Note on the diversity of intersecting families
设$n=2k+1$与$k\geq3$为奇数。本文给出了两个多样性大于$\sum_{i=k+1}^{2k} \binom {2k}{i}$的相交族，从而反驳了Huang的一个猜想.
2019-03-07 math.CO
A note on strongly and totally chain intersecting families
Bernáth和Gerbner在2007年引入了$(p,q)$ -链相交的$n$ -元素基础集合的子集族。它们具有这样的性质：对于任何$p$链$A_1\subsetneq A_2\subsetneq \dots \subsetneq A_p$和$q$链$B_1\subsetneq B_2\subsetneq \dots \subsetneq B_q$，我们都有$A_p\cap B_q\neq \emptyset$ . Bernáth和Gerbner确定了这些家族的最大基数。他们还介绍了强$(p,q)$ -链相交的家庭，其中$A_p\cap B_1\neq \emptyset$和完全$(p,q)$ -链相交的家庭，其中$A_1\cap B_1\neq \emptyset$ .他们得到了这类族的最大基数的一些部分结果。我们通过确定强$(p,q)$ -链相交的家庭的最大基数，如果$n$是足够大的，并通过确定完全$(2,2)$ -链相交的家庭的最大基数来扩展这些结果。
2023-02-10 math.CO
Multi-part cross-intersecting families
设$\mathcal{A}\subseteq{[n]\choose a}$和$\mathcal{B}\subseteq{[n]\choose b}$是$[n]$的两个子集族，如果$A\cap B\neq \emptyset$对所有$A\in\mathcal{A}$，$B\in\mathcal{B}$，则称$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$交叉。本文研究了多部件环境下的相交族。通过刻画点传递图及其直积的独立集，确定了最大尺寸多部相交图族的尺寸和结构。这推广了Hilton和Frankl-Tohushige关于单部分环境中交叉相交族的结果。
2019-07-28 math.CO
Structural results for conditionally intersecting families and some applications
设$k\ge d\ge 3$为固定值。设$\mathcal{F}$是$[n]$上的$k$ -一致族.则$\mathcal{F}$是$(d,s)$ -条件交的，如果它不包含具有至多$s$和空交的并集的$d$集.回答Frankl的一个问题，我们给出了$(d,s)$与$s\ge 2k+d-3$有条件相交的族和$(k,2k)$有条件相交的族的一些结构结果.作为我们的结构结果的应用，我们给出了$[n]$上的$k$ -一致族的大小的上界的一些新的证明。(a)$(d,2k+d-3)$ -与$n\ge 3k^5$有条件交叉的家族。(b)$(k,2k)$ -与$n\ge k^2/(k-1)$有条件相交的族。(c)非相交$(3,2k)$ -与$n\ge 3k\binom{2k}{k}$有条件相交的族。我们对$(c)$的结果证实了Mammoliti和Britz对$d=3$的猜想。
2020-05-15 math.CO
Intersecting families of vector spaces with maximum covering number
设$V$是有限域$\mathbb{F}_q$上的$n$维向量空间.设$\mathscr{F}$是$V$的$m$维子空间的交族. $\mathscr{F}$的覆盖数是与$\mathscr{F}$的所有元素相交的$V$的子空间的最小维数。本文给出了覆盖数为$m$的$\mathscr{F}$的规模的紧上界，并描述了达到上界的$\mathscr{F}$的结构.此外，我们还确定了具有最大覆盖数的奇异线性空间的最大交族的结构。
2020-02-14 math.CO
The structure of large non-trivial t-intersecting families for finite sets
本文给出了有限集上的极大非平凡一致$t$ -交大规模族的结构。在$t=1$的特殊情况下，我们的结果在2017年得到了Kostochka和Mubayi的结果。
2020-11-14 math.CO
Intersecting families of sets and permutations: a survey
