Some new inequalities for primes
Zhi-Wei Sun
对于n= 1，2，3，.设p_n是第n个素数。我们主要证明了当n>124时p_n>n+ sum_{k=1} ^n p_k/k，当n>30时sum_{k=1} ^n kp_k<n^2p_n/3.
For n=1,2,3,... let p_n be the n-th prime. We mainly show that p_n>n+sum_{k=1}^n p_k/k for all n>124, and sum_{k=1}^n kp_k<n^2p_n/3 for all n>30.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Diophantine Inequalities with Primes, Auxiliary Inequalities, Evaluations of the Difference between Consecutive Primes
利用辅助不等式和连续素数差的估计，给出了一种证明含素数的丢番图不等式的方法.本文研究了区间$((n - 1)^k, n^k)$中素数的Legendre - Ingham问题以及当$k$为实数时区间$(\frac{k-1}{k}n, \frac{k}{k-1}n)$中素数的Legendre - Ingham问题.一些新的结果，包括一个替代的证明英厄姆定理的有效计算常数，也英厄姆定理与两个素数的证明。
On Proving of Diophantine Inequalities with Prime Numbers by Evaluations of the Difference between Consecutive Primes
作为工作假设的评价之间的差异素数$p_{n+1} - p_n = O(\sqrt{p_n})$，我们代表了勒让德和Oppermann的代数的详细证明。
Some Diophantine equations and inequalities with primes
这些不等式涉及非整数指数c>1的素数的s次幂和。这里s =2、3、4或5。方程类似，在求和之前取整数部分;这里s = 3或5。新的范围c被发现在所有情况下，许多解决方案的素数存在。
Diophantine Inequalities as a Problem of Difference between Consecutive Primes
在本文中，我们已经开发了一种方法来解决\textit{diophantine inequalities}使用它们与\textit{difference between consecutive primes}的关系。使用这种方法，我们已经能够证明一些定理，包括英厄姆的指数定理以及一些新的结果。丢番图不等式及其与Cramer和Andrica不等式的关系也被讨论。
Large Sieve Inequalities for Special Characters to Prime Square Moduli
本文对模为素数平方的一些特殊特征标建立了一个大筛法不等式。我们的结果给出了在一定范围内的非平凡估计。
On inequalities involving counts of the prime factors of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数。令$ω(N)$是$N$的不同素因子的数目，令$Ω(N)$是$N$的素因子的总数（计数重数）。我们证明了$\frac{99}{37}ω(N) - \frac{187}{37} \leq Ω(N)$，如果$3\nmid N$，那么$\frac{51}{19}ω(N)-\frac{46}{19} \leq Ω(N)$。
Inequalities for inert primes and their applications
对于任意给定的非平方整数$ D\equiv 0,1 \pmod{4} $，证明了关于满足Kronecker符号$ (D/q_{i})=-1 $，$ i=1,2,\cdots, $的素数序列$ \{q_{i}\} $的Euclid型不等式，并作为应用给出了一个新的判定三元二次型为非正则的判据，在一定程度上简化了Dickson和Jones关于正则三元二次型分类的论证.
On Two Diophantine Inequalities Over Primes
设$1<c<37/18,\,c\neq2$和$N$是足够大的实数。本文证明了对几乎所有的$R\in(N,2N],$，丢番图不等式$|p_1^c+p_2^c+p_3^c-R|<\log^{-1}N$在素数$p_1,\,p_2,\,p_3.$中可解。此外，我们还研究了六个素数的问题，证明了对充分大的实数$N$，丢番图不等式$|p_1^c+p_2^c+p_3^c+p_4^c+p_5^c+p_6^c-N|<\log^{-1}N$在素数$p_1,\,p_2,\,p_3,\,p_4,\,p_5,\,p_6$中可解。
On two Diophantine inequalities over primes (II)
设$1<c<\frac{26088036}{12301745},c\not=2$和$N$是足够大的实数。本文证明了对几乎所有的$R\in (N,2N]$，丢番图不等式\begin{equation*} \big|p_1^c+p_2^c+p_3^c-R\big|<\log^{-1}N \end{equation*}在素数$p_1,p_2,p_3$中可解.此外，我们还证明了如下丢番图不等式\begin{equation*} \big|p_1^c+p_2^c+p_3^c+p_4^c+p_5^c+p_6^c-N\big|<\log^{-1}N \end{equation*}在素变元$p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6$中可解，改进了以前的结果$1<c<\frac{37}{18},c\neq2$ .
