Glassy states: the free Ising model on a tree
我们考虑Cayley树上的铁磁伊辛模型，并研究了自由态在自旋玻璃温度以下分解成极值态的情况。我们表明，这种分解有不可数的许多组件。尾部可观察到的自由状态是不是极值有关的爱德华-安德森参数，测量的方差（随机）磁化强度从绘制边界条件的自由状态。
2019-05-06 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math.PR
Uniqueness for the 3-State Antiferromagnetic Potts Model on the Tree
反铁磁$q$ -态Potts模型可能是最典型的模型，其树上的唯一性阈值尚未被理解，主要是因为缺乏单调性。Jonasson建立了零温情况下的唯一性阈值，对应于$q$ -着色模型。在允许的情况下（温度为正），Potts模型有一个额外的参数$β\in(0,1)$，这使得分析唯一性阈值的任务更加困难，并且知之甚少。本文以$q=3$为例，通过改进Jonasson的方法，详细分析了树上的Potts模型。特别地，我们为$d\geq 2$的所有值建立了$d$ -ary树上的唯一性阈值。在$d\geq3$时，我们证明了三态反铁磁Potts模型对所有的$β\geq 1-3/(d+1)$都是唯一的.情况$d=2$是关键的，因为它涉及二叉树（$β=0$）上的3-着色模型，其具有非唯一性。然而，我们证明了Potts模型对二叉树上的所有$β\in (0,1)$都具有唯一性。这两个结果是紧密的，因为它是已知的，唯一性不成立的互补制度。我们的证明技术给出了一般$q>3$的分析条件，证明树上的两步递归的基础上的唯一性，我们猜想足以建立所有非关键情况下（$q\neq d+1$）的唯一性阈值。
2018-08-09 cond-mat.stat-mech cs.DM math.CO
The free state for the Potts model on Cayley trees is either extremal or glassy
Tsinghua University（清华大学）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Qiuzhen College, Tsinghua University（清华大学邱耀学院）
研究凯莱树\(\mathbb{T}^d\)（\(d\geq2\)）上Potts模型的自由态，通过极限吉布斯测度与自由边界条件得到。证明自由态要么是极值态要么是玻璃态，还给出了伊辛模型自由态的相关推论。
2026-07-17 math-ph math.MP math.PR
Dimension jump at the uniqueness threshold for percolation in $\infty+d$ dimensions
本文研究了正则树与超立方格乘积图上的渗流问题，证明了在唯一性阈值处无穷簇聚点集合的 Hausdorff 维度存在跳跃不连续性，并发现多种临界阈值与唯一性阈值重合，这是首批具有此性质的非顺从图示例。
2024-12-20 math.PR
Branching Processes, and Random-Cluster Measures on Trees
研究了无限正则树上的随机簇测度与一般类型的“边界条件”，即树的无限路径集上的等价关系。研究了某些等价关系下随机簇测度的唯一性和非唯一性。在证明唯一性时，遇到并回答了以下关于分支过程的问题。考虑分支过程的族树$T$上的键渗流。$T$的每条无限路径（从其根开始）包含某个本身就是无限开子树根的顶点的概率是多少？
2004-10-13 math-ph math.MP math.PR
On the uniqueness of Gibbs measure in the Potts model on a Cayley tree with external field
该论文涉及$q$状态Potts模型（即，自旋值在$\{1,\dots,q\}$中）在度为$k\geq 2$的Cayley树$\mathbb{T}^k$上（即，具有从每个顶点发出的$k+1$边）。我们构造了所谓的分裂吉布斯措施（SGM）使用广义边界条件的一系列膨胀球，受到一个合适的兼容性准则。因此，SGM的存在性/唯一性问题归结为树上相应的函数方程的可解性。特别是，我们引入了平移不变的SGM的概念，并证明了一个新的标准的平移不变性。在铁磁最近邻自旋-自旋相互作用的假设下，我们得到了唯一性的各种充分条件。对于具有恒定外场的模型，我们深入分析了唯一性与非唯一性的子类中的完全均匀的SGMs通过识别的“温度场”平面上的相图的参数$q$和$k$的不同值。在一些特定情况下（例如，$q=2$或$k=2$），在这个模型中完全同质SGM的最大数目被证明是$2^q-1$，并且我们做出一个猜想（由计算机计算支持），这个界限对所有$q\ge 2$和$k\ge2$都是有效的。
2019-05-10 math-ph math.MP math.PR
