On additive complements in the complement of a set of natural numbers
Government Engineering College（政府工程学院）；Indian Statistical Institute（印度统计研究所）
本文研究了自然数集A的加法补集的存在性，证明了在特定条件下，A的补集存在稀疏加法补集。
2024-10-30 math.NT
On additive complement with special structures
本文研究自然数集加法补集的各种特殊结构，包括不相交、无限等差数列并集及给定密度情形，并应用于等差与等比数列之和集，同时构造满足密度条件的补集。
2024-02-05 math.NT
Asymptotics of probability characteristics of additive arithmetic functions
本文研究了可加算术函数的概率特征的渐近性的判定问题，无论其是否具有极限分布。证明了关于强可加算术函数概率特征渐近性的估计的几个断言，以及具有与强可加算术函数相同概率特征渐近性的一类可加函数.
2021-08-25 math.NT
Lagrange-like spectrum of perfect additive complements
本文针对非负整数的完美加性补集，定义了类拉格朗日谱$\boldsymbol{\rm \textfraktur{L}}$，得到其最小聚点并证明$\boldsymbol{\rm \textfraktur{L}}$为闭集，同时给出相关补充结果与待研究问题。
2023-10-10 math.NT
Exact additive complements
设$A,B$是正整数的集合，使得$A+B$包含除100个以外的所有正整数。Sárközy和Szemerédi证明，如果$ A(x)B(x)/x \to 1$，则$A(x)B(x)-x \to \infty $。Chen和Fang大大改进了Sárközy和Szemerédi的界。我们进一步改进了他们的估计，并通过一个例子表明，我们的结果几乎是最好的可能。
2015-10-03 math.NT
Note on the additive complements of primes
推广了Ruzsa和Vu关于素数的可加补数的两个结果
2011-04-28 math.CO math.NT
Sets Arising as Minimal Additive Complements in the Integers
阿贝尔群$G$的子集$C$是$W \subseteq G$的最小加法补，如果对任意真子集$C' \subset C$，$C + W = G$和$C' + W \neq G$都是。在本文中，我们研究了哪些整数集合作为最小加法补出现。我们证实了Kwon的一个猜想，证明了具有任意大间隙的有界下集是作为最小的加法补充而出现的。此外，我们的建设表明，任何这样的集合属于一个共同的最小对，加强了一个结果的Biswas和Saha的空缺序列。我们绑定的上，下Banach密度的syndetic集，作为最小的添加剂补充有限集。本文给出了最终周期集成为极小可加补集的若干必要条件，并证明了这些必要条件对于某些类最终周期集也是充分的.最后，我们给出了关于极小可加补数结构的几个定理和问题。
2020-07-09 math.CO math.NT
On minimal additive complements of integers
令$C,W\subseteq \mathbb{Z}$。如果是$C+W=\mathbb{Z}$，则集合$C$被称为$\mathbb{Z}$中$W$的加法补码。如果没有$C$的真子集是$W$的加法补，则称$C$为极小加法补。令$X\subseteq \mathbb{N}$。如果存在一个正整数$T$，使得对于所有足够大的整数$x\in X$，$x+T\in X$，那么我们称$X$最终为周期的。本文研究了当$W$最终为周期或非周期时，$W$的极小补的存在性.这部分回答了Nathanson的一个问题。
2018-04-25 math.CO math.NT
Nets in groups, minimum length $g$-adic representations, and minimal additive complements
度量几何中网的数论模拟提出了组合数论和加性数论中的新问题和新结果。例如，对于一个固定的整数g > 1，关于生成集A_g = {g^i：i= 0，1，2，.}需要关于A_g的整数的字长的知识。描述了整数的g-adic表示，其在算法上产生最短长度的表示。还讨论了加法补和加法渐近补，以及与之相关的极小性问题。
2008-12-02 math.MG math.NT
An estimate of asymptotics of the moments of additive arithmetic functions with a limit distribution defined on a subset of the natural series
我们研究的算术函数的时刻，有一个极限分布，不一定是正常的，定义在一个子集的自然系列，满足一定的要求。证明了几个断言的估计渐近的强添加剂的算术函数的时刻，也与添加剂的功能类H，有一个极限分布，并定义在一个子集的自然系列。第一个版本的文章是专门研究的渐近的时刻的算术函数，有一个极限分布的自然系列。第二个版本的文章是专门研究的渐近时刻的算术函数有一个极限分布的等差数列。
2022-07-05 math.NT
A Note on Minimal Additive Complements
本文研究整数集中的极小加法补集，部分回答了 Kiss、Sándor 和 Yang 关于一类周期并有限扰动集合的问题，并建立刻画可作为极小加法补集之集合的对偶结果。
2018-08-26 math.CO math.NT
Asymptotic normality of additive functions on polynomial sequences in canonical number systems
本文的目的是研究只作用于展开式的位数的函数。特别是，我们感兴趣的是这些功能的值的渐近分布。给出的结果是Basily和Kátai的一个结果在整数多项式环的商环中定义的数制上的推广.
