Persistent magnitude homology on finite metric space
Chongqing University of Technology（重庆理工大学）；University of North Carolina at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）；Yanqi Lake Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）
本文提出持久幅度同调，用于捕捉度量空间的多尺度几何和拓扑特征，并建立了其稳定性结果。
2026-08-25 math.AT
Magnitude homology and Path homology
本文证明了幅度同调和路径同调是密切相关的，并给出了一些应用。我们定义了有向图$G$的大小同调之间的微分${\mathrm MH}^{\ell}_k(G) \longrightarrow {\mathrm MH}^{\ell-1}_{k-1}(G)$，使它们成为链复形。然后我们证明了它的同调${\mathcal MH}^{\ell}_k(G)$是非平凡的，并且在Grigor'yan-Muranov-S.- T. Yau等人（下文中的G-M-Ys）。值得注意的是，我们的同调${\mathcal MH}^{k}_k(G)$的对角部分同构于也由G-M-Ys引入的约化路径同调$\tilde{H}_k(G)$。进一步，我们构造了一个谱序列，其第一页同构于幅度同调${\mathrm MH}^{\ell}_k(G)$，第二页同构于我们的同调${\mathcal MH}^{\ell}_k(G)$。作为一个应用，我们证明了大小同调的对角性蕴涵着约化路径同调的平凡性。我们还表明，$\tilde{H}_k(g) = 0$的$k \geq 2$和$\tilde{H}_1(g) \neq 0$，如果一个无向图$g$的任何边缘包含在一个周期的长度$\geq 5$。
2022-08-24 math.AT
Resonance for loop homology of spheres
紧致流形M上的黎曼度量或芬斯勒度量产生自由闭路空间ΛM上的长度函数，其临界点是给定度量中的闭测地线。若X是ΛM上的一个同调类，则极大极小临界水平cr（X）是一个临界值.设M是一个维数大于2的球面，并固定一个度量g和一个系数域G.证明了当deg（X）趋于无穷大时，cr（X）/deg（X）的极限存在.我们称这个极限为M的“全局平均频率”。因此，我们推导出球面上闭测地线的共振陈述;特别是，要么在足够高度数的ΛM上的所有同调都悬挂在平均频率（平均指数/长度）等于全局平均频率的闭测地线上，要么存在一个无穷多个平均频率收敛于全局平均频率的闭测地线的序列。证明使用Chas-Sullivan乘积和Goresky-Hingston [GH]的结果。
2012-05-11 math.AT math.DG
Geometric approach to graph magnitude homology
本文介绍了一种计算一般图的大小同调的新方法。对于幅值链复形的每一个直和分量，我们指定一对单纯复形，它们的单纯链复形与之同构.首先，我们给出了树的主要定理，它给出了树是对角的这一已知事实的另一个证明.之后，我们考虑一般的图，它可能有圈。我们还演示了一些计算作为一个应用程序。
2020-03-18 math.AT
Magnitude meets persistence. Homology theories for filtered simplicial sets
UCLA Mathematics Department（加州大学洛杉矶分校数学系）
本文探讨了幅度同调与持续同调在计算过滤简形集同调中的不同方法，通过研究有限度量空间的尺度变化，揭示两者在拓扑数据分析中的关联。
2021-08-24 math.AT
Minimal projective resolution and magnitude homology of geodetic metric spaces
本文通过构造最小投射分解计算测地度量空间的幅度同调，证明其为自由$\mathbb Z$-模，给出构造所有圈的递归算法，并通过对多种图的分析揭示了其对角性与4-割的关系。
2024-08-22 math.AT
Magnitude homology and homotopy type of metric fibrations
本文证明具有共同基空间和共同纤维的度量纤维化具有同构的幅度同调及相同的幅度同伦型，推广了 Leinster 的幅度乘积结果，并建立了幅度同伦型与 Hepworth-Willerton 带点单纯集几何实现的等价性。
