A new bound for the error term in the approximate functional equation for the derivatives of the Hardy's Z-function
Philippe Blanc
Lavrik和作者给出了Hardy Z-函数导数的近似函数方程中误差项的统一界。我们得到了一个新的界，这是更好的高阶导数的误差项。
Lavrik and the author gave uniform bounds of the error term in the approximate functional equation for the derivatives of the Hardy's Z-function. We obtain a new bound of this error term which is much better for high order derivatives.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the Discrete Mean of the higher Derivative of Hardy's $Z$-Function
Yıldırım得到了$|ζ(\frac{1}{2}+it)|$在Hardy $Z$ -函数的高阶导数零点上的离散矩的一个渐近公式。我们推广了他关于Hardy的$Z$ -函数的结果.
Lower bound for the maximum of some derivative of Hardy's function
在黎曼假设下，利用zeta函数零点的分布，得到了Hardy函数导数最大值的一个下界.
Lehmer pairs and derivatives of Hardy's $Z$-function
黎曼ζ函数的非常接近的零点的出现与Lehmer对和黎曼假设密切相关。本文给出了$ζ$ -函数的一对连续单零点是用Hardy $Z$-函数的导数表示的Lehmer对的条件.此外，我们将Newman猜想与$Z$ -函数的驻点联系起来，并给出了一些数值结果.
On the discrete mean of the derivative of Hardy's $Z$-function
更新：这个结果是Milinovich用更好的误差项得到的。他使用了$ζ'(s)$，但我们考虑了$Z'(t)$。我们更正了主要定理中的一个印刷错误。我们考虑Hardy $Z$ -函数的导数在Hardy $Z$ -函数的零点上的平方和.如果黎曼假设为真，则它等于$|ζ'(ρ)|^2$的和，其中$ρ$在黎曼ζ函数的零点上运行。在1984年，Gonek得到了一个和的渐近公式。本文证明了一个更精确的公式。
On the derivatives of Hardy's function $Z(t)$
本文研究哈代函数各阶导数零点的配对现象，证明同奇偶阶导数之积在正比例时间上保持恒定符号，并进一步分析四个导数之积的符号性质。
On Hardy's $Z$-function and its derivatives associated with the extended Selberg class
本文将Matsuoka关于Riemann zeta函数Hardy Z-函数导数零点交错性质的定理推广到扩展Selberg类中的L-函数。
A note on the zeros of the derivatives of Hardy's function $Z(t)$
本文利用黎曼 zeta 函数的扭曲四阶矩改进哈代函数导数零点间大间隙的结果，并用光滑化离散二阶矩证明其偶数阶导数与 $Z(t)$ 零点的小距离现象。
The Laplacian of The Integral Of The Logarithmic Derivative of the Riemann-Siegel-Hardy Z-function
Hardy Z函数的对数导数的积分$R(t)=π^{-1}(lnζ(\frac{1}{2}+it)+i\vartheta (t))$ $Z(t)=e^{i\vartheta (t)}ζ(\frac{1}{2}+it)$，其中$\vartheta (t)$是黎曼-西格尔θ函数，$ζ(t)$是黎曼ζ函数，作为构造一对超越整函数$ν(t)=-ν(1-t)=-{ΔR(\frac{i}{2}-it)}^{-1}=-G(\frac{i}{2}-it)$的基础，其中$G=-(ΔR(t))^{-1}$是$R(t)$和$χ(t)=-χ(1-t)=\dotν (t)=-iH(\frac{i}{2}-it)$的拉普拉斯算子的倒数的加性逆的导数，其中$H(t)=\dot{G} (t)$在局部上具有根$G(t)$的最小值和最大值。当$H(t)=0$和$\dot{H} (t)=\ddot{G} (t)=ΔG(t)>0$时，点$t$标记$G(t)$的最小值，其中它与黎曼零点重合，即，$ζ(\frac{1}{2}+it)=0$，否则当$H(t)=0$和$\dot{H} (t)=ΔG(t)<0$时，点$t$标记$G(t)$的局部最大值，标记连续最小值之间的中间点。作为一个分布或波函数序列，$ν_n(t)=ν(1+2n+2t)$收敛到$ν_\infty (t)=lim_{n \rightarrow \infty} ν…
On the higher derivatives of Z(t) associated with the Riemann Zeta-Function
设$Z(t)$是黎曼ζ函数理论中的经典Hardy函数。本文的主要结果是：若黎曼假设成立，则对任意正整数$n$，存在一个$t_{n}>0$，使得对$t>t_{n}$，函数$Z^{(n+1)}(t)$在$Z^{(n)}(t)$的两个连续零点之间恰好有一个零点.
Approximate functional equation for the derivatives of functions in Selberg class
设$F(s)$为Selberg类的函数。Errasekharan和Narasiman证明了$F(s)$的近似函数方程。本文将这个公式推广到$F(s)$的导数。
On a generalisation of the Riemann $ξ$-function
我们知道可以构造出与Hardy $Z$ -函数的高阶导数相联系的亚纯函数$Z_k(s)$.本文引入了由Riemann $ξ$ -函数的推广$Z_k(s)$导出的整函数，并证明了它的一些性质.
