Hardness of approximation for strip packing
条形包装是一个经典的包装问题，其目标是将一组矩形物体包装成给定宽度的条带，同时最小化包装的总高度。该问题有多种应用，例如在调度和库存切割，并已被广泛研究。当允许对象的维度在总输入大小中为指数时，已知问题不能在比$3/2$更好的因子内近似，除非$\mathrm{P}=\mathrm{NP}$。然而，对于多项式有界的输入数据没有相应的下限。事实上，Nadiradze和Wiese [SODA 2016]最近针对该变体提出了一种$(1.4 + ε)$近似算法，从而表明，与允许输入数据中的指数大值相比，可以更好地近似多项式有界数据的条带填充。他们的结果随后被两个独立的研究小组改进为$(4/3 + ε)$近似值[FSTTCS 2016，arXiv：1610.04430]。这就提出了一个问题是否带包装多项式有界的输入数据承认准多项式时间近似计划，是相关的二维包装问题，如最大独立集的矩形或二维背包的情况。在本文中，我们回答这个问题的否定证明，它是NP-困难的近似带包装内的一个因素优于$12/11$，即使只允许多项式有界的输入数据。特别地，这表明，带包装问题不允许准多项式时间近似方案，除非$\mathrm{NP} \subseteq \mathrm{DTIME}(2^{\mathrm{polylog}(n)})$。
2016-10-25 cs.CC cs.DS
A 13/6-Approximation for Strip Packing via the Bottom-Left Algorithm
Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Bremen（数学与计算机科学系，不来梅大学）
本文提出了一种新的矩形排序方式，利用底左算法在 strip 包装问题中实现了 13/6 的近似比。
2025-12-18 cs.DM cs.DS math.CO
Approximation Algorithms for Demand Strip Packing
在需求带包装问题（DSP）中，我们给出了一个时间间隔和一个任务集合，每个任务的特征是处理时间和对给定资源（如电力，计算能力等）的需求。一个可行的解决方案包括在上述时间间隔内的任务的时间表。我们的目标是最小化峰值资源消耗，即在任何时间点执行的任务的最大总需求。众所周知，DSP在因子3/2以下是NP难近似的，并且用于相关问题的标准技术意味着（多项式时间）2近似。我们的主要结果是一个（5/3+eps）-近似算法的任何常数eps>0。我们还实现了一些相关的特殊情况下的最佳可能的近似因子。
2021-05-19 cs.DS
Hardness and Tight Approximations of Demand Strip Packing
本文研究了Demand Strip Packing (DSP)问题的伪多项式复杂度，证明其近似比低于5/4时是强NP难的，并提出了近似比为(5/4+ε)的伪多项式时间近似算法，在P≠NP假设下几乎最优。
2025-07-01 cs.DS
Peak Demand Minimization via Sliced Strip Packing
我们研究了非抢占式峰值需求最小化（NPDM）问题，其中我们被赋予一组工作，指定的加工时间和能源需求。目标是在固定的时间段内调度所有作业，以使峰值负载（任何时间的最大总能量需求）最小化。这个问题最近受到了极大的关注，由于其在智能电网的相关性。从理论上讲，该问题与经典的带填充问题（SP）有关。在SP中，一组给定的轴对齐矩形必须被打包成一个固定宽度的条带，使得条带的高度最小化。NPDM可以建模为具有切片和堆叠约束的条带包装：每个矩形可以垂直切割成多个切片，并且切片可以作为单独的片包装到条带中。堆叠约束禁止同一矩形的两个切片被同一垂直线包围的解决方案。非抢占强制将切片放置在相邻的水平位置（但也可以放置在不同的垂直位置）。我们得到了问题的一个$(5/3+ε)$ -近似算法。我们还提供了一个渐近有效的多项式时间近似计划（AEPTAS），几乎所有的能源消耗$(1+ε)OPT$的工作产生一个时间表。其余作业可以放入高度为$1$的瘦容器中。NPDM之前的最佳值是基于FFDH的2.7近似值[Ranjan等人，2015]。我们的一个关键思想是提供几个新的下界的最优解的几何包装，这可能是有用的其他相关问题。这些下界有助于我们在许多情况下获得基于Steinberg算法的近似解。此外，我们展示了如何将AEPTAS生成的时间表拆分为几个部分，并重新安排相应的作业以插入上述瘦容器。
