Entropy Inequalities for Sums in Prime Cyclic Groups
建立了置换下取值于素数阶循环群的独立随机变量和的Rényi熵的下界.我们的方法的主要成分是扩展的重排不等式在素循环群的Lev（2001），和随机序的概念。几个应用程序的开发，包括离散熵功率不等式，Littlewood-Offord问题，并计数某些线性系的解决方案。
2020-11-26 cs.IT math.CO math.IT
On inequalities involving counts of the prime factors of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数。令$ω(N)$是$N$的不同素因子的数目，令$Ω(N)$是$N$的素因子的总数（计数重数）。我们证明了$\frac{99}{37}ω(N) - \frac{187}{37} \leq Ω(N)$，如果$3\nmid N$，那么$\frac{51}{19}ω(N)-\frac{46}{19} \leq Ω(N)$。
2023-03-21 math.NT
Inequalities for inert primes and their applications
对于任意给定的非平方整数$ D\equiv 0,1 \pmod{4} $，证明了关于满足Kronecker符号$ (D/q_{i})=-1 $，$ i=1,2,\cdots, $的素数序列$ \{q_{i}\} $的Euclid型不等式，并作为应用给出了一个新的判定三元二次型为非正则的判据，在一定程度上简化了Dickson和Jones关于正则三元二次型分类的论证.
2020-09-12 math.NT
On Two Diophantine Inequalities Over Primes
设$1<c<37/18,\,c\neq2$和$N$是足够大的实数。本文证明了对几乎所有的$R\in(N,2N],$，丢番图不等式$|p_1^c+p_2^c+p_3^c-R|<\log^{-1}N$在素数$p_1,\,p_2,\,p_3.$中可解。此外，我们还研究了六个素数的问题，证明了对充分大的实数$N$，丢番图不等式$|p_1^c+p_2^c+p_3^c+p_4^c+p_5^c+p_6^c-N|<\log^{-1}N$在素数$p_1,\,p_2,\,p_3,\,p_4,\,p_5,\,p_6$中可解。
2016-12-25 math.NT
On two Diophantine inequalities over primes (II)
设$1<c<\frac{26088036}{12301745},c\not=2$和$N$是足够大的实数。本文证明了对几乎所有的$R\in (N,2N]$，丢番图不等式\begin{equation*} \big|p_1^c+p_2^c+p_3^c-R\big|<\log^{-1}N \end{equation*}在素数$p_1,p_2,p_3$中可解.此外，我们还证明了如下丢番图不等式\begin{equation*} \big|p_1^c+p_2^c+p_3^c+p_4^c+p_5^c+p_6^c-N\big|<\log^{-1}N \end{equation*}在素变元$p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6$中可解，改进了以前的结果$1<c<\frac{37}{18},c\neq2$ .
2020-07-21 math.NT
Large sieve inequalities for exceptional Maass forms and the greatest prime factor of $n^2+1$
本文通过证明例外Maass形式的新型大型筛不等式，改进了n²+1的最大大素因子的下限，并应用于素数和光滑数在算术级数中的分布指数。
2026-01-15 math.NT
Improving and Maximal Inequalities for Primes in Progressions
假设$ y < N$是整数，并且$ (b,y) =1$ .定义一个沿直径$ y$级数中素数的平均值，由整数$ (b,y)=1 $给出。\begin{align*} A_{N,y,b} := \frac{ϕ(y)}{N} \sum _{\substack{n <N\\n\equiv b\pmod{y}}} Λ(n) f(x-n) \end{align*}在上面，$Λ$是von Mangoldt函数，$ϕ$是totient函数。我们建立这些平均值的改进和极大不等式。这些界限在级数的选择上是一致的。例如，对于$ 1< r < \infty $，存在整数$N _{y, r}$，使得\begin{align*} \lVert \sup _{N>N _{y,r}} \lvert A_{N,y,b} f \rvert \rVert_{r}\ll \lVert f\rVert_{r}. \end{align*}隐含常数仅是$ r$的函数。级数的一致性在证明中加入了几个新的元素。
2022-04-17 math.CA math.NT
Explicit inequalities for the nth lucky number
Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文基于幸运数分布特性，推导出第n个幸运数的显式上下界，类比素数定理揭示其渐进行为。
2026-04-08 math.NT
Fractional parts of polynomials over the primes
设f是具有无理首项系数的多项式。我们得到的距离最近的整数f（p）的距离不等式，持有无穷多个素数p。这些结果改进了工作的Harman在1981年和1983年和黄在1997年。
2017-12-20 math.NT
On a system of two Diophantine inequalities with six prime variables
China University of Mining and Technology（中国矿业大学）；Beijing Information Science and Technology University（北京信息科技大学）
本文研究了在特定条件下，两个丢番图不等式系统在素数变量下可解的问题，改进了Han-Liu-Zhang的结果。
2026-04-20 math.NT
A remark on an inequality for the prime counting function
我们注意到不等式$0.92 \frac{x}{\log(x)} <π(x)< 1.11 \frac{x}{\log(x)}$并不对所有的$x\ge 30$都成立，与某些文献相反。这些估计$π(x)$最近出现在论文代数数论。
2007-03-23 math.NT
$6$-regular partitions: new combinatorial properties, congruences, and linear inequalities
我们考虑$n$的$6$ -正则分拆的个数，即$b_6(n)$，并给出了$b_6(n)$的模$3$（在等差数列中）同余的无限族.我们还考虑了$n$的分区到不同的部分不全等的$\pm 2$模$6$，$Q_2(n)$，并调查之间的连接$b_6(n)$和$Q_2(n)$这些分区功能提供新的组合解释。在此背景下，我们发现了新的无限族的线性不等式涉及欧拉的配分函数$p(n)$。作为公开问题，提出了包含$6$ -正则配分函数$b_6(n)$和不同配分函数$Q_2(n)$的无限族线性不等式.
2023-02-02 math.CO math.NT
Asymptotic estimates for the number of integer solutions to decomposable form inequalities
当可分解型不等式的次数和变量个数是互素时，我们估计了可分解型不等式的整数解的个数（给出了渐近估计和上界）.这些估计在形式的系数方面显示出良好的行为，并且在这方面大大改进了先前的估计。
2003-11-19 math.NT
Gowers norms control diophantine inequalities
研究整系数线性方程系统的一个中心工具是格林和陶的广义冯诺依曼定理。这个定理将计算这些方程的加权解的任务简化为计算一个特殊形式族的加权解的任务，即权$f$的Gowers范数$\Vert f \Vert_{U^{s+1}[N]}$。本文考虑实系数线性不等式组，证明了这类加权丢番图不等式的解的个数也可以由Gowers范数有界.此外，我们提供了一个充要条件的实线性型系统是由Gowers范数以这种方式。我们目前的应用程序取消的默比乌斯函数在某些序列。在本文中开发的机器可以适应的情况下，其中的权重是无界的，但适当的伪随机，与应用程序计数的解决方案的数量丢番图不等式的素数。然而，在这一背景下出现了大量额外的困难，我们就这些问题编写了一份单独的文件。
2020-03-31 math.CO math.NT
An improvement of an inequality of Ochem and Rao concerning odd perfect numbers
令$Ω(n)$表示$n$的素因子的总数（计数重数），令$ω(n)$表示$n$的不同素因子的数量。当$N$为奇完全数时，证明了与$ω(N)$和$Ω(N)$有关的各种不等式.我们改进了这些不平等。特别是，我们表明，如果$3 \not| N$，则$Ω\geq \frac{8}{3}ω(N)-\frac{7}{3}$，如果$3 |N$，则$Ω(N) \geq \frac{21}{8}ω(N)-\frac{39}{8}.$
2017-10-29 math.NT
Arithmetic functions at consecutive shifted primes
对于每个函数$f \in \{ϕ, σ, ω, τ\}$和每个自然数$k$，我们证明了不等式$f(p_n-1) < f(p_{n+1}-1) < \dots < f(p_{n+k}-1)$有无穷多个解，对于$f(p_n-1) > f(p_{n+1}-1) > \dots > f(p_{n+k}-1)$也是如此.我们还回答了Sierpienski关于连续素数的数位和的一些问题。这些论点基本上利用梅纳德和陶的方法产生许多素数的区间有界长度。
