A Danzer set for Axis Parallel Boxes
David Simmons, Yaar Solomon
给出了$\mathbb{R}^d$（$d\ge 2$）中离散集的具体构造，该离散集与$\mathbb{R}^d$中体积$1$的每个对齐盒相交，并且具有最优增长率$O(T^d)$ .
We present concrete constructions of discrete sets in $\mathbb{R}^d$ ($d\ge 2$) that intersect every aligned box of volume $1$ in $\mathbb{R}^d$, and which have optimal growth rate $O(T^d)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Geodesic Spanners for Points in $\mathbb{R}^3$ amid Axis-parallel Boxes
令$P$是在有界数目的障碍物中的$\mathbb{R}^3$中的$n$点的集合。当障碍物是平行轴盒时，我们证明了$P$允许$8\sqrt{3}$ -矩阵关于测地距离有$O(n\log^3 n)$边。
Empty axis-parallel boxes
证明了对于$d$维单位立方体中的每一组$n$点，存在一个至少$Ω(d/n)$为$n\to\infty$且$d$固定的体积的空轴平行盒.在相反的方向上，我们给出了体积$O(d^2\log d/n)$的无空平行轴盒的构造。这些分别改进了$Ω(\log d/n)$和$O(2^{7d}/n)$以前的最佳界限。
Stabbing boxes with finitely many axis-parallel lines and flats
该研究给出了d维实数空间中无穷轴平行盒子族可被有限个k维轴平行平面穿刺的充要条件，还推导了其彩色推广的可行性，拓展了Hadwiger-Debrunner(p,q)问题的无穷变体研究。
On Contact Graphs with Cubes and Proportional Boxes
我们研究了两个变种的问题的接触表示平面图与轴对齐盒。在立方体接触表示中，我们用立方体来实现每个顶点，而在成比例的盒子接触表示中，每个顶点都是具有预定体积的轴对齐盒子。本文给出了几类平面图的立方接触表示和比例盒接触表示的构造算法。
Approximability of (Simultaneous) Class Cover for Boxes
Bereg et al.（2012）介绍了Boxes Class Cover问题，它起源于分类和聚类应用：给定平面上的一组n个点，每个点都是红色或蓝色，找到轴对齐的盒子的最小基数集，其并集覆盖红色点而不覆盖任何蓝色点。在本文中，我们给这个问题的APX-硬度的另一种证明，这也产生了一个明确的下界，其逼近。我们的证明也直接适用于限制在一般位置的点集和所谓的半条被认为是代替盒的情况下，这是一个新的结果。我们还介绍了这个问题的一个对称变体，我们称之为同时盒类覆盖，可以表述如下：给定一个平面上的n个点的集合S，每个点都是红色或蓝色的，找到轴对齐的盒的最小基数集合，这些盒一起覆盖S，使得所有盒只覆盖相同颜色的点，并且没有覆盖红色点的盒与覆盖蓝色点的盒相交。我们证明了该问题也是APX困难的，并给出了一个多项式时间常数因子的近似算法。
Covering Points by Disjoint Boxes with Outliers
对于平面上的一组n个点，我们考虑轴对齐的（p，k）-盒覆盖问题：找到p个轴对齐的，成对不相交的盒，它们一起包含n-k个点。在本文中，我们考虑盒子是正方形或矩形，我们希望最小化最大盒子的面积。对于一般的p，我们证明了这个问题是NP-困难的正方形和矩形。对于一个小的固定数字p，我们给出了在以下运行时间内找到解的算法：对于平方，p=1时的时间复杂度为O（n+k log k），p = 2，3时的时间复杂度为O（n log n+k^p log^p k）。对于矩形，p = 1时的时间复杂度为O（n + k^3），p = 2，3时的时间复杂度为O（n log n+k^{2+p} log^{p-1} k）。在所有情况下，我们的算法使用O（n）空间。
Improved bounds for the bracketing number of orthants or revisiting an algorithm of Thiémard to compute bounds for the star discrepancy
本文改进了锚定轴平行盒子（即正交区间）的括号数上界，并由此改进了任意轴平行盒子的括号数上界，所有常数显式给出，核心是对Thiémard算法构造的基数分析。
Maximum Volume Subset Selection for Anchored Boxes