2021-05-15 cs.DS
Maintaining Virtual Areas on FPGAs using Strip Packing with Delays
每年，可用于动态部分可重构设备的计算资源都在大幅增加。在不久的将来，我们希望许多应用程序运行在一个单一的可重构设备。在本文中，我们提出了一个概念，多任务的动态部分可重构系统称为虚拟区域管理。我们解释了它的优势，展示了它的挑战，并讨论了可能的解决方案。此外，我们更详细地研究一个问题：包装模块随时间变化的资源请求。这一问题来自于可重构计算领域，产生了一个全新的优化问题。基于ILP和启发式方法进行了比较，在实验研究和讨论的缺点和好处。
2010-01-25 cs.AR cs.DS
Approximation Algorithms for Two-Bar Charts Packing Problem
双条形图装箱问题（2-BCPP）要求将由两个条形组成的条形图（BC）装箱成最小长度的水平单位高度条。条形图可以在条形图内垂直移动，但禁止改变顺序和分开图表的条形图。近年来，对于这一新问题，即装箱问题（BPP）、带装箱问题（SPP）和二维向量装箱问题（2-DVPP）的推广，提出了几种具有保估计的近似算法。然而，经过初步分析的解决方案所构建的近似算法，我们发现，保证估计是不准确的。这一事实激励我们进行数值实验，其中近似解相互比较，并与最优解进行比较。为了构造最优解或最优下界，我们使用先前提出的2-BCPP的布尔线性规划（BLP）公式并应用CPLEX包。我们还使用一个数据库的BPP与已知的最佳解决方案的实例构建的2-BCPP与已知的最小包装长度的实例。仿真结果构成了本文的主要内容。
2021-06-22 cs.DM cs.DS
A Tight ($3/2 + \varepsilon$)-Approximation Algorithm for Demand Strip Packing
针对需求条带装箱问题，本文证明了满足两种结构性质的紧近似解的存在性，提出两种高效算法并通过择优运行得到$(3/2+\varepsilon)$近似比，达到该问题本质最优的近似保证。
2024-08-16 cs.DS
The Bottom-Left Algorithm for the Strip Packing Problem
本文研究条形装箱问题的左下角算法，将其近似比下界从5/4改进到4/3-ε，并证明该下界对正方形也成立，同时给出最坏顺序下的常数上界和10/3-ε下界，还分析了基于置换的局部搜索算法的近似性能。
2024-02-26 cs.DM cs.DS math.CO
Linear Time Algorithms for Multiple Cluster Scheduling and Multiple Strip Packing
研究了多簇排序问题和多条装箱问题。对于这两个问题，除了$P = NP$，没有比$2$更好的近似比算法。在本文中，我们提出了一个算法的近似比$2$和运行时间$O(n)$的两个问题。虽然之前已知$2$近似，但在最差情况下，算法的运行时间至少为$Ω(n^{256})$。因此，$O(n)$算法是令人惊讶的，并且是最好的。我们通过调用具有近似保证$(1+\varepsilon)OPT +p_{\max}$的AEPTAS和具有常数$\varepsilon$的$O(n\log(1/\varepsilon)+ f(1/\varepsilon))$形式的运行时间来在单个集群上调度作业，从而将此结果存档。然后，此计划将分发到$O(n)$中的$N$群集上。此外，这种分布技术可以应用于多集群调度的任何变体，对于该变体，存在具有附加项$p_{\max}$的AEPTAS。虽然从理论的角度来看，上述结果是强有力的，但由于调用具有常数$\varepsilon \geq 1/8$的AEPTAS作为子例程而引起的大的隐藏常数，因此它可能不是非常实用。然而，我们指出，首先在一个集群上找到一个时间表，然后将其分发到其他集群的一般方法可能会在实际的方法中派上用场。我们证明了这一点，提出了一个实用的算法，运行时间$O(n\log(n))$，没有隐藏常数，这是一个$9/4$近似三分之一的所有可能的情况下，即，所有的情况下，集群…
