A spectral-subspace-augmented POD-Galerkin method for parametrized PDEs with limited snapshot data
Hong Kong University of Science and Technology (Guangzhou)（香港科技大学（广州））
针对参数化PDE中快照数据有限导致POD预测能力不足的问题，提出谱子空间增强POD-Galerkin方法（SS-POD），通过谱分解和局部POD提高外推精度，在Laplace-Beltrami问题中仅用5个快照即达高精度。
2026-07-03 cs.NA math.NA
Optimal Transport-Based Displacement Interpolation with Data Augmentation for Reduced Order Modeling of Nonlinear Dynamical Systems
SISSA（国际高等研究学院）；University of Houston（休斯顿大学）
提出基于最优传输和位移插值的降阶模型，通过数据增强、虚拟到真实时间映射及高斯过程回归残差校正，在有限数据下提升非线性动力系统预测精度。
2024-11-13 cs.LG cs.NA math.NA
A priori error analysis for one-parameter Lagrange and POD reduced order methods
Aalto University（阿尔托大学）
本文针对参数化线性椭圆PDE，提出基于快照子空间的新逼近算子，证明单参数Lagrange和POD降阶方法在温和假设下的次指数及结构化点集下的指数收敛误差估计。
2026-09-29 cs.NA math.NA
Tensor Neural Network Interpolation and Its Applications
该研究提出基于张量神经网络的高维非张量积型函数插值方法，将非张量积函数转化为具张量积结构的张量神经网络，应用于高维积分计算与偏微分方程求解并通过数值算例验证有效性。
2024-04-11 cs.NA math.NA
High-order empirical interpolation methods for real time solution of parametrized nonlinear PDEs
本文提出结合降阶基空间、Galerkin投影和高阶经验插值的模型降阶方法，通过高阶偏导数构造基函数与插值点，并开发后验误差估计与贪婪采样策略，实现参数化非线性PDEs的高效实时求解。
2024-10-02 cs.NA math.AP math.NA
Möbius-Transformed Trapezoidal Rule
Aalto University School of Science（阿尔托大学理工学院）；Lappeenranta–Lahti University of Technology LUT（拉彭兰塔-拉赫蒂理工大学）；University of Helsinki（赫尔辛基大学）
本文提出一种基于莫比乌斯变换的梯形法则，用于在加权Sobolev空间中实现最优收敛速度的数值积分方法，并扩展了其在周期函数积分和多变量积分中的应用。
2025-03-06 cs.NA math.NA
Learning reduced order models from data for hyperbolic PDEs
给定一组双曲型偏微分方程的解快照，我们有兴趣学习一个降阶模型（ROM）。为此，我们提出了一种新的分解然后学习的方法。我们分解的解决方案表示为一个组合的转换解决方案和一个de-transformer。我们的想法是学习这两个对象的ROM，这与解决方案不同，在线性缩减空间中是很好的近似。然后通过重组恢复（未转化的）溶液的ROM。变换后的解是通过将解与对齐空间不连续性的空间变换组合而得到的。此外，解变换器是空间变换的逆变换，并让我们恢复解决方案的ROM。我们考虑一个图像配准技术来计算空间变换，并学习ROM，我们诉诸于动态模式分解（DMD）的方法。几个基准问题证明了我们的方法在代表数据和作为预测工具的有效性。
2021-09-13 cs.NA math.NA
A Training Set Subsampling Strategy for the Reduced Basis Method
我们提出了一个子采样策略的减少基方法的离线阶段。该方法旨在降低与使用精细采样训练集相关的相当大的离线成本。该算法充分利用了旋转QR分解和离散经验插值方法的潜力来识别重要的参数样本。它包括两个阶段。在第一阶段，我们构造一个低保真度近似的解决方案流形上的一个罚款训练集。然后，对于输出变量的可用低保真度快照，我们应用枢轴QR分解或离散经验插值方法来识别参数域中的一组稀疏采样位置。这些点揭示了输出变量的参数依赖性的结构。第二阶段以包含比初始训练集少得多的参数的二次采样训练集进行。还考虑了从经验插值方法的最近变体中启发的不同的子采样策略。对基准示例的测试证明了新方法的合理性，并显示出其在大幅加快缩减基方法的离线阶段的潜力，同时生成可靠的降阶模型。
2021-10-01 cs.NA math.NA
A Discrete Adapted Hierarchical Basis Solver For Radial Basis Function Interpolation