2024-09-05 math.AT
Smoothness filtration of the magnitude complex
在度量空间的幅度链复形中引入一个内禀滤子，研究了幅度同调的相关谱序列的基本性质。作为应用，计算了圆的三阶同调。
2019-02-28 math.AT
Graph magnitude homology via algebraic Morse theory
我们利用代数莫尔斯理论计算各种图的大小同调。具体地说，我们（1）给出了树是对角图的另一种证明，（2）确定了一类新的对角图，（3）证明了二十面体图是对角图，（4）计算了圈的大小同调。这些结果回答了Hepworth和Willerton [HW 17]的几个问题。
2018-09-19 math.AT math.CO
Torsion in Magnitude homology theories
研究有限图magnitude同调与Eulerian magnitude同调的结构关系，给出Eulerian magnitude同调存在挠元的两种证明、挠元类型与阶的分析及多类图的显式计算。
2025-03-15 math.AT math.CO
A Centrality Measure Using Magnitude Homology
AIDOS Lab, University of Fribourg（弗里堡大学 AIDOS 实验室）
基于大小同调的进展，开发衡量图中节点中心性的新局部度量，该度量受相对同调启发，考虑去顶点时大小同调变化，满足相关属性，带来中心性研究新视角。
2026-07-21 cs.SI math.AT
Eulerian magnitude homology: subgraph structure and random graphs
本文引入欧拉型和判别式大小同调变体，揭示其第一对角线秩与特定子图计数的关系，研究Erdos-Renyi及随机几何图的极限行为，得出消失阈值并建立期望秩的渐近估计。
2024-12-01 math.AT math.CO math.PR
Boundary of free products of metric spaces
本文计算了测地粗凸空间自由积理想边界的多种（上）同调，并借此通过粗Baum-Connes猜想导出了其Roe代数的$K$-理论。
2024-02-10 math.AT math.MG
Loop Products and Closed Geodesics
证明了黎曼流形的自由闭路空间的同调上的Chas-Sullivan积与其闭测地线的Morse指数有关。我们在自由闭路空间和基闭路空间的上同调中构造了相关乘积，并证明了它们是非平凡的。
2007-07-24 math.AT math.DG
Magnitude homology of enriched categories and metric spaces
幅值是丰富范畴的数值不变量，特别包括作为$[0,\infty)$丰富范畴的度量空间。我们证明了在许多情况下，幅度可以被归类为一个丰富范畴的同调论，我们称之为幅度同调（实际上，它是一种特殊的霍赫希尔德同调），其分次欧拉示性数是幅度。度量空间的大小同调推广了图的Hepworth-Willerton大小同调，并检测了图的凸性等几何信息.
2020-11-15 math.AT math.CT math.MG
Eulerian magnitude homology: diagonality, injective words, and regular path homology
本文探讨欧拉量级同调的代数结构与组合性质，分析其对角性条件刻画完全图，构造正则量级-路径谱序列并证明其收敛到单射词复形，还得到对角有向图正则路径同调的刻画结果。
2025-08-26 math.AT math.CO math.CT
Magnitude homology and Euler characteristics of directed acyclic graphs
Cynnovative
研究有向无环图的量级同调欧拉特征，基于去范畴化开发可扩展方法，应用于多层感知器动态分析，在保持子图属性不变时恢复类判别结构。
2026-07-28 math.AT math.CO
Magnitude homology of tope graphs
RIKEN iTHEMS（理化学研究所 iTHEMS）
研究实超平面排列顶图的大小同调，通过相关单纯复形的斯坦利 - 赖斯纳环的希尔伯特函数确定其秩，用于考克斯特排列的凯莱图，还证明了中心排列的同调互反性，方法结合多种理论。
2026-07-14 math.AT math.CO
On torsion in eulerian magnitude homology of Erdos-Renyi random graphs
