中确定的，从而实现基本的非振荡特性。加权ENO（WENO）技术使用所有候选子空间的凸组合，以在光滑区域获得高阶精度，同时保持本质不振荡的性质。特别是，我们已经概述并测试了一种新的性能良好的四阶WENO插值技术的均匀和非均匀网格。结果数值试验证明，四阶WENO插值保证了插值函数在光滑区域的四阶精度。在不连续性的存在下，四阶WENO插值使非振荡属性，避免振荡。与Bézier插值和单调高阶Hermite插值不同，它不会退化为插值函数的光滑极值附近的线性插值.结论.新的四阶WENO插值保证了在光滑区域的高精度，同时有效地处理不连续性。这种插值技术可能特别适合于几个问题，包括一些辐射传输的应用，如多维问题，多重网格方法，和形式解。
2021-10-22 astro-ph.SR cs.NA math.NA
Hybridizable Discontinuous Galerkin Methods for Helmholtz Equation with High Wave Number. Part I: Linear case
本文讨论了高频下Helmholtz方程阻抗边界条件的线性杂交间断Galerkin方法（HDG）的几个方面。首先，给出了精确解$u$及其负梯度$\mathbf{q}=-\nabla u$的HDG近似的与波数$k$显式相关的误差估计.它表明，$k\Vert u - u_h \Vert_{L^2(Ω)} + \Vert \mathbf{q} -\mathbf{q}_h \Vert_{L^2(Ω)} = O(k^2h^2+k^4h^3)$的条件下，$k^3h^2$是足够小的，惩罚参数$τ\eqsim k$，其中$h$是网格尺寸。注意到$\mathbf{q}_h$的收敛阶是满的，污染误差是$O(k^4h^3)$，改进了已有的结果.其次，通过使用一个标准的后处理程序，从椭圆问题的HDG方法，得到一个分段二次函数$u_h^*$，使$k\Vert u-u_h^*\Vert_{L^2(Ω)}=O(k^3h^3+k^4h^3)$。请注意，后处理过程仅改善了插值误差（从$O(k^2h^2)$到$O(k^3h^3)$），但污染误差$O(k^4h^3)$保持不变。第三，色散分析和大量的数值试验表明，通过选择适当的惩罚参数，在一维情况下可以完全消除污染效应，在二维情况下可以大大减小污染效应。第二部分研究了高阶HDG方法求解高波数Helmholtz方程的前渐近误差分析。
2020-04-30 cs.NA math.NA
Improved $L^2$-error estimates for the wave equation discretized using hybrid nonconforming methods on simplicial meshes
University of Minnesota（明尼苏达大学）；CERMICS, ENPC, Institut Polytechnique de Paris（法国国立桥路学校高等数学与计算机科学中心，巴黎理工学院）；SERENA Project-Team, Centre Inria de Paris（巴黎Inria研究中心SERENA项目组）
针对一阶形式波动方程，研究采用杂交非协调类方法离散时的$L^2$误差估计，分别得到等阶、混合阶设置下的超接近与最优误差界，同时给出新型插值算子的独立逼近结果。
2025-11-17 cs.NA math.NA
Adaptive Sparse-grid Discontinuous Galerkin Approximations to the Bhatnagar--Gross--Krook Model
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；The University of Tennessee（田纳西大学）
本研究针对BGK动力学模型提出自适应稀疏网格DG方法，通过混合插值策略保证离散碰撞算子守恒，在流体与稀薄流态下准确求解，并将自由度减少数倍至数个数量级。
2026-10-26 cs.NA math.NA
Pressure-robust $hp$-a posteriori error estimates of $\boldsymbol{H}(\mathrm{div})$-conforming discontinuous Galerkin methods for the Stokes equations
Inria（法国国家数字技术研究院）；CERMICS, CNRS, ENPC, Institut Polytechnique de Paris（巴黎高等师范学院、国立信息与自动化研究所、巴黎理工学院）；School of Mathematical Sciences（东方理工学院数学科学学院）；Eastern Institute of Technology（香港城市大学数学系）；Department of Mathematics, City University of Hong Kong
针对二维和三维多面体Lipschitz区域上斯托克斯问题的\(\boldsymbol{H}(\mathrm{div})\)协调间断伽辽金方法，设计并分析压力鲁棒的基于残差的\(hp\)后验误差估计器，给出速度误差界，分析依赖误差分解，数值结果验证其性能。
2026-07-07 cs.NA math.NA
Superconvergence of a discontinuous Galerkin method for fractional diffusion and wave equations
KFUPM（国王法赫德国立石油与矿产大学）；The University of New South Wales（新南威尔士大学）
针对分数阶扩散和波动方程，提出时间不连续Galerkin与空间协调有限元结合的数值方法，证明在时间网格适当加密下解在时间层上具有超收敛性，并通过后处理推广到任意时间点。
2012-06-12 cs.NA math.NA
$C^{\infty}$ rational approximation and quasi-histopolation of functions with jumps through multinode Shepard functions
针对直方插值在等距节点网格上的 Runge 现象和逼近不连续函数时的 Gibbs 现象，本文提出一种 $C^{\infty}$ 有理拟直方插值算子，通过多节点 Shepard 函数混合局部多项式来同时克服这两种现象并重构函数，数值实验验证了其准确性。
2025-08-09 cs.NA math.NA
Mapping for Approximation: A Unified View of Rescaled, Variably Scaled and Rational Kernel Methods
University of Padova（帕多瓦大学）；Selcuk University（塞尔丘克大学）
本文提出通过保持采样值不变、利用映射修改表示的统一视角，将重缩放径向基函数、变尺度核、映射基与有理核展开等逼近方法纳入同一框架，并总结其逼近与稳定性性质，数值实验验证了常数再现、误差降低及龙格现象抑制等效果。
2026-09-09 cs.NA math.NA
How to prove the discrete reliability for nonconforming finite element methods
自适应有限元法的最优收敛速度是根据自适应性公理来理解的。一个关键因素是基于残差的后验误差估计的离散可靠性，该估计控制基于两个嵌套三角剖分的两个离散有限元解的误差。在非连续有限元法的误差分析中，如Crouzeix-Raviart或Morley有限元格式，不连续逼近的分段导数对整体Sobolev函数的分布梯度的差起着主导作用，是本文的研究对象。在Ciarlet意义上的上述的插值有限元的定义自然而来的插值算子，允许稳定性和近似性质，使得能够直接证明监测平衡条件的残差的可靠性。本文的新方法是建议的右逆插值算子在符合分段多项式设计一个粗略的网格近似的精确三角剖分的一个新的近似。本文的结果允许简单的证明在任何空间维数和多连通区域的离散可靠性的一般形状规则三角剖分超过最新顶点平分的单形。特别注意的是在附录中列出的一些标准离散估计的最佳常数。
2019-11-05 cs.NA math.NA
GP-Recipe: Gaussian Process approximation to linear operations in numerical methods
本文提出GP-Recipe方法，利用高斯过程回归对数值方法中的线性运算进行高阶近似，并引入新核处理间断数据，在测试中相比传统有限差分提高了求解精度。
2025-06-06 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Optimal error estimates for non-conforming approximations of linear parabolic problems with minimal regularity
针对扩展时间边界条件下的一般线性抛物问题，提出时间隐式 Euler 与空间 Gradient Discretisation 结合的逼近方法，并在最小正则性条件下建立最优误差估计。
2023-08-21 cs.NA math.NA
