Intersecting families with covering number three
本文研究顶点交族的k-图上界问题，针对覆盖数至少为3的交k-图，在k≥7、n≥2k的条件下证明了一个最优基数上界，改进了此前需指数约束n>n₀(k)的结果。
2024-12-10 math.CO
Proof of Frankl's conjecture on cross-intersecting families
本文证明了Frankl关于交叉相交族基数上界的猜想，通过建立受限全集下的交叉相交族定理，并推导出类似结果。
2025-05-10 math.CO
A note on non-empty cross-intersecting families
本文研究非空交叉相交集合族的规模和上界，在 $k_1\geq\cdots\geq k_r$ 且 $n\geq k_1+k_2$ 条件下证明精确最大值公式，并刻画达到上界的极值族，解决了 Shi、Frankl 与 Qian 的公开问题。
2023-06-07 math.CO
On the number of union-free families
一个集合族是无并集的，如果族中没有三个不同的集合使得其中两个集合的并集等于第三个集合。Kleitman证明了每一个无并集的族的规模至多为$(1+o(1))\binom{n}{n/2}$。后来，Burosch-Demetrovics-Katona-Kleitman-Sapozhenko要求的数字$α(n)$这样的家庭，他们证明，$2^{\binom{n}{n/2}}\leq α(n) \leq 2^{2\sqrt{2}\binom{n}{n/2}(1+o(1))}$。他们证明，常数$2\sqrt{2}$可以从右手边的指数中删除。我们证明了他们的猜想制定一个新的容器型定理的根超图。
2016-01-14 math.CO
Intersecting families with covering number three II
Rényi Institute（雷尼研究所）；Sichuan University（四川大学）
本文研究了覆盖数为三的交集族，通过不同方法证明了对于n≥2k且k≥7的情况，交集族的大小满足特定不等式，并补充了剩余情况的证明。
2026-05-09 math.CO
On a weaker notion of cross $t$-intersecting families
Nankai University（南开大学）；Jiangsu Normal University（江苏师范大学）；KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）
该研究证明了在特定交叠条件下，两个族的大小乘积的上界，并扩展了Pyber关于交叉1-交叠族的定理。
2026-01-28 math.CO
Exact extremal non-trivial cross-intersecting families
本文研究两个交叉相交的k元与ℓ元子集族乘积规模的第二极值问题，在排除已知极值族后给出两种精确上界及唯一极值结构，并建立尺寸敏感不等式，同时恢复Frankl和Kupavskii的主要结果。
2024-11-25 math.CO
On nontrivial cross-2-intersecting families
School of Mathematics and Statistics, Ningbo University（宁波大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Soochow University（苏州大学数学系）
本文研究了非平凡交叉2-交集族的上界，并确定了达到此上界的极值族，解决了He等人最近结果中的最后一个未解决情况。
2026-07-15 math.CO
Set families with forbidden subposets
令$F$是$\{1,\ldots,n\}$的子集族。我们说$F$是$P$自由的，如果包含顺序$F$不包含$P$作为诱导子集. $P$的\emph{Turán function}表示为$π^*(n,P)$，是$\{1,\ldots,n\}$子集的无$P$族的最大大小.我们证明了如果$P$是高度至多为$2$的$r$ -元偏序集，则$π^*(n,P) \le (4r + O(\sqrt{r}))\binom{n}{n/2}$.我们还表明，$π^*(n,S_r) = (r+O(\sqrt{r}))\binom{n}{n/2}$，其中$S_r$是$2r$元素的标准例子，和$π^*(n,B_2) \le (2.583+o(1))\binom{n}{n/2}$，其中$B_2$是$2$维布尔格。
2014-08-04 math.CO
Intersecting families with bounded intersections
