Recognizing Galois representations of K3 surfaces
Christian Klevdal
在Hodge，Tate和Fontaine-Mazur代数的假设下，我们给出了相容的l-adic表示系统同构于K3曲面的第二上同调的一个判据.
Under the assumption of the Hodge, Tate and Fontaine-Mazur conjectures we give a criterion for a compatible system of l-adic representations to be isomorphic to the second cohomology of a K3 surface.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Sixteen points in $\mathbb{P}^4$ and the inverse Galois problem for del Pezzo surfaces of degree one
一个定义在有理数上的度为1的del Pezzo曲面有240条例外曲线。这些曲线被绝对伽罗瓦群的作用置换。我们展示了如何解决经典的逆伽罗瓦问题的一个子群的外尔群的类型$D_8$引起的逆伽罗瓦问题的解决方案，这个子群的行动上的240例外曲线。具有这种伽罗瓦作用的一次德尔佩佐曲面在其皮卡格中包含一个$D_8$型伽罗瓦不变子格;这可以用$\mathbb{P}^4$中的某个十六点集来表征。
An explicit Abelian surface with maximal Galois action
我们构造了一个显式的例子，亏格$2$曲线$C$在数域$K$上，使得由$\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)$对$C$的雅可比矩阵的作用所产生的阿德尔伽罗瓦表示具有像$\operatorname{GSp}_4(\widehat{\mathbb Z})$。
Explicit determination of the images of the Galois representations attached to abelian surfaces with End(A)=\Z
我们给出了一个有效的版本的结果报告塞尔断言，图像的伽罗瓦表示附加到一个阿贝尔表面与$\End(A)= \mathbb{Z}$是尽可能大的几乎每一个素数。我们的算法依赖于Serre猜想对二维奇不可约伽罗瓦表示的真实性。在这个猜想的假设下，我们确定了具有例外象的素数的有限集。
Explicit computation of a Galois representation attached to an eigenform over SL3 from the H2 étale of a surface
本文给出了一种计算H2曲面表中的mod $\ell$伽罗瓦表示的方法。我们把这个方法应用到SL（3）的同余子群上的一个本征形上的GL（3，9）中的值的表示的情况。特别地，我们得到了一个多项式，它的伽罗瓦群同构于单群PSU（3，9），并且只在2和3分支.
Irreducibility of Newton strata in Picard modular surfaces and split local Galois representations
本文通过计算分歧素数处Picard模曲面特殊纤维中非寻常Newton层闭包的单值群与不可约性，证明Picard模形式的伴随形式存在性等价于其关联局部Galois表示的分歧性质。
Galois action on the $\bar\mathbb{Q}$-isogeny classes of abelian surfaces with quaternionic multiplication
数域上的阿贝尔簇称为L-阿贝尔簇，如果对于数域L的绝对伽罗瓦群的任何元素，共轭阿贝尔簇通过保持自同态环上伽罗瓦作用的同构与给定的阿贝尔簇同构。我们可以认为它们是定义在L上的阿贝尔簇的推广，其自同态也定义在L上。在一维情况下，定义在L上的椭圆曲线产生由其Tate模上的伽罗瓦作用提供的伽罗瓦表示。这种经典的伽罗瓦表示在过去的几十年里一直是数论研究的中心对象。此外，给定椭圆L-曲线，可以构造以前的伽罗瓦表示的投影模拟。在这项工作中，我们在二维情况下构建了类似的射影表示，即通过四元数乘法或假椭圆曲线附着到阿贝尔L曲面。此外，我们证明了这样的射影表示也描述了Galois作用的椭圆L-曲线的Isonite类，在经典的情况下，或阿贝尔L-曲面与四元数乘法，在一般情况下。
Explicit surjectivity of Galois representations attached to abelian surfaces and $\operatorname{GL}_2$-varieties