2019-02-09 cs.DS
Restricted Strip Covering and the Sensor Cover Problem
给定一组具有覆盖基本区域的持续时间的对象（作业），我们能否调度作业以最大化原始区域保持覆盖的持续时间？我们把这个问题称为传感器盖问题。在用传感器覆盖区域的背景下出现该问题。例如，假设您希望通过放置在各个固定位置的传感器来监视围栏上的活动。每个传感器都有一个范围和有限的电池寿命。问题是安排何时打开传感器，以便尽可能长时间地全面监控围栏。这个一维问题涉及到实数直线上的区间。将一个持续时间关联到每一个会产生一组空间和时间上的矩形，每个矩形由一对固定的水平端点和高度指定。目标是为每个矩形分配一个位置，以最大化跨越间隔完全覆盖的高度。我们称之为一维问题限制带覆盖。如果我们将覆盖约束替换为装箱约束，则问题等同于动态存储分配，这是一个调度问题，它是带装箱问题的限制情况。证明了带约束覆盖问题是NP难的，并给出了一个O（log log n）-近似算法.我们提出了更好的近似或精确算法的一些特殊情况。对于均匀持续时间的情况下，限制带覆盖，我们给出了一个多项式时间，精确的算法，但证明了均匀持续时间的情况下，高维区域是NP-困难的。最后，我们考虑区域是任意集，我们提出了一个O（log n）-近似算法。
2006-05-24 cs.CG cs.DS
Polynomial-Time Approximation Schemes for Circle and Other Packing Problems
我们给出了一个渐近逼近方案（APTAS）的问题包装成一组圆的最小数量的单位平方箱。为了获得合理的解决方案，我们使用的高度$1+γ$，一些任意小的数字$γ> 0$的增强箱。我们的算法是关于$\log 1/γ$的多项式，因此$γ$是问题输入的一部分。对于$γ$为常数的特殊情况，我们给出了一个（一维）资源扩充方案，即用不超过最优装箱中的箱数得到一个单位宽和单位高的箱$1+γ$的装箱.此外，我们得到了一个APTAS的圆带包装问题，其目标是包装成一个单位宽度和最小高度的带一组圆。这些是解决这些问题的第一近似和资源增加计划。我们的算法是基于新的想法，迭代分离小和大的项目，并可能会扩展到广泛的包装问题，满足一定的条件。这些扩展包括不同种类的项目的问题，如正多边形，或不同形状的箱子，如圆形和球形。作为一个例子，我们得到的APTAS的包装问题的d-维球成超立方体下的$L_p$ -范数。
2014-12-15 cs.DS
Power Strip Packing of Malleable Demands in Smart Grid
我们考虑了一个智能电网框架中的一组$\mathcal{N}$客户的供电问题。每个客户需要一定量的电能，该电能必须在时间间隔$[0,1]$期间供应。我们假设每个需求都必须不间断地供应，$\ell$和$r$之间可能有持续时间，这是给定的系统参数（$\ell\le r$）。在每个时刻，电网的功率是该时刻供应的需求的所有消耗率的总和。我们的目标是找到一个分配，最大限度地减少{ \it功率峰值} -最大功率超过$[0,1]$ -同时满足所有的要求。要做到这一点，首先我们找到最佳功率峰值的下限。我们发现，这个问题取决于是否对$\ell, r$属于一个“好”的区域$\mathcal{G}$。如果是，则最优分配几乎完美地“填充”矩形$time \times power = [0,1] \times [0, A]$，其中$A$是所有能量需求的总和，从而实现最优功率峰值$A$。相反，如果$\ell, r$不属于$\mathcal{G}$，我们确定的下限$\bar{A} >A$的最佳值的功率峰值，并介绍了一个简单的线性时间算法，几乎完美地安排在一个矩形$[0, A /\bar{A}] \times [0, \bar{A}]$的所有需求，并表明它是渐近最优的。
