Packing anchored rectangles
设$S$是单位正方形$[0,1]^2$中的一组$n$点，其中一个点是原点。我们构造$n$成对相邻不相交的轴对齐的空矩形，使得每个矩形的左下角是$S$中的一个点，并且矩形共同覆盖至少一个正的常数区域（约0.09）。这是解决一个长期存在的猜想的第一步，这个猜想是这样一个包装中的矩形可以共同覆盖至少1/2的面积。
2012-07-30 cs.CG math.CO
Packing, Hitting, and Colouring Squares
本文研究了非轴平行正方形的packing与hitting问题，首次给出了τ/ν比率的非平凡上界（单位正方形为6，变体为10），并利用该方法界定了χ/ω比率，填补了正方形几何对象常数界限研究的空白。
2024-06-03 cs.CG cs.DM math.CO
Tiling with Squares and Packing Dominos in Polynomial Time
一个多角形是一个多边形区域的轴平行的边缘和角的整数坐标，其中可能有洞。本文研究了带有多角件和多角容器$P$的平面平铺和填充问题。我们给出了两个多项式时间算法，一个用于决定是否$P$可以平铺与$k\times k$广场的任何固定的$k$可以是输入的一部分（即，决定如果$P$是一组非重叠的$k\times k$广场的联合）和一个用于包装$P$与最大数量的非重叠和轴平行$2\times 1$多米诺骨牌，允许旋转$90^\circ$。由于打包比平铺更通用，所以后一种算法也可以用于决定$P$是否可以由$2\times 1$多米诺骨牌平铺。这些都是在VLSI设计中具有重要应用的经典问题，并且已知找到$2\times 2$平方的最大填充的相关问题是NP困难的[J.Algorithms 1990]。对于我们的三个问题，存在已知的伪多项式时间算法，即运行时间在$P$区域内为多项式的算法。然而，表示多边形的标准、紧凑的方法是以二进制形式列出角点的坐标。我们使用这种表示，从而提出了第一个多项式时间算法的问题。具体地说，我们给出了一个简单的$O(n\log n)$算法的方块平铺，和一个更复杂的$O(n^3\,\text{polylog}\, n)$算法的包装和平铺的多米诺骨牌，其中$n$是$P$的角的数量。
2021-08-09 cs.CG cs.DS
Online Hitting Set for Axis-Aligned Squares
针对平面上的轴对齐正方形在线击中集问题，提出首个$O(\log n)$-竞争确定性算法，并推广到多边形正位似体，获得$O(k^2\log n)$-竞争算法。
2025-10-27 cs.CG
A Danzer set for Axis Parallel Boxes
给出了$\mathbb{R}^d$（$d\ge 2$）中离散集的具体构造，该离散集与$\mathbb{R}^d$中体积$1$的每个对齐盒相交，并且具有最优增长率$O(T^d)$ .
2015-08-18 cs.CG cs.DM math.DS
Anchored Rectangle and Square Packings
对于单位正方形$[0,1]^2$中的点$p_1,\ldots , p_n$，\emph{anchored rectangle packing}由相邻不相交的轴对齐的空矩形$r_1,\ldots , r_n\subseteq [0,1]^2$组成，使得点$p_i$是$i=1,\ldots, n$的矩形$r_i$的角（即，$r_i$是$p_i$处的\emph{anchored}）。我们证明了对于$[0,1]^2$中的每一个$n$点集，都存在一个面积至少为$7/12-O(1/n)$的锚定矩形填充;对于每一个$n\in \mathbf{N}$，都存在一个面积至多为$2/3$的锚定矩形填充的点集.锚定\emph{square}填料的最大面积总是至少为$5/32$，有时至多为$7/27$。上述构造性下界立即产生常数因子近似，矩形的$7/12 -\varepsilon$和正方形的$5/32$，用于在$O(n\log n)$时间内计算最大面积的锚定填充。我们证明了一个简单的贪婪策略实现了$9/47$ -近似锚定正方形包装，和$1/3$左下角锚定正方形包装。约简到最大权独立集（MWIS）分别在$n^{O(1/\varepsilon)}$和$\exp({\rm poly}(\log (n/\varepsilon)))$时间中产生锚定矩形和方形填充的QPTAS和PTAS。