设$A$是定义在数域$K$上的一个没有（潜在的）复乘的绝对单阿贝尔簇。假设$\dim A=2$或$A$是$\operatorname{GL}_2$型的：我们给出一个明确的约束$\ell_0(A,K)$，使得对于每一个素数$\ell>\ell_0(A,K)$，$K$在$\operatorname{Aut}(T_\ell(A))$中的绝对伽罗瓦群的像是自同态和极化所允许的那样大。
Principally polarized abelian surfaces with surjective galois representations on l-torsion
给定一个定义在$K$上的有理簇$V$，我们考虑一个定义在$V$上的维数为$g$的主极化阿贝尔簇$A$.对于每个素数l，我们考虑$A_t$的$l$ -挠上的伽罗瓦表示，其中$t$是$V$的$K$ -有理点。最大可能的图像是$GSp_{2g}(\mathbb{F}_l)$，在情况$g=1$和2中，我们能够得到所有$l$和几乎所有$t$的满射性。在$g=1$的情况下，这恢复了最初由威廉·杜克证明的定理。
Galois action on the Neron-Severi group of Dwork surfaces
研究了数域$F$中参数为$λ$的Dwrok曲面$X_λ:X_0^4+X_1^4+X_2^4+X_3^4-4λX_0X_1X_2X_3=0$的Galois作用量.证明了当$X_λ$具有几何Picard数$19$时，它的Néron-Severi群$NS(\overline{X}_λ)\otimes \mathbb{Q}$是二次特征标的直和.我们在文章中提供了两个证明这个结论。特别地，几何证明确定了每个二次特征标的导体。我们的结果与\cite{Voight2}中的结果一致。利用这种分解，我们给出了Wan的一个结果的另一个证明.
Computing the mod-3 Galois image of a principally polarized abelian surface over the rationals
针对有理数域上主极化阿贝尔曲面的mod-3伽罗瓦表示像的计算问题，提出以GSp(4,F₃)子群共轭类分布为关键要素的算法，用多种技术解决ℓ=3时Gassmann等价子群的区分难题，且无需已知自同态信息。
Inverse Galois problem for del Pezzo surfaces over finite fields
我们完全解决了所有有限域上的$2$和$3$度的del Pezzo曲面的逆Galois问题。
Unramifiedness of Galois representations arising from Hilbert modular surfaces
设$p$为素数，$F$为全实数域.对于$F$的每一个素数$p$，我们构造了一个作用于$(\mathrm{mod}\, p^m)$ Katz Hilbert模类的Hecke算子$T_\mathfrak{p}$，它与经典的Hecke算子在$\mathfrak{p}$上一致.利用这些算子和F. Calegari和D. Geraghty我们证明了所产生的伽罗瓦表示扭转希尔伯特模块类的平行重量${\bf 1}$是unramified在$p$时$[F:\mathbb Q]=2$。在$[F:\mathbb Q]>2$中得到了一些局部的和理论上的结果。
The arithmetic of QM-abelian surfaces through their Galois representations
本文研究数域上四元数乘法交换曲面的丢番图性质。我们研究了这些阿贝尔簇上的自同态的定义域以及它们的Tate模上的伽罗瓦表示的象。我们用几个明确的例子来说明我们的结果。
On the inverse Galois problem for del Pezzo surfaces of degree 1
本文完全解决了度数为1的德尔皮佐表面在有限域上的反伽罗瓦问题，针对112种类型中的85种，并确定了所有类型的最小存在域。
Galois group of exceptional curves on the generic del Pezzo surface
研究了通用del Pezzo表面度数d的例外曲线的Galois作用，证明其为最大，并推导出在F_q(u)上立方面无Brauer-Manin障碍的结论。
Riemann surfaces and the Galois correspondence
本文利用滤子基引入了一个具有某些附加拓扑的空间，并更新了代数函数的黎曼曲面的定义。然后，我们提出了一个伽罗瓦对应这些黎曼曲面和甲板变换群。我们还将单值定理推广到全局解析函数具有奇点的情形，这些奇点可以是非孤立的。