University of Novi Sad, Serbia（诺维萨德大学）；Rényi Institute, HUN-REN（雷尼研究所）；Eötvös Loránd University (ELTE), Hungary（罗兰大学）
本文研究s-均匀相交族在交集大小有上界时的最大规模，给出了比Ray-Chaudhuri-Wilson定理更强的上界，并推广了Erdős–Ko–Rado定理到非均匀族。
2026-08-06 math.CO
The maximum sum of sizes of non-empty cross $t$-intersecting families
本文确定了非空交叉 $t$-相交族大小之和的最大值并刻画极值族，同时给出了有限向量空间的类似结果。
2024-02-07 math.CO
The maximum product of sizes of cross-\(t\)-intersecting families
本文研究了极值集合论中交叉-\\(t\\)-相交族大小的最大乘积问题，验证了交叉-\\(t\\)-相交版本的Erdős-Ko-Rado定理，刻画了极值族，并证实了Tokushige对于\\(t \geq 3\\)的猜想。
2025-10-07 math.CO
$K_4$-intersecting families of graphs
Ellis、Filmus和Friedgut证明了Simonovits和Sós的一个古老猜想，证明了$n$顶点上的三角形相交图族的最大尺寸至多为$2^{\binom{n}{2} - 3}$，并且对于包含某个固定三角形的图族是相等的。他们强调，他们的结果扩展到交叉交叉的家庭，以及$K_t$交叉的家庭。我们证明了$t \in \{3,4\}$的这些结构，表明如果$\mathcal F_1$和$\mathcal F_2$是$n$标记顶点上的图族，使得对于任何$G_1 \in \mathcal F_1$和$G_2 \in \mathcal F_2$，$G_1 \cap G_2$包含$K_t$，则$\lvert \mathcal F_1 \rvert \lvert \mathcal F_2 \rvert \le 4^{\binom{n}{2} - \binom{t}{2}}$具有相等性当且仅当$\mathcal F_1 = \mathcal F_2$由包含某些固定$K_t$的所有图组成。我们还建立了稳定性结果。更一般地说，“$G_1 \cap G_2$包含一个$K_t$“可以被替换为“$G_1$和$G_2$同意一个非$(t-1)$可着色图.”"
2021-04-01 math.CO
On cross-2-intersecting families
本文在$n\u22653.38\u2113$且$\u2113\u2265k\u22652$的条件下，确定了交叉2相交族的规模乘积上界及极值族结构，推广了Tokushige的相关结果，为非平凡情形极值结构的推导提供了便利。
2025-03-20 math.CO
An Erdős--Ko--Rado theorem for cross-intersecting families in the Euclidean inner product
School of Mathematics and Statistics, Hefei University（合肥大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Anhui University（安徽大学数学科学学院）
本文研究交叉相交族的Erdős–Ko–Rado定理，先结合Filmus FKN定理与线性代数方法给出经典结果的稳定性结论，再基于此与Johnson方案特征值，提出欧几里得内积下的对应定理及唯一性、稳定性结果。
2026-08-19 math.CO
On the number of maximal intersecting k-uniform families and further applications of Tuza's set pair method
研究了表示最大$k$ -一致相交族$F\subseteq \binom{[n]}{k}$个数的函数$M(n,k)$.改进Balogh等人关于$M(n,k)$的一个界，通过证明对于任何固定的$k$，$M(n,k) =n^{Θ(\binom{2k}{k})}$成立，确定了$\log M(n,k)$的数量级.我们的证明是基于Tuza的集对方法。其主要思想是约束相交系统的最大可能点集的大小。我们还介绍和研究了一些相关的函数和参数。
2015-03-12 math.CO
Sharp results concerning disjoint cross-intersecting families
