Monomials in arithmetic circuits: Complete problems in the counting hierarchy
我们考虑了两个问题的复杂性多项式的算术电路：测试是否存在一个单项式和计数单项式的数量。我们表明，这些问题是完整的子类的计数层次很少或根本没有已知的自然完整的问题。我们还研究了这些问题的电路计算多线性多项式。
2012-03-27 cs.CC
Polynomial Kernels for Weighted Problems
核化是利用参数化复杂性框架对NP难问题进行有效预处理的形式化方法。在核化的开放问题中，人们多次询问当由项目的数量$n$参数化时，是否存在子集和和背包的确定性多项式核化。我们通过使用Frank和Tardos（Combinatorica 1987）提出的一种数字压缩算法来肯定地回答这两个问题。这一结果首先由Marx和Végh（ICALP 2013）在内核化的背景下使用。我们进一步说明了它的适用性，多项式核也为几个研究良好的参数化问题的加权版本。此外，当参数化的不同项目的大小，我们得到一个多项式核子集和指数核背包。最后，我们还得到了多项式整数规划的核化结果。
2015-07-13 cs.CC
On the Hardness of Satisfiability with Bounded Occurrences in the Polynomial-Time Hierarchy
$ \newcommand{\eps}ε \newcommand{\NP}{\mathsf{NP}} \newcommand{\YES}{\mathsf{YES}} \newcommand{\NO}{\mathsf{NO}} \newcommand{\myminus}{\text{-}}\newcommand{\Bsat}{\mathsf{B}} \newcommand{\threesat}{\rm{3}\myminus\mathsf{SAT}} \newcommand{\gapthreesat}{\mathsf{\forall\exists}\myminus{\rm{3}}\myminus\mathsf{SAT}} $在1991年，Papadimitriou和Yannakakis给出了一个减少意味着$\NP$ -硬度近似问题$\threesat$有界的发生。他们的减少是基于扩展图。我们提出了一个模拟的多项式时间层次结构的基础上超集中器图的第二个层次的结果。这解决了Ko和Lin（1995）的一个未解决的问题，并且在导出多项式时间层次中的不可逼近性结果时应该是有用的。更准确地说，我们表明，给定一个$\gapthreesat$的实例，其中每个变量最多出现$\Bsat$次（对于某个绝对常数$\Bsat$），它是$Π_2$ -很难区分以下两种情况：$\YES$实例，其中对于对泛变量的任何赋…
2018-06-11 cs.CC
A Collapsible Polynomial Hierarchy for Promise Problems
本文将经典多项式层级推广至承诺问题，提出新的存在与全称算子定义，应用于BQP恢复已有层级，并证明了其在类似Karp-Lipton场景下的折叠性。
2023-11-20 cs.CC quant-ph
What's Up with Downward Collapse: Using the Easy-Hard Technique to Link Boolean and Polynomial Hierarchy Collapses
在过去的十年中，九篇论文已经获得了越来越强的后果，从布尔或有界查询层次结构崩溃的假设。这九篇论文的最后四篇论文实际上实现了向下崩溃-也就是说，它们表明高水平的崩溃会导致（以前认为的）较低复杂性水平的崩溃。例如，对于每个$k\geq 2$，现在已知如果$\psigkone=\psigktwo$，则$\ph=\sigmak$。本文综述了这九篇论文的历史、结果和技术-所谓的简单-困难方法。
1999-10-01 cs.CC
Polynomial-time kernel reductions
在计算复杂性的框架内，并在努力定义一个更自然的减少等价问题，我们调查最近推出的内核减少，减少对每个元素的一对独立的操作。本文详细介绍了核约简的局限性和用途。我们表明，核减少是弱于许多-一减少，并提供条件下，完整的问题存在。最终，等价类的数量和大小可以决定核约简的存在。我们留下未解决的多项式时间内核减少标准的复杂性类下的一个完整的问题的无条件存在。
2016-04-28 cs.CC
Diminishable Parameterized Problems and Strict Polynomial Kernelization
