AI 中文总结
本文首次为区间完成问题给出多项式核，通过参数保持归约到奇环横断，结合已知核得到随机化核（O(k^18)顶点）和确定性核（O(k^36)顶点）。
AI 中文摘要
区间图是实线上区间族的交图。\textsc{区间完成}询问给定图是否可以通过添加至多$k$条边转化为区间图。尽管当以$k$为参数时该问题是固定参数可处理的，但它是否承认多项式核长期以来一直是一个开放问题。我们通过给出\textsc{区间完成}的第一个多项式核来解决这个问题。我们的主要贡献是一个从\textsc{区间完成}到\textsc{奇环横断}（OCT）的参数保持多项式时间归约。将此归约与已知的OCT的随机化和确定性多项式核以及一个从OCT回到\textsc{区间完成}的多项式时间归约相结合，我们获得了一个具有$\widetilde O(k^{18})$个顶点和$\widetilde O(k^{36})$条边的随机化核，以及一个具有$O(k^{36})$个顶点和$O(k^{72})$条边的确定性核。这里，$\widetilde O$抑制了$k$中的多对数因子。
英文摘要
An interval graph is the intersection graph of a family of intervals on the real line. \textsc{Interval Completion} asks whether a given graph can be transformed into an interval graph by adding at most $k$ edges. Although the problem is fixed-parameter tractable when parameterized by $k$, whether it admits a polynomial kernel has long been an open question. We resolve this question by giving the first polynomial kernel for \textsc{Interval Completion}. Our main contribution is a parameter-preserving polynomial-time reduction from \textsc{Interval Completion} to \textsc{Odd Cycle Transversal} (OCT). Combining this reduction with the known randomized and deterministic polynomial kernels for OCT and a polynomial-time reduction back to \textsc{Interval Completion}, we obtain a randomized kernel with $\widetilde O(k^{18})$ vertices and $\widetilde O(k^{36})$ edges, and a deterministic kernel with $O(k^{36})$ vertices and $O(k^{72})$ edges. Here, $\widetilde O$ suppresses polylogarithmic factors in $k$.