对于$n$元素集$X$，让$\binom{X}{k}$是它的所有$k$子集的集合.如果$A\cap B \neq \emptyset$对所有$A\in\mathcal A$、$B\in\mathcal B$成立，则两个集合族$\mathcal A$和$\mathcal B$称为交叉相交的。令$f(n,k)$表示$\min\{|\mathcal A|, |\mathcal B|\}$的最大值，其中最大值是在{\em不相交}、交叉相交的族$\mathcal A, \mathcal B\subset\binom{[n]}{k}$的所有对上取得的。让PDMATHAMBMZ。我们证明了$f(n,k)=\left\lfloor\frac12\binom{n-1}{k-1}\right\rfloor$本质上当且仅当$n>ck^2$（cf.定理~1.4对于精确陈述）。令$f^*(n,k)$表示在$\mathcal A$和$\mathcal B$的所有成员的交集为空的附加限制下的相同最大值。对于$k\ge5$和$n\ge k^3$，我们证明了$f^*(n,k)=\left\lfloor\frac12\left(\binom{n-1}{k-1}-\binom{n-2k}{k-1}\right)\right\rfloor+1$和对$n$的限制本质上是尖锐的（参见。定理~5.4）。
2019-05-20 cs.DM math.CO
Triangle-intersecting families on eight vertices
Simonovits和Sós证明了$n$顶点上的三角形相交图族的最大尺寸是$2^{\binom{n}{2}-3}$。他们的猜想最近已被证明使用谱方法。我们提供了一个基本的证明的特殊情况下，$8$顶点使用分区参数。
2011-02-09 math.CO
A result for hemi-bundled cross-intersecting families
本文推广了Frankl关于半束交叉相交族的大小上界，在|F|≥r的约束下，并扩展了Katona定理的稳定性结果，确定了相关极值族。
2025-05-23 math.CO
Improved bounds on the maximum diversity of intersecting families
本文研究相交族的最大多样性，利用大型相交族最大度的强界，将多样性上界 $\binom{n-3}{k-2}$ 的适用范围由 $n>72k$ 改进到 $n>36k$。
2023-04-20 math.CO
Non-trivial 3-wise intersecting uniform families
本文研究 n 元集合上非平凡 3-wise 相交 k 一致族的最大规模，并在 k/n 位于 2/5 与 1/2 附近的区间内给出精确极值公式。
2023-04-27 math.CO
Cross-intersecting families with covering number constraints
Xi’an-Budapest Joint Research Center for Combinatorics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学西安-布达佩斯组合学联合研究中心）
本文研究了在一般覆盖数约束下交叉交集族的最大大小问题，并给出了极值配置的刻画。
2026-01-12 math.CO
Largest Sperner families with restricted differences
Capital Normal University（首都师范大学）；Zhejiang University（浙江大学）
研究具有受限差值的最大斯佩纳族问题，通过将有向差值简化为受限汉明距离渐近解决猜想，对\(L = [s]\)且\(n\geq 2s - 1\)情况用新的齐次多项式方法得到精确答案，给出不同条件下\(L -\)差分族大小的界限。
2026-07-27 math.CO
A sharp product bound for non-trivial cross-intersecting families
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）
本文证明了对于非平凡交叉相交族，乘积大小的上界为Hilton-Milner族大小的平方，并刻画了极值结构。
2026-06-23 math.CO
The maximal sum of sizes of cross intersecting families for multisets
本文研究多重集族中交叉t-相交族大小之和的最大值，通过双射和下压缩方法确定极值并刻画极值族，推广了Hilton-Milner定理。
2024-11-05 math.CO
