Volume preserving mean curvature flow of round surfaces in asymptotically flat spaces
本文研究渐近平坦3-流形中曲面的保体积平均曲率流，证明在正ADM质量和初始曲面为圆时，流长期存在并光滑收敛到稳定CMC曲面，推广了Huisken-Yau的结果，并提供构造CMC叶状结构的新方法。
2025-01-22 math.AP math.DG
Almost-rigidity and the extinction time of positively curved Ricci flows
证明了几乎具有最大消亡时的里奇流在与$\mathbb{R}^{2}$相交时具有正的迷向曲率的条件下一定是近圆流.作为应用，我们证明了$S^{3}$和$RP^{3}$上具有几乎最大宽度的正曲度量必须是近圆的.
2015-06-10 math.AP math.DG
Sharp distance comparison for curve shortening flow on the round sphere
该研究证明了球面上曲线缩短流的精确弦弧改进性质，由此得到曲率控制，进而直接证明简单球面曲线的两种演化结局，完善了球面曲线缩短流的相关结论。
2023-10-04 math.DG
Ancient and Eternal Solutions to Mean Curvature Flow from Minimal Surfaces
我们在$\mathbb{R}^{n+1}$中为$n \geq 2$构建了与某些类别的不稳定极小超曲面相关的中曲率流的嵌入古代解。这些例子提供了平均凸但非凸的古代解决方案，不是孤立子，这意味着他们不发展的刚性运动或homotheties。此外，我们构造嵌入永恒的解决方案，中曲率流在$\mathbb{R}^{n+1}$为$n \geq 2$。这些永恒的解决方案是不是孤子，是$O(n)\times O(1)$不变的，是平均凸但非凸。它们从悬链面流出，并且是轮廓曲线的旋转，该轮廓曲线变得无限远离旋转轴。对于$t \to \infty$，轮廓曲线对于$n \geq 3$收敛到严峻的收割机，对于$n=2$变得平坦。关于这些永恒的解决方案，我们还表明，他们是渐近唯一的规模之间的嵌入式$O(n)\times O(1)$不变，永恒的解决方案，一致有界的曲率和一个符号的中曲率。
2019-05-01 math.AP math.DG
Evolving to Non-round Weingarten Spheres: Integer Linear Hopf Flows
在20世纪50年代，霍普夫给出了欧氏三维空间中具有旋转对称的非圆凸2-球面的例子，这些球面满足它们的主曲率之间的线性关系。在本文中，我们研究的条件下，通过线性组合的曲率半径产生一个霍普夫球的光滑旋转对称球。当流的系数具有某些整数值时，初始球的命运完全由其孤立脐点的局部几何形状决定。一个令人惊讶的各种行为被发现：收敛到圆球和非圆的霍普夫球，以及发散到无穷大。临界量是在孤立脐点处散光消失的速率-曲率半径的差。事实证明，该量的大小与流函数中的系数的关系决定了演化的命运。该方程的几何设置是曲率半径空间，被视为一对双曲/AdS半平面沿其边界（脐地平线）连接。一个旋转对称的球体在这个平面上确定一个参数化曲线，其端点在脐地平线上。曲线在脐地平线的斜率由Codazzi-Mainardi方程与散光消失的速率相联系，对于一般的初始条件，可以用来确定流动的结果。在流动过程中，斜坡可以跳跃，并给出了一些例子：初始斜坡的瞬时跳跃，以及在有限时间内收缩到点并“弹出”斜坡的脐圈。最后，我们提出了类似孤子的解决方案：曲线下的线性流动的相互双曲/AdS等距（膨胀和平移）的曲率半径空间。即将发表的一篇论文将把这些几何思想应用于非线性曲率流。
2017-09-02 math.AP math.DG
Self-similar solutions of $σ_k^α$-curvature flow
本文利用一个新的不等式，证明了在一定的曲率pinching条件下，$σ_k^α$ -流的严格凸闭光滑自相似解必定是一个圆球.对于具有非齐次函数$F$的$F=-\langle X, e_{n+1}\rangle \, (*)$的解，我们也得到了类似的结果.最后，证明了如果$F$可以与$\frac{(n-k+1)σ_{k-1}}{kσ_{k}}$比较，则$(*)$的严格$k$ -凸闭解必为圆球.