Large sieve inequalities for exceptional Maass forms and the greatest prime factor of $n^2+1$
本文通过证明例外Maass形式的新型大型筛不等式，改进了n²+1的最大大素因子的下限，并应用于素数和光滑数在算术级数中的分布指数。
Linear inequalities in primes
本文证明了代数系数联立线性不等式组素数解个数的一个渐近公式。对于$m$同时不等式，我们需要至少$m+2$变量，改进现有的方法，一般需要至少$2m+1$变量。我们的结果也推广了Green-Tao-Ziegler关于素数线性方程的定理。提出的许多方法适用于任意系数，而不仅仅是代数系数，我们制定了一个猜想关于伪随机的筛权重，如果解决，将删除代数假设完全。
Explicit inequalities for the nth lucky number
本文基于幸运数分布特性，推导出第n个幸运数的显式上下界，类比素数定理揭示其渐进行为。
Entropy Inequalities for Sums in Prime Cyclic Groups
建立了置换下取值于素数阶循环群的独立随机变量和的Rényi熵的下界.我们的方法的主要成分是扩展的重排不等式在素循环群的Lev（2001），和随机序的概念。几个应用程序的开发，包括离散熵功率不等式，Littlewood-Offord问题，并计数某些线性系的解决方案。
Improving and Maximal Inequalities for Primes in Progressions
假设$ y < N$是整数，并且$ (b,y) =1$ .定义一个沿直径$ y$级数中素数的平均值，由整数$ (b,y)=1 $给出。\begin{align*} A_{N,y,b} := \frac{ϕ(y)}{N} \sum _{\substack{n <N\\n\equiv b\pmod{y}}} Λ(n) f(x-n) \end{align*}在上面，$Λ$是von Mangoldt函数，$ϕ$是totient函数。我们建立这些平均值的改进和极大不等式。这些界限在级数的选择上是一致的。例如，对于$ 1< r < \infty $，存在整数$N _{y, r}$，使得\begin{align*} \lVert \sup _{N>N _{y,r}} \lvert A_{N,y,b} f \rvert \rVert_{r}\ll \lVert f\rVert_{r}. \end{align*}隐含常数仅是$ r$的函数。级数的一致性在证明中加入了几个新的元素。
Fractional parts of polynomials over the primes
设f是具有无理首项系数的多项式。我们得到的距离最近的整数f（p）的距离不等式，持有无穷多个素数p。这些结果改进了工作的Harman在1981年和1983年和黄在1997年。
On a system of two Diophantine inequalities with six prime variables
本文研究了在特定条件下，两个丢番图不等式系统在素数变量下可解的问题，改进了Han-Liu-Zhang的结果。
A remark on an inequality for the prime counting function
我们注意到不等式$0.92 \frac{x}{\log(x)} <π(x)< 1.11 \frac{x}{\log(x)}$并不对所有的$x\ge 30$都成立，与某些文献相反。这些估计$π(x)$最近出现在论文代数数论。
Increasing and decreasing prime gaps
令$p_n$表示第$n$素数，而$g_n:=p_{n+1}-p_n$表示第$n$素数间隙。我们证明了存在无穷多个值的$n$，其中$g_n>g_{n+1}>\cdots>g_{n+m}$与$m\gg \log\log\log n$和类似的反向不等式。在这样做，我们解决了一个猜想埃尔德什的情况下$m=2$。
An improvement of an inequality of Ochem and Rao concerning odd perfect numbers
令$Ω(n)$表示$n$的素因子的总数（计数重数），令$ω(n)$表示$n$的不同素因子的数量。当$N$为奇完全数时，证明了与$ω(N)$和$Ω(N)$有关的各种不等式.我们改进了这些不平等。特别是，我们表明，如果$3 \not| N$，则$Ω\geq \frac{8}{3}ω(N)-\frac{7}{3}$，如果$3 |N$，则$Ω(N) \geq \frac{21}{8}ω(N)-\frac{39}{8}.$
Explicit bounds for primes in arithmetic progressions
