Kernelization Lower Bounds for Finding Constant-Size Subgraphs
核化是参数化算法中的一个重要工具。给定一个带有参数的输入实例，目标是在多项式时间内计算同一问题的等价实例，使得简化实例的大小仅取决于参数，而不取决于原始实例的大小。在本文中，我们提供了第一个概念性研究的限制核几个多项式时间可解问题。例如，我们考虑的问题，找到一个三角形与负的边权重参数化的最大程度的输入图的总和。我们证明了这个问题的线性时间可计算的严格内核的真正次立方的大小违反了流行的APSP猜想。
2018-10-22 cs.CC cs.DM cs.DS
Uniform Kernelization Complexity of Hitting Forbidden Minors
F-Minor-Free Deletion问题要求，对于固定集合F和由图G和整数k组成的输入，是否可以从G中移除k个顶点，使得所得图不包含F的任何成员作为子图。本文分析了在何种程度上可证明有效和高效的预处理是可能的F-小自由删除。Fomin等人（FOCS 2012）证明了特殊情况平面F-删除（当F包含至少一个平面图时）对于某些函数f和g具有大小为f（F）* k^{g（F）}的核。多项式的次数g增长得非常快;它甚至不知道是可计算的。Fomin等人对平面F-删除是否具有大小均匀多项式的核，即，形式为f（F）* k^c，对于某个不依赖于F的普适常数c。我们在本文中的结果是双重的。(1)我们证明了一些平面F-删除问题没有一致的多项式内核（除非NP是在coNP/poly）。特别地，我们证明了Treewidth-Eta Deletion对于任何eps > 0都不具有O（k^{eta/4} - eps）顶点的核，除非NP在coNP/poly中。事实上，我们甚至证明了较大参数顶点覆盖数的核化下界。这解决了Cygan等人的一个未决问题（IPEC，2011年）。这是一个自然的问题是否进一步限制F导致一致多项式核。然而，我们证明了，即使当F包含一个路径，多项式的程度必须，在一般情况下，取决于集合F。(2)当F包含路径时，一个规范的F-Minor-Free Deletion问题是Treedepth-eta…
2015-02-13 cs.CC cs.DS
Smaller parameters for vertex cover kernelization
我们重新讨论顶点覆盖的多项式核与结构参数的关系。我们的出发点是Fomin和Strømme最近的一篇论文[WG 2016]，他们给出了一个具有$\mathcal{O}(|X|^{12})$顶点的核，当$X$是一个顶点集，使得$G-X$的每个连通分量最多包含一个循环，即，$X$是假森林的调节剂。我们通过使用调制器将这一结果强有力地推广到$d$ -准森林，即，图，其中每个连通分量具有大小至多为$d$的反馈顶点集，并获得具有$\mathcal{O}(|X|^{3d+9})$顶点的核。我们的结果依赖于证明$d$ -拟森林中的最小阻塞集的大小至多为$d+2$。这个界是紧的，并且在内核的位大小上存在$\mathcal{O}(|X|^{d+2-ε})$的相关下界。事实上，我们也得到了更一般的图类的最小阻塞集的界：对于$d$ -拟二部图，其中每个连通分支可以通过删除最多$d$顶点而成为二部图，我们得到了$d+2$顶点的相同紧界。对于图的连通组件每个有一个顶点覆盖的成本最多$d$超过最好的分数顶点覆盖，我们称之为$d$ -拟积分，我们表明，最小阻塞集的大小最多$2d+2$，这也是紧的。与现有的随机多项式核化相结合，这导致调制器的随机多项式核化为$d$ -准二部图和$d$ -准整数图。对于这样的内核的位大小，存在$\mathcal{O}(|X|^{d+2-ε})$和$\mathcal{O}(|X|^{2…
2017-11-13 cs.CC cs.DS
On Kernelization for Edge Dominating Set under Structural Parameters