2016-11-23 math.AP math.DG
Rigidity of generic singularities of mean curvature flow
收缩器是中曲率流（MCF）的特殊解，通过重新缩放和模拟奇点而演化。虽然在每个维度上都有无穷多个，但[CM 1]表明，唯一的通用是圆柱体$\SS^k\times \RR^{n-k}$。我们在这里证明了圆柱在很强的意义上是刚性的。也就是说，任何其他收缩器，是足够接近其中一个大，但紧凑，设置本身必须是一个圆柱体。据我们所知，这是非线性几何流奇点的第一个广义刚性定理。我们希望这里开发的技术和思想可以应用于其他流程。我们的结果在所有维度上都成立，并且不需要任何先验光滑性。
2015-02-12 math.AP math.DG math.GT
Ancient solutions of the mean curvature flow
在这篇短文中，我们证明了中曲率流的古老解的存在性，当t -> 0时，这些解坍缩到一个圆点，但当t -> -无穷大时，这些解变得越来越椭圆：在中心附近，它们具有以圆柱体S^j x R^n-j为模型的渐近收缩器，在尖端附近，它们具有以碗^j+1 x R^n-j-1为模型的渐近平移器。我们还给出了古代α-安德鲁斯流之间的圆形收缩球的特征。我们的证明是基于最近的估计Haslhofer-Kleiner。
2013-08-19 math.DG
Mean curvature flow with generic initial data II
我们表明，中曲率流的一般闭曲面在$\mathbb{R}^3$避免多重性1切线流，不是圆球/圆柱。特别是，我们表明，任何非圆柱形的自收缩与圆柱形的结束不能出现一般。
2023-02-16 math.AP math.DG
Singularity structure in mean curvature flow of mean convex sets
本文给出了三维平均凸集的中曲率流的一些结果。不严格地说，我们的结果证明了天真的图片中曲率流的唯一的奇异性是颈部捏，和组件的崩溃渐近圆球。
2003-10-16 math.AP math.DG
Stability of the surface area preserving mean curvature flow in Euclidean space
我们证明了当初始无迹第二基本型的L^2-范数很小（但初始超曲面不一定是凸的）时，欧几里得空间中的保表面积中曲率流始终存在，并指数收敛于一个圆球.
2012-11-05 math.AP math.DG
Ancient low entropy flows, mean convex neighborhoods, and uniqueness
本文证明了$\mathbb{R}^3$中曲面中曲率流的平均凸邻域猜想。也就是说，如果流在时空点$X=(x,t)$处具有球形或圆柱形奇点，则存在正的$\varepsilon=\varepsilon(X)>0$，使得流在$X$周围大小为$\varepsilon$的时空邻域中是平均凸的。主要的困难是把关于奇点的无穷小信息推广到宏观尺度的结论。事实上，我们证明了一个更一般的分类结果，所有古老的低熵流，出现潜在的极限流附近的$X$。也就是说，我们证明了任何古老的，单位正则，循环，积分Brakke流在$\mathbb{R}^3$熵至多$\sqrt{2π/e}+δ$是一个平面，一个圆形收缩球，一个圆形收缩柱，一个平移碗孤子，或一个古老的椭圆。作为应用，我们证明了球奇点或柱奇点的中曲率流的唯一性猜想。特别是，假设Ilmanen的重数1猜想，我们得出结论，嵌入两个领域的中曲率流通过奇点是适定的。
2021-08-30 math.AP math.DG
Sharp dynamical isoperimetric principle for mean curvature flow
本文为弱平均曲率流建立了尖锐动力等周原理，证明在初始面积固定的流中标准收缩球面唯一最大化消亡时间，并给出最优消亡时间估计及抛物测度等周不等式。
2026-10-08 math.AP math.DG
On Area-preserving and Length-preserving Nonlocal Flow of Convex Closed Plane Curves