Theory of minimum spanning trees I: Mean-field theory and strongly disordered spin-glass model
最小生成树（MST）是一个组合优化问题：给定一个连通图，每个边都有一个实权重（“成本”），找到最小化占用边的总成本之和的生成树。我们考虑随机MST，其中的边缘成本是（淬火）独立的随机变量。由于Newman和Stein [Phys. Rev. Lett. 72，2286（1994）]，其精确地映射到随机MST上。我们研究的随机MST的缩放特性之间的关系Kruskal的贪婪算法找到MST，和债券渗流。我们解决了Bethe格（BL）上的随机MST问题与适当的有线边界条件和计算的分形维数D=6的连接组件。从平均场论的角度来看，这个结果意味着在d维欧氏空间的格上，在大小为W的窗口内存在W^{d-D}阶随机MST的大连通分量，并且d = d_c = D = 6是临界维数。这与纽曼和斯坦建议的值8不同。我们还批评了原来的参数为8，并提供了一个改进的缩放参数，再次产生d_c=6。结果表明，当d>6时，强无序的自旋玻璃模型具有许多基态，并且仅为六以下一阶。MST的结果也适用于泊松加权无限树，这是一个平均场方法的连续模型的MST在欧几里德空间，是一个限制的BL。在一个配套文件中，我们开发了一个随机MST临界渗流集团的<$=6-d扩展。
2009-11-10 cond-mat.stat-mech math.PR
Properties of the full replica symmetry breaking free energy functional of the Ising spin glass on random regular graph
利用一个关于序参量的整体（物理）变分问题中的两个辅助变分问题的解，给出了随机正则图上Ising自旋玻璃的完全复本对称性破缺自由能.在本文中，我们提供了一个详细的研究辅助变分问题。得到了辅助序参量的自洽方程，并得到了存在唯一性结果。我们还表明，完整的复本对称性破缺自由能泛函恢复离散的复本对称性破缺解决方案，通过施加一些适当的条件上的物理序参量。
2019-08-10 cond-mat.stat-mech math.PR
Random-cluster dynamics on random regular graphs in tree uniqueness
我们建立快速混合的随机簇Glauber动力学随机$Δ$ -正则图的所有$q\ge 1$和$p<p_u(q,Δ)$，其中的阈值$p_u(q,Δ)$对应于一个唯一性/非唯一性相变的随机簇模型（无限）$Δ$ -正则树。预期该阈值是尖锐的，并且对于$q>2$，随机$Δ$ -正则图上的Glauber动力学在$p_u(q,Δ)$经历指数减速。更准确地说，我们表明，对于每一个$q\ge 1$，$Δ\ge 3$，$p<p_u(q,Δ)$，概率$1-o(1)$超过选择一个随机$Δ$ -正则图上的$n$顶点，格劳伯动力学的随机集群模型有$Θ(n \log n)$混合时间。作为推论，我们推导出了随机$Δ$ -正则图上Potts模型的Swendsen-Wang动力学的快速混合，对于每一个$q\ge 2$，在树的唯一性区域。我们的证明依赖于对“破碎时间”的严格限制，即，将任何配置分解为$O(\log n)$大小的群集所需的步骤数。这是通过分析一个微妙的和新颖的迭代方案，同时揭示了潜在的随机图与集群的Glauber动力学配置上，在给定的时间。
2021-04-10 cs.DM math-ph math.MP
A Geometrical Structure for an Infinite Oriented Cluster and its Uniqueness
我们考虑超临界定向渗流模型。设${\fK}$为所有渗流点。对于每个$u\in {\fK}$，我们写$γ_u$作为它的最右路径。令$G=\cup_u γ_u$。本文证明了$G$是一棵只有一个拓扑端点的单树。给出了${\fK}$和$G$之间的关系，并利用前序遍历算法构造了${\fK}$和$\Z$之间的双射.通过这一基本图形属性的应用，我们证明了一个无限定向集群的唯一性，忽略有限顶点。
2006-03-24 math.PR
Uniqueness of the Gibbs measure for the $4$-state anti-ferromagnetic Potts model on the regular tree
我们证明了无限$(d+1)$正则树上具有相互作用参数$w\in(0,1)$的$4$态反铁磁Potts模型具有唯一的Gibbs测度，如果对所有$d\geq 4$都有$w\geq 1-\frac{4}{d+1}$.这是严格的，因为已知当$0\leq w<1-\frac{4}{d+1}$和$d\geq 4$。本文还在$(d+1)$正则树上证明了$3$ -态Potts模型的Gibbs测度的唯一性.当$d\geq 3$为$w\geq 1-\frac{3}{d+1}$，当$d=2$为$w\in (0,1)$时，本文给出了$3$-态Potts模型的Gibbs测度的唯一性的新证明.