本文通过引入欧拉Asao–Izumihara复形并建立其剥脱消失阈值，确定了Erdős–Rényi随机图欧拉数量同调群无挠的参数区间。
2024-11-20 math.AT math.CO math.PR
Magnitude homology equivalence of Euclidean sets
University of Edinburgh（爱丁堡大学）
本文研究了欧几里得集在幅度同调意义上的等价条件，引入了内边界和核心的概念，并加强了Carathéodory定理。
2026-02-20 math.AT math.CT math.MG
Girth, magnitude homology, and phase transition of diagonality
研究了图的大小同调，主要研究了图的对角性与围长的关系。幅值和幅值同调分别是有限度量空间的欧拉示性数和相应同调的公式，最早由Leinster和Hepal-Willerton提出。有几个作者将它们限制在具有路度量的图上进行研究，并发现了一些与普通的同调论相似的性质。然而，他们的行为的全貌仍然没有被揭示，预计他们会抓住一些图的几何性质。本文证明了图的图的围长部分地决定了图的大小同调，即围长越大，图的对角部附近的同调消失的越多。此外，将此结果应用于一个典型的随机图，我们研究了图的对角性如何随着边密度的增加而统计地变化。特别地，我们证明了对角化存在相变现象。
2021-02-09 math.AT math.CO math.PR
Magnitude homology of real hyperplane arrangements
RIKEN iTHEMS（理化学研究所 iTHEMS）；Department of Pure Mathematics, Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学纯数学系）
研究实超平面排列的幅度及其同调，通过将其拓扑图视为度量空间，证明了幅度的结构结果及同调的组合公式，并提出幅度欧拉特征的对称性猜想。
2026-05-12 math.AT math.CO math.MG
Bigraded path homology and the magnitude-path spectral sequence
Institute of Mathematics University of Aberdeen（阿伯丁大学数学研究所）；School of Mathematics University of Edinburgh（爱丁堡大学数学学院）
本文研究了幅度-路径谱序列的同调与计算性质，特别是完整的第二页，即双格路径同调，并展示了其作为同调理论的性质，以及幅度同调与双格路径同调的Mayer-Vietoris定理。
2026-04-27 math.AT math.CO math.CT
Healthy vector spaces and spicy Hopf algebras (with applications to the growth rate of geodesic chords and to intermediate volume growth on manifolds of non-finite type)
给出了非有限型闭流形M上球化的Reeb弦数增长和Reeb流体积增长的下界，这些闭流形M具有虚多环基本群，并满足对基环空间的同调性的一个温和假设.对于测地流的特殊情况，这些下界是：（i）对于M上的任何黎曼度量，M中的任何一对非共轭点p，q，以及从p到q的路空间的每个分支C，C中长度至多为T的测地线的数目至少像e^{ \sqrt T}那样增长。(ii)M上任何测地流的体积增长指数至少为1/2。我们得到这些结果结合新的代数结果的增长某些过滤霍普夫代数与已知的结果弗洛尔同调。
2013-09-25 math.AT math.DG math.DS
Magnitude homology of metric spaces and order complexes
Hepworth，Willerton，Leinster和Shulman为丰富范畴，特别是度量空间引入了幅度同调群。利用偏序集的序复形刻画了度量空间的大小同调群。在度量空间中，区间（两个选定点之间的点的集合）具有自然偏序集结构，称为区间偏序集。在对$4$ -割集的大小作进一步假设的情况下，证明了从区间偏序集的序复形出发，利用张量积、直和和度移位可以构造出幅值链复形.我们给出了几个应用程序。首先，我们证明了欧几里得空间的凸子集的高次同调群的消失。第二，数量级同调群携带关于孔的直径的信息。第三，我们构造了一个有限图，它的$3$ rd阶同调群具有挠率.