2014-08-06 math.NT
Explicit bounds for primes in arithmetic progressions
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；City University of New York, College of Staten Island and The Graduate Center（纽约市立大学，斯塔滕岛学院及研究生院）
该研究推导了算术进展中素数计数函数的显式上界，并改进了L(1,χ)和例外零点的界。
2018-11-27 math.NT
Rudin Inequality, Chang Theorem, primes and squares
本文证明素数密度子集上三角多项式大值具有较弱加性结构，并通过对区间、素数及平方数上的解离集建立大筛法不等式，推广了 Rudin 不等式与 Chang 定理。
2025-01-09 math.NT
On Primes, Graphs and Cohomology
自然数上的计数函数定义了一个具有上同调的离散Morse-Smale复形，对于该复形，Morse指数、贝蒂数或Morse指数的临界点的计数函数等拓扑量都可以用数论术语给出. Morse滤波的欧拉示性数与Mertens函数有关，在临界点的Poincaré-Hopf指数对应于Moebius函数的值。Morse不等式将数的理论量，如与素数的素数分布相关的素数计数函数，与图的上同调性质联系起来。刚刚给出的图像是离散Morse上同调等价于单纯上同调的一个特例。这里考虑的特殊例子是图是有限单图的重心加细的情况。
2016-08-22 math.CO math.GT math.NT
New Results on Primes from an Old Proof of Euler's
在1737年伦纳德欧拉给了我们现在通常认为是一个新的证明，根据无穷级数，欧几里德定理，有无穷多个素数。我们的简短的论文使用了一个简单的修改欧拉的论点，以获得新的结果的分布素因子的整数集，包括一个弱的单侧Tschebyshev不等式。一个例子表明，在这种情况下不可能有一个素数定理，甚至不可能有一对Tschebyshev不等式，但如果知道单侧Tschebyshev不等式是否成立，那将是非常有趣的。
2003-04-16 math.NT
Determining newforms via arithmetic relations among Fourier coefficients
Indian Institute of Technology Jammu（印度理工学院詹姆校区）
研究两个新形式的傅里叶系数之间的算术关系如何用于确定底层形式，给出了扭曲不等价非CM新形式在素数幂处归一化傅里叶系数的差、积和比的分布定量结果，并推导了重数一的定量改进和密度一类似定理。
2026-07-31 math.NT
On the largest prime factors of $p-1$ and $p+1$
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文证明对正比例的素数，$p-1$ 与 $p+1$ 的最大素因子大小关系在两个方向均成立，方法结合对数平衡恒等式与均匀塞尔伯格筛法。
2026-10-02 math.NT
Explicit smoothed prime ideals theorems under GRH
设$ψ_{\mathbb K}$是数域$\mathbb K$的切比雪夫函数。设$ψ^{(1)}_{\mathbb K}(x):=\int_{0}^{x}ψ_{\mathbb K}(t)\,d t$和$ψ^{(2)}_{\mathbb K}(x):=2\int_{0}^{x}ψ^{(1)}_{\mathbb K}(t)\,d t$。在GRH下证明了差分$|ψ^{(1)}_{\mathbb K}(x) - \tfrac{x^2}{2}|$和$|ψ^{(2)}_{\mathbb K}(x) - \tfrac{x^3}{3}|$的显式不等式.我们推导出一个计算戴德金ζ函数的留数的有效算法和小范数素理想的一个界。
2015-09-17 math.NT
Derived Ramanujan Primes : R'_{n}
我们研究的拉马努金总理计数函数沿线拉马努金的原始工作伯特兰的公设。我们证明了在x和2x之间的Ramanujan素数的个数随着x趋于无穷大。这种分析使我们定义了一个新的序列的素数，我们称之为派生拉马努金素数。当n大于或等于1时，我们定义第n个拉马努金素数为最小的正整数，其性质是：如果x大于或等于第n个拉马努金素数，则从x到x/2的区间中的拉马努金素数的个数大于或等于n。作为导出Ramanujan素数存在性的一个应用，我们证明了Richert素数定理和Greenfield素数定理对于Ramanujan素数的类似性。给出了素数计数函数和Ramanujan素数计数函数的一些新的不等式.在Sondow和Laishram关于Ramanujan素数的界的最新工作的基础上，我们分析了导出的Ramanujan素数的界。最后给出了Amersi，Beckwith，Miller，Ronan和Sondow定理的另一个证明.