本文开发了一种离散层次基（HB）方法，通过正交化、适应核函数和节点分布，将变阶多项式径向基函数插值问题解耦为两步求解，并利用GMRES迭代和预条件器高效计算。
2013-12-30 cs.NA math.NA math.ST
Weighted Proper Orthogonal Decomposition for High-Dimensional Optimization
针对标准POD未考虑参数化模型结构及现有扩展方法的局限，提出一种加权POD方法，通过动态更新快照矩阵列权重收紧误差界限并高效计算降阶基，在无需离线训练下应用于高维壳厚度优化，显著降低误差并减少快照需求。
2025-08-12 cs.NA math.NA
Nonlinear Model Reduction Based On The Finite Element Method With Interpolated Coefficients: Semilinear Parabolic Equations
Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota（明尼苏达大学数学及其应用研究所）
针对半线性抛物方程，提出一种结合插值系数有限元法和离散经验插值法的非线性模型降阶方法，通过预计算非线性项系数矩阵降低计算复杂度，并给出严格的渐近误差估计。
2013-04-28 cs.NA math.NA
Online adaptive non-intrusive model reduction via manifold interpolation and subspace updates: application to FSI convergence acceleration
MACS, CNAM（法国国立工艺学院）；Laboratory of Biomechanics and Bioengineering, Université de Technologie de Compiègne, CNRS（康普依涅理工大学生物力学与生物工程实验室）
提出在线自适应非侵入式降阶建模策略，基于Grassmann流形插值与子空间更新，预测流固耦合界面力以加速非线性迭代收敛，无需存储高维数据，显著提升精度与效率。
2026-09-16 cs.CE cs.NA math.NA
Structure-Preserving Galerkin POD-DEIM Reduced-Order Modeling of Hamiltonian Systems
[Gong et al. 2017]中针对哈密顿系统开发了一种结构保持适当正交分解降阶建模方法，该方法使用基于Galerkin投影的模型降阶的传统框架，但修改了降阶模型，以便保留适当的哈密尔顿结构。然而，它的计算复杂性的在线模拟仍然是高的，如果哈密尔顿涉及非多项式非线性。在本文中，我们应用离散经验插值方法，以提高在线效率的结构保持降阶模拟。由于缩减基截断会降低哈密顿近似，我们建议使用从移位快拍得到的基。一个非线性波动方程被用作测试床，数值结果表明所提出的方法的有效性。
2021-03-02 cs.NA math.NA
Embedded domain Reduced Basis Models for the shallow water hyperbolic equations with the Shifted Boundary Method
本文考虑了浅水双曲问题的全离散嵌入有限元逼近及其降阶模型。我们的方法是基于一个固定的背景网格和嵌入式减少的基础上。空间离散的移动边界方法与显式预测/多校正时间积分相结合，在时间上集成的数值解的浅水方程，无论是全阶和降阶模式。为了改善解流形的近似，也为在离线阶段期间未测试的几何形状，快照已经通过在减少的基础计算之前的插值程序进行了预处理。几何参数化的形状与不同的大小和位置的方法进行了测试。
2022-01-24 cs.NA math.NA
Shape optimization through proper orthogonal decomposition with interpolation and dynamic mode decomposition enhanced by active subspaces
SISSA, International School of Advanced Studies（SISSA，高等研究学院）
本文提出了一种用于船舶工程形状优化的数值流程，结合proper orthogonal decomposition with interpolation (PODI)和dynamic mode decomposition (DMD)两种非侵入式降阶方法，并通过主动子空间（AS）预处理技术减少参数空间维度并改进输入空间采样。研究重点在于通过自由变形（FFD）技术描述参考球形船头的扰动几何参数。ROM基于有限体积法（FV）模拟变形船体周围的多相不可压缩流体。本文的创新点在于同时减少输入参数空间和感兴趣输出场的维度。AS将通过计算船体在平静水中的总阻力及其对输入参数的梯度进行训练，DMD通过少量解场快照预测系统状态，PODI则通过插值POD分解系数快速逼近新参数下的所有场。
2019-05-14 cs.NA math.NA
Tensor-Train Operator Inference
本文提出张量-列车框架用于非侵入式算子推断，包含三种方法，通过压缩或交叉插值表示快照数据，高效处理大数据集，并在计算流体动力学实验中验证了其精度和可扩展性优势。