2021-09-02 math.AT math.CO math.CT
The fundamental group and the magnitude-path spectral sequence of a directed graph
本文通过Hurewicz定理和Seifert-van Kampen定理，研究有向图的r-基本群与量级-路径谱序列之间的关联，揭示其捕捉基本群无法捕捉的性质。
2025-05-23 math.AT math.CO
Quantales, persistence, and magnitude homology
我们构建了一个神经函子参数化的Quantale的选择，表现出的Vietoris-Rips复杂的和幅度神经的实例，这种神经的monoidal结构$\mathbb{R}$的不同选择。此外，持续同源性如何处理Vietoris-Rips复合体和幅度同源性如何处理幅度神经之间的差异被视为是否在精确意义上沿着$\mathbb{R}$“定位”相应神经的选择。最后，我们提到一些面向应用的意见，自然建议上述观点。
2020-03-09 math.AT math.CT math.MG
Iterated magnitude homology
本文提出迭代量级同调，融合量级同调与几何神经，适用于高阶丰富范畴，在严格2-范畴中恢复分类空间同调，并探讨偏序群、赋范群等情形。
2025-03-26 math.AT math.CT math.GR
Persistent Magnitude
在本文中，我们引入持久幅度，一个新的数值不变（足够好）分次持久模。它是持久性模块的条的加权和有符号计数，其中，以度$d$形式的$[a,b)$的条用权重$(e^{-a}-e^{-b})$和符号$(-1)^d$计数。持久星等有很好的形式性质，例如关于精确序列的可加性和与张量积的相容性，并且可以用相关的分次函子和拉普拉斯变换来解释。我们的定义的灵感来自水獭的概念模糊的幅度同源：我们表明，一个有限的度量空间的幅度正是其模糊的幅度同源的持久幅度。把这个结果的头上，我们得到了一个战略，把现有的持久性同调论到新的数值不变量，通过应用持久的幅度。我们详细探讨了这种策略的情况下，持久的同源性的莫尔斯功能，并在RIP同源性的情况下。
2020-07-10 math.AT math.MG
Nested homotopy models of finite metric spaces and their spectral homology
该研究定义拟度量空间的r-同伦等价与r-极小模型，将有向图的幅度-路径谱序列分解为谱序列直和，并构造推广多种同调不变量的r-同伦不变量谱同调。
2024-05-21 math.AT math.KT
Magnitude, homology, and the Whitney twist
本文利用 magnitude homology 从同调层面解释图的 magnitude 在 Whitney twist 下的不变性，将结论推广到更广泛的粘合类型，并提供新的 magnitude 计算工具。
2023-09-02 math.AT math.CO math.CT
Magnitude homology of graphs and discrete Morse theory on Asao-Izumihara complexes
本文研究 Asao-Izumihara 复形的同伦型与图幅度同调可对角化性的关系，证明 pawful 图的该复形同伦等价于球面的一点并，并推广 pawful 图概念，找到新的直径为 2 的非 pawful 可对角化图。
2022-06-02 math.AT math.CO math.MG
The reachability homology of a directed graph
本文研究有向图的谱序列目标——可达性同调，证明其满足同伦不变性、Künneth、切除及Mayer-Vietoris定理，且性质强于量级同调与路径同调。
2025-03-26 math.AT math.CO math.CT
Filtered order complexes and magnitude homology of finite graded posets
The University of Osaka（大阪大学）
研究通过秩函数定义的分次偏序集序复形的子复形族，探讨其拓扑性质与量值同调的关系，证明闭流形剖分和可壳复形的同调性质，以及几何半格中复形同伦等价于球面楔和。
2026-06-25 math.AT math.CO math.MG
On free loop spaces of toric spaces
讨论了复曲面空间的自由闭路空间的有理同调的Hilbert-Poincarë级数的增长性。在复曲面空间是流形的情况下，扇形的结构决定了希尔伯特-庞加莱级数是否具有指数增长性。应用程序的存在无穷多个几何不同的周期测地线。
2016-03-22 math.AT
Homology groups of the curvature sets of $\mathbb{S}^1$
本研究针对带测地度量的单位圆$\mathbb{S}^1$的曲率集，通过归纳方法计算其所有曲率集的同调群，还构造了与对应阶曲率集同胚的状态复形，推进了曲率集的拓扑几何研究。
2023-07-24 math.AT
Approximations of 1-Dimensional Intrinsic Persistence of Geodesic Spaces and Their Stability
近似或离散度量空间的标准方法是取它的Rips复形。这些对所有参数的近似常常被结合在一起成为一个滤子，我们对它应用基本群或第一同调。我们称之为对象持久性。最近的结果表明，紧致测地线局部可缩空间$X$的持久性携带了大量的几何信息。然而，根据定义，相应的Rips复形具有不可数的顶点。在本文中，我们表明，尽管如此，整个持久性的$X$可以通过一个适当的有限样本（子集的$X$），和持久性的任何子集的$X$是很好的交织与持久性的$X$。因此，$X$的持久性是由所有有限样本获得的持久性的最小值。此外，我们证明了一个大大改进的稳定性定理，这样的近似。作为特殊情况，我们为每个$r>0$提供密度$s>0$，使得对于每个$s$密集样本$S \subset X$，$S$的Rips复形的相应基本群（和第一同调）同构于$X$的一个，从而导致改进的重建结果。