2016-02-29 cs.CG math.CO
Covering and Packing of Rectilinear Subdivision
研究了平面上有界区域的一类几何覆盖与填充问题。我们给出了一组轴平行的线段，诱导一组有界（直线）面的平面细分。我们对以下问题感兴趣。(P1)刺入-细分：通过在平面中选择最少数量的点来刺入所有有界面。(P2)独立-细分：选择成对不相交有界面的最大大小集合。(P3)主细分：选择最小尺寸的面集合，使得任何其他面具有非空交点（即，共享边或顶点）。我们证明了这些问题是NP困难的。我们甚至证明，这些问题是NP-困难的，当我们只集中在矩形面的细分。此外，我们提供了恒定因子近似算法的刺细分问题。
2018-09-19 cs.CG
On Shallow Packings and Tusnády's Problem
Tusnády问题要求限定$\mathbb{R}^d$中点与平行轴盒的差异。Tusnády问题的数学界使用了Matoušek对点和轴平行盒系统的规范分解，以及其他技术，如部分着色和/或基于随机行走的方法。我们使用的概念，\emph{shallow cell complexity}和\emph{shallow packing lemma}，连同链接技术，以获得一个改进的分解的集合系统。再加上算法技术的Bansal和Garg的差异最小化，我们也稍微延长，这产生了改进的算法界限Tusnády的问题。对于$d\geq 5$，我们的界限与Matoušek，Nikolov和Talwar [IMRN，2020]给出的$Ω(\log^{d-1}n)$的下限相匹配-解决了Tusnády的问题，直到常数因子。对于$d=2,3,4$，我们分别得到了$O(\log^{7/4}n)$、$O(\log^{5/2}n)$和$O(\log^{13/4}n)$的改进算法界，它们匹配或改进了Nikolov关于$d\geq 3$的非构造性界.此外，我们还给出了改进的界限的差异集系统的点和多面体在$\mathbb{R}^d$通过一个固定的超平面集的平移产生。作为应用，我们还得到了$\mathbb{R}^d$中锚定框的几何差异相对于任意测度的界，与Lebesgue测度的上界相匹配，这改进了Aistleitner，Bilyk…
2022-02-10 cs.CG cs.DM math.CO
Tight Approximation Algorithms for Geometric Bin Packing with Skewed Items
在二维装箱（2BP）问题中，给定一组高度和宽度最多为1的矩形，我们的目标是找到这些矩形的轴对齐的非重叠装箱，使其成为最少数量的单位正方形箱。该问题不允许APTAS，当前最佳近似比是Bansal和Khan的$1.406$ [SODA '14]。这个问题的一个被广泛研究的变体是截断二维装箱（G2BP），其中所有的矩形必须以这样的方式包装，即包装中的每个矩形都可以通过递归地应用一系列端到端的轴平行切割（也称为截断切割）来获得。Bansal，Lodi和Sviridenko [FOCS '05]对此问题获得了APTAS。令$λ$是最小常数，使得对于每个项目集合$I$，$I$的G2BP的最优解中的箱数的上限为$λ\operatorname{opt}(I) + c$，其中$\operatorname{opt}(I)$是$I$的2BP的最优解中的箱数，并且$c$是常数。已知$4/3 \le λ\le 1.692$. Bansal和Khan [SODA '14]证实了$λ= 4/3$。该猜想如果成立，将意味着2BP的$(4/3+\varepsilon)$-近似算法。根据惯例，对于给定的常数$δ>0$，如果矩形的高度和宽度都至少是$δ$，则矩形是大的，否则称为偏斜的。我们通过证明$λ= 4/3$的偏斜实例，即，当所有的输入矩形都是倾斜的。即使在这种情况下，$λ$的先前最佳上限也大约是1.692。虽然一…
2021-05-06 cs.CG cs.DS
Axis-Aligned Square Contact Representations