2013-02-15 cs.DS
Online Square Packing
我们在线分析了填充正方形的问题：给定一个宽度为1的半无限长带和一个未知的边长为[0，1]的正方形序列，它们从上面到达，一次一个。目标是在这些物品到达时将其打包，最大限度地减少由此产生的高度。就像经典的俄罗斯方块游戏一样，每个方块必须沿着一条无碰撞的路径移动到最终目的地。此外，我们在运动（方块永远不会向上移动）和位置（任何最终目的地必须从下面得到支持）中考虑了重力。类似的问题之前已经考虑过;之前最好的结果是Azar和Epstein，他们在没有重力的情况下给出了一个4-竞争算法（即，有可能让正方形“悬在空中”）基于货架包装的想法：正方形被分配到不同的水平高度，允许分析，这让人想起一些装箱的论点。我们应用几何分析来建立左下启发式的竞争因子3.5，并提出34/13=2.615......竞争算法
2010-10-21 cs.CG cs.DS
Online Geometric Packing through Online TSP Scheduling
研究凸多边形在线平移包装问题，当前最佳算法竞争比为\(O(n^{0.59})\)。引入在线旅行商问题调度，给出\(O(\log^2 n)\)竞争算法，由此得到凸多边形在线平移条带包装等问题的同竞争比算法，揭示包装与在线排序联系在算法设计上的应用。
2026-07-27 cs.CG cs.DS
A 3/2--approximation for big two-bar charts packing
本文考虑一个双条形图装箱问题（2-BCPP），其中需要将双条形图（2-BC）装箱成一个最小长度的单位高度条。该问题是装箱问题（BPP）的推广。在此之前，我们提出了一个$O(n^2)$ -时间算法，该算法构造了长度最多为$2\cdot OPT+1$的包装，其中$OPT$是$n$ 2-BC包装的最小长度.在本文中，我们提出了一个$O(n^4)$ -时间3/2-近似算法时，每个BC至少有一个酒吧大于1/2。
2020-06-18 cs.DM cs.DS
Harmonic Algorithms for Packing d-dimensional Cuboids Into Bins
我们探讨了$d$维几何装箱问题（$d$ BP）的近似算法。Caprara（MOR 2008）给出了$d$ BP的基于谐波的算法，其渐近近似比（AAR）为$T_{\infty}^{d-1}$（其中$T_{\infty} \approx 1.691$）。然而，他们的算法不允许旋转项目。这与$d$ BP的一些常见应用（如将包装箱装入集装箱）不同。我们给近似算法$d$ BP项目时，可以正交旋转轴的所有或一个子集。我们首先给出了一个快速和简单的基于谐波的算法具有AAR $T_{\infty}^{d}$。接下来，我们给出一个更复杂的基于谐波的算法，我们称之为$\mathtt{HGaP}_k$，具有AAR $T_{\infty}^{d-1}(1+ε)$。这给出了具有旋转的3BP的大致为$2.860 + ε$的AAR，其改进了最著名的$4.5$的AAR。此外，我们研究了多选择装箱问题，推广旋转的情况下。在这里，我们给出了$d$维立方体项的$n$集合，我们必须从每个集合中选择一个项，然后打包所选的项。我们的算法也适用于多选择装箱问题。我们还给出了快速和简单的近似算法的多选择版本的$d$ D带包装和$d$ D几何背包。
2021-09-25 cs.CG cs.DS
Tight (S)ETH-based Lower Bounds for Pseudopolynomial Algorithms for Bin Packing and Multi-Machine Scheduling