The absolute Galois group acts faithfully on the connected components of the moduli space of surfaces of general type
证明了伽罗瓦群$Gal(\bar{\Q} /\Q)$忠实地作用于一般型曲面的模空间的连通分支的集合上，并且对于不同于恒等式和复共轭的每个元素$σ\in Gal(\bar{\Q} /\Q)$，存在一个一般型曲面，使得$X$和伽罗瓦共轭簇$X^σ$具有非同构的基本群.这一结果是由第二作者在2006年9月的阿尔盖罗会议“拓扑代数簇”上宣布的。在本论文真正写出来之前，我们收到了罗伯特·伊斯顿和拉维·瓦基尔的一份非常有趣的预印本（\cite{e-v}），其中用完全不同类型的例子证明了伽罗瓦群$Gal(\bar{\Q} /\Q)$忠实地作用于一般类型曲面的模空间的不可约分量集。我们还给出了其它一些简单的例子，这些曲面具有非同构的基本群，它们是伽罗瓦共轭的，因此具有同构的代数基本群。
Moduli spaces of sheaves on K3 surfaces and Galois representations
我们考虑定义在任意域上的两个K3曲面，以及每个曲面上的稳定层的光滑真模空间。当模空间具有相同维数时，证明了若两个曲面的具有Q_ell系数的平展上同调群同构为伽罗瓦表示，则两个模空间也是如此.特别地，如果定义域是有限的，并且K3曲面具有相等的zeta函数，那么模空间也是如此，即使模空间不是双有理的。
Potential automorphy of certain non self-dual 3-dimensional Galois representations
本文利用潜在自守性与自守提升的最新进展，证明了 van Geemen–Top 曲面族所对应的三维伽罗瓦表示对所有非零整数参数 z 均潜在自守，从而得到其 L 函数的解析延拓与函数方程。
Irreducibility of geometric Galois representations and the Tate conjecture for a family of elliptic surfaces
利用Calegari关于Fontaine-Mazur猜想的结果，研究了纯正则秩3弱相容自对偶l-adic表示系统的不可约性.因此，我们证明了Tate猜想对于定义在Q上且几何亏格大于1的椭圆曲面族成立。
Galois representations arising from twenty-seven lines on a cubic surface and the arithmetic associated with Hessian polyhedra
在本文中，我们将证明三个明显不相交的对象：由三次曲面上的27条线产生的伽罗瓦表示（数论和算术代数几何），Picard模形式（自守形式），刚性Calabi-Yau三重及其算术（丢番图几何）与Hessian多面体及其不变量密切相关。我们构造了一个伽罗瓦表示，它的象是例外李代数$E_6$的Weyl群$W(E_6)$的一个真子群.本文给出了关于两种不同类型的$L$ -函数的同一性的一个猜想，该猜想可以看作是Langlands-Tunnell定理的一个高维对应.
Moduli spaces and the inverse Galois problem for cubic surfaces
研究了标记三次曲面的模空间$\widetilde{\calM}$。通过A.\，B. Coble，这有一个紧化$\widetilde{M}$，它被群$W(E_6)$线性作用。$\widetilde{M}$是$\bP^9$中30个立方的交集。对于遗忘标记的态射$\widetilde{calM} \to \bP(1,2,3,4,5)$，紧跟着Clebsch不变映射，我们给出了显式公式.即，Clebsch的不变量是用Coble的无理不变量表示的。作为应用，我们对$\bbQ$上的三次曲面的Galois反问题给出了肯定的回答.
Mod-5 Galois images from abelian surfaces
本文针对阿贝尔曲面，概率性计算了LMFDB中95%亏格2曲线雅可比簇的Mod-5 Galois像，对剩余情况确定像的阶并列出候选像。
Absolute Galois acts faithfully on the components of the moduli space of surfaces: A Belyi-type theorem in higher dimension
