Polynomial Turing Kernels for Clique with an Optimal Number of Queries
用于某些参数化问题的多项式图灵核$P$是一种多项式时间算法，其使用对$P$的oracle的查询来求解$P$，所述oracle的大小由参数中的某些多项式的上限限定。这里的术语“多项式”指的是查询大小的界限，因为任何内核的运行时间都需要是多项式。参数化复杂性中最重要的开放目标之一是了解多项式图灵核的适用性和局限性。由于任何固定参数的易处理问题都允许一定大小的图灵核，因此重点主要是确定哪些问题允许查询大小确实可以由某个多项式限制的内核。在本文中，我们采取了不同的方法，而是专注于图灵内核使用的查询数量，假设它仅限于使用多项式大小的查询。我们的研究集中在参数化复杂性研究的主要问题之一，团问题：给定一个图$G$和一个整数$k$，确定在$G$中是否存在$k$两两相邻的顶点.我们表明，由几个结构参数参数的团具有以下现象：-它承认多项式图灵内核使用的查询，即$O(n/\log^c n)$查询，其中$n$是图的总大小和$c$是任何常数。这甚至适用于一个非常严格的类型的图灵内核，我们称之为或内核。- 它不接受使用$O(n^{1-ε})$查询的多项式图灵内核，除非NP $\subseteq$ coNP/poly。为了证明上述第二项，我们开发了一个新的框架，用于限制多项式图灵核所需的查询数量。这个框架的灵感来自于Karp内核的标准下界框架，虽然它非常相似，但它仍然需要一些新颖的想法来允许它扩展到图灵设置。
2021-10-07 cs.CC cs.DS
Polynomial kernels collapse the W-hierarchy
我们证明了，对于FPT类中的许多参数化问题，多项式核的存在意味着W-层次的崩溃（即，W[P] = FPT）。崩溃的结果也扩展到假设的指数核类FPT中的问题。特别是，我们建立了一个密切的关系多项式（和指数）核化和存在的次指数时间算法的频谱电路可满足性问题FPT。据我们所知，这是第一个工作，连接硬度多项式核FPT问题的参数化棘手。我们的工作也提供了一些新的见解类FPT。
2013-08-15 cs.CC cs.DS
On Polynomial Kernels for Integer Linear Programs: Covering, Packing and Feasibility
本文研究了整数线性规划的可行性判定问题，以及寻找覆盖和填充整数线性规划的好解问题的多项式核的存在性。我们的主要结果如下：首先，我们表明，ILP可行性问题承认没有多项式核化时，参数化的变量和约束的数量，除非NP \subseteq coNP/聚。这扩展到有限的情况下，有界变量的程度和有限数量的变量，每个约束，并覆盖和包装的ILP。其次，我们给出了覆盖ILP问题的多项式核化，当A是行稀疏的时，要求解Ax >= b，c^Tx <= k，由k参数化;这推广了具有0/1-变量和系数的特殊情况（d-命中集）的已知多项式核化。
2013-02-15 cs.CC cs.DS
Characterizing the easy-to-find subgraphs from the viewpoint of polynomial-time algorithms, kernels, and Turing kernels
本文研究了与求子图有关的两个基本问题：（1）给定图G和H，Subgraph Test问H是否同构于G的一个子图;（2）给定图G，H和一个整数t，Packing问G是否包含t个与H同构的点不交子图。对于任意图类F，设F-子图检验和F-填充是H被限制在F中的两个问题的特殊情况。我们的目标是研究哪些类F使这两个问题在以下意义之一中变得易于处理：*（随机）多项式时间可解，* 承认多项式（多1）内核，或 * 承认多项式图灵内核（即具有自适应多项式时间过程，将问题减少到多项式数量的实例，每个实例的大小由解的大小多项式限制）。我们确定了一个简单的组合属性，这样，如果一个遗传类F有这个属性，那么F-包装承认一个多项式内核，并没有多项式（多一）内核，否则，除非多项式层次崩溃。此外，如果F不具有此性质，则F-包装是WK[1]-hard，W[1]-hard或Long Path-hard，证明它也不接受多项式图灵核。对于F-子图测试，我们证明了如果遗传类F的每个图都满足可以删除有界数目的顶点使得每个剩余分支的大小至多为2的性质，则F-子图测试在随机多项式时间内是可解的，否则是NP-难的.本文引入了一个组合性质，称为（a，b，c，d）-可裂性，并证明了：如果遗传类F中的每个图都具有这一性质，则F-子图测试具有多项式图灵核，并且它是WK[1]-硬的，W[1]-硬的，或长路径-硬的，否则，F-子图测试具有多项式…
2014-10-03 cs.CC cs.DS
Polynomial Kernels for Interval Completion
本文首次为区间完成问题给出多项式核，通过参数保持归约到奇环横断，结合已知核得到随机化核（O(k^18)顶点）和确定性核（O(k^36)顶点）。
2026-10-08 cs.CC cs.DS
On Polynomial Kernels for Sparse Integer Linear Programs