2025-09-09 cs.NA math.NA
Model order reduction for parameterized electromagnetic problems using matrix decomposition and deep neural networks
提出了一种求解参数化电磁散射问题的非侵入模型降阶方法。通过使用基于高阶间断Galerkin时域（DGTD）方法的全波求解器求解参数化的时域Maxwell方程组，针对材料参数的某些值，建立了收集高保真解的快照的数据库。为了进行先验降维，通过两步本征正交分解（POD）方法从数据库中提取一组降维基（RB）函数。通过卷积自动编码器（CAE）网络进一步压缩缩减基函数的投影系数。然后利用奇异值分解（SVD）提取CAE降阶矩阵的主成分，并采用基于三次样条插值（CSI）的方法逼近降阶矩阵的时间模态和参数模态。简化基的生成以及CAE和CSI的训练在离线阶段完成，因此可以通过插值模型和解码器网络的输出快速恢复给定时间/参数值的RB解。特别是，所提出的RB方法的离线和在线阶段是完全解耦的，这保证了该方法的有效性。所提出的CAE CSI ROM的性能示出了由2-D介质盘和多层非均匀介质的平面波的散射的数值实验。
2022-07-16 cs.NA math.NA
Reduced Basis Model Order Reduction for Navier-Stokes equations in domains with walls of varying curvature
本文考虑变曲率窄壁通道中的Navier-斯托克斯方程。通过应用经验插值方法来生成仿射参数依赖性，离线-在线过程可以用于计算参数变化的降阶解。降阶空间由稳态快照解通过标准POD程序计算。该模型是离散化与高阶谱元素ananimals功能，导致4752自由度。所提出的降阶模型产生精确的近似的稳态解的几何形状和运动粘度值的范围很广。激发本研究的应用是不对称的开始（即，对称性破坏分叉），这取决于雷诺数和瓣膜形状。通过计算研究，我们发现对称性破缺的临界雷诺数随壁面曲率的增大而增大。
2019-07-01 cs.NA math.NA
On the comparison of LES data-driven reduced order approaches for hydroacoustic analysis
在这项工作中，动态模式分解（DMD）和适当的正交分解（POD）方法应用于水声数据集计算使用大涡模拟（LES）耦合Ffowcs威廉姆斯和霍金（FWH）的类比。首先，采用模态分解方法对流场进行了低维描述。对DMD和POD基地截断秩的敏感性进行了讨论，并提供了广泛的数据集，以证明这两种算法重建流场的能力，所有的空间和时间频率，以支持准确的噪声评估。结果表明，虽然DMD是能够捕获更精细的相干结构在尾流区相同数量的就业模式，重建流场使用POD表现出较小的幅度的全球时空误差相比，DMD同行。其次，一个单独的一组DMD和POD模式产生的一半的快照被用于两个数据驱动的降阶模型，分别基于DMD中投和POD插值（PODI）。在这方面，结果证实，这两种减少的方法对流场的预测特性是足够准确的，PODI结果相对优于DMD的。这推断出，对于本设置，与DMD中的积分和线性回归操作引起的误差相比，PODI中的插值误差引起的差异相对较低。最后，后处理分析的评估FWH声信号利用减少流体动力场作为输入表明，DMD和PODI数据驱动的降阶模型是有效的，足够准确地预测声学噪声。
2020-12-28 cs.NA math.NA
A Reduced Basis Method For Fractional Diffusion Operators II
我们提出了一种新的数值方法来逼近解映射$s\mapsto u(s) := \mathcal{L}^{-s}f$到包含分数阶椭圆算子的偏微分方程。将$\mathcal{L}^{-s}$重新解释为插值算子，可以导出$u(s)$的整表示，它包含了参数化反应扩散问题的解.我们提出了一个减少的基础上的有限元方法来近似其被积函数的战略。与以前的作品，我们推导出的快照的选择减少的基础程序分析。为了避免进一步的离散化，积分被解释在一个频谱设置直接评估代理。它的计算归结为算子的矩阵近似$L$，其逆算子被投影到低维空间，其中显式对角化是可行的。基本的$s$独立的约化空间的普适性特征允许$(u(s))_{s\in(0,1)}$在其整体上的近似。我们证明了指数收敛速度，并证实了各种数值例子的分析。进一步的改进，提出了在本调查的第二部分，以避免反转的$L$。相反，我们直接将矩阵投影到约化空间，在那里计算其负分数幂。与前代产品的数字比较凸显了其竞争性能。
2020-05-07 cs.NA math.NA
Hierarchical model reduction of nonlinear partial differential equations based on the adaptive empirical projection method and reduced basis techniques
Institute for Applied Mathematics, University of Münster（明斯特大学应用数学研究所）
本文提出基于降阶技术的分层降维框架，通过自适应经验投影法对非线性偏微分方程进行降维，结合降阶基函数和正交基函数构建降阶空间，实现高效求解。