在NP-硬边支配集问题（EDS）中，给定一个图$G=(V,E)$和一个整数$k$，需要确定是否存在一个至多由$k$条边组成的集合$F\subseteq E$，该集合与$G$的所有（其它）边关联。这是已知的，这个问题是固定参数易处理的，并承认一个多项式核时，参数由$k$。这个参数的一个警告是它需要很大，即，至少等于$G$的最大匹配的大小的一半，例如不是平凡负的。出于这一动机，我们研究了EDS的多项式核的存在时，可能比$k$小得多的结构参数参数进行参数化。不幸的是，乍一看，这看起来相当无望：即使当通过删除距离参数化到长度为2的路径$P_3$的不相交并集时，也没有多项式核化（在标准假设下），排除了许多较小参数（如反馈顶点集大小）的多项式核。相比之下，有些令人惊讶的是，存在到长度为4的路径$P_5$的不相交并集的删除距离的多项式核化。作为我们的主要结果，我们完全分类的所有有限集$\mathcal{H}$的图形，是否在$|X|$的核大小多项式是可能的，当给定$X$，使每个连接组件的$G-X$是同构的图在$\mathcal{H}$。
2019-01-11 cs.CC cs.DS
On Polynomial Kernels for Sparse Integer Linear Programs
非线性规划（ILP）是一个广泛应用的框架，用于处理组合问题，出现在实践中。众所周知，例如，通过CPLEX的成功，预处理和简化可以大大加快优化ILP的过程。目前的工作旨在进一步的理论理解的预处理ILP的参数化复杂性和内核化的框架内发起了严格的研究。Lenstra（Mathematics of Operations Research，1983）的一个著名结果表明，任何n个变量m个约束的ILP的可行性都可以在O（c^{n^3} m^c '）时间内确定。因此，根据民间传说，任何这样的ILP都允许核化到大小为O（c^{n^3}）的等价实例。已知的是，除非NP \subseteq coNP/poly并且多项式层次崩溃，否则不可能具有n中的大小限制多项式的核化。然而，该下界仅适用于约束可能包括任意数量变量的情况，因为它遵循可满足性和命中集的下界，其有界元变量允许多项式核化。我们考虑了线性规划Ax<= b的可行性问题，其中A是由变量个数参数化的r行稀疏矩阵。我们发现，这个问题的核化强烈依赖于变量的范围。如果范围是无界的，那么这个问题不允许多项式核化，除非NP \subseteq coNP/poly。另一方面，如果每个变量的范围在n中是多项式有界的，那么我们确实得到了多项式核化。另外，这也适用于最大范围d是附加参数时的更一般的情况，即，所获得的尺寸是n+d的多项式。
2013-02-15 cs.CC cs.DS
Preprocessing for Treewidth: A Combinatorial Analysis through Kernelization
树宽的概念在图问题的理论和实际研究中起着重要的作用。人们已经认识到，特别是在实际环境中，当计算一个图的树宽是非常宝贵的，首先应用一系列的预处理规则，简化和收缩it. This工作旨在证明严格的性能保证，这样的预处理规则，已知的和新的，通过研究它们的框架内的核化参数化的复杂性。已知的是，确定给定图G是否具有至多k的树宽的NP完全问题不允许多项式时间预处理算法将任何输入实例减少到k中的大小多项式，除非NP在coNP/poly中并且多项式层次结构崩溃到其第三级。因此，在本文中，我们考虑结构图的措施大于树宽，并确定是否有效的预处理可以缩小实例大小的多项式在这样的参数值。我们证明了给定树宽的实例（G，k），我们可以有效地将它的大小缩减到O（fvs（G）^4）个顶点，其中fvs（G）是G中最小反馈顶点集的大小.我们还可以证明一个降维为O（vc（G）^3）个顶点，其中vc（G）是最小顶点覆盖的大小。在参数化的复杂性的语言中，我们表明，树宽有一个多项式的内核参数化时，一个给定的反馈顶点集的大小，也由顶点覆盖的大小。相反，我们表明，树宽参数化的顶点删除距离到一个单一的集团，加权树宽参数化的顶点覆盖的大小，不承认多项式核化，除非NP是在coNP/聚。
2013-09-26 cs.CC cs.DS
Turing Kernelization for Finding Long Paths and Cycles in Restricted Graph Classes