如果$\mathcal{A}$中的任何两个集合至少有$t$公共元素，则集合族$\mathcal{A}$称为\emph{$t$-intersecting}。极值集合论中的一个中心问题是确定给定族$\mathcal{F}$的最大$t$相交子族的大小或结构。本文综述了各种重要的$\mathcal{F}$族$\mathcal{F}$，即幂集、幂集水平、遗传族、符号集族、标号集族和置换族的已知结果、结构和未解决的问题。我们还提供了一些已知结果的扩展和后果。
2011-06-30 math.CO
Non-trivial $t$-intersecting families for vector spaces
设$V$是有限域$\mathbb{F}_q$上的$n$维向量空间.本文描述了$V$的大尺寸$k$维子空间的极大非平凡$t$ -交族的结构。我们还确定了具有最大尺寸的非平凡$t$ -相交族。在特殊情况下，当$t=1$，我们的结果产生了著名的Hilton-Milner定理的向量空间。
2020-07-23 math.CO
Most Probably Intersecting Hypergraphs
著名的Erdens-Ko-Rado定理表明，对于$n \ge 2k$，$[n]$上的最大相交$k$ -一致集族具有大小$\binom{n-1}{k-1}$。很自然地会问，离相交的大集合族必须有多远。Katona，Katona和Katona引入了最可能相交族的概念，最大化随机子族相交的概率。研究了$k$ -一致集族的最可能相交问题。我们提供了一个粗略的结构表征的最有可能相交的家庭，并为家庭的特定大小，表明初始段的字典顺序是最佳的。
2014-10-26 math.CO
The structure of large intersecting families
一个集合是{ \em相交}的，如果每两个成员有非空交集。本文描述了$n$ -集的$r$ -集的相交族的结构，该$n$ -集的大小比Erd \H os-Ko-Rado定理给出的最大值${n-1 \choose r-1}$小得多.特别是，这扩展了Hilton-Milner定理的非平凡相交的家庭，并回答了最近的问题，韩和Kohayakawa大$n$。在$r=3$的情况下，我们描述的结构，所有相交的家庭超过10个边缘。我们还证明了鄂尔多斯匹配问题的稳定性结果。我们的简短证明是简单的应用程序的三角洲系统的方法介绍和广泛使用的弗兰克尔自1977年以来。
2016-02-05 math.CO
A note on distinct differences in $t$-intersecting families
对于$\{1,2,\ldots,n\}$的子集的家族$\mathcal{F}$，令$\mathcal{D}(\mathcal{F}) = \{F\setminus G: F, G \in \mathcal{F}\}$是$\mathcal{F}$的所有（按集合）差异的集合。族$\mathcal{F}$称为$t$ -相交族，如果对于某个正整数$t$和任意两个成员$F, G \in \mathcal{F}$，我们有$|F\cap G| \geq t$ .如果$t=1$，则族$\mathcal{F}$简称为相交。最近，Frankl证明了交叉族$\mathcal{F}$的$\mathcal{D}(\mathcal{F})$的规模的一个上界.本文将Frankl的结果推广到$t$ -交族.
2022-11-08 math.CO
The profile polytope of non-trivial intersecting families
$n$元素集的子集的族$\mathcal{F}$的轮廓向量是$(f_0,f_1, \ldots, f_n)$，其中$f_i$表示$\mathcal{F}$的$i$元素成员的数目.本文确定了非平凡相交族的轮廓向量集的极值点。
2022-03-10 math.CO
Triangle-intersecting families on eight vertices
Simonovits和Sós证明了$n$顶点上的三角形相交图族的最大尺寸是$2^{\binom{n}{2}-3}$。他们的猜想最近已被证明使用谱方法。我们提供了一个基本的证明的特殊情况下，$8$顶点使用分区参数。
2011-02-09 math.CO
A remark on the paper "Properties of intersecting families of ordered sets" by O. Einstein
O.爱因斯坦（2008）证明了有限集和子空间的有序集的相交族的Bollobás型定理。不幸的是，我们报告说，证明定理的有序集的子空间有一个错误。我们证明了两个较弱的变体。
2017-11-20 math.CO
On the maximum of the sum of the sizes of non-trivial cross-intersecting families