非线性规划（ILP）是一个广泛应用的框架，用于处理组合问题，出现在实践中。众所周知，例如，通过CPLEX的成功，预处理和简化可以大大加快优化ILP的过程。目前的工作旨在进一步的理论理解的预处理ILP的参数化复杂性和内核化的框架内发起了严格的研究。Lenstra（Mathematics of Operations Research，1983）的一个著名结果表明，任何n个变量m个约束的ILP的可行性都可以在O（c^{n^3} m^c '）时间内确定。因此，根据民间传说，任何这样的ILP都允许核化到大小为O（c^{n^3}）的等价实例。已知的是，除非NP \subseteq coNP/poly并且多项式层次崩溃，否则不可能具有n中的大小限制多项式的核化。然而，该下界仅适用于约束可能包括任意数量变量的情况，因为它遵循可满足性和命中集的下界，其有界元变量允许多项式核化。我们考虑了线性规划Ax<= b的可行性问题，其中A是由变量个数参数化的r行稀疏矩阵。我们发现，这个问题的核化强烈依赖于变量的范围。如果范围是无界的，那么这个问题不允许多项式核化，除非NP \subseteq coNP/poly。另一方面，如果每个变量的范围在n中是多项式有界的，那么我们确实得到了多项式核化。另外，这也适用于最大范围d是附加参数时的更一般的情况，即，所获得的尺寸是n+d的多项式。
2013-02-15 cs.CC cs.DS
A randomized polynomial kernel for Subset Feedback Vertex Set
子集反馈顶点集问题是经典反馈顶点集问题的推广，它对给定的无向图$G=(V,E)$、一个集合$S \subseteq V$和一个整数$k$，问是否存在一个至多有$k$个顶点的集合$X$，使得$G-X$中没有一个环包含$S$的顶点. Cygan等人（ICALP '11，SIDMA '13）和Kawarabayashi和Kobayashi（JCTB '12）独立地表明，子集反馈顶点集对于参数$k$是固定参数易处理的。Cygan等人问这个问题是否也允许多项式核化。我们回答了Cygan等人的问题。通过给出$S$是一组边的等价版本的随机多项式核化，我们给出了肯定的答案。在第一步中，我们表明，边子集反馈顶点集有一个随机多项式核参数化的$|S|+k$与$O(|S|^2k)$顶点。为此，我们使用Kratsch和Wahlström（FOCS '12）的基于拟阵的工具，例如用于获得$s$ -Multiway Cut的多项式核。接下来，我们提出了一个预处理，减少给定的实例$(G,S,k)$到一个等效的实例$(G',S',k')$，其中$S'$的大小由$O(k^4)$限制。这两个结果导致了具有$O(k^9)$顶点的子集反馈顶点集的多项式核。
2015-12-08 cs.CC cs.DS
Kernel Bounds for Structural Parameterizations of Pathwidth
假设AND-蒸馏猜想，确定给定图G的路宽是否至多为k的路宽问题不允许关于k的多项式核化。目前的工作研究存在的多项式核Pathwidth相对于其他结构参数。我们的主要结果是，除非NP是在coNP/聚，Pathwidth承认没有多项式核化，即使当参数化的顶点删除距离的一个集团，给出一个交叉组合从Cutwidth。交叉组合也适用于Treewide，比本作者以前的下限有所改进。对于路径宽度，我们的结果排除了多项式内核相对于距离的各种类的多项式时间可解的输入，如间隔或聚类图。这就引出了一个问题：是否存在路径宽度确实允许多项式核化的非平凡结构参数。为了回答这个问题，我们给出了一组对Pathwidth安全的图归约规则。我们分析这些结果的成功，并获得多项式核化相对于以下参数：图的顶点覆盖的大小，顶点删除距离的图，其中每个连通组件是一个明星，和顶点删除距离的图，其中每个连通组件有最多c个顶点。
2012-07-20 cs.CC cs.DS
How much does a treedepth modulator help to obtain polynomial kernels beyond sparse graphs?
在过去的几年里，核与结构参数一直是一个活跃的研究领域内的参数化的复杂性。作为一个相关的例子，Gajarsk{y}等人。[ESA 2013]证明了满足称为有限整数索引的性质的每个图问题都允许有界扩展的图上的线性核和无处稠密图上的几乎线性核，由$c$ -树深度调制器的大小参数化，该调制器是顶点集，其去除导致树深度至多为$c$的图，其中$c \geq 1$是固定整数。作者留下了进一步的研究来研究这个参数在一般图上，特别是要找到的问题，虽然承认多项式核稀疏图，表现不同的一般图。在这篇文章中，我们回答这个问题，找到两个非常自然的问题：我们证明了顶点覆盖承认多项式核一般图的任何整数$c \geq 1$，并支配集不为任何整数$c \geq 2$甚至退化图，除非$\text{NP} \subseteq \text{coNP}/\text{poly}$。对于正结果，我们基于Jansen和Bodlaender [STACS 2011]的技术，对于负结果，我们使用$c\geq 3$的多项式参数变换和$c = 2$的OR交叉组合。由于已有的结果暗示了$c = 1$的控制集在退化图上存在一个多项式核，我们的结果给出了退化图上的支配集的多项式核存在性的二分法.