NP-完全$k$ -路径问题询问给定的无向图是否具有长度至少为$k$的（简单）路径。我们证明了$k$ -路具有多项式大小的图灵核时，限制到平面图，有界度的图，无爪图，或$K_{3,t}$ -小的自由图的一些常数$t$。这意味着存在一种算法，给定属于这些图类之一的$k$ -路径实例$(G,k)$，当被给予对在单步的中求解$k$中的大小多项式的$k$ -路径实例的oracle的访问时，该算法在多项式时间内计算其答案。因此，$k$ -Path的难度可以被限制在其大小独立于总输入大小的子实例上，但是仅由参数$k$中的多项式限制。这些结果对比现有的超多项式下界的大小的传统内核的$k$ -路径问题，这些图形类：有没有多项式时间算法，减少任何实例$(G,k)$到一个单一的，等价的实例$(G',k')$的大小多项式的$k$，除非$NP \subseteq coNP/poly$。同样的正反结果适用于$k$ -循环问题，它要求存在长度至少为$k$的循环。我们的内核化方案是基于一种新的方法，称为分解查询减少。
2016-01-29 cs.CC cs.DS
Finding cuts of bounded degree: complexity, FPT and exact algorithms, and kernelization
匹配割是将图的顶点集划分为两个集合$A$和$B$，使得每个顶点在割的另一侧最多有一个邻居。匹配割问题是关于一个图是否有匹配割的问题，已经在文献中得到了深入的研究。受Komusiewicz等人[IPEC 2018]提出的一个问题的启发，我们引入了这个问题的一个自然推广，我们称之为$d$ -割：对于正整数$d$，$d$ -割是图的顶点集分为两个集$A$和$B$，使得每个顶点在割上至多有$d$邻居。我们推广（并在某些情况下，改善）匹配切割问题的一些结果。也就是说，我们开始与NP-硬度减少$d$ -切割$(2d+2)$ -正则图和多项式算法的最大程度最多$d+2$的图。硬度结果中的度界限不太可能得到改善，因为它将反驳内部分区上下文中的一个长期存在的猜想。然后，我们给FPT算法的几个参数：最大数量的边缘交叉切割，树宽，距离集群，距离共同集群。特别地，树宽算法改进了用于MATCHING CUT的最佳已知算法的运行时间。基于Komusiewicz等人[IPEC 2018]的技术，我们的主要技术贡献是针对每个正整数$d$的$d$ -CUT的多项式核，通过到聚类图的距离进行参数化。我们还排除了多项式核的存在时，同时参数化的边缘交叉切割，树宽，和最大程度的数量。最后，我们提供了一个精确的指数算法略快于天真的蛮力方法运行的时间$O^*(2^n)$。
2019-05-08 cs.CC cs.DS
Hierarchies of Inefficient Kernelizability
Bodlaender等人（ICALP 2008）和Fortnow和Santhanam（STOC 2008）的框架允许我们在合理的复杂性理论假设下排除一系列问题的多项式核的存在。然而，也有一些问题没有被这个框架解决，包括图灵核的存在，例如将叶出分支（k）的“核化”为n个大小为poly（k）的实例上的析取。观察到图灵内核保持多项式参数变换，我们定义了一个内核化的硬度层次，类似于普通参数化复杂性的M-和W-层次，由PPT封闭的问题，似乎是从根本上很难有效的图灵内核化。我们发现，以前考虑的几个问题是完整的，我们的基本硬度类，包括最小的d-SAT（k），二进制NDTM停止（k），连接顶点覆盖（k），和团（k log n），团问题参数化的k log n。
2011-10-05 cs.CC cs.DS
Elimination Distances, Blocking Sets, and Kernels for Vertex Cover
顶点覆盖问题在参数化复杂性的多项式核化研究中起着至关重要的作用，即，NP难问题的可证明和有效预处理的研究。出于各种各样的正面和负面的结果的顶点覆盖的核化受到不同的参数和图类，我们试图统一和推广他们使用所谓的块集，其中发挥了显式和隐式的作用，在许多结果。我们表明，在大多数研究的设置，删除集的大小参数化到一个指定的图形类$\mathcal{C}$，有界的最小块集的大小是必要的，但不足以得到一个多项式核化。在温和的技术假设下，有界最小阻塞集的大小表明，允许一个本质上紧有效的减少连接组件的数量。然后，我们确定确切的最大尺寸的最小块集的图形有界消除距离的任何遗传类$\mathcal{C}$，包括有界树深度的图形的情况。我们得到了类似的，但不紧的界限，某些非遗传类$\mathcal{C}$，包括类$\mathcal{C}_{LP}$的图的整数和分数顶点覆盖大小一致。这些界限允许我们导出顶点覆盖的多项式核，该顶点覆盖由删除集的大小参数化到有界消除距离的图，例如，森林图、二分图或$\mathcal{C}_{LP}$图。
