AI 中文总结
本文研究了非平凡交叉2-交集族的上界，并确定了达到此上界的极值族，解决了He等人最近结果中的最后一个未解决情况。
AI 中文摘要
两个家族\mathcal{A}\subseteq\binom{[n]}{k}和\mathcal{B}\subseteq\binom{[n]}{\ell}被称为非平凡交叉t-交集族，如果对于所有A∈\mathcal{A}和B∈\mathcal{B}，|A∩B|≥t，并且|\bigcap_{A∈\mathcal{A}∪\mathcal{B}}A|<t。在本文中，我们确定了两个非平凡交叉2-交集族\mathcal{A}\subseteq\binom{[n]}{k}和\mathcal{B}\subseteq\binom{[n]}{\ell}的|\mathcal{A}||\mathcal{B}|上界，对于任何正整数n,k,\ell满足k≥\ell≥3且n≥3(k-1)。此外，我们刻画了达到此上界的极值族。这解决了He, Li, Wu和Zhang（J. Combin. Theory Ser. A, 217 (2026) 106095）最近结果中的最后一个未解决情况。
英文摘要
Two families \(\mathcal{A}\subseteq\binom{[n]}{k}\) and \(\mathcal{B}\subseteq\binom{[n]}{\ell}\) are said to be nontrivial cross-\(t\)-intersecting if \(|A \cap B| \geq t\) for all \(A \in \mathcal{A}\) and \(B \in \mathcal{B}\), and $|\bigcap_{A\in \mathcal{A}\cup \mathcal{B}}A|<t$. In this paper, we determine the upper bound on \(|\mathcal{A}||\mathcal{B}|\) of two nontrivial cross-\(2\)-intersecting families \(\mathcal{A}\subseteq\binom{[n]}{k}\) and \(\mathcal{B}\subseteq\binom{[n]}{\ell}\) for any positive integers $n,k,\ell$ with \(k\geq \ell \geq 3\) and \(n \geq 3(k-1)\). Moreover, we characterize the extremal families attaining this bound. This settles the last unsolved case of a recent result by He, Li, Wu and Zhang (J. Combin. Theory Ser. A, 217 (2026) 106095).