2018-06-06 cs.CC cs.DS math.CO
On Kernelization for Edge Dominating Set under Structural Parameters
在NP-硬边支配集问题（EDS）中，给定一个图$G=(V,E)$和一个整数$k$，需要确定是否存在一个至多由$k$条边组成的集合$F\subseteq E$，该集合与$G$的所有（其它）边关联。这是已知的，这个问题是固定参数易处理的，并承认一个多项式核时，参数由$k$。这个参数的一个警告是它需要很大，即，至少等于$G$的最大匹配的大小的一半，例如不是平凡负的。出于这一动机，我们研究了EDS的多项式核的存在时，可能比$k$小得多的结构参数参数进行参数化。不幸的是，乍一看，这看起来相当无望：即使当通过删除距离参数化到长度为2的路径$P_3$的不相交并集时，也没有多项式核化（在标准假设下），排除了许多较小参数（如反馈顶点集大小）的多项式核。相比之下，有些令人惊讶的是，存在到长度为4的路径$P_5$的不相交并集的删除距离的多项式核化。作为我们的主要结果，我们完全分类的所有有限集$\mathcal{H}$的图形，是否在$|X|$的核大小多项式是可能的，当给定$X$，使每个连接组件的$G-X$是同构的图在$\mathcal{H}$。
2019-01-11 cs.CC cs.DS
Preprocessing Subgraph and Minor Problems: When Does a Small Vertex Cover Help?
我们证明了一些结果围绕核化的问题参数化的输入图的给定顶点覆盖的大小。我们提供了三套简单的一般条件表征问题承认内核的多项式大小。我们的特征不仅给出了一般的解释存在的许多已知的多项式核的问题，如q-着色，奇循环transmittance，弦删除，Eta transmittance，或长路径，参数化的顶点覆盖的大小，但也意味着新的多项式核的问题，如F-未成年人免费删除，这是删除最多k个顶点，以获得一个图，没有从一个固定的有限集F未成年人。虽然我们的表征捕获了许多有趣的问题，但通过顶点覆盖参数化的核化复杂性景观涉及更多。我们证明了这一点的几个结果诱导子图和小包容测试，我们发现令人惊讶的。虽然它是已知的，测试诱导完全子图没有多项式内核，除非NP是在coNP/聚，我们表明，测试的问题，如果一个图包含一个完整的图t顶点作为一个未成年人承认一个多项式内核。另一方面，它是已知的，测试的路径t顶点作为一个未成年人承认一个多项式内核，但我们表明，测试的遏制诱导路径t顶点是不可能承认一个多项式内核。
2013-09-26 cs.CC cs.DS
A Polynomial Kernel for Face Cover on Non-Embedded Planar Graphs
TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）；RWTH Aachen（亚琛工业大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克技术大学）
本文提出了一种针对非嵌入平面图的面覆盖数问题的多项式核，通过构建SPR树并保留面覆盖属性来解决无预定义面边界的问题。
2026-01-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Twin-width and polynomial kernels
我们研究多项式核的存在性，参数化问题没有一个多项式核一般图，当限制到有界的双宽度的图。我们的主要结果是，一个多项式核的$k$ -支配集的图的孪生宽度至多为4将矛盾的标准复杂性理论的假设。减少是相当复杂的，特别是为了使双宽度上界降至4，并且可以调整以适用于连接$k$ -支配集和总$k$ -支配集（尽管双宽度上界更差）。$k$ -独立集问题通过一个更简单的论证承认相同的下限，先前观察到[ICALP '21]，其扩展到$k$ -独立支配集，$k$ -路径，$k$ -诱导路径，$k$ -诱导匹配等。我们得到了有界孪生宽度图上连通$k$ -顶点覆盖和有容量限制的$k$ -顶点覆盖的一个简单的二次点核.有趣的是，内核适用于Vapnik-Chervonenkis密度为1的图，并且不需要见证序列。我们还提出了一个更复杂的$O(k^{1.5})$顶点核连接$k$ -顶点覆盖。最后，我们表明，如果一个图的双宽度最多为1，可以在多项式时间内完成，并观察到，大多数优化/决策图的问题可以解决在多项式时间上的双宽度最多为1。
2021-09-14 cs.CC cs.DM cs.DS
Bridge-Depth Characterizes which Structural Parameterizations of Vertex Cover Admit a Polynomial Kernel
该研究引入新图参数bridge-depth，完整刻画了存在多项式核的、以输入图到 minor-闭图类的顶点删除距离为参数的顶点覆盖问题的minor-闭图族特征。
2023-07-24 cs.CC cs.DS math.CO