2019-05-09 cs.CC cs.DS
Bridge-Depth Characterizes which Structural Parameterizations of Vertex Cover Admit a Polynomial Kernel
该研究引入新图参数bridge-depth，完整刻画了存在多项式核的、以输入图到 minor-闭图类的顶点删除距离为参数的顶点覆盖问题的minor-闭图族特征。
2023-07-24 cs.CC cs.DS math.CO
Limits of Kernelization and Parametrization for Phylogenetic Diversity with Dependencies
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；Dalhousie University（达尔豪斯大学）
本文研究了在存在依赖关系的系统多样性优化问题中，参数化复杂性及核化限制，证明了α-PDD在某些参数下不具有多项式核。
2026-02-13 cs.CC cs.DS
Kernelization dichotomies for hitting minors under structural parameterizations
LIRMM, Université de Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学 LIRMM 实验室）；Departamento de Computación, FCEyN, Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学 FCEyN 计算机系）
研究在结构参数化下，针对命中子图问题的多项式核存在性，给出了精确和近似多项式核的存在条件，并得到了一系列二分法结果。
2026-06-23 cs.CC cs.DS math.CO
Kernelization Dichotomies for Hitting Subgraphs under Structural Parameterizations
本文研究了$H$-SUBGRAPH HITTING问题在结构参数化下的多项式核存在性，提出了新图参数并证明了当$H$双连通时该问题存在多项式核当且仅当$H$是团的严格二分法。
2024-04-25 cs.CC cs.DS math.CO
Vertex Cover Kernelization Revisited: Upper and Lower Bounds for a Refined Parameter
多项式时间预处理研究中的一个重要结果表明，存在一个算法，给定顶点覆盖的实例（G，k），在多项式时间内输出等价实例（G '，k'），保证G'至多有2k'个顶点（从而O（（k '）^2）条边），k' <= k.使用参数化复杂度的术语，我们说k-顶点覆盖有一个2k个顶点的核。有复杂性理论的证据表明，2k个顶点和Theta（k^2）条边都是核大小的最佳选择。本文考虑了顶点覆盖问题中的最小反馈顶点集的大小fvs（G）。该细化参数在结构上小于与顶点覆盖数vc（G）相关联的参数k，因为fvs（G）<= vc（G），并且差值可以任意大。我们给出了顶点覆盖的一个核函数，它的顶点数在fvs（G）中是立方的：顶点覆盖的一个实例（G，X，k），其中X是G的一个反馈顶点集，可以在多项式时间内变换成一个等价的实例（G '，X'，k '），使得|V（G '）|<= 2k，|V（G '）|<= 0（|X'|^3）。当反馈顶点集X不与输入一起给出时，类似的结果成立。与此形成鲜明对比的是，我们表明，加权顶点覆盖问题没有一个多项式的内核时，由一个给定的顶点覆盖的图形的基数参数化，除非NP是在coNP/聚和多项式层次崩溃到第三级。
2013-09-26 cs.CC cs.DS
Preprocessing Subgraph and Minor Problems: When Does a Small Vertex Cover Help?