2016-01-12 cs.NA math.NA
Energy stable model order reduction for the Allen-Cahn equation
University of Turkish Aeronautical Association（土耳其航空协会大学）；Institute of Applied Mathematics, Middle East Technical University（中东理工大学应用数学研究所）；Department of Mathematics, Middle East Technical University（中东理工大学数学系）
本文提出了一种能量稳定的模型降阶方法，用于解决Allen-Cahn方程，通过proper orthogonal decomposition（POD）和greedy adaptive sampling进行空间离散化，并结合能量稳定的average vector field（AVF）方法进行时间离散化，以保持能量递减性质，同时验证了降阶解的计算效率和精度。
2017-02-05 cs.NA math.NA
Nonintrusive model order reduction for cross-diffusion systems
本文研究了参数交叉扩散方程基于张量的非侵入降阶模型。全阶模型（FOM）由常微分方程（ODE）矩阵或张量的形式产生的有限差分离散的微分算子，利用Kronecker结构的优势。矩阵/张量微分方程的时间积分隐式-显式（IMEX）欧拉法。通过对张量形式的时空快拍进行高阶奇异值分解（HOSVD），基于参数值的有限样本集，以两级方法构造约简基，节省了大量的计算和内存.通过约化基与包含约化系数的依赖于参数的核张量的张量积，得到了对任意参数值的非侵入约化逼近.使用径向基函数（RBF）插值计算新参数值的减少的系数。通过二维Schnakenberg和三维Brusselator交叉扩散方程的数值实验说明了所提出方法的有效性。降阶模型比全阶模型具有二阶和三阶的加速因子，可以准确地预测时空模式。
2021-09-05 cs.NA math.NA
Reduced Order Modeling of One-Dimensional Conservative PDEs via the Cumulative Distribution Transform
George Mason University（乔治梅森大学）；Florida State University（佛罗里达州立大学）；University of Virginia（弗吉尼亚大学）
该研究针对一维守恒偏微分方程提出基于累积分布变换的降阶建模框架，通过分析不同方程在CDT坐标下的解流形得到估计，据此开发CDT - POD数值方案，实验表明其能用更少模态捕捉解流形。
2026-07-21 cs.NA math.AP math.NA
A localized reduced basis approach for unfitted domain methods on parameterized geometries
本文提出一种基于快照扩展和局部化策略的降阶建模框架，用于求解非拟合几何上的参数化椭圆偏微分方程，显著降低了在线计算成本并保持高精度。
2023-03-24 cs.NA math.NA
Learning patient-specific parameters for a diffuse interface glioblastoma model from neuroimaging data
本文提出基于POD和DEIM的模型降阶方法，结合神经影像数据对GBM弥漫界面模型进行患者特异性参数估计，并在两个临床病例上验证其显著降低计算成本。
2019-12-17 cs.NA math.NA math.OC
A Novel Partitioned Approach for Reduced Order Model -- Finite Element Model (ROM-FEM) and ROM-ROM Coupling
Clemson University（克莱姆森大学）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
分区方法允许一个建立耦合问题的模拟能力，通过重用现有的单组件代码。这样，分区方法可以缩短多物理场和多尺度应用的代码开发和验证时间。在这项工作中，我们考虑的情况下，其中一个或多个被耦合的“代码”是基于投影的降阶模型（ROM），引入降低与特定组件相关的计算成本。我们模拟这种情况下，考虑一个模型的接口问题，独立离散两个不重叠的子域。然后，我们制定了一个分区方案，这个问题，允许耦合的ROM“代码”的子域之一的有限元模型（FEM）或ROM“代码”的其他子域。ROM“代码”是通过对快照系综进行适当的正交分解（POD）来构建的，以获得低维降阶基，然后在此基础上进行Galerkin投影。ROM和/或FEM“代码”上的每个子域耦合使用拉格朗日乘子表示的接口通量。为了划分由此产生的单片问题，我们首先通过一个对偶舒尔补消除通量。一个显式的时间积分方案的应用程序转换成单片问题的子域方程，允许其独立的解决方案，为下一个时间步。我们的数值结果表明，所提出的方法的有效性，在实现ROM-FEM和ROM-ROM耦合。
2022-06-09 cs.DS cs.LG cs.NA