2023-01-16 cs.DM math-ph math.CO
Inapproximability for Antiferromagnetic Spin Systems in the Tree Non-Uniqueness Region
一个显着的连接已经建立了反铁磁2-自旋系统，包括伊辛和硬核模型，表明近似的配分函数的计算复杂性的最大程度D图经历了相变，符合统计物理唯一性/非唯一性相变的无限D-正则树。尽管双自旋系统的图像很清晰，但对多自旋系统却知之甚少。我们提出了上述多自旋系统的不可近似性结果的第一个模拟。在以前的不可近似性结果的主要困难是分析随机D-正则二部图，这是在减少的小工具的模型的行为。为此，我们需要理解配分函数的矩。我们的主要贡献是连接：（i）诱导矩阵范数，（ii）最大期望的分区函数，和（iii）有吸引力的不动点的相关树递归（信念传播）。通过矩阵范数的观点允许一个简单的和一般的分析的二阶矩的任何自旋系统的随机D-正则二部图。这就产生了任何自旋系统的集中结果，其中人们可以分析一阶矩的最大值。与树递归的固定点的连接使得能够分析感兴趣的特定模型的一阶矩的最大值。对于k-染色，我们证明了：对于偶数k，在树的非唯一性区域（对应于k<D）中，除非NP=RP，否则对无三角形的D-正则图的染色数的近似是NP-困难的。我们的证明扩展到反铁磁Potts模型，事实上，在温和的条件下，每一个反铁磁模型。
2014-11-04 cs.CC math-ph math.MP
An Elementary Proof of the Hambly-Lyons Uniqueness Theorem
Faculty of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学数学系）；Department of Mathematics, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院数学系）；Quantitative Research, Office of the CTO, Bloomberg（彭博公司首席技术官办公室定量研究部）
该文在有界变差情形下给出Hambly-Lyons唯一性定理的初等自包含证明，通过两个几何观察（树状路径签名平凡及子区间引理）构造紧度量树，证明全签名在树状等价下识别路径。
2026-09-15 math.CA math.PR
Kawasaki dynamics beyond the uniqueness threshold
本文证明随机 d-正则图上铁磁伊辛模型的川崎动力学在 d 足够大时可超越树唯一性阈值快速混合，并给出适用于保守动力学对数索伯列夫不等式的一般谱条件。
2024-05-08 cs.DS math-ph math.MP
Uniqueness of the Gibbs measure for the anti-ferromagnetic Potts model on the infinite $Δ$-regular tree for large $Δ$
针对无限 Δ-正则树上的反铁磁 q 态 Potts 模型，论文证明在 Δ 足够大且参数 w∈[1−q/Δ,1) 时 Gibbs 测度唯一，证实长期猜想。
2023-08-21 cs.DM math-ph math.CO
Non-uniqueness of phase transitions for graphical representations of the Ising model on tree-like graphs
本文研究树状图上 Ising 模型图形表示的相变，构造出使 loop O(1) 与单一随机电流相变非唯一且非单调的图，并证明 wired d-正则树上三类模型相变唯一且重合。
2025-09-30 math-ph math.MP math.PR
Uniqueness of Gibbs Measures for Continuous Hardcore Models
我们制定了一个连续的版本，众所周知的离散硬核（或独立集）模型的局部有限图，参数化的所谓的活动参数$λ> 0$。在这个版本中，状态或“自旋值”$x_u$的任何节点$u$的图位于区间$[0,1]$，硬核约束$x_u + x_v \leq 1$满足的每一个边缘$(u,v)$的图，和空间的可行的配置是由凸多面体。当图是一个正规的树，我们表明，有一个唯一的吉布斯措施与每个活动参数$λ>0$。我们的结果表明，与标准的离散硬核模型相比，连续硬核模型在无限正则树上不表现出相变。我们还考虑了一个家庭的连续模型，插值之间的离散和连续的硬核模型在一个定期的树时，$λ= 1$和家庭的每个成员有一个独特的吉布斯措施，即使离散模型不。在每种情况下，证明需要分析相关的哈密顿动力系统，描述了一定的限制，边缘分布在一个节点。此外，给定任意序列的正则图与固定的程度和周长发散到无穷大，我们应用我们的结果来计算相应的序列的凸多面体的可行的配置适当规范化的体积的渐近极限。特别是，这产生了一个近似的连续硬核模型的分拆函数的情况下，$λ= 1$的一个规则的图与大围长。