对于任意的$α>0,$，我们研究了凸闭平面曲线的$k^α$型保长和保面积非局部流，并证明了这两类流使曲线在$C^{\infty}% $ -范数下演化为圆.当$\ $
2015-09-23 math.AP math.DG
Ancient solutions for Andrews' hypersurface flow
我们构造了B. 1994年，安德鲁斯。当时间为$t \rightarrow 0^-$时，解坍缩到一个圆点，其中$0$是奇异时间。但随着$t\rightarrow-\infty$的发展，解决方案变得越来越椭圆形。在中心附近，适当重新缩放的点Cheeger-Gromov极限是圆柱体解$S^J \times \mathbb{R}^{n-J}$、$1 \leq J \leq n-1$。这些结果与里奇流（$J=n-1$）和中曲率流的相应结果相似。
2018-12-12 math.DG
Unique Asymptotics of Compact Ancient Solutions to three-dimensional Ricci flow
我们考虑三维里奇流的紧致古解是非坍缩的。我们证明了这样的解要么是一族收缩圆球，要么具有唯一的渐近行为，如我们所描述的$t \to -\infty$。这种分析特别适用于佩雷尔曼构建的古代解决方案。
2021-07-24 math.AP math.DG
Uniqueness Theorems of Self-Conformal Solutions to Inverse Curvature Flows
在欧几里得空间中，由主曲率的-1次齐次函数构成的反中曲率流和抛物曲率流的封闭的位似自相似解是唯一的.本文证明了圆球在更强的意义上是刚性的，在某些自然条件下（如星形），它是由共形Killing场生成的同态演化的欧几里得空间中的逆平均曲率流和上述流的唯一闭解。
2020-04-28 math.DG
$κ$-solutions with the round cylinder as an asymptotic shrinker
Rutgers University（罗格斯大学）
研究显示，n≥4维Ricci流$κ$-解，其渐近收缩Ricci溶菌为圆柱体，必须均匀PIC。结合前期分类结果，此类非紧解要么为圆柱体收缩解，要么为Bryant稳态解；紧解则为Perelman古典型解。
2026-05-14 math.DG
Sharp Entropy Bounds for Self-Shrinkers in Mean Curvature Flow
本文研究了平均曲率流中具有非平凡同调的自收缩子的几何不等式问题，证明了此类自收缩子的熵具有由圆球面熵给出的尖锐下界，并刻画了等号成立的条件。
2018-10-14 math.DG
A note on expansion of convex plane curves via inverse curvature flow
最近，Andrews和Bryan [3]发现了一个比较函数，该函数允许他们将曲线缩短流将平面中嵌入的闭曲线收缩为圆形点这一众所周知的事实的经典证明缩短。使用这个比较函数，他们从下面根据端点之间的弧长和经过的时间来估计任何弦的长度。他们将这一估计应用于短线段，并直接推导出最大曲率以指数方式衰减到具有相同长度的圆的曲率。我们考虑凸曲线的逆（平均）曲率流下的扩展，并表明上述比较功能也适用于这种情况下，以获得一个新的证明的事实，即流动存在的所有时间，并成为圆形，即顺利收敛到单位圆后，适当的重新缩放。
2014-06-16 math.DG
Mean curvature flow for pinched submanifolds in rank one symmetric spaces
G. Pipoli和C. Sinestrari考虑了复射影空间中从闭子流形出发的中曲率流。他们证明了，如果子流形是小余维的，并且满足第二基本型的一个适当的拼挤条件，那么流有两种可能的行为：要么子流形在有限时间内坍缩到一个圆点，要么它在无限时间内光滑地收敛到一个全测地子流形。本文证明了（一般）秩一的紧致型对称空间中从窄缩闭子流形出发的中曲率流的类似结果。证明了在第二基本型范数满足一定的严格pinching条件下，（一般）非紧型秩一对称空间中的闭子流形沿中曲率流坍缩到一个圆点.