我们考虑标准n-集的k-子集族。两个族F，G称为交交，如果F的每个成员与G的每个成员都有非空交。如果一个族的所有成员的交集都是空的，那么这个族被称为非平凡族。假设F和G是非平凡的且相交的，我们确定了|F| + |G|的最大值.为了证明所谓的移位技术的加强版本被引入。对于不同一致性的族，相应的问题也得到了解决。
2022-09-05 math.CO
Triangle-Intersecting Families of Graphs
一个图族F称为三角形相交的，如果对F中的任意两个图G，H，G和H的交包含一个三角形。Simonovits和Sos在1976年的一个猜想指出，在一个固定的n个顶点的集合上的最大的三角形相交图族是通过固定一个特定的三角形并取所有包含它的图，得到一个大小为（1/8）2^{n choose 2}的图族。我们证明了这个猜想和一些推广（例如，我们证明了同样是真的奇循环相交的家庭，我们得到最好的可能界限的大小家庭根据不同的，不一定是统一的，措施）。我们还得到了稳定性结果，表明几乎最大的三角形相交的家庭有近似相同的结构。
2012-10-08 math.CO
Probably Intersecting Families are Not Nested
众所周知，一个n元集合的子集的相交族最多可以包含2^（n-1）个集合。人们自然会想，一个规模大于大于2^（n-1）的族的相交能有多“接近”。Katona、Katona和Katona提出了“最可能相交的族”的概念。假设X是一个族，0<p<1。设X（p）是通过以概率p独立地选择X中的每个集合而形成的（随机）族。如果族X使X（p）在所有大小为|X|的族上相交的概率最大化，则族X是“最可能相交的”。Katona，Katona和Katona证明了存在一个嵌套序列，该序列由每种可能大小的最可能相交的家族组成。我们表明，这一猜想是假的p的每一个值，只要n是足够大的。
2011-08-29 math.CO
$r$-cross $t$-intersecting families via necessary intersection points
给定整数$r\geq 2$和$n,t\geq 1$，我们称之为族$\mathcal{F}_1,\dots,\mathcal{F}_r\subseteq\mathscr{P}([n])$ $r$ -交叉$t$ -交叉，如果对于所有的$F_i\in\mathcal{F}_i$，$i\in[r]$，我们有$\vert\bigcap_{i\in[r]}F_i\vert\geq t$。我们得到一个强有力的推广经典的Hilton-Milner定理交叉相交的家庭。特别是，我们确定的最大值$\sum_{j\in [r]}\vert\mathcal{F}_j\vert$的$r$交叉$t$交叉的家庭的情况下，当这些是$k$ -均匀的家庭或任意的子家庭的$\mathscr{P}([n])$。这些结果以前只在某些特殊情况下得到过证明。我们获得上述定理的实例，认为一个更一般的结果，$r$ -交叉$t$ -相交的家庭措施。这也为可能混合均匀性$k_1,\ldots,k_r$的族提供了最大值$\sum_{j\in [r]}\vert\mathcal{F}_j\vert$。
2020-11-29 math.CO
An upper bound for the size of a $k$-uniform intersecting family with covering number $k$
令$r(k)$表示具有覆盖数$k$的$k$ -均匀相交族中的最大边数. Erdos和Lovász证明了$ \lfloor k! (e-1) \rfloor \leq r(k) \leq k^k.$ Frankl、Ota和Tokushige将下界改进为$r(k) \geq \left( k/2 \right)^{k-1}$，Tuza将上界改进为$r(k) \leq (1-e^{-1}+o(1))k^k$。我们确定$ r(k) \leq (1 + o(1)) k^{k-1}$。
2016-04-16 math.CO
On generating sets of left-compressed intersecting families
本文构造由生成集生成的左压缩族，给出其为相交族的条件，提供构造方法，并与Bond定理比较，最后研究极大左压缩相交族的生成元。
2025-10-27 math.CO
A comment on Intersecting Families of Permutations
Ellis，Friedgut和Pilpel证明了对于足够大的$n$，一个$t$ -相交的置换族至多包含$(n-t)!$置换.他们的主要定理还指出，等式只对$t$ -陪集成立。我们表明，他们的证明极值家庭的特征是错误的。然而，表征来自埃利斯的一篇论文，正如埃利斯，弗里德古特和皮尔佩尔已经提到的那样。
2017-06-30 math.CO
Cross $t$-intersecting families for finite affine spaces