On a conjecture of Tokushige for cross-$t$-intersecting families
本文针对极值集合论中交叉t-相交族的最大规模乘积问题，证明了满足特定参数条件时的乘积上界及等号成立条件，证实了Tokushige提出的t≥3时的相关猜想。
2024-10-30 math.CO
An Erd\H os--Ko--Rado theorem for cross $t$-intersecting families
$n$ -集合的$k$ -子集的两个族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是{ \em cross $t$ -intersecting}，如果对于子集$A \in \mathcal{A}$和$B \in \mathcal{B}$的每个选择，我们有$|A \cap B| \geq t$。我们解决了Erd \H os-Ko-Rado定理的以下简化的交叉$t$-交叉版本：对于所有$n \geq (t+1)(k-t+1)$，两个交叉$t$ -交叉家族$\mathcal{A}, \mathcal{B} \subset\binom{[n]}{k}$的$|\mathcal{A}||\mathcal{B}|$的最大值是$\binom{n-t}{k-t}^2$ .我们对所有$t \geq 14$验证这一点，但对每个固定的$t$验证了许多$n$和$k$。此外，我们证明在这些情况下的唯一性和稳定性的结果，显示，例如，达到这个界限的家庭是唯一的同构。我们还考虑了问题的{ \em $p$ -weight}版本，它来自于$n$ -set的幂集上的乘积测度。
2014-08-20 math.CO
Triangles in intersecting families
我们证明了以下推广的Turán型结果。$r$集合的集合$\mathcal{T}$是$r$ -三角形，如果对于每个$T_1,T_2,\dots,T_{r-1}\in \mathcal{T}$，我们有$\cap_{i=1}^{r-1}T_i\neq\emptyset$，但$\cap_{T\in \mathcal{T}}T$是空的。如果对于任何$F_1,F_2,\dots,F_r\in \mathcal{F}$，我们有$\cap_{i=1}^rF_i\neq \emptyset$，或者等价地，如果$\mathcal{F}$不包含任何$m$ -三角形（对于$m=2,3,\dots,r$），则集合族$\mathcal{F}$是$r$ -wise相交的.证明了如果$n\ge n_0(r,k)$，则包含最多$(r+1)$ -三角形的$r$ -式相交族$\mathcal{F}\subseteq \binom{[n]}{k}$同构于$\{F\in \binom{[n]}{k}:|F\cap [r+1]|\ge r\}$ .
2022-01-11 math.CO
Triangles in r-wise t-intersecting families
设$t$，$r$，$k$和$n$是正整数，$\mathcal{F}$是$n$ -集$V$的$k$ -子集族.如果对于任何$ F_1, \ldots, F_r \in \CF $，我们有$ \abs{\cap_{i = 1}^{r}F_i}\gs t $，则$ \CF $族是$ r $ -wisePDMATHABMU-相交的.一个$ r $ -式$ t $ -相交的$ r + 1 $集族$ \{T_1, \ldots, T_{r + 1}\} $称为$ (r + 1,t) $ -三角形，如果$ |T_1 \cap \cdots \cap T_{r + 1}| \ls t - 1 $ .本文证明了如果$ n \gs n_0(r, t, k) $，则包含最多$ (r + 1,t) $ -三角形的$ r $ -式$ t $ -交族$ \CF \subseteq \binom{[n]}{k} $同构于$ \curlybraces{F \in \binom{[n]}{k}: \abs{F \cap [r + t]} \gs r + t - 1} $ .这也可以看作是一个推广的Turán型结果。
2022-07-29 math.CO
The structure of maximal non-trivial d-wise intersecting uniform families with large sizes
本文利用 $\Delta$-系统方法研究极大非平凡 d-元相交 k-一致族，改进已有最大两类结构定理，并渐近确定第三至第六大情形。
2023-06-07 math.CO
Stability for Helly-type and triangle-free families
Rényi Institute（雷尼研究所）；School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