令$B$是$\mathbb{R}^d$中的一组$n$轴平行盒，使得每个盒在原点处具有一个角，并且另一个角在$\mathbb{R}^d$的正象限中，并且令$k$是正整数。我们研究了在$B$中选择$k$盒的问题，使所选盒的并集的体积最大化。这项研究的动机是在天际线查询数据库和多准则优化，其中的问题被称为超体积子集选择问题的应用程序。众所周知，该问题可以在平面上以多项式时间求解，而在任何维$d \ge 3$上最好的已知运行时间是$Ω\big(\binom{n}{k}\big)$。我们表明：-这个问题是NP-硬已经在3维。- 在三维空间中，我们通过提供一个$n^{O(\sqrt{k})}$算法打破了$Ω\big(\binom{n}{k}\big)$的界限。- 对于任意常数维数的$d$，我们提出了一个有效的多项式时间近似方案。
Visibility Representations of Boxes in 2.5 Dimensions
我们开始研究2.5D盒可见性表示（2.5D-BR），其中顶点被映射到具有平面$z=0$中的底面的3D盒，并且边缘是平行于$x$ -或$y$ -轴的无障碍视线。我们证明：每个完全二部图允许一个2.5D-BR; $(i)$完全图$K_n$允许一个2.5D-BR当且仅当$n \leq 19$ ; $(iii)$每个路宽至多为$7$的图允许一个2.5D-BR，它可以在线性时间内计算。然后，我们将注意力转向2.5D网格框表示（2.5D-GBR），这是2. 5D-BR，使得每个框的底面是整数坐标处的单位正方形。我们证明了一个允许2.5D-GBR的$n$ -顶点图最多有$4n - 6 \sqrt{n}$边，并且这个界是紧的。最后，我们证明了判定给定图$G$是否允许具有给定足迹的2.5D-GBR是NP-完全的。2.5D-BR $Γ$的封装是$Γ$中盒子的底面集。
Minimum-Link Shortest Paths for Polygons amidst Rectilinear Obstacles
考虑两个轴对齐的直线简单多边形在域中由平面中的轴对齐的直线障碍物组成，使得每个障碍物一个边界框和每个多边形一个边界框不相交。我们提出了一个算法，计算连接两个多边形在$O((N+n)\log (N+n))$时间使用$O(N+n)$空间，其中$n$是在域中的顶点数和$N$是两个多边形的顶点总数的最小链接的直线最短路径。
On the Number of Incidences When Avoiding an Induced Biclique in Geometric Settings
给定一组点$P$和一组区域$\mathcal{O}$，关联是一对$(p,o ) \in P \times \mathcal{O}$，使得$p \in o$。我们获得了一些新的结果组合几何中的一个经典问题：什么是发病率的数量（在一定的限制条件下）？证明了当$k$盒中不含$k$公共点时，即当$k$点与$n$轴平行盒的关联图中不含$K_{k,k}$时，$\mathbb{R}^d$中$n$点与$n$轴平行盒的关联数上的$O\bigl( k n(\log n/\log\log n)^{d-1} \bigr)$的一个界.这个新的界限比Basit，Chernikov，Starchenko，Tao和Tran（2021）的先前工作提高了$d >2$的$\log^d n$的一个以上。此外，它与Chazelle（1990）的工作所暗示的$k=2$的下界相匹配，从而解决了点和盒的问题。我们还研究了其他几个变种的问题。对于半空间，使用浅切割，我们得到了二维和三维的线性边界。我们还提出了线性（或近线性）边界的形状与低联盟的复杂性，如pseudodisks和脂肪三角形。
Largest Inscribed Rectangles in Geometric Convex Sets
本文考虑了在有限个凸不等式定义的紧致凸集上寻找最大体积（轴对齐）内接盒的问题，并给出了求解它们的优化和几何方法。开发了几种优化模型，可以很容易地推广到找到其他内接几何形状，如三角形，菱形和正方形。为了求解高维空间中的最大轴向内接矩形，提出并分析了一种邻域点法算法。对于二维空间，提出了一种参数化的优化方法来寻找凸集中最大的（轴对齐的）内接矩形。优化方法提供了一个统一的框架来解决各种各样的相关问题。最后，两个计算几何$(1-\varepsilon)$ -近似算法与次线性运行时间，改进了以前的结果。
Finding Pairwise Intersections Inside a Query Range
我们研究了以下问题：将对象集合O预处理成一个数据结构，该数据结构允许我们有效地报告O中在轴对齐查询范围Q内相交的所有对象对。我们提出的数据结构的大小$O(n({\rm polylog} n))$和查询时间$O((k+1)({\rm polylog} n))$的时间，其中k是报告对的数量，两类对象在平面上：轴对齐的矩形和对象具有小联盟的复杂性。对于R^3中的对象和查询范围是轴对齐的盒子的三维情况，我们提出了一个大小为$O(n\sqrt{n}({\rm polylog} n))$和查询时间为$O((\sqrt{n}+k)({\rm polylog} n))$的数据结构。当对象和查询是胖的时，我们使用$O(n({\rm polylog} n))$存储来获得$O((k+1)({\rm polylog} n))$查询时间。