本文引入了一类新的二部平面图$\mathcal{G}$，并证明了$\mathcal{G}$中的每一个图都有一个恰当的平方接触表示.如果两个正方形相交于正长度的线段，则它们之间的接触是\emph{proper}。类$\mathcal{G}$是从4圈$C_4$通过连续插入一个顶点或顶点的4圈到一个面中获得的四边形化族。对于每一个图$G\in \mathcal{G}$，我们构造了一个适当的平方接触表示。递归构造的关键参数是由四个外部正方形包围的矩形的长宽比。我们表明，这个纵横比可以连续变化的间隔$I_G$。区间$I_G$不能用固定的长宽比来代替，然而，正如我们所证明的，可行区间$I_G$可以是任何正实数的任意小邻域。
2021-07-25 cs.CG math.CO
Approximating Geometric Knapsack via L-packings
我们研究了二维几何背包问题（2DK），其中我们给出了一组n轴对齐的矩形项目，每一个相关的利润，和一个轴对齐的正方形背包。目标是找到背包内物品的最大利润子集的（非重叠）包装（没有旋转物品）。这个问题最著名的多项式时间近似因子（即使只是在基数的情况下）是（2 + ε）[Jansen and Zhang，SODA 2004]。在本文中，我们打破了2近似的障碍，实现了多项式时间的（17/9 + ε）< 1.89近似，在基数情况下提高到（558/325 + ε）< 1.72。基本上所有关于2DK近似的先前工作都将物品包装在恒定数量的矩形容器内，其中每个容器内的物品使用简单的贪婪策略包装。我们偏离了第一次从这个设置：我们表明，存在一个大的利润解决方案，其中项目是装在一个恒定数量的容器加上一个L形区域的边界上的背包，其中包含的项目是高，窄，项目是宽，薄。作为本文的第二个主要和主要的算法贡献，我们提出了一个PTAS这种情况下。我们相信，这将是有用的，在未来的工作中的几何包装问题。我们还考虑了旋转问题的变体（2DKR），其中物品可以旋转90度。此外，在这种情况下，最著名的多项式时间近似因子（即使对于基数情况）是（2 + ε）[Jansen and Zhang，SODA 2004]。利用2DK的部分机制加上一些额外的想法，我们得到了2DKR的多项式时间（3/2 + ε）近似，在基数情况下改进为（4/3…
2017-11-21 cs.CG cs.DS
Axis-Aligned Relaxations for Mixed-Integer Nonlinear Programming
Mitch Daniels School of Business, Purdue University（普渡大学米切尔丹尼尔斯商学院）；Antai School of Management, Shanghai Jiao-Tong University（上海交通大学安泰经济与管理学院）
本文提出了一种基于计算几何的新型松弛框架，通过凸化策略点集构建多面体松弛，改进了非线性规划的求解效率，展示了在多项式优化问题中显著的优化效果。
2026-03-19 cs.CG cs.MS math.OC
Online Packing to Minimize Area or Perimeter
我们考虑在线包装问题，我们得到一个轴平行的矩形流。矩形必须放置在平面上而不重叠，并且每个矩形必须在不知道后续矩形的情况下放置。目标是最小化矩形的轴平行限界框的周长或面积。我们要么允许旋转90度，要么只允许平移。对于周边版本，我们给出了算法的绝对竞争比略小于4时，只允许平移，旋转时也允许。然后，我们把我们的注意力最小化的区域，并表明，任何算法的渐近竞争比至少是$Ω(\sqrt{n})$，其中$n$是流中的矩形的数量，这与旋转和不旋转。然后，我们提出的算法，在这两种情况下，这一界限相匹配。我们还表明，竞争比不能作为一个功能的OPT.Then，我们考虑两种特殊情况下有界。第一种情况是所有给定的矩形的长宽比都受某个常数的限制。所有矩形都是正方形并且我们希望最小化边界正方形的面积的特定变体之前已经研究过，并且已经给出了竞争比为8的算法[Fekete和Hoffmann，Monumica，2017]。我们改进了算法的分析，并表明该比率最多为6，这是紧的。第二种特殊情况是所有边的长度至少为1。在这里，$Ω(\sqrt n)$下限仍然成立，我们把我们的注意力的下限取决于OPT.We表明，任何算法具有渐近竞争力的比例至少$Ω(\sqrt{OPT})$的平移的情况下，$Ω(\sqrt[4]{OPT})$时，旋转是允许的。对于这两个版本，我们给出的算法，匹配各自的下限。
