On Packing Almost Half of a Square with Anchored Rectangles: A Constructive Approach
在本文中，我们考虑下面的几何难题，其起源可以追溯到Allan Freedman \cite{croft91,tutte69}在20世纪60年代由Dumitrescu和T {ó} th \cite{adriancasaba2011}.这个谜题最近由Peter Winkler \cite{Winkler2007}推广开来。令$P_{n}$是单位正方形$U = [0,1]^2$中的一组$n$点，包括原点。问题是在$U$中构造$n$轴平行且互不相交的矩形，使得每个矩形的左下角与$P_{n}$中的一个点重合，并且矩形覆盖的总面积最大化。我们将上述矩形称为\emph{anchored rectangles}。长期以来的猜想是，当锚定矩形正确放置时，至少可以覆盖$U$的一半。Dumitrescu和T {0} th \cite{Dumitrescu2012}已经示出了可以覆盖至少$0.09121$的构造方法，即，大约是该地区的$9\%$。
2014-04-28 cs.CG
Improved Pseudo-Polynomial-Time Approximation for Strip Packing
我们研究了带包装问题，一个经典的包装问题，推广了装箱和最大完工时间最小化。在这里，我们给出了一组轴平行的矩形在二维平面和目标是包装他们在一个固定宽度的垂直带，使所获得的包装的高度最小化。包装必须不重叠，矩形不能旋转。从划分问题的简化表明，在多项式时间内，对于条带填充，没有比3/2更好的近似是可能的（假设P $\neq$ NP）。Nadiradze和Wiese [SODA 16]通过提出伪多项式时间（PPT）中的$(\frac{7}{5}+ε)$ -近似算法克服了这一障碍。由于该问题是强NP-难的，不允许有精确的PPT算法。本文进一步研究了条形排样的PPT逼近问题，提出了一种$(\frac43+ε)$ -近似算法。我们的结果基于Nadiradze和Wiese的构造所留下的\emph{empty space}中的一些矩形的非平凡重新包装，并且在某种意义上将他们的方法推向了极限。我们的PPT算法可以适应的情况下，我们被允许旋转矩形$90^\circ$，实现相同的近似因子和打破多项式时间的近似障碍3/2的情况下，旋转。
2018-01-23 cs.CG cs.DS
Tight Approximation Algorithms for Geometric Bin Packing with Skewed Items
在二维装箱（2BP）问题中，给定一组高度和宽度最多为1的矩形，我们的目标是找到这些矩形的轴对齐的非重叠装箱，使其成为最少数量的单位正方形箱。该问题不允许APTAS，当前最佳近似比是Bansal和Khan的$1.406$ [SODA '14]。这个问题的一个被广泛研究的变体是截断二维装箱（G2BP），其中所有的矩形必须以这样的方式包装，即包装中的每个矩形都可以通过递归地应用一系列端到端的轴平行切割（也称为截断切割）来获得。Bansal，Lodi和Sviridenko [FOCS '05]对此问题获得了APTAS。令$λ$是最小常数，使得对于每个项目集合$I$，$I$的G2BP的最优解中的箱数的上限为$λ\operatorname{opt}(I) + c$，其中$\operatorname{opt}(I)$是$I$的2BP的最优解中的箱数，并且$c$是常数。已知$4/3 \le λ\le 1.692$. Bansal和Khan [SODA '14]证实了$λ= 4/3$。该猜想如果成立，将意味着2BP的$(4/3+\varepsilon)$-近似算法。根据惯例，对于给定的常数$δ>0$，如果矩形的高度和宽度都至少是$δ$，则矩形是大的，否则称为偏斜的。我们通过证明$λ= 4/3$的偏斜实例，即，当所有的输入矩形都是倾斜的。即使在这种情况下，$λ$的先前最佳上限也大约是1.692。虽然一…
2021-05-06 cs.CG cs.DS
Approximating Dominating Set on Intersection Graphs of Rectangles and L-frames
研究了几何对象交图上的最小支配集问题。即使对于简单和广泛使用的几何对象，如矩形，也没有已知的亚对数近似问题，并且（也许令人惊讶的是）即使所有矩形都“锚定”在斜率为-1的对角线上，该问题也是NP难的（Pandit，CCCG 2017）。在本文中，我们首先表明，对于任何$ε>0$，存在一个$(2+ε)$近似算法的MDS问题的“对角线锚定”矩形，提供了第一个$O(1)$近似的问题上的一个非平凡的矩形子类。不难看出，“对角锚定”矩形上的MDS问题与“对角锚定”L-框架上的MDS问题是相同的：共享端点的垂直线段和水平线段的并集。因此，我们也得到了一个$(2+ε)$ -近似的问题与“对角锚定”的L-框架。另一方面，我们表明，该问题是APX困难的情况下，输入的L-框架相交的对角线，或L-框架的水平段相交的垂直线。然而，正如我们所示，这个问题是线性时间可解的情况下，L-框架相交的垂直以及水平线。最后，我们考虑了所谓的“边相交模型”中的MDS问题，并获得了一些结果，回答了Mehrabi（WAOA 2017）提出的两个问题。