该文研究k-图中Helly型族与无三角形族的稳定性，在更宽松的n>2k条件下证明了非星型Helly族的大小上界，并推导了无三角形族对应上界的成立与不成立的参数范围。
2026-08-26 math.CO
A Common Generalization of the Theorems of Erdős-Ko-Rado and Hilton-Milner
令$m$、$n$和$k$为满足$0 < k \leq n < 2k \leq m$的整数。如果$\binom{[n]}{k} \subseteq \mathcal{F} \subseteq \binom{[m]}{k}$与$\mathcal{F}$的任意一对成员有非空交，则称集合族$\mathcal{F}$为$(m,n,k)$ -交族.最大$(m,k,k)$ -和$(m,k+1,k)$ -相交族分别由Erdens-Ko-Rado和Hilton-Milner定理确定。我们确定的情况下，$n = 2k-1, 2k-2, 2k-3$，和$m$足够大的最大家庭。
2013-04-06 math.CO
Classification of maximum hittings by large families
对于整数$r$和$n$，其中$n$足够大，并且对于每个集合$X \subseteq [n]$，我们确定最大左压缩相交族$\mathcal{A}\subseteq \binom{[n]}{r}$，其实现与$X$的最大命中（即具有与$X$相交的最多成员）。这回答了巴伯的一个问题，他扩展了博格以前的结果，以证明那些由恒星实现最大命中的集合$X$。
2019-10-08 math.CO
A generalization of diversity for intersecting families
本文将相交族的多样性推广为 $C$-加权多样性，确定 $C\in[0,7/3)$ 时的最大值与极值族，给出所有 $C$ 的界，并证明 Frankl–Wang 猜想。
2023-06-01 math.CO
The Erdős-Ko-Rado Theorem in $\ell_2$-Norm
Hunan Normal University（湖南师范大学）；Shaoxing University（绍兴大学）
本文在ℓ₂范数下证明了t-交家族的埃罗-科-拉多定理，并给出了相关广义Turán结果。
2026-03-12 math.CO
An upper bound on the size of diamond-free families of sets
令$La(n,P)$是不包含$P$作为（弱）子集的$[n]=\{1,2,...,n\}$的子集族的最大大小。表示为$B_{2}$的菱形偏序集定义在四个元素$x,y,z,w$上，关系为$x<y,z$和$y,z<w$。$La(n,P)$已经被研究了许多偏序集，其中一个主要的开放问题是确定$La(n,B_{2})$。研究布尔格$2^{[n]}$中极大链上$[n]$子集族的平均集合数是一种富有成效的方法。我们使用的最大链的划分，并介绍了一种诱导方法，以表明$La(n,B_{2})\leq(2.20711+o(1))\binom{n}{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }$，改进早期界的$(2.25+o(1))\binom{n}{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }$的克莱默，马丁和年轻。
2017-11-23 math.CO
Non-trivial $d$-wise Intersecting families
对于整数$d \geq 2$，如果对于任何不同的集合$A_1,A_2,\dots,A_d \in \mathcal{F}$、$A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_d \neq \emptyset$和$\textit{non-trivial}$，如果$\bigcap \mathcal{F} = \emptyset$，则集合族$\mathcal{F}$是$\textit{$ d $-wise intersecting}$。Hilton和Milner证明了对于$k \geq d \geq 2$和足够大的$n$，$[n]$的$k$ -元素子集的极值非平凡$d$ -方式相交族是以下两个族之一：\begin{align*} &\mathcal{H}(k,d) = \{A \in \binom{[n]}{k} : [d-1] \subset A, A \cap [d,k+1] \neq \emptyset\} \cup \{[k+1] \setminus \{i \} : i \in [d - 1]\} \\ &\mathcal{A}(k,d) = \{ A \in \binom{[n]}{k} : |A \cap [d+1]| \geq d \}. \end{align*}著名的Hilton-Milner定理指出，$\mathcal{H}(k,2)$是$k>3$的唯一…