2021-01-26 cs.CG
On Contact Graphs with Cubes and Proportional Boxes
我们研究了两个变种的问题的接触表示平面图与轴对齐盒。在立方体接触表示中，我们用立方体来实现每个顶点，而在成比例的盒子接触表示中，每个顶点都是具有预定体积的轴对齐盒子。本文给出了几类平面图的立方接触表示和比例盒接触表示的构造算法。
2015-10-08 cs.CG
Minimum-Link Shortest Paths for Polygons amidst Rectilinear Obstacles
考虑两个轴对齐的直线简单多边形在域中由平面中的轴对齐的直线障碍物组成，使得每个障碍物一个边界框和每个多边形一个边界框不相交。我们提出了一个算法，计算连接两个多边形在$O((N+n)\log (N+n))$时间使用$O(N+n)$空间，其中$n$是在域中的顶点数和$N$是两个多边形的顶点总数的最小链接的直线最短路径。
2021-06-27 cs.CG
2D Fractional Cascading on Axis-aligned Planar Subdivisions
分数阶级联是数据结构中有影响力的技术之一，因为它为解决重要的迭代搜索问题提供了一个通用框架。在该问题中，输入是一个具有常数度的图$G$，并且$G$的每个顶点都有一组值。目标是预处理$G$，使得当给定查询值$q$和$G$的连通子图$π$时，我们可以在与$π$的顶点相关联的所有集合中找到$q$的前身。分数级联的基本结果是存在一种使用线性空间的数据结构，并且它可以在$O(\log n + |π|)$时间内回答查询[Chazelle和Guibas，1986]。虽然这种技术在过去几十年中受到了广泛的关注，但“2D分数级联”的几乎二次空间下限[Chazelle和Liu，2001]使研究人员确信分数级联基本上是一种1D技术。在2D分数级联中，输入包括$G$的每个顶点的平面细分，查询是点$q$和子图$π$，目标是在与$π$的顶点相关联的所有细分中定位包含$q$的单元。在本文中，我们表明，它是可能的，以规避的Chazelle和刘的轴对齐的平面细分的下界。我们提出了一些上限和下限，这表明在2D中，问题具有更丰富的结构。当$G$是一棵树和$π$是一个路径，那么查询可以回答在$O(\log{n}+|π|+\min\{|π|\sqrt{\log{n}},α(n)\sqrt{|π|}\log{n}\})$时间使用线性空间，其中$α$是一个逆阿克曼函数，令人惊讶的是，我们发现这两个分支的界限是紧的，逆阿克曼因子…
2020-11-27 cs.CG
A better lower bound for Lower-Left Anchored Rectangle Packing
给定包含原点的单位正方形中的任意一组点$S$，是否存在一组轴对齐的矩形，$S$中的每个点对应一个矩形，使得每个矩形的左下角都有$S$中的一个点，它们两两内部不相交，并且它们覆盖的总面积至少为1/2？这个问题也被称为弗里德曼猜想（证明这样一组矩形确实存在），自1969年艾伦·弗里德曼提出以来一直是开放的。在本文中，我们提高了最好的已知下限的总面积，可以覆盖从0.09121到0.1039。虽然这一步很小，但我们引入了新的见解，推动了这种分析的极限。我们的下界使用了一个贪心算法，在$S$中的点有一个特定的顺序。因此，这也意味着该贪心算法实现了0.1039的近似比。我们补充的结果与一个自然类的贪心算法，其中包括一个达到下限的近似比的上限为3/4。
2021-02-10 cs.CG cs.DS
Largest Inscribed Rectangles in Geometric Convex Sets
本文考虑了在有限个凸不等式定义的紧致凸集上寻找最大体积（轴对齐）内接盒的问题，并给出了求解它们的优化和几何方法。开发了几种优化模型，可以很容易地推广到找到其他内接几何形状，如三角形，菱形和正方形。为了求解高维空间中的最大轴向内接矩形，提出并分析了一种邻域点法算法。对于二维空间，提出了一种参数化的优化方法来寻找凸集中最大的（轴对齐的）内接矩形。优化方法提供了一个统一的框架来解决各种各样的相关问题。最后，两个计算几何$(1-\varepsilon)$ -近似算法与次线性运行时间，改进了以前的结果。
2022-08-09 cs.CG math.MG math.OC