给定Q的代数闭包Qbar上的对象，通常没有理由由绝对伽罗瓦群Gal（Qbar/Q）保留相应全纯对象的不变量，并且一般来说这是不正确的，尽管在实践中有时会令人惊讶地观察到。投影线的覆盖只在点0、1和无穷大上分支的情况，通过Belyi定理，导致Grothendieck的dessins d 'enfants程序，用于通过绝对伽罗瓦群在这种覆盖上的忠实作用来理解绝对伽罗瓦群。这说明是出于Catanese的问题，一个更高的维的类似物：绝对伽罗瓦群忠实地作用于光滑曲面的变形等价类？（根据定义，这些等价类当然是最强的变形不变量。我们给出了一个较弱结果的简短证明：绝对伽罗瓦群忠实地作用于光滑曲面（一般类型，正则极化）的模空间的不可约分量。鲍尔、卡坦尼斯和格鲁内瓦尔德最近用不同的结构回答了卡坦尼斯最初的问题。
Tame Galois realizations of GSp_4(F_l) over Q
本文给出了特征为$\ell>3$的素域上的四维广义辛群作为$\mathbb{Q}$的弱分歧伽罗瓦扩张的伽罗瓦群的实现.该策略是考虑伽罗瓦表示$ρ_{\ell}$附加到泰特模块在$\ell$一个合适的阿贝尔表面。为了保证$ρ_{\ell}$的象是大的，同时保持对相应的伽罗瓦扩张的分支的控制，我们需要仔细地选择阿贝尔簇。我们得到了一个显式的曲线族的亏格2，使伽罗瓦表示附加到$\ell$ -扭转点的雅可比簇提供驯服伽罗瓦实现所需的辛群。
Euler systems for Hilbert modular surfaces
我们构建了一个欧拉系统-一个兼容的家庭的全球上同调类-的伽罗瓦表示出现在几何的希尔伯特模曲面。如果Bloch和Kato关于调节器映射的内射性的猜想成立，则该欧拉系统是非平凡的，并且我们推导出这些伽罗瓦表示的岩泽主猜想的界。
On deformation rings of residual Galois representations with three Jordan-Holder factors and modularity
研究具有三个互不同构绝对不可约Jordan-Hölder因子的模p非半单Galois表示的Fontaine-Laffaille自对偶形变，在Selmer群阶的条件下证明泛形变环为离散赋值环，并在Hecke代数信息充分时证明R=T定理，应用于阿贝尔曲面及某些6维表示。
Constructing elliptic curves from Galois representations
给定算术曲面上的非等平凡椭圆曲线，得到该曲面上秩为2的lisse $\ell$ -adic层。这个利斯层有许多简单的性质：分圆行列式、有限分歧、弗罗贝纽斯的有理迹，以及某些不可能好约化的地方。我们证明了任何具有这些性质的秩为二的利斯层都来自于一条椭圆曲线。
Rationality of twists of the Siegel modular variety of genus $2$ and level $3$
设$\overlineρ: G_{\mathbf{Q}} \rightarrow {\rm GSp}_4(\mathbf{F}_3)$是一个具有分圆相似特征的连续伽罗瓦表示--或者，与之等价的是，伽罗瓦表示与一个主要极化阿贝尔曲面$A/\mathbf{Q}$的$3$ -挠有关。我们证明了主极化阿贝尔曲面$B/\mathbf{Q}$的模空间$\mathcal{A}_2(\overlineρ)$，它允许Galois表示的辛同构$B[3] \simeq \overlineρ$，当$\overlineρ$是满射时，它在$\mathbf{Q}$上永远不是有理的，即使它通过度$6$的映射在$\mathbf{C}$上是有理的，在$\mathbf{Q}$上是单有理的。
Introduction to moduli, l-adic representations and the Regular Version of the Inverse Galois Problem
第一节介绍了（G，C）上的Nielsen类，其中C是有限群G中的r个共轭类，以及它们上的辫子作用。这些给出了约化的Hurwitz空间，记为H（G，C）^rd。本节最后给出了当r = 4时这些空间的亏格的辫子公式。如果至少有一个素数l使得G可被l整除，但没有Z/l商，则存在H（G，C）^rd上约化Hurwitz空间的典范塔，使用G的泛Frattini覆盖~G和~G_ab，它的阿贝尔化版本。塔是非空的，假设C是l'类，满足来自提升不变量的上同调条件。一个M（odular）T（ower）是正则塔的分量的投影序列。第二节介绍了[Fr 18]这本书，它把Serre的O（pen）I（mage）T（heorem}推广到G是二面体群D_l，C是对合共轭类的四个重复的情形。Serre定理将模曲线塔上点的射影序列的分解群分为两类：CM（复乘）和GL_2。当r = 4时，所有MT能级都是在0（3阶）、1（2阶）和\infty（对应于尖点）分歧的上半平面矢。因此，它们适合于将Serre OIT与尖点和分解群纤维进行比较。[Fr 18]强调了尖点和组件中的新现象，同时仍然显示了与模曲线在高塔水平上的有效比较。它还旨在显示MT如何可以扩展通常用于模曲线塔的应用，认识到这些问题直接从逆伽罗瓦问题解释。标题的l-adic表示来自通用弗拉蒂尼封面的阿贝尔化版本。