核化--一个数学上的关键概念，可证明有效的多项式时间预处理的NP难题--在参数化的复杂性中起着核心作用，并引发了广泛的研究。这部分是由于一个下界框架，该框架允许在NP $\nsubseteq$ coNP $/$ poly的假设下排除多项式大小的内核。在本文中，我们考虑核化的一个限制，但自然的变种，即严格的核化，其中不允许增加参数的减少实例（内核）超过一个附加常数。在陈，Flum和Müller的早期工作的基础上[理论计算。Syst.2011]和开发一个通用的和非常简单的框架，我们表明，各种FPT问题不承认严格的多项式核的P $\neq$ NP较弱的假设。特别是，我们表明，各种（多色）图问题和图灵机计算问题不承认严格的多项式内核，除非P $=$ NP。为此，我们使用的一个关键概念是可缩减问题;这些是参数化问题，允许在多项式时间内将输入实例的参数减少至少一个，从而输出等效的问题实例。最后，我们研究了严格内核的概念的放松，并揭示其局限性。
2017-08-25 cs.CC
Polynomial Kernelizations for MIN F^+Pi_1 and MAX NP
在许多地方已经观察到，常数因子可近似问题通常允许多项式甚至线性问题内核用于其决策版本，例如，顶点覆盖，反馈顶点集，三角形包装。虽然存在像装箱这样的例子，除非P = NP，否则不允许任何内核，但这两种多项式时间技术之间显然有很强的联系。我们通过证明两类突出的常数因子可逼近问题（即MIN F^+ NP和MAX NP）中所有问题的自然决策版本都允许多项式问题核来补充这一图景。MAX NP的一个子类MAX SNP中的问题被证明允许具有线性基集的核，例如，图的顶点的集合。这扩展了Cai和Chen（JCSS 1997）的结果，指出MAX SNP和MIN F^+ H_1中问题的标准参数化是固定参数可处理的，并补充了最近关于不允许多项式核化的问题的研究（Bodlaender et al. JCSS 2009）。
2011-12-13 cs.CC
An Introduction to Query Order
Hemaspaandra、Hempel和Wechsung [cs.CC/9909020]提出了以下问题：如果一个人被允许对两个不同的信息源中的每一个提出一个问题，那么一个人提出问题的顺序是否会影响一个人在给定的访问权限下可以解决的问题的类别？如果是这样，哪种顺序产生更大的计算能力？这些问题的答案已经被学习了--只要它们可以被学习而不需要解决多项式层次结构是否收敛--对于多项式层次结构和布尔层次结构。在多项式层次结构中，查询顺序从来都不重要。在布尔层次结构中，查询顺序有时并不重要，除非多项式层次结构崩溃，否则有时很重要。此外，查询顺序的研究在看似无关的领域产生了红利，例如瓶颈计算和等式的向下翻译。在这篇文章中，我们提出了一些关于查询顺序的中心结果。这篇文章是这样写的，以鼓励读者尝试他或她自己的手在证明这些结果中的一些。我们也给文学指针迅速增长的相关结果和应用。
1999-10-01 cs.CC
A note on the computational complexity of the moment-SOS hierarchy for polynomial optimization
本文研究了多项式优化的 moment-SOS 层次结构的计算复杂性，建立了保证多项式时间计算的代数与几何条件，补充并扩展了 Raghavendra & Weitz (2017) 的早期工作。
2023-05-24 cs.CC math.OC
On the Complexity of Robust Multi-Stage Problems in the Polynomial Hierarchy
研究了多阶段鲁棒最优化问题的计算复杂性。这些问题是用交替的最小/最大量词来表述的，因此自然落入多项式层次的更高阶段。尽管如此，几乎没有硬度结果相对于多项式层次是已知的。在这项工作中，我们研究了鲁棒两阶段可调和鲁棒可恢复优化预算的不确定性集的硬度。我们的主要技术贡献是引进了一种技术，专门证明$Σ^p_3$ -硬度等问题。我们强调连续和离散预算的不确定性之间的差异：在离散的情况下，确实是一个广泛的问题成为完整的第三阶段的多项式层次，特别是，这适用于TSP，独立集，顶点覆盖问题。然而，在连续的情况下，这不会发生，问题仍然存在于层次结构的第一阶段。最后，如果我们允许不确定性不仅影响目标，而且还影响多个约束，那么这种区别就会消失，甚至在连续的情况下，我们也会遇到层次结构第三阶段的困难。这表明，即使已经是NP完全的鲁棒问题仍然可以表现出列和行的不确定性之间的显着计算差异。