Finding Pairwise Intersections Inside a Query Range
我们研究了以下问题：将对象集合O预处理成一个数据结构，该数据结构允许我们有效地报告O中在轴对齐查询范围Q内相交的所有对象对。我们提出的数据结构的大小$O(n({\rm polylog} n))$和查询时间$O((k+1)({\rm polylog} n))$的时间，其中k是报告对的数量，两类对象在平面上：轴对齐的矩形和对象具有小联盟的复杂性。对于R^3中的对象和查询范围是轴对齐的盒子的三维情况，我们提出了一个大小为$O(n\sqrt{n}({\rm polylog} n))$和查询时间为$O((\sqrt{n}+k)({\rm polylog} n))$的数据结构。当对象和查询是胖的时，我们使用$O(n({\rm polylog} n))$存储来获得$O((k+1)({\rm polylog} n))$查询时间。
2015-02-21 cs.CG cs.DS
On Packing Almost Half of a Square with Anchored Rectangles: A Constructive Approach
在本文中，我们考虑下面的几何难题，其起源可以追溯到Allan Freedman \cite{croft91,tutte69}在20世纪60年代由Dumitrescu和T {ó} th \cite{adriancasaba2011}.这个谜题最近由Peter Winkler \cite{Winkler2007}推广开来。令$P_{n}$是单位正方形$U = [0,1]^2$中的一组$n$点，包括原点。问题是在$U$中构造$n$轴平行且互不相交的矩形，使得每个矩形的左下角与$P_{n}$中的一个点重合，并且矩形覆盖的总面积最大化。我们将上述矩形称为\emph{anchored rectangles}。长期以来的猜想是，当锚定矩形正确放置时，至少可以覆盖$U$的一半。Dumitrescu和T {0} th \cite{Dumitrescu2012}已经示出了可以覆盖至少$0.09121$的构造方法，即，大约是该地区的$9\%$。
2014-04-28 cs.CG
How does object fatness impact the complexity of packing in d dimensions?
Packing是一个经典的问题，其中给定一组称为对象的欧几里得空间的子集，目标是找到两两不相交的对象的最大大小子集。这个问题也被称为对象定义的相交图上的独立集问题。虽然该问题是NP完全的，但文献中有几种次指数算法。这些算法的一个关键假设是物体是胖的，只有少数例外是二维的;例如，平面上一组多边形的包装问题令人惊讶地承认一个次指数算法。在本文中，我们给紧运行时间界包装类似大小的非脂肪对象在更高的维度。我们提出了一种替代的和非常弱的措施，脂肪称为刺数，并表明，包装问题在欧氏空间的恒定尺寸$d \geq 3$为一个家庭的类似大小的对象与刺数$α$可以解决在$2^{O(n^{1-1/d}α)}$时间。我们证明，即使在固定形状的轴平行盒的情况下，在ETH下也没有$2^{o(n^{1-1/d}α)}$算法。这一结果顺利地桥接了整个范围内的恒定胖对象的一个极端（$α=1$）和通常的运行时间的亚指数算法，并在另一个极端（$α=n^{1/d}$），我们不能希望改善后，蛮力运行时间的$2^{O(n)}$，从而表征了肥胖的影响，在类似大小的对象的情况下，包装的复杂性。我们还研究了同样的问题时，参数的解决方案的大小$k$，并给出了一个$n^{O(k^{1-1/d}α)}$算法，几乎匹配的下限。
2019-09-26 cs.CG cs.DS
Approximate Discontinuous Trajectory Hotspots
热点是具有固定边长$s$的轴对齐的正方形，固定边长是实体在其中最大化的平面中移动的存在的持续时间。在$O(n^2)$中可以找到具有$n$边的多边形轨迹的精确热点。定义一个$c$ -近似热点作为一个轴对齐的正方形边长$cs$，其中实体的存在的持续时间不小于一个确切的热点，在本文中，我们提出了一个算法来寻找一个$(1 + ε)$ -近似热点的多边形轨迹的时间复杂度为$O({nϕ\over ε} \log {nϕ\over ε})$，其中$ϕ$是平均轨迹边长度与$s$的比值。