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Saarland University（萨尔兰大学）；Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克计算机科学研究所）
本文基于ETH和SETH证明了Bin Packing和多机调度问题的紧下界，反驳了多项式时间算法的可能性，并改进了参数化复杂性中的许多应用下界。
2026-03-13 cs.DS
A PTAS for Packing Hypercubes into a Knapsack
研究了d维超立方体背包问题，其中给定一组具有相关利润的d维超立方体，以及一个单位d维超立方体的背包。我们的目标是找到一个轴对齐的非重叠包装的一个子集的超立方体，使包装的超立方体的利润最大化。对于这个问题，Harren（ICALP'06）给出了一个近似比为（1+1/2 ^d + n）的算法。对于d=2，Jansen和Solis-Oba（IPCO'08）表明该问题允许多项式时间近似方案（PTAS）; Heydrich和Wiese（SODA'17）进一步改进了运行时间并给出了有效的多项式时间近似方案（EPTAS）。这两个结果都使用了2-D填充的结构性质，但不能推广到更高的维度。当d>2时，仍然有可能得到PTAS，事实上，自Harren的结果以来，没有任何改进。我们通过提供PTAS来解决这个问题。我们的主要技术贡献是一个结构引理，它表明，任何包装的超立方体可以转换成另一个结构化包装，使一个高利润的子集的超立方体包装成一个常数的特殊超立方体，称为V盒和N盒。作为一个侧面的结果，我们给出了一个几乎最优的算法在更高的维度带包装问题的一个变种。这可能有其他多维几何包装问题的应用。
2022-04-26 cs.DS
Two-Bar Charts Packing Problem
本文考虑一个条形图装箱问题（BCPP），其中需要将条形图（BC）装箱成最小长度的长条。该问题一方面是装箱问题（BPP）的推广，另一方面也是具有多学科作业和有限非累积资源的项目调度问题的特例。在前面，我们提出了一个多项式算法，该算法为给定的非递增BC阶数构造最优包。这一结果推广了BPP的一个类似结果。对于双条形图装箱问题（2-BCPP），当每个BC由两个条形图组成时，我们提出的算法在多项式时间内构造一个长度不超过$2\ OPT+1$的装箱，其中$OPT$是装箱的最小可能长度。据我们所知，这是2-BCPP的第一个有保证的估计。我们还进行了一个数值实验中，我们比较了我们的近似算法建立的解决方案与CPLEX包建立的最佳解决方案。实验结果证实了所开发的算法的高效率。
2020-05-28 cs.DM cs.DS
Robust Online Algorithms for Dynamic Problems
允许少量迁移或追索的在线算法在过去几年中得到了深入研究。它们在动态问题的竞争算法设计中是必不可少的，其中对象也可以离开实例。在这项工作中，我们给出了一个一般的框架，以获得所谓的强大的在线算法，这些动态问题：这些在线算法实现了一个渐进的竞争比$γ+ε$迁移$O(1/ε)$，其中$γ$是最好的离线渐近逼近比。为了使用我们的框架，只需要构建一个合适的在线算法的静态在线的情况下，项目永远不会离开。为了显示我们的方法的有用性，我们提高了最知名的强大的算法的动态版本的概括的条包装和装箱，包括第一个强大的算法一般$d$维装箱和矢量包装。
2019-05-20 cs.DS
Tiling with Squares and Packing Dominos in Polynomial Time