2018-06-25 cs.CG
On the union complexity of families of axis-parallel rectangles with a low packing number
设R是一族n轴平行的矩形，其堆积数为p-1，这意味着在任意p个矩形中，有两个矩形具有非空交集。我们证明了R的并复杂度最多为O（n+p^2），并且R的（<=k）级复杂度最多为O（kn+k^2p^2）。两个上界都是紧的。
2017-02-02 cs.CG math.CO
Tight Approximation Algorithms for Two Dimensional Guillotine Strip Packing
在带式装箱问题中，我们给出一个垂直半带$[0,W]\times[0,\infty)$和一组宽度至多为$W$的$n$轴对齐矩形。目标是找到所有矩形到条带中的非重叠填充，使得填充的高度最小化。一个被充分研究和经常使用的实际约束是只允许那些可截断分离的填料，即，可以通过递归地应用一系列边到边的轴平行切割（截断切割）来获得填充中的每个矩形，所述切割不与解的任何项相交。在本文中，我们研究的近似算法的断头台带包装问题（GSP），即，带包装的问题，我们还要求包装需要是切纸机分离。该问题推广了经典装箱问题和同类机器最大完工时间最小化问题，因此它已经是强NP-困难的。此外，由于从分区问题的减少，它是NP-难获得多项式时间$(3/2-\varepsilon)$ -近似算法的GSP的任何$\varepsilon>0$（完全作为带包装）。我们提供了一个匹配的多项式时间$(3/2+\varepsilon)$近似算法的GSP。在此基础上，我们提出了一个伪多项式时间的$(1+\varepsilon)$ -近似算法.这是令人惊讶的，因为在伪多项式时间内获得用于（一般）条带包装的$(5/4-\varepsilon)$近似算法是NP难的。因此，我们的结果基本上解决了GSP的多项式和伪多项式设置的逼近性。
2022-05-06 cs.CG cs.DS
Hierarchical Rectangle Packing Solved by Multi-Level Recursive Logic-based Benders Decomposition
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；LAAS-CNRS, Université de Toulouse, CNRS（图卢兹大学国家科学研究中心）
针对层次矩形装箱问题，提出多级递归逻辑Benders分解方法，通过动态细化块尺寸约束，在合成实例上优于整体模型和自底向上方法。
2026-06-18 cs.CG
Online Packing to Minimize Area or Perimeter
我们考虑在线包装问题，我们得到一个轴平行的矩形流。矩形必须放置在平面上而不重叠，并且每个矩形必须在不知道后续矩形的情况下放置。目标是最小化矩形的轴平行限界框的周长或面积。我们要么允许旋转90度，要么只允许平移。对于周边版本，我们给出了算法的绝对竞争比略小于4时，只允许平移，旋转时也允许。然后，我们把我们的注意力最小化的区域，并表明，任何算法的渐近竞争比至少是$Ω(\sqrt{n})$，其中$n$是流中的矩形的数量，这与旋转和不旋转。然后，我们提出的算法，在这两种情况下，这一界限相匹配。我们还表明，竞争比不能作为一个功能的OPT.Then，我们考虑两种特殊情况下有界。第一种情况是所有给定的矩形的长宽比都受某个常数的限制。所有矩形都是正方形并且我们希望最小化边界正方形的面积的特定变体之前已经研究过，并且已经给出了竞争比为8的算法[Fekete和Hoffmann，Monumica，2017]。我们改进了算法的分析，并表明该比率最多为6，这是紧的。第二种特殊情况是所有边的长度至少为1。在这里，$Ω(\sqrt n)$下限仍然成立，我们把我们的注意力的下限取决于OPT.We表明，任何算法具有渐近竞争力的比例至少$Ω(\sqrt{OPT})$的平移的情况下，$Ω(\sqrt[4]{OPT})$时，旋转是允许的。对于这两个版本，我们给出的算法，匹配各自的下限。
2021-01-26 cs.CG
Maximum Area Axis-Aligned Square Packings
给定单位正方形$U=[0,1]^2$中的点集$S=\{s_1,\ldots , s_n\}$，锚定正方形填充是$U$中的一组$n$相邻不相交的空正方形，使得$s_i$是第$i$个正方形的角。$S$的到达范围$R(S)$是可以被这种填充覆盖的点的集合，即，锚定在$S$中的点处的所有空正方形的并集。证明了对于每个有限集$S\subset U$，面积$(R(S))\geq \frac12$是最佳的可能界.区域$R(S)$可以在$O(n\log n)$时间内计算。最后，我们证明了寻找一个最大面积锚定正方形填充是NP完全的。这是第一个硬证明的几何包装问题中的几何对象的大小是不受限制的包装。