2010-10-19 math.NT
Additive complements to the primes and large gaps between Romanoff numbers
HSE University（高等经济大学）
研究满足特定条件的集合大小，得到素数加法补集的一个下界，给出Ruzsa猜想的量化形式，排除了Erdős问题32中提及的特定大小加法补集，还构造了相关连续整数块。
2026-11-03 math.NT
Additive completition of thin sets
正整数的两个集合$A,B$称为\emph{exact additive complements}，如果$A+B$包含所有足够大的整数和$A(x)B(x)/x\rightarrow1$。令$A=\{a_1<a_2<\cdots\}$是一组正整数。用$A$的计数函数表示$A(x)$，用$A\bigcap [1,x]$中的最大元素表示$a^*(x)$。在Ruzsa和Chen-Fang工作的基础上，我们证明了对于$A,B$与$\frac{a_{n+1}}{na_n}\rightarrow\infty$的正合可加补，我们有$A(x)B(x)-x\ge \frac{a^*(x)}{A(x)}+o\left(\frac{a^*(x)}{A(x)^2}\right)$作为$x\rightarrow +\infty$ .另一方面，我们还构造了具有$\frac{a_{n+1}}{na_n}\rightarrow\infty$的正合可加补$A,B$，使得对于无穷多个正整数$x$，$A(x)B(x)-x\le \frac{a^*(x)}{A(x)}+(1+o(1))\left(\frac{a^*(x)}{A(x)^2}\right)$成立。
2022-09-18 math.NT
Asymptotic identities for additive convolutions of sums of divisors
在1916年的一篇论文中，Ramanujan研究了因子和函数$σ_a(n)$和$σ_b(n)$的加法卷积$S_{a, b}(n)$，并证明了当$a$和$b$是正奇数时的渐近公式。他还强调，他的渐近公式应持有所有积极的真正的$a$和$b$。Ramanujan猜想随后被Ingham证明，然后由Halberlane用省电误差项证明。本文给出了Ramanujan猜想的一个新的证明，得到了在大多数参数范围内渐近性的低阶项。我们还描述了一个连接到一个计数问题的几何拓扑，在第二作者的论文中进行了研究，并作为我们最初的动机在研究这个总和。
2021-05-26 math.NT
Zeta functions and asymptotic additive bases with some unusual sets of primes
修复$δ\in(0,1]$、$σ_0\in[0,1)$和实值函数$\varepsilon(x)$，其中$\limsup_{x\to\infty}\varepsilon(x)\le 0$。对于每一组素数${\mathcal P}$，其计数函数$π_{\mathcal P}(x)$满足$$π_{\mathcal P}(x)=δ\,π(x)+O\bigl(x^{σ_0+\varepsilon(x)}\bigr),$$形式的估计，我们定义一个zeta函数$ζ_{\mathcal P}(s)$，它与黎曼zeta函数$ζ(s)$密切相关。对于$σ_0\le\frac12$，我们证明了黎曼假设等价于$ζ_{\mathcal P}(s)$在区域$\{σ>\frac12\}$中的非零性。对于每一个包含素数$2$且其计数函数满足$$π_{\mathcal P}(x)=δ\,π(x)+O\bigl((\log\log x)^{\varepsilon(x)}\bigr),$$形式的估计的素数${\mathcal P}$的集合，我们证明了${\mathcal P}$是${\mathbb N}$的渐近可加基，即，对于某个整数$h=h({\mathcal P})>0$，和集$h{\mathcal P}$包含除了100个自然数之外的所有自然数。例如，${\mathbb N}$的渐近加法基由集合$$ \{2,547…
2015-09-16 math.NT
On Additive Divisor Sums and minorants of divisor functions
我们建立了各种相关性的渐近公式，涉及一般除数函数$d_k(n)$和部分除数函数$d_l(n,A)=\sum_{q|n:q\leq n^A}d_{l-1}(q)$，其中$A\in[0,1]$是一个参数和$k,l\in\mathbb{N}$是固定的。我们的结果与参数$A$的等差数列，其中$d_k(n)$是均匀分布的长度。作为对可加除子和的应用，我们建立了新的渐近解的下界和一个新的等价条件。我们还证明了一般加法因子和的Tauberian定理。