2020-12-14 math.DG
Mean Curvature Flow of Higher Codimension in Hyperbolic Spaces
本文研究了空间型中任意余维的闭子流形的中曲率流的收敛性。特别地，我们证明了中曲率流使双曲空间形式中满足pinching条件的闭子流形在有限时间内变形为一个圆点。
2011-05-28 math.DG
The curve shortening flow in the metric-affine plane
首次研究了度量-仿射平面上的曲线缩短流，证明了在简单几何条件下，曲线缩短流在有限时间内将闭凸曲线缩短为一个“圆点”。这推广了M.盖奇和R.S.关于欧氏平面上凸曲线的Hamilton定理。
2020-03-23 math.DG
Inverse mean curvature flows in the hyperbolic 3-space revisited
本文重新讨论了三维双曲空间中的反中曲率流。特别是，我们表明，限制形状不一定是圆缩放后，从而解决了文献中的不一致。
2014-09-08 math.DG
On the Convergence of Non-Integer Linear Hopf Flow
本文研究了非整数线性 Hopf 流的收敛性，利用奇异 Sturm-Liouville 算子的谱理论构造特征基，证明在初始曲面焦点重合时流收敛至球面，否则收敛至非球面 Hopf 球。
2022-07-16 math.AP math.CA math.DG
The mean curvature flow of submanifolds of high codimension
从偏微分方程的角度对中曲率流的研究始于Gerhard Huisken于1984年的开创性工作。从那时起，超曲面的中曲率流一直是一个活跃的研究领域。虽然Huisken的开创性文件现在刚刚超过25岁，研究的中曲率流动的子流形较高的余维最近才开始受到重视。子流形的中曲率流是本论文的主要研究对象，我们得到的中心结果可以看作是早期超曲面定理的高余维类似。结果Huisken的1984年的论文大致说，凸超曲面的发展下的中曲率流，以轮点在有限的时间。这里我们得到了这样的结果：如果第第二基本型的长度与中曲率向量的长度之比有界（由某个依赖于维数而不是余维数的显式常数），则子流形将在有限时间内在中曲率流下演化到一个圆点。我们调查的演变在平坦和弯曲的背景，并探讨了奇异行为的流量接近第一奇异时间。
2011-04-22 math.DG
Mean curvature flow of higher codimension in Riemannian manifolds
研究了有界几何黎曼流形中任意余维中曲率流的收敛性。证明了如果初始子流形满足一个拼挤条件，则该子流形沿中曲率流在有限时间内光滑收缩到一个圆点。由此得到了黎曼流形中子流形的一个可微球面定理。
2012-03-31 math.DG
Flow by the power of the Gauss curvature
我们证明了凸超曲面在${\mathbb R}^{n+1}$下收缩流的高斯曲率的任何权力$α>\frac{1}{n+2}$收敛（后重新缩放到固定的体积）到一个极限，这是一个光滑的，一致凸的自相似收缩解决方案的流量。在附加的中心对称下，我们证明了极限是圆球。
2015-10-02 math.DG
Horocycles in hyperbolic 3-manifolds with round Sierpiński limit sets
本文对具有圆形谢尔宾斯基极限集的几何有限双曲三维流形，分类了标架丛上水平圆流的轨道闭包，证明水平圆闭包为恰当浸入子流形，推广了凸余紧情形下的已知结果。
2025-06-20 math.DG math.DS math.GT
A New Geometric Flow on 3-Manifolds: the $K$-Flow
本文提出三维黎曼流形上的新几何流$K$-流，研究Thurston模型几何的演化行为，并证明其短时间存在性。
2023-11-01 gr-qc hep-th math-ph