用$\mathscr{M}(k,n)$表示$AG(n,\mathbb{F}_q)$中所有$k$ -单位的集合。令$\mathscr{F}_1\subset\mathscr{M}(k_1,n)$和$\mathscr{F}_2\subset\mathscr{M}(k_2,n)$对于任何$F_1\in\mathscr{F}_1$和$F_2\in\mathscr{F}_2$满足$\dim(F_1\cap F_2)\ge t$。我们说他们是交叉$t$ -交叉家庭。此外，我们说他们是平凡的，如果他们的每个成员包含一个固定的$t$ -单位在$AG(n,\mathbb{F}_q)$。本文证明了具有最大尺寸积的交叉$t$ -相交族是平凡的.我们还描述了非平凡的$t$相交家庭的最大产品的大小的结构。
2022-02-15 math.CO
Structure and properties of large cross-intersecting families
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）
本文通过引入新的移位方法，建立了大交叉相交对的结构定理，推广了Kupavskii定理，并得到了多个经典定理的交叉相交版本。
2026-06-19 math.CO
Non-trivially intersecting multi-part families
我们说一个集合族是相交的，如果它的任何两个集合相交，我们说它是平凡相交的，如果有一个元素出现在这个族的每个集合中。在本文中，我们研究了一个非平凡相交的家庭在一个自然的“多部分”设置的最大尺寸。在这里，地面集被划分为部分，并考虑家庭的集合，其交叉与每个部分是一个规定的大小。我们的工作的动机是经典的结果，在单部分设置由于Erdenses，Ko和Rado，希尔顿和米尔纳，并由一个定理的Frankl关于相交的家庭在这个多部分设置。在部分尺寸足够大的情况下，我们确定了一个非平凡相交的多部分家庭的最大尺寸，反驳了阿隆和卡托纳的猜想。
2019-06-27 math.CO
Uniform cross-$t$-intersecting families: proving Hirschorn's conjecture up to polynomial factor
考虑两个均匀交叉$t$ -相交集族的最大乘积问题.我们表明，这个最大值是在最多多项式大于（在基集的大小）的数量由Hirschorn在2008年。同时，我们观察到它可以严格地更大。
2021-02-20 math.CO
Structure and Supersaturation for Intersecting Families
关于各种组合对象相交族的最大可能规模的极值问题已被广泛研究。在本文中，我们研究过饱和扩展，在这种情况下，要求最小数量的不相交对，必须出现在家庭大于极值阈值。本文研究了置换族和$k$ -一致集族中不交对的最小数目，并确定了最优族的结构。我们的主要工具是不相交对的移除引理。我们还确定了当$n \ge 2sk + 38s^4$时，$k$ -一致集族的典型结构，并证明了当$n\ge (2+o(1))k$时，顶点集$[n]$上几乎所有的$k$ -一致相交族都是平凡的.
2019-06-08 math.CO
On Cross-intersecting Sperner Families
如果对于所有$X\in\mathscr{A}$和$Y\in\mathscr{B}$都有$X\cap Y\neq\emptyset$，则两个集合$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$称为交叉。给定$\mathbb{N}_n$的两个交叉Sperner家族（或反链）$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$，我们证明如果$n$是奇数，则为$|\mathscr{A}|+|\mathscr{B}|\le 2{{n}\choose{\lceil{n/2}\rceil}}$，如果$n$是偶数，则为$|\mathscr{A}|+|\mathscr{B}|\le {{n}\choose{n/2}}+{{n}\choose{(n/2)+1}}$。进而确定了$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$的所有极值族和几乎极值族。
2022-04-30 math.CO
A note on uniform intersecting families with maximum transversal size
我们构造了一个横截尺寸为$\lceil \frac{k+1}{2} \rceil$，长度为$k+1$的相交$k$ -族，并研究了它的一些性质.我们用这个族证明了$q(4) = 9$。我们还为$k = 2^m - 1$构建了一个$k$ -家族，其长度为$2k+1$，横向尺寸至少为$(2k+1)/3$ .