该研究推导了算术进展中素数计数函数的显式上界，并改进了L(1,χ)和例外零点的界。
Rudin Inequality, Chang Theorem, primes and squares
本文证明素数密度子集上三角多项式大值具有较弱加性结构，并通过对区间、素数及平方数上的解离集建立大筛法不等式，推广了 Rudin 不等式与 Chang 定理。
Determining newforms via arithmetic relations among Fourier coefficients
研究两个新形式的傅里叶系数之间的算术关系如何用于确定底层形式，给出了扭曲不等价非CM新形式在素数幂处归一化傅里叶系数的差、积和比的分布定量结果，并推导了重数一的定量改进和密度一类似定理。
On the largest prime factors of $p-1$ and $p+1$
本文证明对正比例的素数，$p-1$ 与 $p+1$ 的最大素因子大小关系在两个方向均成立，方法结合对数平衡恒等式与均匀塞尔伯格筛法。
Explicit smoothed prime ideals theorems under GRH
设$ψ_{\mathbb K}$是数域$\mathbb K$的切比雪夫函数。设$ψ^{(1)}_{\mathbb K}(x):=\int_{0}^{x}ψ_{\mathbb K}(t)\,d t$和$ψ^{(2)}_{\mathbb K}(x):=2\int_{0}^{x}ψ^{(1)}_{\mathbb K}(t)\,d t$。在GRH下证明了差分$|ψ^{(1)}_{\mathbb K}(x) - \tfrac{x^2}{2}|$和$|ψ^{(2)}_{\mathbb K}(x) - \tfrac{x^3}{3}|$的显式不等式.我们推导出一个计算戴德金ζ函数的留数的有效算法和小范数素理想的一个界。
On the third largest prime divisor of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数，$a$是它的第三大素除子，$b$是它的第二大素除子，$c$是它的最大素除子.我们讨论的步骤，获得一个非平凡的上界$a$，以及密切相关的问题，提高界限$bc$，和$abc$。特别是，我们证明了两个结果。首先，我们证明了一个新的一般约束的任何素除子因子的奇数完满数，并获得作为一个推论的界限，$$a < 2N^{\frac{1}{6}}.$$第二，我们表明，$$abc < (2N)^{\frac{3}{5}}.$$我们还表明如何在某些情况下，这些界限和相关的不等式可以收紧。将$σ_{m,n}$对定义为素数$p$和$q$对，其中$q|σ(p^m)$和$p|σ(q^n)$。我们的许多结果都围绕着理解$σ_{2,2}$对。我们还证明了结果有关$σ_{m,n}$对其他值的$m$和$n$。
Inclusive prime number races
令$π(x;q,a)$表示直到$x$的素数的数目，这些素数与$a$模$q$全等。对于固定模$q$和剩余类$a_1, \ldots, a_r$，研究了不等式系统$π(x;q,a_1) > π(x;q,a_2) > \cdots > π(x;q,a_r)$的素数族。对素数种族的研究是由切比雪夫发起的，并由许多其他人进一步研究，包括利特尔伍德，Shanks-Rényi，Knapowski-Turan和Kaczorowski。我们期望这个不等式系统应该有任意大的解$x$，而且我们期望无论我们如何置换剩余类$a_j$都是如此;如果是这种情况，并且如果这样的$x$的集合的对数密度存在并且是正的，则素数族被称为包含的。在突破性的研究中，Rubinstein和Sarnak有条件地证明了每个素数族都是包容的;他们不仅假设了广义黎曼假设，而且还假设了关于Dirichlet $L$ -函数的零点线性独立性的强声明。我们表明，同样的结论可以达到假设广义黎曼假设和一个弱得多的线性独立性假设。事实上，我们可以假设几乎所有的零点都可能涉及到$\mathbb{Q}$ -线性关系;我们还可以更有力地得出结论，相关的极限分布到处都有质量。这项工作利用了一些想法从概率，明确的公式从数论，和克罗内克-外尔等分布定理。
Formulas for pi(n) and the n-th prime
利用Rosser和Schoenfeld不等式，我们证明了π（n）和第n个素数的公式，这些公式只涉及整数上的初等运算+，-，/，以及地板函数。因此，时间复杂度为O（n^（3/2））。Stephen Regimbal在An explicit formula for the k-th素数，Mathematics Magazine，48（1975），230-23中使用Bertrand公设证明了类似的公式
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