2023-03-21 cs.CC math.OC
High Degree Sum of Squares Proofs, Bienstock-Zuckerberg hierarchy and Chvatal-Gomory cuts
Chvatal-Gomory（CG）切割和Bienstock-Zuckerberg层次结构捕获了标准有界度Lasserre/Sum-of-Squares SOS层次结构无法捕获的有用的线性规划。在本文中，我们提出了一个新的多项式时间SOS层次的0/1问题的自定义子空间的高次多项式（而不是标准的子空间的低次多项式）。我们表明，新的SOS层次结构恢复Bienstock-Zuckerberg层次结构。我们的结果意味着一个线性规划，再现Bienstock-Zuckerberg层次作为一个多项式大小，有效的建设性扩展配方，满足所有恒定间距不等式。构造也非常简单，并且通过给出支持多项式来完全定义。此外，对于一类多面体（例如集合覆盖和包装问题），所得SOS层次结构在多项式时间内优化了由任何恒定轮CG切割产生的多面体，直到任意小的误差。可以说，这是第一个例子，不同的基函数可以在不对称的情况下，以获得一个层次的松弛。
2019-12-23 cs.CC cs.SC math.OC
BQP and the Polynomial Hierarchy
自量子计算早期以来，BQP和PH之间的关系一直是一个悬而未决的问题。我们提出的证据表明，量子计算机可以解决整个多项式层次之外的问题，通过将这个问题与电路复杂性，伪随机性和傅立叶分析的主题联系起来。首先，我们证明了存在一个Oracle关系问题（即，具有许多有效输出的问题），其在BQP中可解，但在PH中不可解。这也产生在量子对数时间中可解，但在AC 0中不可解的非预言关系问题。其次，我们表明，从PH分离BQP的预言决策问题将遵循广义线性Nisan猜想，我们在这里制定，这是可能的独立利益。最初的Linial-Nisan猜想（关于恒定深度电路的伪随机性）最近由Braverman证明，在开放了20年之后。
2009-10-25 cs.CC quant-ph
Hierarchies of Inefficient Kernelizability
Bodlaender等人（ICALP 2008）和Fortnow和Santhanam（STOC 2008）的框架允许我们在合理的复杂性理论假设下排除一系列问题的多项式核的存在。然而，也有一些问题没有被这个框架解决，包括图灵核的存在，例如将叶出分支（k）的“核化”为n个大小为poly（k）的实例上的析取。观察到图灵内核保持多项式参数变换，我们定义了一个内核化的硬度层次，类似于普通参数化复杂性的M-和W-层次，由PPT封闭的问题，似乎是从根本上很难有效的图灵内核化。我们发现，以前考虑的几个问题是完整的，我们的基本硬度类，包括最小的d-SAT（k），二进制NDTM停止（k），连接顶点覆盖（k），和团（k log n），团问题参数化的k log n。
2011-10-05 cs.CC cs.DS
The Entangled Quantum Polynomial Hierarchy Collapses
本文引入纠缠量子多项式层次结构QEPH，证明其坍缩至第二层且等于QRG(1)；还提出DistributionQCPH并证明其与QCPH等价，同时解决了PH和QCPH包含于QPH的开放问题。
2024-01-02 cs.CC quant-ph
Hilbert's Nullstellensatz is in the Counting Hierarchy
Cheriton School of Computer Science, University of Waterloo（滑铁卢大学切里顿计算机科学学院）
本文证明希尔伯特零点定理属于计数层级，并展示了通过构造常深算术电路族计算多元余式的方法。
2026-02-20 cs.CC cs.SC
Polynomial Turing Kernels for Clique with an Optimal Number of Queries