2022-11-22 math.NT
On the logarithmic factor in error term estimates in certain additive congruence problems
我们去掉了一类模素数可加同余解的个数渐近公式中误差项估计的对数因子。
2005-04-13 math.NT
Minimal additive complements in finitely generated abelian groups
给定任意阿贝尔群$G$中的两个非空子集$W,W'\subseteq G$，如果$W + W'=G$，则称$W'$是$W$的加法补;如果没有$W'$的真子集是$W$的补，则称$W'$是极小的。这个概念是由Nathanson提出的，他以前的工作，Chen-Yang，Kiss-Sàndor-Yang等专注于$G =\mathbb{Z}$。在较高秩的情况下，最近的工作，作者治疗一类子集，即最终周期集。然而，对于非上述类型的无限子集，极小补的存在或不存在的问题是开放的。在这篇文章中，我们研究的子集，最终不是周期的。我们引入了“尖峰子集”的概念，并给出了它们存在极小补的充要条件。这为Nathanson的一个问题提供了部分答案。
2019-02-04 math.CO math.GR math.NT
Restricted partition functions and additive complements
Yangzhou University（扬州大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文构造了无限集合A和M，使得受限分拆函数p(n,A,M)对所有正整数n为正且具有多项式增长，从而肯定回答了Dai和Chen在2016年提出的问题。
2026-06-17 math.NT
On the distribution of additive twists of the divisor function and Hecke eigenvalues
我们获得了渐近与$\int_0^1|\sum_{n\le X} d(n)e(nα)|^sdα$的$s < 2$，其中$d(n) = \sum_{d | n} 1$是除数函数的节能误差项。我们也得到这样的渐近$\int_0^1|\sum_{n\le X}λ_f(n)e(nα)|^sdα$的所有$s > 0$。我们证明了一种重复应用Jutila变式圆法和Voronoi求和的迭代法.
2021-10-07 math.NT
From a symmetry between $e$ and $π$ to the holonomic triangle
该研究通过揭示e和π之间的对称性，提出加法Gamma函数理论，统一了离散和连续数学视角。
2026-10-30 math.NT
Density measures and additive property
我们处理定义在所有自然数子集上的有限可加性测度，这些测度扩展了渐进密度（密度测度）。考虑一类由自然数上的自由超滤子构造的密度测度，研究了这类密度测度的可加性。
2016-09-01 math.NT
Asymptotic and non-asymptotic results for a binary additive problem involving Piatetski-Shapiro numbers
本文研究了涉及Piatetski-Shapiro数的二元加法问题，证明了正整数对满足特定条件的数量的渐近公式，并给出了更大参数范围内的非渐近结果及类似计数问题的启发式渐近公式。
2024-03-25 math.NT
Additive complements for two given asymptotic densities
令$0\le α\le β\le 1$。对任意有限集$B\subset\mathbb{N}$，证明了存在一个集$A\subset\mathbb{N}$使得$\underline{d}(A+B) = α$和$\bar{d}(A+B) = β$，其中$\underline{d}(A+ B)$和$\bar{d}(A+B)$分别是集$A+B$的下、上渐近密度.这部分回答了Faisant等人的一个问题。一个涉及所谓的高度稀疏集的定理在本笔记的前一个arXiv版本中得到了证明;然而，正如Sai Teja Somu所指出的，该定理的证明是有缺陷的。这个定理现在是一个悬而未决的问题。
2022-07-03 math.CO math.NT
On a certain additive divisor problem
我们证明了一个渐近公式的一个变种的二元添加剂除数问题与线性因素的参数，它有一个节能的误差项，这是一致的所有涉及的参数。
2016-01-31 math.NT