2018-06-25 cs.CG cs.DM
Online Circle Packing
我们考虑的在线问题包装圆到一个正方形容器。一系列的圆必须一次打包一个，而不知道接下来的传入圆，也不移动之前打包的圆。我们提出了一个算法，包装任何在线序列的圆的组合面积不大于0.350389 0.350389的正方形的面积，改善以前的最佳值π/10 \approx 0.31416;即使在离线设置，有一个上限π/（3 + 2 \sqrt{2}）\approx 0.5390。如果只考虑半径至少为0.026622的圆，则我们的算法达到更高的值0.375898。作为一个副产品，我们给出了一个在线算法包装成一个1 \times b矩形与b \geq 1。该算法是b \geq 2.36的最差情况最优算法。
2019-05-02 cs.CG cs.DS
Orthogonal Point Location and Rectangle Stabbing Queries in 3-d
在这项工作中，我们提出了一个新的结果收集几何数据结构中的两个基本问题：正交点定位和矩形刺。- 我们给出了第一个线性空间数据结构，支持3-D点定位查询$n$不相交的轴对齐的盒子与最佳的$O\left( \log n\right)$查询时间（算术）指针机模型。这改进了Rahul之前的$O\left( \log^{3/2} n \right)$界限[SODA 2015]。我们同样得到的第一个线性空间数据结构的I/O模型中的最优查询成本，也是第一个线性空间数据结构的字RAM模型的次对数查询时间。我们给出了第一个线性空间数据结构，它支持在字RAM模型中以最佳$O(\log_wn+k)$时间进行三维$4$边和$5$边矩形刺入查询。我们同样获得了第一个最佳的数据结构的密切相关的问题，2-D顶- $k$矩形刺字RAM模型，也改善了结果为3-D 6边矩形刺。对于点定位，我们的解决方案是简单的比以前的方法，是基于一个有趣的变种的范埃姆德博阿斯递归，应用在一个循环的方式在尺寸，结合位包装技术。对于矩形刺，我们的解决方案是一个变体的Alstrup，Brodal，和Rauhe的基于网格的递归技术（FOCS 2000），结合了一些新的想法。
2018-05-19 cs.CG cs.DS
Circle Packing for Origami Design Is Hard
我们表明，决定一组给定的圆是否可以包装成一个矩形，等边三角形，或单位正方形是NP-困难的问题，解决这些自然包装问题的复杂性。在积极的一面，我们表明，任何一组圆圈的总面积为1可以包装成一个正方形的大小为4/ \sqrt{pi} =2.2567.这些结果的动机折纸设计的背景下出现的问题。
2010-09-20 cs.CC cs.CG cs.DM
Improved Hardness of Approximation for Geometric Bin Packing
本文针对几何装箱问题，证明除非NP=P，否则该问题无法在d^{1-ε}因子内近似，并引入集合族的几何装箱维度概念，证明其关键性质以揭示几何装箱与向量装箱的根本差异。
2025-02-10 cs.CC cs.CG cs.DS
Online Sorting and Translational Packing of Convex Polygons
本文研究凸多边形在线平移装填，通过 OnlineSorting$[γ,n]$ 的竞争下界证明条带、箱和周长等装填不存在竞争算法，并给出在线排序与条带装填的非平凡算法。
2024-04-08 cs.CG cs.DS
Reducing Moser's Square Packing Problem to a Bounded Number of Squares
广为人知的莫泽正方形填充问题要求最小面积$A$，使得对于总面积为$1$的正方形的任何集合$S$，存在面积为$A$的矩形$R$，其中$S$中的正方形允许内部不相交的轴平行填充。它是由莫泽在1966年提出的，至今仍未解决。$\frac{2+\sqrt{3}}{3}\leq A$最著名的下限是由Novotnatrium提出的，并且Platz已经证明对于高达$11$平方是足够的，而Hougardy和Ilhan已经建立了$A < 1.37$。在本文中，我们减少莫泽的广场包装问题的一个有限的广场上的问题在以下意义上：我们展示了如何计算一个自然数$N$，使得它是足够的，以确定$A$的值为集合包含最多$N$广场的总面积$1$。
2021-03-11 cs.CG cs.DM
A goal-driven ruin and recreate heuristic for the 2D variable-sized bin packing problem with guillotine constraints