用于某些参数化问题的多项式图灵核$P$是一种多项式时间算法，其使用对$P$的oracle的查询来求解$P$，所述oracle的大小由参数中的某些多项式的上限限定。这里的术语“多项式”指的是查询大小的界限，因为任何内核的运行时间都需要是多项式。参数化复杂性中最重要的开放目标之一是了解多项式图灵核的适用性和局限性。由于任何固定参数的易处理问题都允许一定大小的图灵核，因此重点主要是确定哪些问题允许查询大小确实可以由某个多项式限制的内核。在本文中，我们采取了不同的方法，而是专注于图灵内核使用的查询数量，假设它仅限于使用多项式大小的查询。我们的研究集中在参数化复杂性研究的主要问题之一，团问题：给定一个图$G$和一个整数$k$，确定在$G$中是否存在$k$两两相邻的顶点.我们表明，由几个结构参数参数的团具有以下现象：-它承认多项式图灵内核使用的查询，即$O(n/\log^c n)$查询，其中$n$是图的总大小和$c$是任何常数。这甚至适用于一个非常严格的类型的图灵内核，我们称之为或内核。- 它不接受使用$O(n^{1-ε})$查询的多项式图灵内核，除非NP $\subseteq$ coNP/poly。为了证明上述第二项，我们开发了一个新的框架，用于限制多项式图灵核所需的查询数量。这个框架的灵感来自于Karp内核的标准下界框架，虽然它非常相似，但它仍然需要一些新颖的想法来允许它扩展到图灵设置。
2021-10-07 cs.CC cs.DS
A syntactic tool for proving hardness in the Second Level of the Polynomial-Time Hierarchy
在90年代，Immerman和Medina开始寻找语法工具来证明NP完全性。在他们的工作中，在几个结果中，他们猜想由一个二阶逻辑中的句子与一个一阶句子的连接所定义的问题的NP-完全性，必然意味着仅由二阶逻辑中的句子定义的问题的NP-完全性。这是有趣的，因为如果它是真的，它将证明Garey和Johnson在他的经典著作NP完备性中提出的限制启发式，其中大致说，在某些情况下，可以通过证明包含在A中的NP完备问题B来证明NP完备问题A。Borges和Bonet推广了Immerman和Medina的一些结果，并证明了Immerman-Medina猜想对许多复杂性类是成立的，当该猜想中的一阶句是泛句时.我们的工作将这个结果推广到多项式时间层次的第二层。
2017-07-28 cs.CC cs.LO
Positivity of the symmetric group characters is as hard as the polynomial time hierarchy
该研究证明对称群特征标零化判定为C_=P完全，特征标平方若非#P类则多项式谱系坍缩至第二层，且特征标正性判定在多一归约下PP完全、图灵归约下PH难。
2024-07-12 cs.CC math.CO math.RT
Equality cases of the Alexandrov--Fenchel inequality are not in the polynomial hierarchy
本文证明凸多面体上 Alexandrov–Fenchel 不等式等号条件的描述不在多项式层级中，除非多项式层级坍缩到有限层，首次给出该问题的计算复杂性困难性结果。
2024-07-23 cs.CC cs.CG cs.DM
On Polynomial Kernels for Integer Linear Programs: Covering, Packing and Feasibility
本文研究了整数线性规划的可行性判定问题，以及寻找覆盖和填充整数线性规划的好解问题的多项式核的存在性。我们的主要结果如下：首先，我们表明，ILP可行性问题承认没有多项式核化时，参数化的变量和约束的数量，除非NP \subseteq coNP/聚。这扩展到有限的情况下，有界变量的程度和有限数量的变量，每个约束，并覆盖和包装的ILP。其次，我们给出了覆盖ILP问题的多项式核化，当A是行稀疏的时，要求解Ax >= b，c^Tx <= k，由k参数化;这推广了具有0/1-变量和系数的特殊情况（d-命中集）的已知多项式核化。
2013-02-15 cs.CC cs.DS
The sum-of-squares hierarchy on the sphere, and applications in quantum information theory
本文研究了单位球面上最大化一个齐次多项式的问题及其平方和（SOS）松弛族。利用多项式核技术，我们得到了一个已知的收敛速度的Reznick和Doherty & Wehner的二次改进。具体来说，我们表明，收敛速率并不比$O(d^2/\ell^2)$在政权$\ell \geq Ω(d)$，其中$\ell$是层次和$d$的维度，解决了一个问题，在最近的论文中由德克拉克和劳伦特（arXiv：1904.08828）。重要的是，我们的分析也适用于球面上的矩阵值多项式，其在量子信息中的最佳可分态问题中具有应用。利用量子信息论中平方和与DPS层次之间的对偶关系，我们证明了我们的结果将Navascués，Owari & Plenio的收敛速度推广到非二次多项式.