我们证明了一些结果围绕核化的问题参数化的输入图的给定顶点覆盖的大小。我们提供了三套简单的一般条件表征问题承认内核的多项式大小。我们的特征不仅给出了一般的解释存在的许多已知的多项式核的问题，如q-着色，奇循环transmittance，弦删除，Eta transmittance，或长路径，参数化的顶点覆盖的大小，但也意味着新的多项式核的问题，如F-未成年人免费删除，这是删除最多k个顶点，以获得一个图，没有从一个固定的有限集F未成年人。虽然我们的表征捕获了许多有趣的问题，但通过顶点覆盖参数化的核化复杂性景观涉及更多。我们证明了这一点的几个结果诱导子图和小包容测试，我们发现令人惊讶的。虽然它是已知的，测试诱导完全子图没有多项式内核，除非NP是在coNP/聚，我们表明，测试的问题，如果一个图包含一个完整的图t顶点作为一个未成年人承认一个多项式内核。另一方面，它是已知的，测试的路径t顶点作为一个未成年人承认一个多项式内核，但我们表明，测试的遏制诱导路径t顶点是不可能承认一个多项式内核。
2013-09-26 cs.CC cs.DS
Polynomial Kernels for Hitting Forbidden Minors under Structural Parameterizations
我们研究多项式时间预处理的问题，击中禁止未成年人在图中，使用核化的框架。对于一个固定的有限连通图集F，F-删除问题如下：给定一个图G和整数k，是否有可能从G中删除k个顶点，以确保所得图不包含任何来自F的图作为子图？Fomin、Lokshtanov、Misra和Saurabh [FOCS'12]的早期工作表明，当F包含平面图时，实例（G，k）可以在多项式时间内约简为大小为$k^{O(1)}$的等价实例。在这项工作中，我们专注于结构措施的复杂性的一个实例，目的是给非平凡的预处理保证的解决方案是大的实例。出于几个不可能的结果，我们parameterized的F-删除问题的顶点调制器的大小，其删除结果在一个图的恒定树深度$η$。我们证明了，对于每一个连接图和常数$η$，F-删除问题的树深度- $η$调制器的大小参数化有一个多项式核。我们的内核化是完全明确的，不依赖于突出减少或良好的准排序，这是在早期的作品F-删除算法的非构造性的来源。我们的主要技术贡献是分析如何在一个图G与调制器X的禁用子模型，与G-X的各种连通组件的相互作用。通过限制|X|中多项式可能发生的不同类型行为的数量，我们使用递归预处理策略获得多项式核。我们的研究结果扩展了早期的工作，如顶点覆盖和反馈顶点集的特定实例的F-删除。它还概括了较早的预处理结果的F-删除参数化的顶点覆盖，这是一个treedepth-one调制器。
2018-04-24 cs.CC cs.DS
Kernel Bounds for Path and Cycle Problems
像k-路径和k-不相交路径这样的连通性问题与参数化复杂性中的许多重要里程碑有关，即图子项目，颜色编码以及最近开发的用于获得核化下界的技术。这项工作探讨了存在的多项式核的各种路径和循环问题，考虑非标准参数化。当参数是一个给定的顶点覆盖，一个调制器的聚类图，或（承诺）最大叶数时，我们显示多项式核。我们通过交叉合成得到下界，例如，研究了外平面图的Hamilton圈及其相关问题。
2011-12-13 cs.CC cs.DS
FPT algorithms for generalized feedback vertex set problems
一个r-伪森林是一个图，其中每个组件可以通过删除最多r个边而成为森林，而一个d-准森林是一个图，其中每个组件可以通过删除最多d个顶点而成为森林。本文研究了删除最少顶点数得到r-伪森林和d-拟森林的参数化易处理性，推广了已有的反馈点集问题。首先给出了r-拟森林删除问题的改进FPT算法和核化结果，然后证明了d-拟森林删除问题也是FPT问题。
2019-12-15 cs.CC cs.DS
Optimal polynomial-time compression for Boolean Max CSP