一个多角形是一个多边形区域的轴平行的边缘和角的整数坐标，其中可能有洞。本文研究了带有多角件和多角容器$P$的平面平铺和填充问题。我们给出了两个多项式时间算法，一个用于决定是否$P$可以平铺与$k\times k$广场的任何固定的$k$可以是输入的一部分（即，决定如果$P$是一组非重叠的$k\times k$广场的联合）和一个用于包装$P$与最大数量的非重叠和轴平行$2\times 1$多米诺骨牌，允许旋转$90^\circ$。由于打包比平铺更通用，所以后一种算法也可以用于决定$P$是否可以由$2\times 1$多米诺骨牌平铺。这些都是在VLSI设计中具有重要应用的经典问题，并且已知找到$2\times 2$平方的最大填充的相关问题是NP困难的[J.Algorithms 1990]。对于我们的三个问题，存在已知的伪多项式时间算法，即运行时间在$P$区域内为多项式的算法。然而，表示多边形的标准、紧凑的方法是以二进制形式列出角点的坐标。我们使用这种表示，从而提出了第一个多项式时间算法的问题。具体地说，我们给出了一个简单的$O(n\log n)$算法的方块平铺，和一个更复杂的$O(n^3\,\text{polylog}\, n)$算法的包装和平铺的多米诺骨牌，其中$n$是$P$的角的数量。
2021-08-09 cs.CG cs.DS
Polynomial and Pseudopolynomial Algorithms for Two Classes of Bin Packing Instances
Institute of Computing, University of Campinas（坎皮纳斯大学计算研究所）；MMPROS, Amazon（亚马逊 MMPROS）；Faculté des Sciences de l’administration, Université Laval（拉瓦尔大学管理科学学院）；DISMI, University of Modena and Reggio Emilia（摩德纳和雷焦艾米利亚大学 DISMI）
本文提出多项式和伪多项式算法解决两类装箱问题实例，证明这些实例并非强NP难，并且在处理这些实例时比现有方法快得多，同时可应用于切割库存问题。
2026-11-05 cs.DS
A note on 'Exact and approximate methods for a one-dimensional minimax bin-packing problem' [Annals of Operations Research (2013) 206:611-626]
在最近的一份文件中，Alberco，Köhn和Steinley [Ann. Oper. Res. 206：611 - 626（2013）]推测具有箱大小约束的一维极小极大装箱问题的2箱特殊情况可能在多项式时间内可解。在本文中，我们证明了这个问题的特殊情况下是NP-困难的，它是强NP-困难的一般问题。我们还提出了一个伪多项式算法的特殊情况和一般问题的建设性启发式。
2014-02-07 cs.DS math.OC
Approximation Algorithms for Rectangle Packing Problems (PhD Thesis)
在矩形填充问题中，我们的任务是将轴对齐的矩形放置在给定的平面区域中，使它们彼此不重叠。在矩形的最大权独立集（MWISR）中，它们的位置是给定的，我们只能选择要选择的矩形，同时试图最大化它们的总重量。在条形包装（SP）中，我们必须将所有给定的矩形包装在一个固定宽度的矩形区域中，同时最小化其高度。在二维几何背包（2DGK）中，目标区域是给定大小的正方形，我们的目标是选择和包装给定矩形的最大权重的子集。我们研究了MWISR的推广，并使用它来提高近似的资源分配问题称为bagUFP。我们重新审视了SP和2DGK的一些经典结果，提出了一个框架，基于更小的容器，包装有更简单的规则;虽然这个计划的变化确实是在这方面的标准技术，我们抽象出一些特定问题的差异，获得更简单的算法，适用于不同的问题。我们得到了改进的近似SP在伪多项式时间，并为2DGK的一个变种，其中可以旋转90°的矩形。对于后者，我们提出了第一个算法的近似因子优于2。对于2DGK的主要变体（没有旋转），基于容器的方法似乎在近似因子中面临2的自然障碍。因此，我们考虑一种广义的包装，它将容器包装与另一个包装问题结合起来，我们称之为L-包装问题，其中我们必须在平面的L形区域中包装矩形。通过找到该问题的一个（1 + ε）-近似，并利用2DGK的组合结构，我们得到了第一个突破该问题的近似因子为2的障碍的算法.