2019-11-04 math.CO
The maximum sturdiness of intersecting families
本研究聚焦相交族的最大稳固度问题，通过代数定义与组合分析方法，探究了k-均匀相交族、k-均匀t-相交族及非均匀t-相交族的稳固度上界，得出相关最优结果。
2024-12-10 math.CO
Maxmum Size of a Uniform Family with Bounded VC-dimension
针对Frankl-Pach猜想相关的开放问题，本文研究n元集合上VC维至多为d的(d+1)-一致集族的最大规模，将上界从组合数C(n,d)进一步降至C(n-1,d)+O(n^{d-2})，渐近匹配已知下界。
2025-08-20 math.CO
Dominant tournament families
对于具有$h$顶点的锦标赛$H$，其典型密度是$h!2^{-\binom{h}{2}}/aut(H)$，即，这是随机锦标赛中$H$的期望密度。一个$h$ -顶点竞赛图族${\mathcal F}$是{ \em显性}，如果对于所有足够大的$n$，存在一个$n$ -顶点竞赛图$G$，使得$G$中${\mathcal F}$的每个元素的密度比其典型密度大一个常数因子。对于小$h$来说，表征所有优势家族已经是一项挑战。在这里，我们描述了几个大的优势家庭，每$h$。特别是，我们证明了以下所有$h$足够大：（i）对于所有的比赛$H^*$至少有$5\log h$顶点，家庭的所有$h$ -顶点比赛，包含$H^*$作为一个子图是占主导地位的。(ii)所有最小反馈弧集大小至多为$\frac{1}{2}\binom{h}{2}-h^{3/2}\sqrt{\ln h}$的$h$ -顶点竞赛图族是占优的。对于小的$h$，我们构造了$6$的支配族（即$50\%$的）$5$顶点上的竞赛图和$h=6,7,8,9$的尺寸大于$40\%$的支配族。对于所有的$h$，我们提供了一个显式的结构的一个占主导地位的家庭，这是为了获得一个绝对常数分数的比赛$h$顶点。一些额外的有趣的开放问题。
2020-06-19 math.CO
Non-uniform Cross-intersecting Families
本文针对非均匀交叉相交族，在$n\geq k_1+k_2$的条件下确定了其族大小和的最大值，推广了Shi等人的相关结果并刻画了极族。
2024-11-27 math.CO
Maximal intersecting families revisited
本文推广了Frankl和Wu关于交叉相交族的稳定性结果，并以此为工具给出了Hilton--Milner等定理的新简短证明。
2025-07-01 math.CO
Uniformly cross intersecting families
令$\mathcal{A}$和$\matchcal{B}$表示$n$元素集的两个子集族.对$(\mathcal{A},\mathcal{B})$被称为$\ell$ -交叉相交，当且仅当对于所有$A\in\mathcal{A}$和$B\in\mathcal{B}$都是$|A\cap B| = \ell$。用$P_\ell(n)$表示所有这些对上的$|\mathcal{A}||\mathcal{B}|$的最大值。$P_\ell(n)$最著名的上界是$Θ(2^n)$，由Frankl和Rödl提出。对于下界，Ahlswede、Cai和Zhang证明了，对于所有的$n \geq 2\ell$，用$|\mathcal{A}||\mathcal{B}| = \binom{2\ell}{\ell}2^{n-2\ell}=Θ(2^n/\sqrt{\ell})$构造一个$\ell$ -交叉相交对$(\mathcal{A},\mathcal{B})$，并证明这是最好的可能。因此，Sgall询问$P_\ell(n)$是否会随着$\ell$而减少。在本文中，我们证实了Ahlswede等人的上述猜想。对于任何足够大的$\ell$，这意味着一个肯定的回答，以及上述问题的Sgall。通过分析$\mathbb{R}$上的$\mathcal{A},\mathcal{B}$的特征向量的线性空间，证明了存在某些$\ell…
2006-08-07 math.CO
Triangle Families with Large Edge Up-Laplacian Spectral Gap
Department of Mathematics, CUNY Graduate Center, CUNY（CUNY研究生院数学系）