Tighter Bounds for the Discrepancy of Boxes and Polytopes
组合差异是集合的复杂性度量，其量化集合中的集合可以同时平衡的程度。更准确地说，我们给出了一个n点集$P$，以及$P$子集的集合$\mathcal{F} = \{F_1, ..., F_m\}$，我们的目标是用红色和蓝色两种颜色对$P$进行着色，使得红色元素的数量和蓝色元素的数量之间的绝对差（差异）在$F_i$上的最大值最小化。组合差异在数学和计算机科学中有许多应用，包括均匀分布点集的构造，数据结构和私有数据分析算法的下界。本文研究了几何定义系统的组合差异，其中$P$是$d$维空间中的n点集，而$\mathcal{F}$是固定凸多胞体$B$的伸缩和平移引起的$P$子集的集合.这种集合系统包括由轴对齐的盒子引起的集合系统，其差异是众所周知的Tusnady问题的主题。我们证明了新的差异上界和下界，这样的集合系统通过扩展的方法，作者和Matousek以前使用的因式分解规范的基础上。我们提高了最有名的上界的Tusnady问题的对数因子，使用的结果Banaszczyk的一系列有符号的向量。我们通过使用Matousek的分解将这种改进扩展到任意凸多胞体$B$。利用傅立叶分析技巧，我们还证明了满足一定技术条件的固定有界多面体$B$诱导的集合的近似匹配偏差下界。我们还概述了我们的结果的几何差异，数据结构下界，和差分隐私的应用。
Approximation Algorithms for Geometric Maximum Coverage
本文研究几何最大覆盖问题，提出多种近似算法，针对不同几何对象族改进了近似因子与运行时间，并给出了对应的难度下界结果。
Selection Lemmas for various geometric objects
选择引理是离散几何中的经典结果，在弱三角网和瘦身德洛内三角剖分等几何问题中有着广泛的应用。选择引理类型的结果通常表明，存在一个点，该点包含在由基础点集诱导（跨越）的许多对象中。在第一个选择引理中，我们考虑由点集$P$诱导（跨越）的所有对象的集合。这个问题在$\mathbb{R}^d$中的单纯形中得到了广泛的探讨，在$\mathbb{R}^2$中有紧边界。在本文中，我们证明了其他类别的几何对象的第一选择引理。我们还考虑了这个问题的强变体，其中我们添加了穿透点来自$P$的约束。我们证明了一个确切的结果上的强和弱变种的第一选择引理轴平行矩形，特殊子类的轴平行矩形像象限和板，磁盘（中心对称点集）。我们还显示了非平凡的界限上的第一选择引理轴平行盒和超球$\mathbb{R}^d$。在第二个选择引理中，我们考虑由$P$诱导的所有对象的集合的任意$m$大小的子集。我们研究这个问题的轴平行矩形，并表明，存在一个点在平面上，包含在$\frac{m^3}{24n^4}$矩形。当$m$几乎是二次的时候，这是对Smorodinsky和Sharir以前的界限的改进。
A note on the dispersion of admissible lattices
研究了可接受晶格在高维空间中轴对齐盒子的体积上限，证明了晶格扩张体在单位立方体内的分散性最优阶为N^{-1}。
On Guillotine Separable Packings for the Two-dimensional Geometric Knapsack Problem
在二维的【形】几何背包问题中，我们给出了一组n个轴向对齐的矩形项和一个轴向对齐的正方形背包。每个项目都有积分宽度，积分高度和相关的积分利润。我们的目标是找到一个（非重叠轴对齐）包装的最大利润子集的矩形到背包。在实践中，一个被充分研究和经常使用的约束是只允许可截断分离的填料，即，可以通过递归地应用一系列边到边的轴平行切割来获得填充中的每个矩形，所述切割不与解的任何项相交。本文研究了截断约束下的几何背包问题的近似算法。假设所有输入数值数据在n中多项式有界，我们给出了允许旋转90度和不允许旋转90度两种情况下的多项式时间（1 + ε）-近似算法.相比之下，这种设置的最著名的近似因子是3 + ε [Jansen-Zhang，SODA 2004]，即使在所有项目具有相同利润的基数情况下。我们的主要技术贡献是一个结构引理，它表明任何一种截断填料都可以转化为另一种结构化截断填料，而且几乎可以获得相同的利润。在这种包装中，每个物品都完全包含在一个恒定数量的盒子和L形区域中，物品通过简单的贪婪例程放置在其中。特别是，我们提供了一个干净的充分条件时，这样的包装遵守断头台切割约束，这可能是有用的其他设置，这些约束。
On the Fine-Grained Complexity of Small-Size Geometric Set Cover and Discrete $k$-Center for Small $k$
本文研究小$k$值下离散$k$-中心与小尺寸几何集合覆盖的细粒度复杂度，提出多个次平方算法并基于主流假设证明多维度、多场景下的问题下界，部分下界与已知上界几乎匹配。
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