Cross representations of additive complements of $r$-th powers
Yangzhou University（扬州大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；University of Bristol（布里斯托大学）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；Nankai University（南开大学）
本文研究了$r$次幂加法补集的交叉表示问题，通过证明一个关于$f_r(n)$的下界，改进了之前对于$r=2$的情况的结论，特别是在$r=2$时进一步明确了下界表达式。
2026-07-09 math.NT
A note on additive complements of the squares
本文改进了平方数加性补集表示函数求和的下界，并以此在 Ben Green 提出的关于补集序列渐近性质的问题上取得进展。
2023-04-05 math.NT
The sixth moment of the Riemann zeta function and ternary additive divisor sums
Hardy和Littlewood开创了黎曼ζ函数在临界线上的$2k$阶矩的研究。在1918年哈代和Littlewood建立了一个渐近公式的第二个时刻，并于1926年英厄姆建立了一个渐近公式的第四个时刻。从那时起，没有其他时刻已渐近评估。本文研究zeta函数在临界线上的六阶矩。证明了一类三元可加因子和的渐近公式蕴含了临界线上的黎曼ζ函数的六阶矩的一个渐近公式，该渐近公式具有节能误差项.这为Conrey和Gonek的一个启发式论证提供了严格的证明。此外，这给了一些证据对猜想的康利，基廷，农民，鲁宾斯坦，和Snaith转移时刻的黎曼ζ函数。此外，这改进了Ivic的一个定理，Ivic基于三重除数函数的相关和的代数公式的假设，得到了zeta函数的六阶矩的上界.
2021-07-06 math.NT
The additive problem for the number of representations as a sum of two squares
我们改进了以前的一个无条件的结果，当$m$随$x$变化时，$\sum_{n\le x} r(n)r(n+m)$的渐近行为与$r(n)$的表示数$n$作为两个平方和。
2020-09-03 math.NT
Binary Additive Problems Involving Naturals with Binary Decompositions of a Special Kind
令$h$和$l$是整数，使得$0\le h\le 2$，$0\le l\le 4$。我们得到了方程$n-3m=h$，$n-5m=l$在正整数中的解的个数的渐近公式$m$和特殊类型的$n$，$m\le X$ .
2008-05-26 math.NT
Additive arithmetic functions meet the inclusion-exclusion principle: Asymptotic formulas concerning the GCD and LCM of several integers
我们得到了包含整数$n_1,\ldots,n_k$的gcd和lcm的和$\sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f((n_1,\ldots,n_k))$和$ \sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f([n_1,\ldots,n_k])$的渐近公式，其中$f$属于某些加性算术函数类.特别地，我们考虑了由Duncan（1962）和Hassani（2018）研究的广义Ω函数$Ω_{\ell}(n)= \sum_{p^ν\mid\mid n} ν^{\ell}$，以及由Alladi和Erds（1977）研究的函数$A(n)=\sum_{p^ν\mid\mid n} νp$、$A^*(n)= \sum_{p \mid n} p$、$B(n)=A(n)-A^*(n)$。作为一个关键的辅助结果，我们使用一个包含-排除型恒等式。
2022-05-28 math.CO math.NT
Bounds and Conjectures for additive divisor sums