2017-08-14 math.PR
Sampling in Uniqueness from the Potts and Random-Cluster Models on Random Regular Graphs
本文研究了随机正则图上Potts模型的抽样问题。它被证明，采样是可能的，当模型的温度是在规则树的唯一性制度，但积极的算法结果已在大多数情况下难以捉摸。在本文中，对于所有的整数$q\geq 3$和$Δ\geq 3$，我们开发的算法，产生的样本内的错误$o(1)$从随机$Δ$ -规则图的$q$ -状态Potts模型，无论何时温度是在唯一性，铁磁和反铁磁的情况下。反铁磁Potts模型的算法是基于迭代地添加图的边，并重新生成包含新添加的边的端点的双色类。该算法的关键是如何有效地执行重定位步骤，因为双色类可能会导致线性尺寸的组件。为此，我们利用树的独特性，以表明双色组件的平均增长通常是小的，这使我们能够使用相关衰减算法的restaurant步骤。虽然树上的精确的唯一性阈值是不知道的一般值的$q$和$Δ$在反铁磁的情况下，我们的算法的作品在整个唯一性，无论其值。在铁磁Potts模型的情况下，我们简化了算法显着利用随机集群表示的模型。特别是，我们证明了一个简化型算法成功地从随机簇模型与参数$p,q$随机$Δ$ -定期图的所有值的$q\geq 1$和$p<p_c(q,Δ)$，其中$p_c(q,Δ)$对应于一个唯一性阈值的模型上的$Δ$ -定期树采样。当限制为整数值的$q$，这产生一个简化的算法的铁磁Potts模型的随机$Δ$ -正则图。
2019-12-01 cs.DM cs.DS math.PR
A Necessary and Sufficient Condition for the Tail-Triviality of a Recursive Tree Process
给定一个递归分布方程（RDE）及其解$μ$，我们考虑树索引不变过程称为具有边际$μ$的递归树过程（RTP）.本文引入了一种不同于Aldous和Bandyopadhyay（2005）定义的二元唯一性性质，并证明了该性质等价于RTP的尾平凡性，从而得到了判定RTP的尾平凡性的一个充要条件.作为应用，我们考虑了Aldous（2000）在无限正则树上构造的冻结渗流过程，并证明了相关的RTP具有平凡尾。
2006-01-23 math.PR
Convergence of MCMC and Loopy BP in the Tree Uniqueness Region for the Hard-Core Model
我们研究了定义在输入图的独立集上的硬核模型，其中独立集由参数$λ>0$加权。对于常数$Δ$，Weitz（2006）的先前工作建立了当$λ< λ_c(Δ)$时最大度$Δ$的图的配分函数的FPTAS。阈值$λ_c(Δ)$是无限$Δ$ -正则树上唯一性/非唯一性相变的临界点。Sly（2010）表明，当$λ>λ_c(Δ)$时，除非NP=RP，否则不存在FPRAS。Weitz算法在$\log(Δ)$中的运行时间是指数的。在这里，我们提出了一个FPRAS的配分函数，其运行时间是$O^*(n^2)$。我们分析了简单的单站点Glauber动态采样从相关的吉布斯分布。证明了存在一个常数$Δ_0$，使得对于所有具有最大度$Δ\geqΔ_0$和围长$\geq 7$的图，当$λ<λ_c(Δ)$时，Glauber动力学的混合时间为$O(n\log(n))$.我们的工作是对Weitz的工作的补充，Weitz的工作适用于常数$Δ$，而我们的工作适用于所有$Δ\geq Δ_0$。我们利用循环BP（信念传播），广泛使用的推理算法。我们工作的一个新的方面是使用BP算子的主特征向量来设计一个距离函数，该距离函数对于表现为BP不动点的状态对在期望中收缩。我们还证明了Glauber动力学的局部行为像循环BP。作为一个副产品，我们得到的Glauber动力学收敛，经过一个短的老化期，接近BP固定点，这意味着循环BP的固定点是一…
2016-08-29 cs.DM math.PR
Free energy landscapes in spherical spin glasses
本文通过在球内点周围的薄球带计算自由能引入自由能景观，严格证明并扩展了 TAP 方法，建立了自由能的 TAP 表示，并揭示了多重可采样重叠与 Parisi 测度及超度量树嵌入的关系。