Large 2-adic Galois image and non-existence of certain abelian surfaces over Q
受算术应用的启发，我们需要一些可能独立感兴趣的工具。设$\mathcal E$是$\mathbb Z_p$上秩为$p^4$的绝对不可约群概型.我们提供了一个完整的描述本田系统的$p$-可分集团$\mathcal G$，使$\mathcal G[p^{n+1}]/\mathcal G[p^n] \simeq \mathcal E$的所有$n$。然后，我们找到了第二层$\mathbb Q_p(\mathcal G[p^2])/\mathbb Q_p(\mathcal G[p])$的阿贝尔导体的边界，在我们的情况下比可以从Fontaine的边界推导出的更强。设$π\!: \, {\rm Sp}_{2g}(\mathbb Z_p) \to {\rm Sp}_{2g}(\mathbb F_p)$为约化映射，$G$为${\rm Sp}_{2g}(\mathbb Z_p)$的闭子群，其中$\overline{G} = π(G)$不可约且由transvection生成。我们填补了文献中的空白，表明如果$p=2$和$G$包含一个transvection，那么$G$是尽可能大的${\rm Sp}_{2g}(\mathbb Z_p)$与给定的减少$\overline{G}$，即$G = π^{-1}(\overline{G})$。当$A = J(C)$是超椭圆曲线$C\!: \, y^2 + Q(x)y…
Modular abelian varieties over number fields
本文的主要结果是对定义在Galois数域上的阿贝尔簇$B/K$的一个刻画，即Zeta函数$L(B/K;s)$等价于同余子群$Γ_1(N)$的非CM新形式的Zeta函数的乘积.表征涉及端（B）的结构、$B$的伽罗瓦共轭之间的同构以及附着于$B/K$的伽罗瓦上同调类。我们称具有这种性质的簇为强模的。最后一节研究了一类具有四元数乘法的阿贝尔曲面。作为说明的方式，在该文件的一般结果可以应用，我们证明了一些特定的阿贝尔曲面属于该家庭的强模性，我们展示了如何找到非平凡的例子强模品种扭曲，并证明了存在的强模曲面满足某些性质。
On the Galois-invariant part of the Weyl group of the Picard lattice of a K3 surface
本文研究任意域上K3曲面皮卡格外尔群的伽罗瓦不变部分到皮卡等距群的限制映射的像是否为正规子群，通过有理数域上的反例给出否定回答。
Galois Realisations of $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_{p^2})$ via non-unirational Hilbert Irreducibility
本文通过非单位理Hilbert不可约性方法，证明了PSL₂(F_{p²})在特定同余条件下满足正则反Galois问题。
Abelian surfaces with supersingular good reduction and non semisimple Tate module
本文证明了$\mathbb{Q}_p$上的交换曲面$A$的存在性，该曲面具有好约化的超奇异特殊纤维，其对应的$p$ -adic Galois模$V_p(A)$不是半单的.
Manin's conjecture for quintic del Pezzo surfaces with a conic bundle structure
本文研究具有圆锥纤维化结构的五次del Pezzo曲面的Manin猜想，通过证明匹配的上下界，并在Galois一般情形下完整验证了该猜想。
K-varieties and Galois representations
本文研究 Abel K-簇所附带的绝对不可约 ℓ-adic Galois 表示，并构造 Galois 等变配对限制其像，进而证明具潜在四元数乘法的 Q 上 Abel 曲面具有模性。
Explicit computation of Galois representations occurring in families of curves
本文将计算曲线Jacobian除法多项式的方法扩展至Q(t)上的曲线，以计算曲面étale上同调中的Galois表示，获得了P^1_Q上Galois表示的显式族并研究了其在坏约化处的退化。