2014-09-16 math.CO
$s$-almost cross-$t$-intersecting families for finite sets
本文研究了有限集的 $s$-almost cross-$t$-intersecting 族，刻画了大小乘积最大的此类族，并针对非 cross-$t$-intersecting 的情形给出了相应的稳定性结果。
2025-06-27 math.CO
Intersecting families, cross-intersecting families, and a proof of a conjecture of Feghali, Johnson and Thomas
如果$\mathcal{A}$中的每两个集合相交，则称集合族$\mathcal{A}$相交。如果$\mathcal{A}$中的每个集合与$\mathcal{B}$中的每个集合相交，则两个族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$被称为交叉相交。对于正整数$n$，设$[n] = \{1, \dots, n\}$和$\mathcal{S}_n = \{A \subseteq [n] \colon 1 \in A\}$。本文推广了Erdens-Ko-Rado定理，证明了如果$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是$[n]$的子集的非空交叉族，$\mathcal{A}$是交叉的，并且$a_0, a_1, \dots, a_n, b_0, b_1, \dots, b_n$是非负实数，使得对于每个$i \leq n/2$，$a_i + b_i \geq a_{n-i} + b_{n-i}$和$a_{n-i} \geq b_i$，则\[\sum_{A \in \mathcal{A}} a_{|A|} + \sum_{B \in \mathcal{B}} b_{|B|} \leq \sum_{A \in \mathcal{S}_n} a_{|A|} + \sum_{B \in \mathcal{S}_n} b_{|B|}.\]对于图$G$和整数$r$，令${\math…
2017-06-17 math.CO
Extremal problems for intersecting families of subspaces with a measure
本文为 $q$ 元域上向量空间的子空间引入一种测度，提出了相交族的极值问题，作为 Erdős-Ko-Rado 型问题的 $q$ 类似，并回答了其中部分基本问题。
2025-03-20 math.CO
Typical intersecting families are trivial
Research and Development Institute of Northwestern Polytechnical University in Shenzhen（西北工业大学深圳研究院）
本文研究非均匀相交族的计数问题，证明当n≥2k+2+2√(k log k)且k→∞时，几乎所有大小为至多k的相交族共享一个公共固定元素。
2026-06-17 math.CO
Maximum Size $t$-Intersecting Families and Anticodes
本文研究了字母表规模q>2时t-相交族及其对应最大规模常权反码的规模问题，证明了同参数下最大常权反码的结构依赖于字母表规模，揭示了常权反码的层级关系。
2025-03-19 math.CO
On Mubayi's Conjecture and conditionally intersecting sets
Mubayi猜想指出，如果$\mathcal{F}$是$[n] = \{1,\ldots,n\}$的$k$大小的子集的族，对于$k \geq d \geq 2$，满足$A_1 \cap\cdots\cap A_d \neq \emptyset$，只要$|A_1 \cup\cdots\cup A_d| \leq 2k$对于所有不同的集合$A_1,\ldots,A_d \in\mathcal{F}$，则$|\mathcal{F}|\leq \binom{n-1}{k-1}$，等式仅在$\mathcal{F}$是包含某个固定元素的所有$k$大小的子集的族时发生。本文证明了Mubayi猜想对所有关于移位不变的族都是成立的;事实上，这些族满足Mubayi猜想的更强版本。与此猜想相关，我们证明了$(i,j)$ -不稳定族和$(j,i)$ -不稳定族之间的基本双射对偶.推广以前的相交条件，我们介绍了$(d,s,t)$ -条件相交条件的家庭集，并证明了一般结果。我们猜想家庭$\mathcal{F}\in\binom{[n]}{k}$的规模和极值结构的$(d,2k)$ -条件相交，但不相交，并证明与此猜想有关的结果。我们证明基本定理的两个$(d,s)$ -条件相交的家庭，推广以前的相交家庭，我们提出了一个扩展以前的猜想由Frankl和Füredi的$(3,2k-1)$ -条件相交的家庭。最后，我们概…
2018-10-31 math.CO
Non-trivial $t$-intersecting families for symplectic polar spaces
设$\mathscr{P}$是有限域$\mathbb{F}_q$上的辛极空间，$\mathscr{P}_m$表示$\mathscr{P}$中所有$m$维子空间的集合.我们说$\mathscr{P}_m$的$t$ -相交子族是平凡的，如果存在一个包含在这个族的每个成员中的$t$ -维子空间.本文确定了$\mathscr{P}_m$的最大非平凡$t$ -相交子族的结构。
2020-10-10 math.CO