2023-05-20 math.PR
Swendsen-Wang Dynamics for General Graphs in the Tree Uniqueness Region
Swendsen-Wang动力学是从图$G=(V,E)$上的铁磁伊辛模型的吉布斯分布采样的流行算法。该动力学是一个“全局”马尔可夫链，对于任何图$G$，在任何（逆）温度$β$下，该马尔可夫链被证明以$O(|V|^{1/4})$步收敛到平衡。最近Guo和Jerrum（2017）证明了Swendsen-Wang动力学在任何温度下在任何图上都具有多项式混合时间，但很少有结果提供其收敛时间的$o(|V|)$上界。我们证明了铁磁伊辛模型树唯一区域中一般图上Swendsen-Wang动力学的快速收敛性。特别地，当$β< β_c(d)$，其中$β_c(d)$表示无限$d$ -正则树上的唯一性/非唯一性阈值时，我们证明了松弛时间（即，逆谱间隙）是在最大度$d \geq 3$的任何图上的$Θ(1)$。我们的证明利用了一个版本的Swendsen-Wang动力学，它只更新孤立的顶点。我们建立了这种变体的Swendsen-Wang动力学的混合时间$O(\log{|V|})$和松弛时间$Θ(1)$上的任何图形的最大程度$d$所有$β< β_c(d)$。我们认为，这个马尔可夫链可能是独立的利益，因为它是一个单调的Swendsen-Wang型链。作为我们证明的一部分，我们对Mossel和Sly（2013）分析混合时间的技术以及Peres和Winkler（2013）的删失结果进行了适度的扩展。这两个结果都是针对G…
2018-06-12 cs.DM cs.DS math-ph
Some notes on trees and paths
这些说明包括背景材料的树木中使用的文件“的唯一性签名的路径的变化和减少路径组”。
2008-09-08 math.CA math.PR
Ising Model on Locally Tree-like Graphs: Uniqueness of Solutions to Cavity Equations
本文研究了局部树状图上Ising模型的腔方程解唯一性问题，通过引入BMS信道间的退化指数度量证明BP算子是严格压缩的，从而证明了零或随机外场下至多存在一个非平凡不动点，并解决了文献中的6个猜想。
2023-07-31 cs.IT math.IT math.PR
Rapid Mixing of Glauber Dynamics up to Uniqueness via Contraction
对于一般的反铁磁2-自旋系统，包括硬核模型和反铁磁Ising模型，当无限正则树位于唯一性区域时，Li et al.（2013）在最大度图$Δ$上的配分函数存在一个$\mathsf{FPTAS}$。此外，在树的非唯一性区域，Sly（2010）表明，没有$\mathsf{FPRAS}$来估计配分函数，除非$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$。算法结果遵循Weitz（2006）的相关性衰减方法或Barvinok（2016）开发的多项式插值方法。然而，对于常数$Δ$，运行时间仅为多项式。对于硬核模型，Anari等人（2020）的最新工作建立了简单单点马尔可夫链的快速混合，称为树唯一性区域中的Glauber动力学。我们的工作简化了他们的Glauber动力学的分析，通过考虑总的成对的影响，一个固定的顶点$v$对其他顶点，而不是总的影响$v$，从而将他们的工作扩展到所有的2-自旋模型和改善混合时间。更重要的是，我们的证明绑在一起的三个不同的算法方法：我们表明，收缩树递归与一个合适的潜在功能，这是建立效率的韦茨的相关衰减方法和Barvinok的多项式插值方法的主要技术，也建立了快速混合的Glauber动态。我们强调，这种联系适用于所有的2-自旋模型（反铁磁和铁磁），现有的相关衰减或多项式插值的证据立即意味着快速混合的Glauber动力学。我们的证明利用图的分区功能划分韦茨的自避免行走…
2021-07-18 cs.DM cs.DS math-ph
Uniqueness and locality of the ground state of the disordered Monomer-Dimer models on independently weighted Unimodular Bienaymé-Galton-Watson trees
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