Galois-invariant Néron--Severi ranks of Fermat surfaces over number fields: a Galois module, closed forms, a threshold, and exact tables
研究数域上费马曲面的伽罗瓦不变奈龙 - 塞维里秩，通过显式特征平均计算，给出\(\gcd(d,6)=1\)时封闭形式及\(4\leq d\leq30\)的有理秩，证明相关公式，建立阈值和轨道规则，给出精确表格及平均阶，结果无条件且有辅助文件支持。
Galois Orbit Bounds for Surface Degenerations
研究曲面退化中 Picard 等级跳跃的有限性，利用 Galois 轨道高度界和混合 Hodge 结构分析。
Computing nonsurjective primes associated to Galois representations of genus $2$ curves
本文针对雅可比簇仅有平凡几何自同态的亏格2曲线，提出一种实用算法，用于计算使伽罗瓦挠点作用不极大的有限素数集，并已在LMFDB全部相关曲线上完成验证。
Mod-$p$ Galois representations not arising from abelian varieties
该研究针对伽罗瓦表示是否源自阿贝尔簇的问题，证明了当维数$g\ge2$且排除三类特殊$(g,p)$值时，存在具有分圆相似特征的$\mathrm{GSp}(2g,\mathbb{F}_p)$值伽罗瓦表示无法对应$\mathbb{Q}$上$g$维阿贝尔簇的$p$挠表示。
The modularity of K3 surfaces with non-symplectic group actions
本文研究了具有非辛群的复K3曲面对代数圈的平凡作用。Vorontsov和Kondo用最小秩的超越格对K3曲面进行了分类。本文的目的是研究与这些K3曲面相关的伽罗瓦表示。超越格的秩是偶数，从2到20不等，不包括8和14。我们证明了这些K3曲面都是由Fermat曲面支配的，因此它们都是CM型的。我们将建立与它们相关的伽罗瓦表示的模块性。我们还讨论了这些K3曲面在Dolgachev意义下的镜像对称性，并证明了镜像K3曲面的存在，只有一个例外。
Fields of definition of K3 surfaces with complex multiplication
设$X/ \mathbb{C}$是一个与CM域$E$的整数环进行复乘的K3曲面.我们发现，$X$总是可以定义在阿贝尔扩展$K/E$明确确定的判别形式的格$\mathrm{NS}(X)$。然后，我们通过伽罗瓦下降构造了一个$X$ over $K$的模型，我们研究了它的一些基本性质，特别是我们明确地确定了它的伽罗瓦表示。最后，我们应用我们的结果给出了$X$的最小定义域的上、下界，它是由$E$的类数和$\mathrm{NS}(X)$的判别式给出的。
Multiplicative excellent families of elliptic surfaces of type E_7 or E_8
本文描述了根格E_7或E_8的外尔群同构于伽罗瓦群的有理椭圆曲面的显式乘法优良族。每个族的Weierstrass系数通过可逆多项式变换与相关外尔群的乘法不变环的生成元相关联，由相应李群的基本特征给出。作为应用，我们给出了[Oguiso-Shioda '91]中关于纤维构形和Mordell-Weil格的大多数元素的具有乘性约化的椭圆曲面和定义在Q上的所有截面的例子，以及具有伽罗瓦群W（E_7）或W（E_8）的显式多项式的例子.
Galois groups of low dimensional abelian varieties over finite fields
本文基于伽罗华群、牛顿多边形和角度秩三种同态不变量，定义新的加权置换表示不变量，用于研究阿贝尔表面和简单阿贝尔三次簇中这三个不变量之间的微妙关系。
Sato-Tate distributions and Galois endomorphism modules in genus 2
对于数域k上的阿贝尔曲面A，研究了A的L-函数的正规化欧拉因子的极限分布。这个分布被期望对应于在USp（4）的某个闭子群中取一致随机矩阵的特征多项式;这个Sato-Tate群可以从A的任何Tate模上的伽罗瓦作用获得。我们证明了Sato-Tate群仅限于一个特定的55个共轭群的列表。然后我们根据A_Qbar（Galois型）的自同态生成的R-代数上的Galois模结构对A进行分类，并建立了与Sato-Tate群分类的匹配，这表明对于合适的A和k，至多有52个共轭群出现为Sato-Tate群，其中34个可以出现为k = Q.最后，我们展示了超椭圆曲线的雅可比行列式的例子，展示了每种伽罗瓦类型（尽可能超过Q），并通过比较矩统计量观察与预期的Sato-Tate分布的数值一致性。