2012-10-29 math.NT
Inclusive prime number races
令$π(x;q,a)$表示直到$x$的素数的数目，这些素数与$a$模$q$全等。对于固定模$q$和剩余类$a_1, \ldots, a_r$，研究了不等式系统$π(x;q,a_1) > π(x;q,a_2) > \cdots > π(x;q,a_r)$的素数族。对素数种族的研究是由切比雪夫发起的，并由许多其他人进一步研究，包括利特尔伍德，Shanks-Rényi，Knapowski-Turan和Kaczorowski。我们期望这个不等式系统应该有任意大的解$x$，而且我们期望无论我们如何置换剩余类$a_j$都是如此;如果是这种情况，并且如果这样的$x$的集合的对数密度存在并且是正的，则素数族被称为包含的。在突破性的研究中，Rubinstein和Sarnak有条件地证明了每个素数族都是包容的;他们不仅假设了广义黎曼假设，而且还假设了关于Dirichlet $L$ -函数的零点线性独立性的强声明。我们表明，同样的结论可以达到假设广义黎曼假设和一个弱得多的线性独立性假设。事实上，我们可以假设几乎所有的零点都可能涉及到$\mathbb{Q}$ -线性关系;我们还可以更有力地得出结论，相关的极限分布到处都有质量。这项工作利用了一些想法从概率，明确的公式从数论，和克罗内克-外尔等分布定理。
2019-08-24 math.NT math.PR
Limiting properties of the distribution of primes in an arbitrarily large number of residue classes
我们推广目前已知的分布结果的Shanks-Rényi素数比赛的情况下，任意多个剩余类。我们的方法处理经典的情况下，可以追溯到切比雪夫和功能领域的类似物在最近几年。更准确地说，令$π(x;q,a)$为直到$x$的素数的数目，这些素数与$a$模$q$全等。对于一个固定的整数$q$和不同的可逆同余类$a_0,a_1,\ldots,a_D$，假设广义黎曼假设和弱版本的线性独立性假设，我们证明了集合的$x$真正的不等式$π(x;q,a_0)>π(x;q,a_1)> \ldots >π(x;q,a_D)$同时满足允许对数密度。
2019-10-15 math.NT
Formulas for pi(n) and the n-th prime
利用Rosser和Schoenfeld不等式，我们证明了π（n）和第n个素数的公式，这些公式只涉及整数上的初等运算+，-，/，以及地板函数。因此，时间复杂度为O（n^（3/2））。Stephen Regimbal在An explicit formula for the k-th素数，Mathematics Magazine，48（1975），230-23中使用Bertrand公设证明了类似的公式
2014-03-23 math.HO math.NT
On the third largest prime divisor of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数，$a$是它的第三大素除子，$b$是它的第二大素除子，$c$是它的最大素除子.我们讨论的步骤，获得一个非平凡的上界$a$，以及密切相关的问题，提高界限$bc$，和$abc$。特别是，我们证明了两个结果。首先，我们证明了一个新的一般约束的任何素除子因子的奇数完满数，并获得作为一个推论的界限，$$a < 2N^{\frac{1}{6}}.$$第二，我们表明，$$abc < (2N)^{\frac{3}{5}}.$$我们还表明如何在某些情况下，这些界限和相关的不等式可以收紧。将$σ_{m,n}$对定义为素数$p$和$q$对，其中$q|σ(p^m)$和$p|σ(q^n)$。我们的许多结果都围绕着理解$σ_{2,2}$对。我们还证明了结果有关$σ_{m,n}$对其他值的$m$和$n$。
2021-06-26 math.NT
Small solutions to linear forms in primes
本文证明了四个变量的线性型中有正比例存在如启发式预期般小的素数解，且在满足特定局部可解性条件的线性型中，几乎所有都存在小素数解。
2025-04-01 math.NT
Prime polynomial values of linear functions in short intervals
本文建立了数论中一个猜想的函数域模拟，它是几个著名猜想的组合，包括Hardy-Littlewood素数元组猜想，关于等差数列和短区间内素数个数的猜想，以及Goldbach猜想.在大有限域的极限中，证明了$n$线性函数的同时素数个数的一个渐近公式。
2014-10-06 math.NT
On transference principle and Nesterenko's linear independence criterion
我们考虑实数$θ_1, \ldots,θ_n$与有理数的同时逼近问题和线性型$x_0+θ_1x_1+\ldots+θ_nx_n$的值在整数点逼近零的对偶问题。在这种情况下，我们分析了两个迁移不等式得到的施密特和Summerer。我们给出了一个相当简单的几何观察，证明了他们的结果。我们还得到了一些以前未知的推论。特别地，我们证明了Schmidt和Summerer不等式与一致指数的转移不等式一起，包含了Bugeaud和Laurent不等式以及Marnat和Moshchevitin不等式的“一半”.除此之外，我们还证明了我们的主要构造为Nesterenko的线性独立性准则提供了一个相当简单的证明。