研究了在独立加权单模树上的单分子-双分子模型基态的唯一性和局部性，证明了在局部收敛到该树时基态的收敛性，并揭示了单分子-双分子模型在单模树上的强去相关性质。
2026-07-30 math.CO math.PR
Branching Gaps, Coexistence, and Boundary Influence for the Ising Model on Spherically Symmetric Trees
The United Arab Emirates University（阿拉伯联合酋长国大学）；V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences（乌兹别克斯坦科学院 V.I.罗曼诺夫斯基数学研究所）
本文研究球对称树上伊辛模型的唯一性与共存，通过分支间隙刻画，证明有界间隙等价于非零场共存，并利用返回映射分类周期情形。
2026-10-06 cond-mat.stat-mech math-ph math.DS
Optimization of random high-dimensional functions: Structure and algorithms
对称性破缺假设自旋玻璃哈密顿量的近最优值具有超度规结构。也就是说，近似最优值可以与树的叶子相关联，它们之间的欧几里得距离对应于沿着这棵树的距离。我们调查最近取得的进展，这张照片的严格证明的上下文中的混合$p$自旋自旋玻璃模型。我们特别关注以下主题：$(i)$ ~的结构的临界点的哈密顿量; $(ii)$ ~的实现的超度量树附近的最优的一个合适的TAP自由能; $(iii)$ ~建设高效的优化算法，利用这张照片。
2022-06-21 cond-mat.dis-nn math.PR
Uniqueness and CLT for the Ground State of the Disordered Monomer-Dimer Model on $\mathbb{Z}^{d}$
该研究证明了$\n\b\bbthbb{Z}^d$上无序单体-二聚体模型不存在可由有限体积基态极限得到的无限体积不一致基态，且基态在权重扰动下稳定，还推导出递增环面序列基态权重的CLT，为相关自旋玻璃模型公开问题提供了参考。
2024-06-18 math-ph math.MP math.PR
The Swendsen-Wang Dynamics on Trees
Swendsen-Wang算法是一种复杂的、广泛使用的马尔可夫链，用于从铁磁Ising和Potts模型的Gibbs分布中采样。事实证明，这条链很难分析，部分原因是其更新的全球性。我们提出了最佳界的收敛速度的Swendsen-Wang算法的完全$d$ -ary树。我们的边界扩展到非唯一性区域，并适用于所有的边界条件。我们证明了Martinelli等人（2003）在局部马尔可夫链的研究中引入的称为方差混合和熵混合的空间混合条件，对于$d$ -ary树上的Swendsen-Wang动力学，分别意味着$Ω(1)$谱隙和$O(\log{n})$混合时间.我们还表明，这些界限是渐近最优的。因此，我们建立了$Θ(\log{n})$混合的Swendsen-Wang动力学的所有边界条件在整个树的唯一性区域，事实上，我们的界限举行超出了伊辛模型的唯一性阈值，并为$q$状态Potts模型时，$q$是小的$d$。我们的证明具有一个新的频谱视图的方差混合条件的启发，最近几个快速混合结果的高维扩展，并利用最近的工作块因式分解的熵在空间混合条件下。
2021-05-10 cs.DM cs.DS math-ph
The $q<1$ Random-Cluster Model on Wired Trees: Uniqueness and Negative Dependence
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文研究有线边界条件下Δ-正则树上 $q<1$ 的随机团模型，证明超临界有线DLR规范有唯一吉布斯测度，建立有线分支间的负相关性及相关协方差不等式。
2026-08-11 math-ph math.MP math.PR
Reconstruction for the Signature of a Rough Path
最近证明了粗糙路径群模树等价通过签名映射S（取迭代路径积分的广义概念）同构于相应的签名群。然而，这个唯一性结果的证明并不包含任何关于如何从其签名“看到”（树缩减）粗糙路径的轨迹的信息，并且对唯一性结果（特别是对S的逆）的建设性理解已经成为一个有趣且重要的问题。本文的目的是以一种显式和通用的方式从粗糙路径的签名中重建粗糙路径。
2016-11-09 math.CA math.PR