2018-05-24 math.AT math.GT math.MG
Magnitude and magnitude homology of filtered set enriched categories
本文提出滤集富集范畴的 magnitude 与 magnitude homology 框架，统一有限范畴 Euler 示性数和度量空间 magnitude，并推广 Grothendieck 纤维化。
2023-07-25 math.AT math.CT math.MG
1-Dimensional Intrinsic Persistence of Geodesic Spaces
本文针对紧致测地空间构建一维Rips与Čech持久同调理论，阐明临界点性质、与孔洞的关系等，证明多项核心结论，揭示持久同调可提取底层空间的几何特征。
2024-09-17 math.AT math.GT math.MG
Categorifying the magnitude of a graph
一个图的大小可以被认为是一个整数幂级数与一个图; Leinster介绍了它使用他的想法大小的度量空间。本文给出了以幅值作为分次欧拉示性数的图的双分次同调论。这是一个量级的分类，其精神与霍瓦诺夫同调是琼斯多项式的分类相同。我们展示了如何性质的大小证明Leinster归类的性质，如Kunneth定理和迈耶-Vietoris定理。证明了图的联的同调是在对角线上支撑的。最后给出了各种计算机计算实例。
2015-07-24 math.AT math.CO math.CT
On finite generation in magnitude (co)homology, and its torsion
本文应用 Sam-Snowden 框架证明有界亏格图的 magnitude 上同调秩多项式增长且挠有界，并推广至路径同调，同时证明相关平面图范畴拟 Gröbner。
2024-05-27 math.AT math.CO math.CT
Gromov Hyperbolicity, Geodesic Defect, and Apparent Pairs in Vietoris-Rips Filtrations
出于对Vietoris-Rips滤子的持久同调的计算方面的考虑，我们推广了Eliyahu Rips关于测地空间的Vietoris-Rips复体的可收缩性的一个结果，该复体的收缩性取决于空间的双曲性。我们考虑测地线亏损的概念，将这个结果推广到一般的度量空间的方式，也是兼容的过滤。我们进一步表明，有限树度量的Vietoris-Rips复合体崩溃到其相应的子森林。我们将我们的结果与现代计算方法相关联，表明这些崩溃是由表观对梯度引起的，表观对梯度被用作Ripser中的算法优化，解释了其在树状度量数据上特别强大的性能。
2022-03-22 cs.CG math.AT math.GT
Persistent Magnitude Homology for Quantitative Equational Theories
Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg（弗里德里希-亚历山大大学埃尔兰根-纽伦堡分校）
该研究证明大小同调是长度滤过的相伴分次，将其应用于定量等式理论并给出条形稳定性估计与公理强度衡量方法，计算了四个不同度的示例。
2026-09-17 cs.CG cs.LG cs.LO
Poincaré duality for loop spaces
Universität Augsburg（奥格斯堡大学）；College of New Jersey（新泽西学院）；Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学）
本文研究了Rabinowitz Floer同调与上同调的结构，证明了其作为带权Frobenius代数的庞加莱对偶性，并将其推广到带权开-闭TQFT之间。
2025-06-11 math.AT math.SG
Extensions of the loop product and coproduct, the space of antipodal paths and resonances of closed geodesics
本文推广弦拓扑中的环积与环余积至对合确定的路径空间，并在偶数维球面上利用 Morse-Bott 方法完整计算，进而证明实射影空间闭测地线的共振定理。
2025-03-27 math.AT math.DG
It's All About Covers: Persistent Homology of Cover Refinements
Scuola Normale Superiore（比萨高等师范学院）；Inria-Saclay（法国国家信息与自动化研究所萨克雷中心）
本文提出通过覆盖关系构建持续同调框架，简化了覆盖细化过程，实现更高效的同调计算，为 Vietoris-Rips 过滤提供更小的鲁棒近似。
2026-05-14 math.AT
On diagonal digraphs, Koszul algebras and triangulations of homology spheres
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications (BIMSA)（北京数学科学应用研究所）；Saint Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
