Choreography solutions of the $n$-body problem on $S^2$
Juan Manuel Sánchez-Cerritos, Shiqing Zhang
我们试图证明$S^2$上$n-$身体问题的编舞解决方案的存在性。对于三体问题，我们证明了$S^2$上8形轨道的存在性。
We try to prove the existence of choreography solutions for the $n-$body problem on $S^2$. For the three-body problem, we show the existence of the 8-shape orbit on $S^2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A restricted four-body problem for the eight figure choreography
在这项工作中，我们介绍了一个平面限制四体问题，其中一个无质量的粒子运动的引力影响下，由于三个机构的八位数舞蹈，我们探讨了一些对称的周期轨道，这个系统原来是非自治的。我们证明了某些对合族是某些N体问题的逆对称。我们考虑一个特殊的情况下，这样的家庭的逆转对称性，我们用它来研究理论和数值上的某些类型的对称周期轨道的这个系统。通过求解某些边值问题，确定了对称周期轨道（初始条件）。
Periodic orbits near collision in a restricted four-body problem for the eight choreography
本文研究三体沿八字形 choreography 运动时无质量粒子在碰撞附近的周期轨道，通过正则化坐标和反转对称性结合边值问题求解对称周期轨道。
Action minimizing orbits in the n-body problem with simple choreography constraint
1999年，Chenciner和Montgomery发现了一个非常简单的平面三体问题的舞蹈动作（见\cite{CM}）。在这个解决方案中，3个相等的质量在一个8形平面曲线上运动;这个轨道是通过最小化具有一些特殊对称约束的简单平面编排集合上的作用积分而获得的。在这项工作中，我们的目的是研究问题的$n$群众在$\RR^d$下的吸引力所产生的潜在的$1/r^α$，$α>0$，唯一的约束是一个简单的编排：如果$q_1(t),...,q_n(t)$是$n$轨道，那么我们施加的存在$x \in H^1_{2 π}(\RR,\RR^d)$，使$q_i(t)=x(t+(i-1) τ), i=1,...,n, t \in \RR, $其中$τ= 2π/ n$。在这种情况下，我们首先证明，对于每一个$d,n \in \NN$和$α>0$，拉格朗日行动达到其绝对最小的平面圆。接下来，我们处理的问题，在一个旋转的框架，我们展示了一个reacher现象：事实上，虽然对于某些值的角速度最小值仍然是圆，对其他人的最小行动不再是刚性运动。
From the Lagrange Triangle to the Figure Eight Choreography: Proof of Marchal's Conjecture
本文证明了在等质量三体问题中，拉格朗日等边三角形解最对称的延续类包含摩尔发现的八边形编队，解决了马歇尔1999年提出的猜想。
Action minimizing orbits in the 2-center problems with simple choreography constraint
本文研究了两个等质量固定的$2+n$ -体问题的运动。我们假设每个固定质量的值等于$M>0$，其余的$n$运动粒子具有相等的质量$m>0$。根据牛顿第二定律和万有引力定律，$n$粒子在相互作用和两个固定粒子的影响下运动。此外，该运动具有自然的变分结构。在简单的编排约束下，我们证明了拉格朗日作用泛函在匀速圆周运动上达到其绝对极小值。
Simple choreographies of the planar Newtonian $N$-body Problem
在$N$体问题中，一个简单的编排是一个周期性的解决方案，其中所有的质量在一个单一的循环中相互追逐。本文证明了平面等质量牛顿$N$ -体问题$N \ge 3$至少存在$2^{N-3} + 2^{[(N-3)/2]}$不同的主简单编排。这证实了Chenciner等人在\cite{CGMS02}中提出的一个猜想。
Choreographies with Dihedral Symmetry in the Planar $n$-Body Problem
针对齐次势平面$n$体问题，利用Mawhin重合度理论，在非共振条件下证明了绕数与$n$互素时$D_n$等变无碰撞周期编舞解的存在性，提供了拓扑研究新途径。
Comet and moon solutions in the time-dependent restricted $(n+1)$-body problem
本文在时变限制性$(n+1)$体问题中，利用Lyapunov-Schmidt约化构造了靠近大振幅圆轨道的彗星解和靠近主天体的小振幅卫星解，并用可逆性技术对四体super-eight choreography情形进行了数值计算。
Symmetries and choreographies in families bifurcating from the polygonal relative equilibrium of the $n$-body problem