Disjoint Cross Intersecting Families
对于正整数$n$和$r$使得$r \leq \lfloor n/2\rfloor$，令$X$是$n$元素的集合，令$\binom{X}{r}$是$X$的所有$r$子集的族。如果所有$A \in \mathcal{A}$和$B \in \mathcal{B}$的$A \cap B \neq \emptyset$是$\binom{X}{r}$的两个亚族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$，则称为交叉交叉。压缩运算是极集理论，特别是交交族研究的主要工具之一。本文给出了一个交叉族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$的例子，当$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$不相交时，压缩运算是不适用的.我们发展了新的技术来证明，对于$\binom{X}{r}$的不相交交叉族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$，$|\mathcal{A}| + |\mathcal{B}| \leq \binom{n}{r} - \binom{l}{p}$，其中$n = 2r + l$和$p = min\{r, \lceil \frac{l}{2}\rceil\}$。这个界是渐近尖锐的。
2021-08-20 math.CO
$r$-cross $t$-intersecting families for vector spaces
设$V$是有限域$\mathbb{F}_q$上的$n$维向量空间，${V\brack k}$表示$V$的所有$k$维子空间的族.家族$\mathcal{F}_1\subseteq{V\brack k_1},\mathcal{F}_2\subseteq{V\brack k_2},\ldots,\mathcal{F}_r\subseteq{V\brack k_r}$被称为是$r$ -交叉$t$ -相交的，如果对于所有的$\dim(F_1\cap F_2\cap\cdots\cap F_r)\geq t$，$r$ -交叉$t$ -相交的家族$\mathcal{F}_1$，$\mathcal{F}_2,\ldots,\mathcal{F}_r$被称为是非平凡的，如果$\dim(\cap_{1\leq i\leq r}\cap_{F\in\mathcal{F}_i}F)<t$。本文首先确定了$r$ -交叉$t$ -相交族的最大尺寸积的结构。作为结果，我们部分地证明了Frankl和Tokushige关于向量空间的$r$ -交叉$1$ -相交族的一个定理。然后我们分别在$r=2$和$\mathcal{F}_1=\mathcal{F}_2=\cdots=\mathcal{F}_r=\mathcal{F}$的假设下描述了非平凡$r$ -交叉$t$ -相交族$\mathcal{F}_1$，$\math…
2022-01-17 math.CO
Large non-trivial $t$-intersecting families for signed sets
对于具有$n\ge r$和$k\ge2$的正整数$n,r,k$，如果$x_1,\dots,x_r$是$[n]$和$y_1\dots,y_r\in[k]$的不同元素，则集合$\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_r,y_r)\}$称为$[n]$上的$k$-带符号$r$-集合。我们说一个由$[n]$上的$k$-带符号的$r$-集组成的$t$-相交族是平凡的，如果这个族的每个成员都包含一个固定的$k$-带符号的$t$-集.本文确定了极大非平凡PDMATHAMV-交族的结构。特别是，我们刻画了非平凡的$t$-相交家庭的最大尺寸为$t\ge2$，扩展了Hilton-Milner型的结果，由Borg给出的有符号集。
2021-04-27 math.CO
Two extremal problems on intersecting families
在这个简短的说明，我们解决两个问题，极值集合论有关相交的家庭。第一个问题是Kupavskii提出的问题：给定两个不相交的交叉相交族$\mathcal{A}, \mathcal{B} \subset \binom{[n]}{k}$，它们是否必须满足$\min\{|\mathcal{A}|, |\mathcal{B}|\} \le \frac{1}{2} \binom{n-1}{k-1}$？我们给出了一个肯定的答案为$n \ge 2k^2$，并构建家庭表明，这一范围基本上是最好的人可以希望，一个常数的因素。第二个问题是一个猜想的弗兰克尔。它指出，对于$n \ge 3k$，交叉族$\mathcal{F} \subset \binom{[n]}{k}$的最大多样性等于$\binom{n-3}{k-2}$。我们能够找到一个结构击败了$n$的约束范围略大于$3k$，这也反驳了Kupavskii猜想。
2018-04-30 math.CO
Intersecting families of discrete structures are typically trivial