2019-01-07 cs.CG
On Linear-Size Guillotine-Separable Subsets of Fat Convex Objects, Disks, and Squares
TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）；Indian Institute of Science, Bengaluru（印度科学研究所班加罗尔分校）；Indian Statistical Institute Kolkata（印度统计学院加尔各答分部）
研究任意大小的胖凸物体族是否有线性规模的可分离子集这一长期开放问题，通过证明每个两两不相交的胖凸物体族都有此类子集解决了该问题，结果扩展到高维，还改进了轴对齐正方形和圆盘可分离子集比例的界限。
2026-08-05 cs.CG
A 2.37332-Competitive Algorithm for Online Square Packing with Gravity
Alpha Energy ApS（Alpha Energy 有限公司）
提出AsymmetricSlots递归算法，通过槽位划分和局部收费论证，将在线正方形装箱（含重力约束）的渐近竞争比从2.6154改进至2.37332，并推广到矩形情形，证明对宽高比的依赖最优。
2026-09-10 cs.CG
Squarability of rectangle arrangements
我们研究当一个排列的轴对齐的矩形可以转化为排列的轴对齐的正方形在$\mathbb{R}^2$，同时保持其结构。我们找到了J. Klawitter，M. Nöllenburg和T. Ueckerdt是否所有的安排没有交叉和侧穿孔可以平方。我们的反例也适用于更一般的情况，即我们只需要保留交集图，并且禁止正方形之间的边穿透。我们还展示了转换盒安排组合等价超立方体安排的反例。最后，我们介绍了一个线性规划，决定是否安排矩形可以平方在一个更严格的版本，所有方面的顺序是保留。
2016-11-23 cs.CG
Geometric Graphs with Unbounded Flip-Width
本文证明多种几何图（如区间图、置换图、圆图等）具有无界翻转宽度，该概念由Toruńczyk提出，扩展了图宽度理论的应用范围。
2023-06-22 cs.CG math.CO
On the $\ell_0$ Isoperimetric Coefficient of Measurable Sets
本文证明轴对齐立方体的 $\ell_0$ 等周系数为 $Θ(n^{-1/2})$，且任意可测体至多相差常数倍，并将结果用于凸体均匀采样的 Coordinate-Hit-and-Run 混合时间分析。
2025-07-25 cs.CG math.MG
Hardness of Packing, Covering and Partitioning Simple Polygons with Unit Squares
本文证明将单位正方形填充、覆盖和划分简单多边形（即使无孔且坐标半整数）均为NP困难，通过非平面几何实现Planar-3SAT归约，首次证明无孔多边形划分问题的NP困难性。
2024-04-18 cs.CG
Poncelet Propellers: Invariant Total Blade Area
给定一个三角形，可以定义三个外接圆，每个外接圆的圆心都在一个外心上。在一对同心椭圆（轴对齐或不对齐）中的Poncelet 3-B-S（三角形）家族中，三人组类似于旋转的螺旋桨，其中每个“叶片”都有可变的面积。令人惊讶的是，它们的总面积是不变的，即使椭圆对没有轴对齐。我们还证明了一个密切相关的不变量涉及的总和叶片外圆面积比。
2021-01-25 cs.CG cs.RO math.DS
Approximation Algorithms for Geometric Maximum Coverage
IIT Bombay（印度理工学院孟买分校）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Google Research（谷歌研究）
本文研究几何最大覆盖问题，提出多种近似算法，针对不同几何对象族改进了近似因子与运行时间，并给出了对应的难度下界结果。
2026-08-03 cs.CC cs.CG cs.DS