2021-04-05 math.NT
On the exponents of distribution of primes and smooth numbers
利用三重可分解权重，本文证明了素数与光滑数在算术级数中的均等分布，消除了对Selberg特征值猜想的依赖，并改进了孪生素数与连续光滑数计数的上界。
2025-06-29 math.NT
Mean values of Dirichlet polynomials and applications to linear equations with prime variables
证明了一个新的关于系数由von Mangoldt函数给出的Dirichlet多项式的中值定理。然后，我们使用我们的定理，以获得新的估计某些指数和素数。后者有应用程序添加剂的问题与素变量。特别是，我们能够改进J.Y. Liu和K.M. Tsang关于素变量线性方程解的大小。
2004-12-12 math.NT
Jensen polynomials associated with Wright's circle method: Hyperbolicity and Turán inequalities
本研究基于Griffin–Ono–Rolen–Zagier框架，证明了满足带有限优弧的Wright圆法的函数的傅里叶系数对应的Jensen多项式渐近双曲，进而得出其渐近满足所有高阶Turán不等式，并将结果应用于两类数论函数。
2023-07-21 math.NT
On Galois groups of linearized polynomials related to the general linear group of prime degree
令$L(x)$是系数在$\mathbb{F}_q$中的任何$q$线性化多项式，次数为$q^n$。考虑$\mathbb{F}_q(t)$上$L(x)+tx$的Galois群，其中$t$在$\mathbb{F}_q$上是超越的.证明了当$n$是素数时，除$L(x)=x^{q^n}$外，Galois群总是$GL(n,q)$.等价地，我们证明了$L(x)/x$的算术单值群是$GL(n,q)$。
2022-07-28 math.NT
An Asymptotic for the Number of Solutions to Linear Equations in Prime Numbers from Specified Chebotarev Classes
我们扩展了已知的结果的解决方案的数量至少有三个素数的线性方程时，所涉及的素数必须躺在指定的Chebotarev类。我们证明了类似于以前的渐近结果，现在才考虑到修正来自Chebotarev密度定理和全球类域理论。然后，我们应用这些结果找到椭圆曲线的判别式完全分裂的一个给定的数域。
2012-11-05 math.NT
Uniform explicit Stewart's theorem on prime factors of linear recurrences
Stewart（2013）证明了Lucas整数序列的第$n$项的最大素除子比$n$增长得更快，回答了Erds和Schinzel的著名问题。本文给出了Stewart结果的一个完全显式的、在某种意义上是统一的形式。
2022-10-02 math.NT
Primitive prime factors in second order linear recurrence sequences
对于一类Lucas序列${x_n}$，我们证明了如果$n$是正整数，则$x_n$有一个本原素因子，它能将$x_n$整除为奇次幂，除非可能是$n = 1, 2, 3 or 6$ .这有几个可取的结果。
2012-12-27 math.NT
On numbers $n$ relatively prime to the $n$th term of a linear recurrence
设$(u_n)_{n \geq 0}$是整数的非退化线性递归，$\mathcal{A}$是正整数$n$的集合，使得$u_n$和$n$是互素.我们证明了$\mathcal{A}$有一个渐近密度，这个密度是积极的，除非$(u_n / n)_{n \geq 1}$是一个线性递归。
2017-04-04 math.NT
The Discrete Logarithm Problem over Prime Fields can be transformed to a Linear Multivariable Chinese Remainder Theorem
我们证明了经典的素域上的离散对数问题可以归结为求解线性模方程组的问题。
2016-08-25 cs.CR math.NT
Linear equations in primes and dynamics of nilmanifolds
我们调查的一些想法背后的最新发展，在加性数论，组合学和遍历论导致的证明Hardy- Littlewood型估计的数量有限复杂的线性方程系统的素数解。
2014-04-03 math.DS math.NT