Uniqueness of maximal entropy measure on essential spanning forests
无限图$G$的本质生成林是$G$的生成林，其中所有树都有无穷多个顶点。设$G_n$是$G$的有限连通子图的递增序列，其中$\bigcup G_n=G$ . Pemantle的论证暗示了$G_n$的生成树上的一致测度弱收敛到$G$的本质生成林上的$\operatorname {Aut}(G)$ -不变测度$μ_G$.证明了如果$G$是一个连通的顺从图，且$Γ\subset \operatorname {Aut}(G)$对$G$作用拟传递，则$μ_G$是$G$的基本生成森林上唯一的$Γ$不变测度，且其比熵最大.这个结果起源于伯顿和佩曼特尔，他们在$Γ\cong\mathbb{Z}^d$的例子中给出了一个简短但不正确的证明。里昂发现了这个错误，并询问了我们证明的更一般的陈述。
2006-06-29 math.CO math.PR
Continuity of the extremal decomposition of the free state for finite-spin models on Cayley trees
本文证明低温有限自旋模型（含Potts与钟模型）自由态极分解测度的连续性，其分解支撑于不可数玻璃态，且该现象不依赖哈密顿量对称性。
2023-10-17 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Ising model on trees and factors of IID
研究了自由边界条件下无限$d$ -正则树上的铁磁伊辛模型.当逆温度$β\ge 0$满足$\tanh β\le (d-1)^{-1}$时，该模型已知是唯一性区域中的IID的因子。然而，在重建方案（$\tanh β> (d-1)^{-\frac{1}{2}}$）中，它不是IID的因素。我们通过一个无穷维随机微分方程的强解构造了一个IID因子，它部分地回答了Lyons的一个问题。解$\{X_t(v) \}$分布为\[ X_t(v) = tτ_v + B_t(v), \]，其中$\{τ_v \}$是Ising样本，$\{B_t(v) \}$是由树中的顶点索引的独立布朗运动。只要$\tanh β\le c(d-1)^{-\frac{1}{2}}$成立，我们的构造就成立，其中$c>0$是绝对常数。
2022-01-22 math-ph math.DS math.MP
Uniqueness of the infinite tree in low-dimensional random forests
本文研究 $\mathbb{Z}^d$ 上树状气体的无限体积极限，利用无限树迹上的均匀生成森林重抽样性质及低维连通性，证明 $d\leq 4$ 时平移不变 Gibbs 测度至多含一棵无限树且无限树单端。
2023-02-23 math-ph math.MP math.PR
Computational Transition at the Uniqueness Threshold
硬核模型是格子气系统的一个模型，在统计物理、概率论和理论计算机科学中受到了广泛的关注。它是图的独立集$I$上的概率分布，该图的权重与具有逸度参数$λ$的$λ^{|I|}$成比例。我们证明了在$d$-正则树上的硬核模型的唯一性阈值处，近似划分函数在最大度$d$的图上变得计算困难。具体而言，我们表明，除非NP $=$ RP有没有多项式时间的近似计划的分区函数（这种加权独立集的总和）的最大程度$d$的逸度$λ_c(d) < λ< λ_c(d) + ε(d)$图，其中$λ_c = \frac{(d-1)^{d-1}}{(d-2)^d}$是唯一性阈值的$d$-定期树和$ε(d)>0$。Weitz在$0<λ< λ_c(d)$时产生了近似配分函数的FPTAS，因此该结果表明计算阈值与统计物理相变完全一致，从而证实了[28]的主要猜想。我们进一步分析了$λ=1, d=6$的特殊情况，并表明不存在近似计数最大度图上独立集的多项式时间算法$d= 6$是最优的。我们的证明是基于专门构造的随机二部图，作为小工具减少到最大切割。在[28]的二阶矩方法分析的基础上，结合对树上重建问题的分析，我们的证明建立了理论物理学家开发的"副本"方法的一个强版本。这一结果首次建立了近似计数和抽样的困难度与统计物理相变之间的严格对应关系。
2010-05-31 cs.CC math-ph math.MP
Optimal mixing for two-state anti-ferromagnetic spin systems