本文研究有限三角形族中边-三角形关联矩阵的谱间隙，证明大谱间隙迫使支撑图中每条边出现在至少⌈λ⌉-2个三角形中且最小度至少⌈λ⌉-1，并揭示了完全三系统是唯一的最小谱极值族，但谱间隙在连续团阈值之间呈孤立峰值。
2026-06-11 math.CO
Containments in families with forbidden subposets
我们考虑的问题，确定最大数量的对$F\subseteq F'$在家庭$\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$，避免某些偏序集$P$的高度为2。我们表明，任何这样的$P$的对的数量是$O(n\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor})$，我们发现的蝴蝶偏序集和$N$偏序集的确切值。此外，我们确定的最大数量的对包含的偏序集的哈塞图是一个道路的渐近。
2021-11-16 math.CO
On the maximum size of $B_3$-free and $D_s$-free families
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Department of Computer Science and Information Theory, Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学计算机科学与信息论系）
本文通过应用 Tompkins 的方法，解决了 $B_3$ 的最大弱自由族问题，证明了其大小下界与布尔格 $B_3$ 和钻石 poset $D_6$ 的关系。
2026-08-13 math.CO
Most Probably Intersecting Hypergraphs
著名的Erdens-Ko-Rado定理表明，对于$n \ge 2k$，$[n]$上的最大相交$k$ -一致集族具有大小$\binom{n-1}{k-1}$。很自然地会问，离相交的大集合族必须有多远。Katona，Katona和Katona引入了最可能相交族的概念，最大化随机子族相交的概率。研究了$k$ -一致集族的最可能相交问题。我们提供了一个粗略的结构表征的最有可能相交的家庭，并为家庭的特定大小，表明初始段的字典顺序是最佳的。
2014-10-26 math.CO
On Mubayi's Conjecture and conditionally intersecting sets
Mubayi猜想指出，如果$\mathcal{F}$是$[n] = \{1,\ldots,n\}$的$k$大小的子集的族，对于$k \geq d \geq 2$，满足$A_1 \cap\cdots\cap A_d \neq \emptyset$，只要$|A_1 \cup\cdots\cup A_d| \leq 2k$对于所有不同的集合$A_1,\ldots,A_d \in\mathcal{F}$，则$|\mathcal{F}|\leq \binom{n-1}{k-1}$，等式仅在$\mathcal{F}$是包含某个固定元素的所有$k$大小的子集的族时发生。本文证明了Mubayi猜想对所有关于移位不变的族都是成立的;事实上，这些族满足Mubayi猜想的更强版本。与此猜想相关，我们证明了$(i,j)$ -不稳定族和$(j,i)$ -不稳定族之间的基本双射对偶.推广以前的相交条件，我们介绍了$(d,s,t)$ -条件相交条件的家庭集，并证明了一般结果。我们猜想家庭$\mathcal{F}\in\binom{[n]}{k}$的规模和极值结构的$(d,2k)$ -条件相交，但不相交，并证明与此猜想有关的结果。我们证明基本定理的两个$(d,s)$ -条件相交的家庭，推广以前的相交家庭，我们提出了一个扩展以前的猜想由Frankl和Füredi的$(3,2k-1)$ -条件相交的家庭。最后，我们概…
2018-10-31 math.CO
A note on traces of set families
如果对于$[n]$的任何$l$ -子集$L$，迹族$\mathcal{F}|_L=\{F \cap L: F \in \mathcal{F}\}$不包含任何长度为$k+1$的链，则将集合族$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$定义为$l$ -迹$k$ -Sperner。本文证明了：对任意正整数$l',k$，若$\mathcal{F}$是$(n-l')$ -迹$k$-Sperner，则有$|\mathcal{F}| \le (k-l'+o(1))\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$，且此界是渐近紧的.