2019-08-14 cs.CC math.OC quant-ph
An Extension of the Permutation Group Enumeration Technique (Collapse of the Polynomial Hierarchy: $\mathbf{NP = P}$)
本文的判别结果是二部图中所有潜在完美匹配的一个$\mathbf{P}$ -时间可划分性。这种划分是由潜在完美匹配中的缺失边引起的一组等价类。我们捕捉到的行为，这些丢失的边缘在多项式有界表示的指数许多完美匹配的图论结构，称为MinSet序列，其中MinSet是一个P-时间可重结构来自图论对应的生成集的对称群。这导致了所有类的多项式有界生成集，使得在多项式时间内枚举完美匹配成为可能。这个$\mathbf{\#P}$ -完全问题的顺序时间复杂度是$O(n^{45}\log n)$ .因此，我们证明了一个结果，甚至更令人惊讶的$\mathbf{NP = P}$，即$\mathbf{\#P}=\mathbf{FP}$，其中$\mathbf{FP}$是一类功能，$f: \{0, 1\}^* \rightarrow \mathbb{N} $，计算在多项式时间上的确定性模型的计算。
2017-10-30 cs.CC cs.DS
Characterizing the easy-to-find subgraphs from the viewpoint of polynomial-time algorithms, kernels, and Turing kernels
本文研究了与求子图有关的两个基本问题：（1）给定图G和H，Subgraph Test问H是否同构于G的一个子图;（2）给定图G，H和一个整数t，Packing问G是否包含t个与H同构的点不交子图。对于任意图类F，设F-子图检验和F-填充是H被限制在F中的两个问题的特殊情况。我们的目标是研究哪些类F使这两个问题在以下意义之一中变得易于处理：*（随机）多项式时间可解，* 承认多项式（多1）内核，或 * 承认多项式图灵内核（即具有自适应多项式时间过程，将问题减少到多项式数量的实例，每个实例的大小由解的大小多项式限制）。我们确定了一个简单的组合属性，这样，如果一个遗传类F有这个属性，那么F-包装承认一个多项式内核，并没有多项式（多一）内核，否则，除非多项式层次崩溃。此外，如果F不具有此性质，则F-包装是WK[1]-hard，W[1]-hard或Long Path-hard，证明它也不接受多项式图灵核。对于F-子图测试，我们证明了如果遗传类F的每个图都满足可以删除有界数目的顶点使得每个剩余分支的大小至多为2的性质，则F-子图测试在随机多项式时间内是可解的，否则是NP-难的.本文引入了一个组合性质，称为（a，b，c，d）-可裂性，并证明了：如果遗传类F中的每个图都具有这一性质，则F-子图测试具有多项式图灵核，并且它是WK[1]-硬的，W[1]-硬的，或长路径-硬的，否则，F-子图测试具有多项式…
2014-10-03 cs.CC cs.DS
A SUBSET-SUM Characterisation of the A-Hierarchy
该研究在参数化复杂性理论框架下，通过推广SUBSET-SUM问题，给出了作为多项式谱系参数化对应物的A谱系的全新刻画方式。
2024-09-12 cs.CC cs.LO
Oracle Separation between Noisy Quantum Polynomial Time and the Polynomial Hierarchy
本研究探究噪声量子电路复杂性类的神谕分离，证明恒定错误率下可分离NP，错误率为Ω(log n/n)时可分离PH，且恒定深度电路无需纠错，还推广了已有经典难度结果。
2024-05-14 cs.CC quant-ph
On the Pure Quantum Polynomial Hierarchy and Quantified Hamiltonian Complexity