研究有向图大小同调，聚焦对角有向图，完整描述其二阶大小同调，定义组合条件\((\mathcal{V}_\ell)\)，从科苏尔代数解释对角性，通过研究扩展哈斯图给出有向图示例，并得出闭流形三角剖分的扩展哈斯图是对角的充要条件。
2026-07-21 math.AT math.CO math.KT
Homotopy theories via the magnitude-path spectral sequence
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；Sorbonne Université（索邦大学）；CNRS, IMJ-PRG（法国国家科学研究中心，IMJ-PRG）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）；University of Sheffield（谢菲尔德大学）
引入基于量级-路径谱序列的广义度量空间同伦理论族，定义r-拟同构并证明每页满足Eilenberg-Steenrod公理的度量类比，建立Brown范畴结构以计算同伦余极限。
2026-06-08 math.AT math.CT
Homology transfer products on free loop spaces: orientation reversal on spheres
我们考虑紧致光滑流形$M$的Sobolev类$H^1$的环空间$ΛM:=H^1(S^1,M)$，即$M$的自由环空间.我们把$ΛM/G$看作是$S^1$的线性重参数化作用的有限子群，其中$G$是$O(2)$的有限子群。我们利用转移映射$tr:H_*(ΛM/G)\rightarrow H_*(ΛM)$的存在性通过Chas-Sullivan环积定义了$ΛM/G$上的同调积。我们称这种产品为$P_G$转移产品。反转取向的对合$\vartheta:ΛM\rightarrow ΛM$，$ \vartheta\big(γ(t)\big):=γ(1-t)$，是我们特别感兴趣的。我们计算$H_*(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})$，$n>2$，和产品$P_\vartheta:H_i(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})\times H_j(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})\rightarrow H_{i+j-n}(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})$相关的方向反转。合理地$P_\vartheta$可以实现“几何”使用的等价类的循环的级联。当$G\subset S^1\subset O(2)$不“包含”取向反转时，$ΛS^n/\vartheta$的同源性与$ΛS^n/G$的同源性之间存在质的差异。这可能是有趣的，关于$S^n$…
2022-12-19 math.AT math.DG math.GT
Resonances and string point invertibility for compact rank one symmetric spaces
Universität Augsburg（奥格斯堡大学）；Institut de Recherche Mathématique Avancée, IRMA Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学高等数学研究所）；Département de mathématiques et de statistique Université de Montréal（蒙特利尔大学数学与统计系）
该研究计算紧秩一对称空间的Rabinowitz环同调的BV代数结构，证明其弦点可逆性与欧拉特征和系数域特征的关系，推广了Hingston等人的相关结果。
2026-08-06 math.AT math.SG
Estimating the persistent homology of $\mathbb{R}^n$-valued functions using function-geometric multifiltrations
École Normale Supérieure（巴黎高等师范学院）；École Polytechnique（巴黎综合理工学院）；Inria Saclay（法国国家信息与自动化研究所萨克莱中心）
本文研究了如何通过有限采样近似$\mathbb{R}^n$-valued函数的持续同调，提出了一种基于函数几何多过滤器的方法，展示了其在噪声鲁棒性和统计收敛性方面的优势。
2026-03-19 cs.CG math.AT
Causal order complex and magnitude homotopy type of metric spaces
本文通过时空因果偏序构造度量空间的幅度同伦型，建立从度量空间范畴到带基点拓扑空间范畴的协变函子，并利用离散 Morse 理论重新证明 Mayer-Vietoris 型定理及有限度量空间在 sycamore twist 下的幅度不变性。
2023-05-26 math.AT math.CO math.CT
Magnitude cohomology
大小同调由Hepworth和Willerton在图的情况下引入，后来由Leinster和Shulman扩展到度量空间和丰富的范畴。在这里，我们介绍了对偶理论，幅度上同调，我们配备了结合单位分次环的结构。我们的第一个主要结果是一个“恢复定理”表明，一个有限的度量空间的幅度上同调环完全决定了空间本身。幅度上同调环一般是非交换的，例如当应用于有限度量空间时，但在某些情况下它是交换的，例如当应用于普通范畴时。我们的第二个主要结果解释了这种情况，证明了充实范畴的幅度上同调环是分次交换的，只要充实范畴是分次的。最后，我们给出了几大类图的幅上同调环的完整计算。
2022-04-22 math.AT math.CT math.MG