交叉结构的研究是极值组合学的核心。如果$\mathcal{F}$中的任何两个排列在某些$t$索引上一致，则排列族$\mathcal{F} \subset S_n$是\emph{$t$-intersecting}，如果$\mathcal{F}$中的所有排列在相同的$t$索引上一致，则排列族是\emph{trivial}。一个$k$ -一致超图是\emph{$t$-intersecting}，如果它的任意两条边有共同的$t$顶点，如果它的所有边共享相同的$t$顶点，则它是\emph{trivial}.基本问题是确定相交族可以有多大。Ellis，Friedgut和Pilpel证明了对于$n$相对于$t$足够大，在$S_n$中最大的$t$相交族是平凡族.经典的Erdens-Ko-Rado定理表明，当$n$较大时，最大的$t$ -相交$k$ -一致超图也是平凡的.我们确定的\emph{typical}结构的$t$ -相交的家庭，扩展这些结果表明，几乎所有的相交家庭是平凡的。我们还获得了这些极值结果的稀疏类似物，表明它们在随机设置中成立。我们的证明使用Bollobás集对不等式来限制最大相交族的数量，然后可以将其与已知的稳定性定理相结合。对于向量空间，我们也得到了类似的结果。
2015-01-09 math.CO
The Erdős-Ko-Rado theorem for $2$-intersecting families of perfect matchings
完全图中关于$2k$顶点的完美匹配是一组边，使得没有两条边有公共顶点，并且每个顶点都被覆盖一次。两个完美匹配被称为$t$ -相交，如果它们至少有共同的$t$边。本文的主要结果是著名的Erdens-Ko-Rado（EKR）定理\cite{EKR}推广到了2-相交完美匹配族，其中对$k$的所有值.具体来说，对于$k\geq 3$，$K_{2k}$中最大尺寸的2-相交完美匹配的集合具有$(2k-5)(2k-7)\cdots (1)$完美匹配。
2020-08-19 math.CO
An improved threshold for the number of distinct intersections of intersecting families
$\{1,2,\ldots,n\}$的子集的族$\mathcal{F}$称为$t$ -相交族，如果$|F\cap G| \geq t$对于任何两个成员$F, G \in \mathcal{F}$和某个正整数$t$ .如果是$t=1$，则我们称要相交的族为$\mathcal{F}$。将集合$\mathcal{I}(\mathcal{F}) = \{F\cap G: F, G \in \mathcal{F} \text{ and } F \neq G\}$定义为$\mathcal{F}$的所有不同交集的集合。Frankl等人证明了$k$的相交族$\mathcal{F}$-$\{1,2,\ldots,n\}$的子集的$\mathcal{I}(\mathcal{F})$的大小的上界。他们的定理适用于整数$n \geq 50 k^2$。在这篇文章中，我们证明了$t$ -相交族$\mathcal{F}$的$\mathcal{I}(\mathcal{F})$的大小的一个上界，条件是$n$超过一定的数$f(k,t)$ .在此过程中，我们还将交叉族的阈值$k^2$提高到$k^{3/2+o(1)}$。
2022-11-22 math.CO
Non-trivial $t$-intersecting families for the distance-regular graphs of bilinear forms
设$V$是有限域上的$(n+\ell)$维向量空间，$W$是$V$的固定的$\ell$维子空间.写${V\brack n,0}$为满足$\dim(U\cap W)=0$的$V$的所有$n$维子空间$U$的集合。如果所有$A,B\in\mathcal{F}$都有$\dim(A\cap B)\geq t$，则族$\mathcal{F}\subseteq{V\brack n,0}$是$t$-相交的。如果$\dim(\cap_{F\in\mathcal{F}}F)<t$是$t$-相交族$\mathcal{F}\subseteq{V\brack n,0}$，则称为非平凡族.本文描述了大尺寸的非平凡${V\brack n,0}$的$t$-相交族的结构。特别地，我们给出了具有最大尺寸的非平凡$t$-相交族的结构，推广了${V\brack n,0}$的Hilton-Milner定理。
2021-03-20 math.CO
Uniqueness for 2-Intersecting Families of Permutations and Perfect Matchings
Technion — Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文刻画了所有n≥2时{1,2,…,n}的最大2-相交排列族和完全图K_{2n}的最大2-相交完美匹配族。
2026-06-17 math.CO
The maximum measure of 3-wise t-intersecting families
令$\mathcal G$是$n$ -元素集合的子集族。如果$\mathcal G$中的任何三个子集的交集的大小至少为$t$，则族$\mathcal G$称为$3$式$t$ -相交.对于一个实数$p\in(0,1)$，我们通过所有$G\in\mathcal G$上的$p^{|G|}(1-p)^{n-|G|}$的和来定义族的测度。证明了如果$t\geq 15$和$p\leq 2/(\sqrt{4t+9}-1)$，则$p^t$是$3$ -wise $t$ -相交族的最大测度，并且$p$的界是尖锐的.我们也给出了相应的移位族的稳定性结果。
2023-03-02 math.CO
On the size of maximal intersecting families
本文证明n-均匀极大相交族的大小上界为e^{-n^{0.5+o(1)}}n^n，改进了Frankl的近期结果，证明中关键使用了Alweiss、Lowett、Wu和Zhang的Spread引理。
2023-07-09 math.CO
Intersecting Families of Separated Sets