加法因子和在黎曼ζ函数的矩理论中起着重要的作用。确定常因子函数的移位卷积和的精确渐近公式由来已久。近年来，人们发现三重因子函数的移位卷积和的一个精确的渐近公式在计算黎曼ζ函数的六阶矩时是有用的。本文研究了$D_{k,\ell}(x) = \sum_{n \le x} τ_k(n) τ_{\ell}(n+h)$，其中$τ_k$和$τ_{\ell}$分别是$k$次和$\ell$次除数函数.主要结果是$D_{k,\ell}(x,h)$的正确数量级的下界，在$h$中是一致的。此外，还研究了$D_{k,\ell}(x,h)$的渐近公式.利用Ivić和Conrey-Gonek的一个论证，简化了渐近公式中的首项.此外，给出了一种概率方法，它给出了相同的领先项。最后，我们表明，这两种方法给出了相同的答案，在最近的概率论的特里陶。
2017-05-18 math.NT
Sharp Threshold Asymptotics for the Emergence of Additive Bases
{0，1，.，n}被称为是{1，2，.，n}如果{1，2，.，n}可以写成j=x+y，x，y在A中，x<=y。如果我们在{0，1，.}中选取每个整数，n}独立地以概率p=p_n趋于0，从而得到一个随机集A，那么我们得到一个2-可加基的概率是多少？当目标和集是[（1-alpha）n，（1+alpha）n]（或等价地[alpha n，（2-alpha）n]）时，我们解决这个问题，其中0<alpha<1。在这两种模型下，使用Poisson近似的Stein-Chen方法，结合Janson不等式，梳理出一个非常尖锐的阈值，出现一个2-加性基。然后给出了k-可加基的推广。
2012-04-10 math.CO math.NT math.PR
Supersequences, rearrangements of sequences, and the spectrum of bases in additive number theory
如果每个足够大的整数都可以表示为A的h个元素之和，则非负整数集合A = {a_n}是h阶渐进基。如果a_n ~ alpha n^h对某个实数alpha > 0，则alpha称为h阶可加特征值。h阶加性谱是由所有h阶加性特征值组成的集合N（h）。证明了存在一个正数eta_h <= 1/h！使得N（h）=（0，eta_h）或N（h）=（0，eta_h]。证明使用的结果建设的超序列的序列与规定的渐近增长，也约重排的无穷序列的渐近性。例如，证明了不存在严格递增的整数序列B = {b_n}使得b_n ~ 2 ^n，且B包含子序列{ b_{n_k} }使得b_{n_k} ~ 3 ^k.
2008-06-06 math.CO math.NT
Asymptotic complements in the integers
令$W\subseteq \mathbb{Z}$为整数的非空子集。一个非空集$C\subseteq \mathbb{Z}$称为$W$的渐近补，如果$W+C$包含除有限大小的集合之外的几乎所有整数。如果$C$是渐近补，则称$C$是最小渐近补，但$C\setminus \lbrace c\rbrace$不是渐近补$\forall c\in C$。渐近补已经研究的背景下表示的整数，因为时间的Erdens，Hanani，洛伦兹和其他人，而概念的最小渐近补是由于内桑森。本文研究了$\mathbb{Z}$中的极小渐近补，并讨论了Nathanson关于极小渐近补的存在性和不存在性问题.
2019-12-10 math.CO math.NT
Essentialities in additive bases
设A是N_0的某阶渐近基。A的本质性是指一个子集P，使得A不再是任何阶的渐近基，并且使得P在A的所有具有此性质的子集中是极小的。A的有限本质性称为本质子集。Deschamps和Farhi在最近的一篇论文中提出了以下两个问题：（i）N_0的每一个渐近基是否都有本质性？(ii)是数量的基本子集的大小最多k的渐近基础的顺序h有界的一个函数的k和h只（他们表明，这个数字总是有限的）？我们回答后者的问题是肯定的，和前者的否定的手段，明确建设，为每一个整数h >= 2，一个渐近的基础秩序h没有本质。
2008-04-15 math.CO math.NT
On summatory functions of additive functions and regular variation
综述了关于一类可加函数的和函数的渐近性的结果和问题。这类函数的问题涉及卡拉马塔的定期变化。给出了$F(n) = \sum_{p^α||n}αh(p)$型可加函数的Abel和Tauberian的一些新结果.
2003-11-20 math.CA math.NT
Answers to two questions posed by Farhi concerning additive bases
设A是N的渐近基，X是A的有限子集，使得A \X仍是渐近基. Farhi最近根据A的阶和与集合X有关的各种参数证明了A \X的阶的一批新的上界。他提出了两个问题，可能改善他的界限。在本说明中，我们回答了这两个问题。
2009-07-04 math.CO math.NT