证明了树唯一性区域中具有$n$顶点的反铁磁双自旋系统的Glauber动力学的修正log-Sobolev（MLS）常数的最优$Ω(n^{-1})$下界.具体地说，这个最优MLS界在树唯一性机制下对以下几类双自旋系统成立：$\bullet$所有严格的反铁磁双自旋系统（其中两个边参数$β,γ<1$），它涵盖了硬核模型和反铁磁伊辛模型; $\bullet$一般的反铁磁双自旋系统在正则图上。因此，当满足唯一性条件时，最佳的$O(n\log n)$混合时间对这些反铁磁双自旋系统成立。这些MLS和混合时间的界限保持任何有界或无界的最大程度，和边界中的常数因子只依赖于唯一性阈值的差距。我们证明了这一点，显示了一个提升定理的MLS常数的分布满足一定的谱独立性和边际稳定性。
2022-03-15 cs.DS math-ph math.MP
Power law decay at criticality for the q-state antiferromagnetic Potts model on regular trees
给出了正则树上$q$态反铁磁Potts模型在临界温度下磁矩幂律衰减的证明，并证明了其准确指数为$\frac{1}{2}$ .我们的证明依赖于在临界温度下唯一性的假设，这已经建立了$q=3,4$，并为$q \ge 5$与大的程度。对于独立的兴趣，建立了一个迭代压缩不等式。
2022-05-26 cs.DM math-ph math.CO
Kittel's molecular zipper model on Cayley trees
基特尔的一维模型代表了一个天然的DNA，它有两条链作为一个（分子）拉链，随着温度的变化，这两条链可能会分开。我们在Cayley树上定义了这个模型的多维版本，并研究了Gibbs测度集。我们减少描述吉布斯措施解决的非线性函数方程，与未知函数（称为边界法）定义的顶点的凯莱树。每一个边界定律都定义了一个吉布斯测度。根据边界定律，给出了自由能的一般表达式.此外，我们还找到了一些具体的边界律和相应的Gibbs测度。得到了发生相变的显式临界温度（吉布斯测度的非唯一性）。
2023-01-18 math-ph math.MP math.PR
Non-uniqueness and mean-field criticality for percolation on nonunimodular transitive graphs
本文研究了非幺模拟传递图的Bernoulli键渗流问题，以及自同构群具有非幺模拟传递子群的图的Bernoulli键渗流问题。我们证明了任何这样的图上的渗流有一个非空的阶段，其中有无限的轻集群，这意味着存在一个非空的阶段，其中有无限多的无限集群。也就是说，我们表明，$p_c<p_h \leq p_u$的任何这样的图。这回答了Haggstrom，Peres，and Schonmann（1999）的一个问题，并验证了Benjamini and Schramm（1996）的一个著名猜想的非幺模情形。我们还证明了三角形条件在任何这样的图的临界，这意味着各种临界指数存在，并采取他们的平均场值。例如，我们所有的结果都适用于$k$ -正则树的乘积$T_k\times \mathbb{Z}^d$，其中对于$k\geq 3$和$d \geq 1$，有$\mathbb{Z}^d$，这些结果以前只知道对于大的$k$。此外，我们的方法也使我们能够建立基本的拓扑特征的相图各向异性渗流对这样的产品，其中树边和$\mathbb{Z}^d$边被赋予不同的保留概率。这些功能之前仅针对$d=1$、$k$大号确立。
2020-02-25 math-ph math.MP math.PR
Gibbs measures for a Hard-Core model with a countable set of states
本文研究任意阶凯莱树上硬核模型的非概率吉布斯测度，通过边界律方法给出平移不变与周期情形的唯一性和非唯一性条件。
2023-07-07 math-ph math.MP math.PR
Reconstruction for models on random graphs
考虑一个附着在图的顶点上的随机变量的集合。重建问题需要估计其中一个给定的“遥远”的观察。当它们的联合概率分布是关于树的马尔可夫时，几个理论结果（和简单算法）是可用的。在本文中，我们考虑的情况下，序列的随机图，局部收敛到树。特别是，我们开发了一个充分条件的树和图的重建问题相吻合。我们把这个条件应用到随机图的着色上。此外，我们的伊辛模型在这样的图形的行为特征，无论是有吸引力的和随机的相互作用（分别为“铁磁”和“自旋玻璃”）。
2007-09-10 cond-mat.stat-mech math.CO math.PR