In Search of Approximate Polynomial Dependencies Among the Derivatives of the Alternating Zeta Function
本文通过数值证据探讨交替ζ函数及其导数之间的近似多项式依赖关系，并提出相关猜想。
Approximate functional equation and mean value formula for the derivatives of $L$-functions attached to cusp forms
设$f$是权$k$关于满足规范化Hecke特征形的满模群$SL_2(\mathbb{Z})$的全纯尖点形式，$L_f(s)$是附着在形式$f$上的$L$ -函数. Good给出了$L_f(s)$的近似函数方程和均方公式。本文将这些公式推广到$L_f(s)$的导数。
Joint moments of higher order derivatives of CUE characteristic polynomials I: asymptotic formulae
本文推导了CUE随机矩阵特征多项式任意阶导数联合矩的显式渐近公式，以行列式和组合和表示，并借此为Riemann zeta函数及Hardy的Z函数导数联合矩提出了受数据支持的普遍猜想。
Approximation of the Partition Number After Hardy and Ramanujan: An Application of Data Fitting Method in Combinatorics
有时我们需要用一种简单有效的方法求出分区数的近似值。已经有几个公式来计算配分数p（n）。但它们要么对大多数不想写程序的人（不是数学专业的）不方便，要么在准确性上不令人满意。通过在Hardy-Ramanujan渐近公式中引入两个参数，用最小二乘法、迭代法和一些特殊设计的方法对两个参数的数据进行拟合，得到了几个修正的高精度的p（n）的初等估计公式。利用这些估算公式，无需编程，即可用袖珍计算器计算出p（n）的近似值。主要困难在于通常用初等函数拟合两个参数的方法在这里是有缺陷的。这些方法也可用于其它复杂数据的拟合函数的求解。
Approximate functional equation and upper bounds for the Barnes double zeta-function
作为zeta函数的渐近公式之一，Hardy和Littlewood给出了称为近似函数方程的渐近公式。本文证明了Barnes双ζ-函数$ ζ_2 (s, α; v, w ) = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty (α+vm+wn)^{-s} $的一个近似函数方程。此外，应用这个近似的函数方程和van der Corput方法，我们得到了$ ζ_2(1/2 + it, α; v, w) $和$ ζ_2(3/2 + it, α; v, w) $关于$ t $的上界为$ t \rightarrow \infty $。
Moments of the derivative of the Riemann zeta-function and of characteristic polynomials
本文研究了随机酉矩阵特征多项式在单位圆上的导数的矩，并利用它提出了黎曼ζ函数在临界线上的导数的矩的一个猜想.我们对哈代Z-函数的类似物也做同样的事情，特征多项式乘以一个合适的因子，使其在单位圆上为实。我们的公式表示在一个矩阵的行列式，其条目涉及的I-Bessel函数，或者，由组合和。
Hardy-Littlewood series and even continued fractions
对于任何$s\in (1/2,1]$，级数$F_s(x)=\sum_{n=1}^{\infty} e^{iπn^2 x}/n^s$几乎处处收敛于$[-1,1]$，这是Hardy-Littlewood的结果，但不是处处收敛。然而，目前还没有一个内在的描述集合的收敛$F_s$。本文用偶分数或正则连分数定义了满测度$[-1,1]$中级数收敛的点的某些子集。我们的方法是基于一个近似的函数方程$F_s(x)$。作为副产品，我们得到了由无理数的偶连分数的收敛性定义的某些级数的收敛性。
Approximate functional equations for the Hurwitz and Lerch zeta-functions
作为zeta函数的渐近公式之一，Hardy和Littlewood给出了称为近似函数方程的渐近公式。2003年，R. Garunkštis，A. Laurinčikas和J. Steuding（在[1]中）证明了Lerch zeta函数$ ζ_L (s, α, λ) = \sum_{n=0}^\infty e^{2πi n λ}(n + α)^{-s} $的近似函数方程的Riemann-Siegel型。本文证明了Hurwitz和Lerch zeta函数的另一类近似函数方程。R. Garunkštis，A. Laurinčikas和J. Steuding（在\cite{GLS2}中）获得了关于$ ζ_L (σ+ it, α, λ) $相对于$ t $的均方值的结果。我们用比[2]中的方法更简单的方法得到了$ ζ_L (1/2 + it, α, λ) $均方值的主项。
Joint moments of derivatives of characteristic polynomials
本文研究了随机酉矩阵的特征多项式的2k次幂与其导数的2h次幂的联合矩。我们证明，对于一个固定的h，时刻是由有理函数的k，一个众所周知的因素，已经出现时，h=0。我们完全描述了这些有理函数中的分母（休斯已经通过实验做到了这一点），并通过各种公式定义了分子，主要是分区求和。我们也用它来制定的zeta函数及其衍生物的联合时刻，甚至是相同的问题的哈代函数，如果我们使用一个“真正的”版本的特征多项式。我们的方法应该很容易适用于其他类似的问题，例如与特征多项式的高阶导数。注：更多数据可在作者的网站上获得，或附在本arXiv提交的LaTeX源中。
Quadratic Weyl Sums, Automorphic Functions, and Invariance Principles
Hardy和Littlewood关于二次Weyl和（θ和）的近似函数方程，通过迭代应用，为这种和的渐近分析提供了强有力的工具。另一方面，经典的Jacobi θ函数满足一个精确的函数方程，并扩展到Jacobi群上的一个自守函数。在本研究中，我们构建了一个相关的，几乎处处不可微的自守函数，它近似二次外尔总结了一阶的错误，一致的总和范围。这不仅意味着近似的函数方程，但允许我们取代Hardy和Littlewood的重整化方法，由一定的均匀流的动力学。这种构造的最大优点是近似是全局的，即，不需要跟踪在迭代过程中累积的误差项。我们的主要应用是一个新的功能极限定理，或不变原理，θ总和。这里有趣的观察是，极限过程的路径与布朗运动共享许多关键特征（尺度不变性，时间反演下的不变性，不可微性），尽管时间增量不是独立的，并且每个固定时间的值分布与正态分布明显不同。
Asymptotic analysis of a Family of Painlevé Functions with Applications to CUE Derivative Moments
本文通过Riemann-Hilbert方法研究一类Painlevé函数的渐近行为，并将其应用于CUE随机矩阵导数矩的分析，揭示其与黎曼ζ函数矩的关系。
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