证明了Holroyd和Johnson的一个猜想，即Erdos-Ko-Rado定理的一个类似定理对k-分离集成立.特别是，这决定了由Schrijver确定的Kneser图的顶点临界子图的独立数，即分离集的集合。
2002-11-20 math.CO
Cross $t$-intersecting families for symplectic polar spaces
设$\mathscr{P}$是有限域$\mathbb{F}_q$上的辛极空间，$\mathscr{P}_m$表示$\mathscr{P}$中所有$k$维全迷向子空间的集合.令$\mathscr{F}_1\subset\mathscr{P}_{m_1}$和$\mathscr{F}_2\subset\mathscr{P}_{m_2}$对于任何$F_1\in\mathscr{F}_1$和$F_2\in\mathscr{F}_2$满足$\dim(F_1\cap F_2)\ge t$。我们说他们是交叉PDMATHAMV-交叉家庭。此外，我们说它们是平凡的，如果它们的每个成员包含一个固定的$t$维全迷向子空间。本文证明了具有最大尺寸积的交叉$t$ -交族是平凡的.我们还描述了非平凡的$t$ -相交的家庭的最大产品的大小的结构。
2022-02-24 math.CO
On symmetric 3-wise intersecting families
如果一个集合族的自同构群是传递的，则称该集合族是对称的;如果该集合族中的任意三个集合有非空交，则称该集合族是$3$式交的。Frankl在1981年证明了，如果$\mathcal{A}$是$\{1,2,\dots,n\}$的子集的对称的$3$式相交族，则$|\mathcal{A}| = o(2^n)$ .在这里，我们给出了一个简短的证明Frankl的猜想使用的“尖锐的阈值”的结果Friedgut和Kalai。
2017-02-03 math.CO
Intersecting families of sets are typically trivial
本文改进Frankl-Kupavskii等人的结果，证明当n≥2k+100 ln k时几乎所有k-均匀相交族都是星形族，将阈值从c√(k ln k)优化为100 ln k。
2024-10-22 math.CO
Connected-Intersecting Families of Graphs
对于图的性质$\mathcal{P}$和公共顶点集$V = \{1, 2, \ldots, n\}$，$V$上的图族是\emph{$\mathcal{P}$-intersecting}当且仅当对$G \cap H$中的所有$G,H$都满足$\mathcal{P}$.解决一个问题的钟，格雷厄姆，弗兰克尔和希勒，我们探讨-各种$\mathcal{P}$-最大的基数之间的所有$\mathcal{P}$相交的图形家庭。在连通相交的情况下，我们完全解决了这个问题，通过一个简短的线性代数证明，表明这个最大值是通过所有包含固定生成树的图来实现的（尽管我们也展示了其他极值结构）。我们还提出了一个新的下界包含一个固定子图的并。
2019-01-06 math.CO
Maximal fractional cross-intersecting families
给定一个不可约分数$\frac{c}{d} \in [0,1]$，如果$\mathcal{A}, \mathcal{B}$是$[n]$的两个子集族，使得对于每一对$A \in\mathcal{A}$和$B\in\mathcal{B}$，都有$|A \cap B|= \frac{c}{d}|B|$，则一对$(\mathcal{A},\mathcal{B})$被称为$\frac{c}{d}$ -$2^{[n]}$的交叉对。Mathew，Ray和Srivastava [{ \it \small Fractional cross intersecting families，Graphs and Comb.，2019}]证明了$|\mathcal{A}||\mathcal{B}|\le 2^n$如果$(\mathcal{A}, \mathcal{B})$是$2^{[n]}$的$\frac{c}{d}$ -交叉相交对，并用$|\mathcal{A}||\mathcal{B}|=2^n$刻画了所有对$(\mathcal{A},\mathcal{B})$，这样的对也被称为$2^{[n]}$的最大$\frac cd$ -交叉相交对，当$\frac cd\in\{0,\frac12, 1\}$。在本文中，我们刻画了当$0<\frac{c}{d}<1$和$\frac cd\not=\frac 12$时的…
2022-01-19 math.CO
On sum-intersecting families of positive integers
本文研究 {1,…,n} 上任意两子集交集均含 x+y=z 的和相交族规模，猜想上界为 2^n/4，并证明了 0.32·2^n 的上界。
2023-04-27 math.CO
Characterization of Maximal Left-Compressed Intersecting Families Generated by a Single Generator
Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Science, Vietnam National University - Ho Chi Minh City（越南国立大学胡志明市自然科学大学数学与计算机科学学院）
本文研究由集合族生成的左压缩相交族，建立其为相交族的充要条件，提出从单个生成元构造极大左压缩相交族的方法，并推导该族大小的相关估计值。
2026-08-27 math.CO