2017-11-21 cs.DS
Revisiting Chazelle's Implementation of the Bottom-Left Heuristic: A Corrected and Rigorous Analysis
本文修正并严格化Chazelle于1983年提出的Bottom-Left启发式实现，指出原运行时间分析在特定情况下会退化为Ω(n^3)，并通过补充形式化细节和修复缺陷，最终确认该实现具有O(n^2)时间复杂度和O(n)空间复杂度。
2025-11-10 cs.CG cs.DM cs.DS
A Simple PTAS for the Dual Bin Packing Problem and Advice Complexity of Its Online Version
最近，Renault（2016）研究了在线算法的每请求建议模型中的双装箱问题。他表明，给定每个输入项的$O(1/ε)$建议位允许在线近似双箱装箱问题到$1+ε$的因子内。雷诺询问了在线算法的磁带建议模型中双箱包装的建议复杂性。我们在这个问题上取得了进展。令$s$为输入项权重的最大位大小。我们提出了一个概念上简单的在线算法，总的建议$O\left(\frac{s + \log n}{ε^2}\right)$近似双箱包装内的$1+ε$因素。为此，我们描述和分析了一个简单的离线PTAS的双装箱问题。虽然在我们的工作之前，人们已经知道了一个更一般问题的PTAS（Kellerer 1999，Chekuri和Khanna 2006），但我们的PTAS可以说更容易陈述和分析。因此，我们可以很容易地调整我们的PTAS，以获得通知复杂度的结果。我们还考虑了在我们的算法中对$s$的依赖性是否是必要的。我们表明，如果$s$是不受限制的，那么对于足够小的$ε> 0$获得$1+ε$近似的双箱包装需要$Ω_ε(n)$位的意见。为了建立这个下限，我们分析了一个在线约简，该约简保留了Boyar等人（2016）提出的二进制分离问题的建议复杂度和近似比。我们定义了两个自然的建议复杂度类，它们捕获了伪多项式时间算法和多项式时间算法之间类似于图灵机世界的区别。我们的研究结果的双重装箱问题意味着分离的两个类的建议复杂性的世…
2017-08-04 cs.DS
On the Sum-of-Squares Algorithm for Bin Packing
在本文中，我们提出了一个理论分析的确定性在线{ \em平方和}算法（$SS$）装箱介绍和实验研究\cite{CJK99}，以及几个新的变种。$SS$适用于箱子容量$B$和物品大小$s(a)$为整数（或可按比例缩放为整数）的箱子包装的任何实例，并在时间$O(nB)$中运行。从平均情况来看，它表现得非常好：对于任何离散分布，其中最佳预期浪费是次线性的，$SS$也有次线性预期浪费。对于任何离散分布，其中最佳预期浪费是有界的，$SS$的预期浪费最多为$O(\log n)$。此外，我们讨论了几个有趣的$SS$的变种，包括一个随机的$O(nB\log B)$时间在线算法$SS^*$，基于$SS$，其预期的行为基本上是最佳的所有离散分布。算法$SS^*$还依赖于一个新的基于线性规划的伪多项式时间算法，用于解决确定的NP-困难问题，给定离散分布$F$，对于最优预期浪费的增长率是多少。本文是会议论文\cite{sumsq2000}的扩展版本。
2002-10-14 cs.DS
Matroid Base Packings: Improved Dynamic Matroid Density and Combinatorics of Tree Packings
Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究所）
本文提出了一种基于贪心 matroid 基 packing 的算法，用于动态图密度和定向问题，改进了相关理论界并提供了新的解决方法。
2026-10-09 cs.DS
Analysis of the Min-Sum Algorithm for Packing and Covering Problems via Linear Programming
基于置信传播（BP）的消息传递算法在纠错码译码、约束满足和推理等问题中有着广泛的应用。基于BP的算法在用于对输入进行建模的图表示（称为因子图）上操作。虽然在许多情况下，基于BP的算法表现出令人印象深刻的经验结果，没有太多的被证明时，因子图有循环。本文研究了约束矩阵为0 - 1，约束向量为整数，变量受盒约束的整数规划问题。我们研究了最小和算法的性能时，适用于相应的因子图模型的包装和覆盖LP。我们比较的解决方案计算的最小和算法包装和覆盖问题的最优解相应的线性规划（LP）松弛。特别是，我们证明了，如果LP有一个最佳的分数的解决方案，然后对于每个分数的组成部分，最小和算法计算多个解决方案或解决方案振荡低于和高于分数。这意味着最小和算法仅在LP具有唯一的最优解时才计算最优积分解。一般来说，反过来并不正确。对于包装和覆盖问题的一个特殊情况，我们证明了如果线性规划有唯一的最优解，且该最优解是整数且在盒约束的边界上，那么最小和算法在伪多项式时间内计算最优解.我们的结果统一和扩展了最近的最大权重匹配问题的结果[Sanghavi等人，’2011]和[Bayati等人，2011]和最大权重独立集问题[Sanghavi et al. '2009]。
2013-07-14 cs.DM cs.DS cs.IT