在布尔最大约束满足问题- Max CSP $(Γ)$ -中，给定来自有限约束语言$Γ$的约束的加权应用的集合，在公共变量集上，并且目标是将布尔值分配给变量，使得满足的约束的总权重最大化。有一个优雅的二分法定理提供了一个标准$Γ$的问题是多项式时间可解的，并指出，否则它成为NP难。我们研究NP硬情况下，通过内核化的镜头，并提供了一个完整的表征最大CSP $(Γ)$的最佳压缩大小。也就是说，我们证明了最大CSP $(Γ)$参数化的变量$n$的数量是多项式时间可解的，或者存在一个整数$d \ge 2$依赖于$Γ$，使得1。\textsc{Max CSP$(Γ)$}的实例可以在多项式时间内压缩为具有$O(n^d\log n)$位的等效实例，2. Max CSP $(Γ)$不允许对$O(n^{d-ε})$位进行此类压缩，除非$\text{NP} \subseteq \text{co-NP} / \text{poly}$。我们的减少是基于解释约束多线性多项式结合框架的约束实现。作为我们的减少的另一个应用程序，我们揭示了解决最大CSP $(Γ)$的最佳运行时间之间的紧密联系。更确切地说，我们表明，获得的运行时间的形式$O(2^{(1-ε)n})$的特定类别的最大CSP是一样难突破这一障碍的最大$d$ -SAT的一些$d$。
2020-02-09 cs.CC cs.DS
On the Parameterized Complexity of Semitotal Domination on Graph Classes
本文研究半总支配集问题的参数化复杂性，证明其在二分图和分裂图上为W[2]-难，并在平面图上给出大小为358k的线性核。
2025-06-20 cs.CC
FPT is Characterized by Useful Obstruction Sets
许多图的问题首先被证明是固定参数的易处理的使用罗伯逊和西摩的结果图的子。我们表明，有限的，可计算的，障碍集和有效的顺序测试的组合不仅是一种方法，获得强一致的FPT算法，但所有的FPT可以被捕获以这种方式。我们的FPT的新特征与核化理论有很强的联系，因为我们证明了多项式核的问题可以由其元素具有多项式大小的障碍集来表征。因此，我们调查的问题内核的大小和这些障碍集的元素的大小之间的相互作用，获得几个例子，如何在一个领域的结果产生新的见解在其他。我们展示了如何指数大小的微小的最小障碍物的路径宽度k形成一个新的OR-交叉组合k-路径宽度的关键成分，补充平凡的AND-组合，这是已知的这个问题。在另一个方向，我们表明，OR交叉组合成一个参数化的问题，可以用来排除存在的有效生成的准订单的情况下，其特点是没有实例的多项式大小的障碍。
2013-05-14 cs.CC cs.DS
Computing Hitting Set Kernels By AC^0-Circuits
给定一个超图$H = (V,E)$，使$e \cap X \neq \emptyset$对所有$e \in E$成立的最小子集$X \subseteq V$是什么？这个问题被称为碰集问题，是参数化复杂性理论中的一个基本问题。有一些著名的核化算法，它得到一个超图$H$和一个数$k$作为输入，并输出一个超图$H'$，使得（1）$H$有一个大小为$k$的命中集当且仅当$H'$有这样一个命中集，以及（2）$H'$的大小仅取决于$k$和$H$中边的最大基数$d$。这些算法在多项式时间内运行，但具有高度的顺序性。最近，它已被证明，其中一个可以并行化到一定程度：一个可以计算击中集内核在并行时间$O(d)$ -但它被证明，这是最好的并行算法可能。我们驳斥了这一猜想，并展示了如何击中集内核可以计算在恒定的并行时间。对于我们的证明，我们引入了一个新的，广义的概念超图向日葵，并显示如何迭代的颜色编码技术的应用程序有时可以折叠成一个单一的应用程序。
2018-01-02 cs.CC cs.DS
Optimal Data Reduction for Graph Coloring Using Low-Degree Polynomials
核化理论可用于严格分析图着色问题的数据约简。在这里，我们的目标是将一个q-着色输入减少到一个等价的但更小的输入，其大小在结构属性方面是有界的，例如最小顶点覆盖的大小。本文解决了q-染色数据约简的两个公开问题。首先，我们得到一个比特大小为$O(k^{q-1}\log{k})$的核，用于顶点覆盖参数化的q-着色，对于任何q >= 3。假设NP不是coNP/poly的子集，该大小界限对于$k^{o(1)}$因子是最优的，并且改进了大小为$O(k^q)$的先前最佳内核。我们将这个结果推广到判定图G的q-可染性，也就是判定G到任意固定图H的同态的存在性。此外，我们可以用限制较少的参数twin-cover来代替参数顶点覆盖。证明了Twin-Cover参数化的H-染色有一个大小为$O(k^{Δ(H)}\log k)$的核.我们的第二个结果表明，3-着色不允许非平凡的稀疏化：假设NP不是一个子集的coNP/poly，参数化的顶点数n承认没有（广义）核的大小$O(n^{2-e})$为任何e > 0。以前，这样的下界只知道对于q >= 4色的着色。
2018-02-06 cs.CC cs.DS