Moduli relations between l-adic representations and the regular inverse Galois problem
有两个著名的阿贝尔定理。最著名的是他的描述阿贝尔（分析）职能的一维紧凑复杂的环面。另一个将那些复杂的环面及其素度同构集合在一起，形成一个空间。黎曼的推广第一个特点是他著名的θ函数。他最深刻的工作旨在扩大阿贝尔的第二定理，他去世之前，他履行这一点。这种扩展经常被描绘在复杂的高维鸟居上。然而，对黎曼来说，研究g亏格的紧致黎曼曲面W的雅可比空间，是为了研究其上的函数W：W -> P^1_z。这样的对（W，n）的数据从单值群G和G中的共轭类C开始。许多应用来自于将所有这样的覆盖物连接到（G，C）中的自然族-- Hurwitz族。我们连接两个这样的应用程序：正则逆伽罗瓦问题（RIGP）和塞尔的开放图像定理（OIT）。我们称这种连接装置为模块化塔（MT）。背景的OIT和RIGP使用塞尔的书籍阿贝尔L-进表示和椭圆曲线（1968年）和主题的伽罗瓦论（1992年）。Serre的OIT示例是MT水平识别为模曲线的情况。用一个不是模曲线的例子，我们解释了限制的MT性质--推广了希尔伯特定理--这将得出所有MT的OIT。在重要的情况下，这些连接的两端上的件的解是已知的。
A local-global principle for polyquadratic twists of abelian surfaces
本文证明维数不超过2的阿贝尔簇若在几乎所有素数处的约化互为多多二次扭曲，则整体亦然，并给出维数3时的反例。
The Chevalley-Weil Formula for Orbifold Curves
在20世纪30年代Chevalley和Weil给出了一个公式分解的规范表示空间的微分形式的伽罗瓦群的分歧伽罗瓦覆盖黎曼曲面。在这篇文章中，我们证明了一个类似的Chevalley-Weil公式的分歧Galois覆盖的orbifold曲线。然后，我们专门的公式的情况下，基础orbifold曲线是（减少）模块orbifold。作为后一个公式的应用，我们分解的规范表示的模曲线的充分，素数水平和Fermat曲线的任意指数。
On uniformity conjectures for abelian varieties and K3 surfaces
讨论了有界度数域上关于K3曲面的一致性定理与有界维数的阿贝尔簇之间的逻辑联系。这些结构涉及交换阿贝尔簇的自同态代数、K3曲面的Neron-Severi格和几何Brauer群的Galois正规子群。
A Modular Non-Rigid Calabi-Yau Threefold
我们构造了一个代数簇，通过解决奇异的五次卡-丘三重。三重的中间上同调被示出为包含来自一对椭圆曲面的片。由此产生的商是一个二维的伽罗瓦表示。利用有限域上的平展上同调中的Lefschetz不动点定理和簇上的点数，证明了这种伽罗瓦表示是模的.
The Tate Conjecture for a family of surfaces of general type with p_g=q=1 and K^2=3
本文证明了Catanese和Ciliberto提出的关于光滑复代数曲面族的一个大的单值性结果，其中不变量p_g=q=1，K^2=3.这是通过对退化的仔细研究来实现的。作为推论，当在这个家庭中的表面被定义在一个生成的扩展Q，我们验证了半简单性和泰特代数的伽罗瓦表示的中间\ell -adic上同调的表面。
On the Frey-Mazur conjecture over low genus curves
Frey-Mazur猜想指出，$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线由其对$p\geq 17$的$p$ -挠伽罗瓦表示确定到等距.我们研究了这个猜想的几何模拟，并表明，从Isobel类的“假椭圆曲线“--阿贝尔表面与四元数乘法--他们的$p$ -扭转伽罗瓦表示是一对一的功能领域的小亏格复杂曲线足够大的$p$相对于属。
Lifting Galois representations via Kummer flags
本文通过库默尔旗的概念，证明了在特定条件下，伽罗瓦群和曲面基本群的表示可以逐步提升。
Artin's Conjecture and Elliptic Curves
阿廷指出，某些伽罗瓦表示应该引起整个L-系列。我们给出了一些历史上的猜想和动机，为什么它应该是真的，通过讨论一维的情况。第一个已知的例子来验证猜想在二十面体的情况下没有表面，直到布勒的工作在1977年。我们解释了如何将这二十面体表示附加到与其伽罗瓦共轭同构的模块化椭圆曲线上，然后解释它如何与权重为5且水平素数为5的尖点形式相关联。
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