本文针对带断头台约束的二维变尺寸装箱问题，提出一种结合目标驱动策略的毁坏重建启发式算法，在含物品旋转和异构箱子的所有变体上均取得优于现有最优算法的解质量。
2025-08-26 cs.CG
Circle packing in arbitrary domains
提出一种通过引入“图像”圆盘在任意二维域中高效寻找全等圆盘密集堆积的算法，适用于多种复杂域，并有望直接扩展到三维。
2023-08-31 cond-mat.soft cs.CG
Improved Approximation Algorithms for Three-Dimensional Bin Packing
Indian Institute of Science（印度科学学院）；Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）
针对三维装箱（3D-BP）与三维最小体积包围盒（3D-MVBB）问题，改进其近似比，其中3D-BP渐近近似比优化至约2.54，且证明3D-MVBB存在渐近多项式时间近似方案。
2026-08-25 cs.CG cs.DS
Revisiting Chazelle's Implementation of the Bottom-Left Heuristic: A Corrected and Rigorous Analysis
Research Institute for Discrete Mathematics, University of Bonn（波恩大学离散数学研究所）
本文修正并严格化Chazelle于1983年提出的Bottom-Left启发式实现，指出原运行时间分析在特定情况下会退化为Ω(n^3)，并通过补充形式化细节和修复缺陷，最终确认该实现具有O(n^2)时间复杂度和O(n)空间复杂度。
2025-11-10 cs.CG cs.DM cs.DS
Online Geometric Packing through Online TSP Scheduling
研究凸多边形在线平移包装问题，当前最佳算法竞争比为\(O(n^{0.59})\)。引入在线旅行商问题调度，给出\(O(\log^2 n)\)竞争算法，由此得到凸多边形在线平移条带包装等问题的同竞争比算法，揭示包装与在线排序联系在算法设计上的应用。
2026-07-27 cs.CG cs.DS
A 2.37332-Competitive Algorithm for Online Square Packing with Gravity
Alpha Energy ApS（Alpha Energy 有限公司）
提出AsymmetricSlots递归算法，通过槽位划分和局部收费论证，将在线正方形装箱（含重力约束）的渐近竞争比从2.6154改进至2.37332，并推广到矩形情形，证明对宽高比的依赖最优。
2026-09-10 cs.CG
Tight Bounds for Tusnády's Problem in the Plane
Gaoling School of Artificial Intelligence, Renmin University of China（中国人民大学高瓴人工智能学院）
本文证明了平面中点集相对于轴平行矩形的组合差异的最坏情况为 $\Theta(\log^{3/2}n)$，填补了已知下界与上界之间的差距，并给出了简单初等的证明。
2026-10-07 cs.CG
On Shallow Packings and Tusnády's Problem
Tusnády问题要求限定$\mathbb{R}^d$中点与平行轴盒的差异。Tusnády问题的数学界使用了Matoušek对点和轴平行盒系统的规范分解，以及其他技术，如部分着色和/或基于随机行走的方法。我们使用的概念，\emph{shallow cell complexity}和\emph{shallow packing lemma}，连同链接技术，以获得一个改进的分解的集合系统。再加上算法技术的Bansal和Garg的差异最小化，我们也稍微延长，这产生了改进的算法界限Tusnády的问题。对于$d\geq 5$，我们的界限与Matoušek，Nikolov和Talwar [IMRN，2020]给出的$Ω(\log^{d-1}n)$的下限相匹配-解决了Tusnády的问题，直到常数因子。对于$d=2,3,4$，我们分别得到了$O(\log^{7/4}n)$、$O(\log^{5/2}n)$和$O(\log^{13/4}n)$的改进算法界，它们匹配或改进了Nikolov关于$d\geq 3$的非构造性界.此外，我们还给出了改进的界限的差异集系统的点和多面体在$\mathbb{R}^d$通过一个固定的超平面集的平移产生。作为应用，我们还得到了$\mathbb{R}^d$中锚定框的几何差异相对于任意测度的界，与Lebesgue测度的上界相匹配，这改进了Aistleitner，Bilyk…
2022-02-10 cs.CG cs.DM math.CO