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Paderborn University（帕德博恩大学）
本文证明了纯量子多项式层级的新包含关系、误差约简及与QPH的等价性，并首次研究量化哈密顿量复杂性，证明量化纯稀疏哈密顿量问题是pureQSigma完全的。
2025-10-07 cs.CC quant-ph
On the completeness of several fortification-interdiction games in the Polynomial Hierarchy
Università degli Studi di Milano（米兰大学）；Université de Montréal（蒙特利尔大学）；Università degli Studi di Torino（都灵大学）
本文研究了多项式层次中几种加固-干扰博弈的完备性，证明了多个问题在该层次中的完备性，为进一步研究保护-干扰博弈的完备性提供了基础。
2026-09-16 cs.CC cs.GT math.OC
Tight Sum-of-Squares lower bounds for binary polynomial optimization problems
我们给出了两个结果的平方和（SoS）/Lasserre层次的权力。对于二元多项式优化问题的程度$2d$和奇数变量$n$，我们证明了$\frac{n+2d-1}{2}$水平的SoS/Lasserre层次是必要的，以提供确切的最优值。这与Sakaue，Takeda，Kim和Ito最近的上限结果相匹配。此外，我们研究了Laurent的一个猜想，他考虑了一个没有整点的集合的线性表示。她证明了Sherali-Adams层次结构需要$n$级别来检测空整数外壳，并证明了同一问题的SoS/Lasserre等级是$n-1$。我们反驳了这个猜想，并推导出上下限的秩。
2016-05-10 cs.CC cs.DS
Polynomial Kernels for Interval Completion
本文首次为区间完成问题给出多项式核，通过参数保持归约到奇环横断，结合已知核得到随机化核（O(k^18)顶点）和确定性核（O(k^36)顶点）。
2026-10-08 cs.CC cs.DS
A LOCAL View of the Polynomial Hierarchy
该研究将经典计算复杂性方法拓展至分布式LOCAL模型，构建分布式多项式谱系并推广核心复杂性定理，证明该谱系无限，还提出用量词交替衡量问题局部性的新工具。
2025-09-04 cs.CC cs.DC cs.FL
Polynomial hierarchy, Betti numbers and a real analogue of Toda's theorem
户田在1989年证明了（离散的）多项式时间层次结构$\mathbf{PH}$包含在类$\mathbf{P}^{#\mathbf{P}}$中，即可以由图灵机在多项式时间内决定的语言类，该图灵机可以访问具有计算计数复杂性类$#\mathbf{P}$中的函数的能力的预言。这个结果说明了计数的力量，被认为是计算复杂性理论中的一个开创性的结果。到目前为止，在实数上的复杂性理论（在Blum-Shub-Smale真实机器的意义上）中还没有类似的结果。在本文中，我们制定和证明一个真正的模拟户田定理。不像户田的证明在离散的情况下，这依赖于复杂的组合参数，我们的证明是拓扑的性质。由于我们的技术，我们也能够涉及到计算硬度的两个非常好的研究问题，在算法半代数几何-即问题的决定句子在一阶理论的实数与常数数量的量词交替，并计算贝蒂数的半代数集。我们得到了一个多项式时间减少的第一个问题的紧凑版本的第二个。后者的结果可能是独立的兴趣，研究人员在算法半代数几何。
2010-01-09 cs.CC math.AT math.CO