2017-12-01 math.CO
On balanced subfamilies of maximum complement-free families in the middle layer of the Boolean lattice
Department of Computer Science, Indiana University（印第安纳大学计算机科学系）
通过将Taylor-Zwicker交易鲁棒幻方博弈提升为中间层的自对偶选择子，构造了大小为1/2 * binom(2n,n)且无大小为2,4,...,2k的平衡子族但存在大小为2k+2的平衡子族的族，证明了Moss与Pedersen的猜想。
2026-10-16 cs.DM math.CO
Intersecting families, signed sets, and injection
设$k, r, n \geq 1$是整数，$§_{n, k, r}$是由$$ \mathcal{S}_{n, k, r} = \Big\{\{(x_1, a_1), \dots, (x_k, a_k)\}: \{x_1, \dots, x_k\} \in \binom{[n]}{k}, a_1, \dots, a_k \in [r] \Big\}. $$给出的$[n] = \{1, \dots, n\}$上的$r$ -带符号的$k$ -集族.如果$A, B \in \mathcal{A}$蕴涵$A \cap B \not= \emptyset$，则族$\mathcal{A} \subseteq §_{n, k, r}$是\emph{intersecting}.众所周知的结果（首先由Meyer提出，并由Deza和Frankl，以及Bollobás和Leader使用不同的方法证明）指出，如果$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{S}_{n, k, r}$，$r \geq 2$和$1 \leq k \leq n$相交，则$$|\mathcal{A}| \leq r^{k-1}\binom{n-1}{k - 1}.$$我们通过注入提供了这个结果的证明（在同样的精神，弗兰克尔和Füredi的和Hurlbert和Kamat的单射证明的Erdens-Ko-Rado定理，…
2019-12-21 math.CO
Structural results for conditionally intersecting families and some applications
设$k\ge d\ge 3$为固定值。设$\mathcal{F}$是$[n]$上的$k$ -一致族.则$\mathcal{F}$是$(d,s)$ -条件交的，如果它不包含具有至多$s$和空交的并集的$d$集.回答Frankl的一个问题，我们给出了$(d,s)$与$s\ge 2k+d-3$有条件相交的族和$(k,2k)$有条件相交的族的一些结构结果.作为我们的结构结果的应用，我们给出了$[n]$上的$k$ -一致族的大小的上界的一些新的证明。(a)$(d,2k+d-3)$ -与$n\ge 3k^5$有条件交叉的家族。(b)$(k,2k)$ -与$n\ge k^2/(k-1)$有条件相交的族。(c)非相交$(3,2k)$ -与$n\ge 3k\binom{2k}{k}$有条件相交的族。我们对$(c)$的结果证实了Mammoliti和Britz对$d=3$的猜想。
2020-05-15 math.CO
Two results about the hypercube
首先考虑超立方体$Q_n$中VC维数有界的族。Frankl提出了VC维极大族$k$的个数$m(n,k)$的估计问题.阿隆，莫兰和耶胡达奥夫表明，$$n^{(1+o(1))\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}}\leq m(n,k)\leq n^{(1+o(1))\binom{n}{k}}.$$我们关闭的差距，表明$\log \left(m(n,k)\right)= {(1+o(1))\binom{n}{k}}\log n$，并显示如何紧密渐近的对数之间的诱导匹配的两个相邻的小层的$Q_n$如下作为一个推论。接下来，我们考虑超立方体的完整性$I(Q_n)$，定义为$$I(Q_n) = \min\{ |S| +m(Q_n \setminus S) : S \subseteq V (Q_n) \},$$，其中$m(H)$表示$H$的最大连通分支中的顶点数。Beineke、Goddard、Hamburger、Kleitman、Lipman和Pippert证明了$c\frac{2^n}{\sqrt{n}} \leq I(Q_n)\leq C\frac{2^n}{\sqrt{n}}\log n$，并怀疑它们的上界是正确的。我们证明了真理低于上界显示，$I(Q_n)\leq C \frac{2^n}{\sqrt{n}}\sqrt{\log n}$。
2017-10-23 math.CO
The Asymptotic Bound of the Lubell Function for Diamond-free Families
对于$[n]:={1,2,...,n}$的子集族，Lubell函数被定义为$\hb_n(\F):=\sum_{F\in\F}\binom{n}{|F|}^{-1}$。在\cite{GriLiLu}中，Griggs，Lu和作者证明了如果$[n]$的子集的族$\F$不包含形成菱形的四个不同的集合$A$，$B$，$C$和$D$，即$A\subset B\cap C$和$B\cup C\subset D$，则$\hb_n(\F)\le 2+\lfloor\frac{n^2}{4}\rfloor/(n^2-n)$.此外，上界是由三种类型的家庭。本文证明了该猜想的上界是渐近正确的。此外，我们还给出了关于无偏序集族的Lubell函数最大化问题的一些结果。
2012-06-19 math.CO