我们使用数值延拓和分支技术，在边界值设置遵循李雅普诺夫家族的周期轨道。这些是由旋转参照系中的$n$体的多边形系统产生的。当李雅普诺夫轨道的频率和旋转坐标系的频率有合理的关系时，则该轨道在惯性坐标系中也是周期的。我们证明了一组稠密的李雅普诺夫轨道，满足丢番图方程的频率，对应于舞蹈。我们提出了一个样本的许多编排，我们已经确定了数值沿李雅普诺夫家族和沿分叉的家庭，即案件$n=4,~6,~7,~8$，和$9$。我们还提出了数值结果的情况下，有一个中心机构，影响编排，但不参与它。动画的家庭和编排可以看到的链接：http://mym.iimas.unam.mx/renato/choreographies/index.html
Periodic oscillations in a 2N-body problem
$2N$ -体问题的Hip-Hop解是在每个时刻都满足的解，即具有相同质量$m$的$2N$体位于两个规则$N$ -线的顶点，这些$N$-线中的每一个都位于与形成反棱柱的固定平面$Π_0$等距的平面上。本文首先证明了对每一个$N$和每一个$m$都存在一族周期hip-hop解。对于这些族中的每一个解，到平面$Π_0$的定向距离，我们称之为$d(t)$，是一个奇函数，对于某些$T>0.$，它相对于$t=T$也是偶数。通过更仔细地探索我们的初始周期解集，我们数值地证明了在我们的存在性定理中建立的一些分支具有分支，这些分支产生的解具有定向距离函数$d(t)$关于任何$T>0$都不是偶数的性质，我们称这些解为单对称解.我们证明，没有一个单一的对称性解决方案是一个编舞。我们还显示明确的双重对称的解决方案，编排。
A continuum of periodic solutions to the four-body problem with various choices of masses
本文利用变分方法和结构规定边界条件（SPBC）证明了$m_1=m_3$和$m_2=m_4$平面四体问题周期解和拟周期解的存在性. $[0,T]$中的路径$q(t)$满足SPBC，如果边界$q(0)\in \mathbf{A}$和$q(T)\in \mathbf{B}$，其中$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$是$(\mathbf{R}^2)^4$中的两个结构位形空间，它们依赖于旋转角$θ\in (0,2π)$和质量比$μ=\frac{m_2}{m_1}\in \mathbf{R}^+$。证明了存在一个区域$Ω\subseteq (0,2π)\times R^+$，使得对于任意的$(θ,μ)\in Ω$，存在至少一个拉格朗日作用泛函在路径空间上的局部极小元满足SPBC $\{q(t)\in H^1([0,T],$ $(\mathbf{R}^2)^4)| $ $q(0)\in $ $\mathbf{A}, q(T)\in $ $\mathbf{B}\}$.若$θ$与$π$可分解，则极小化器的相应极小化路径可扩展为非单应周期解;若$θ$与$π$不可分解，则极小化器的相应极小化路径可扩展为拟周期解.在SPBC变分法中，我们只对边界施加约束，而不对解施加任何对称性约束。相反，我们证明了我们的解决方案从最初的最小化路径具有对称性。周期解又可分为简单编排解、双重编排解和非编排解。在…
Existence of a lower bound for the distance between point masses of relative equilibria for generalised quasi-homogeneous $n$-body problems and the curved $n$-body problem
我们证明，如果相对平衡的解决方案的广义准齐次$n$体问题的质量和旋转，那么最小的点之间的距离这样一个相对平衡的质量有一个普遍的下界，不等于零。我们进一步证明了这样的相对平衡集是紧的，并证明了在常高斯曲率空间中的$n$ -体问题的相关结果。
Quasi-periodic Solutions of the Spatial Lunar Three-body Problem
将KAM定理应用于Lidov-Ziglin对空间月球三体问题的四极近似的整体研究，建立了空间月球三体问题中几族拟周期轨道的存在性.
Integrability and non integrability of some n body problems
证明了共线$3$和$4$体问题对任意正质量的不可积性。针对阻力情形，给出了$-1$次$3$维齐次势的强可积准则，并证明了这种情形不会出现在$4$体问题中.遵循同样的策略，我们提出了一个简单的证明不可积的平面$n$体问题。最后，我们给出了$n$体问题在某些不变向量空间中的可积情形。
Braids of the N-body problem by cabling a body in a central configuration
我们证明了N=（n+1）-体问题周期解的存在性，其中n个物体的约化运动接近于一个非退化中心构型，用一对匀速转动物体的质心代替其中一个物体.当运动发生在标准欧几里德平面上时，这些解是C.摩尔证明使用爆破技术分离成n体问题的问题，开普勒问题，和耦合，这是小，如果对的距离是小的。该公式是变分的，其结果是通过应用Lyapunov-Schmidt约化和使用等变Lyusternik-Schnirelmann范畴得到的。
Oscillatory orbits in the Restricted Planar 4 Body Problem
限制性平面四体问题描述了无质量物体在其他三个物体（主物体）的牛顿引力作用下的运动，其运动给出了三体问题的一般解。一个轨迹称为{ \it振荡的}，如果它去任意远，但返回到同一个有界区域无限多次。我们证明了这种类型的轨迹的存在提供的小学发展在适当的周期轨道。
The meromorphic non-integrability of the planar three-body problem
研究了平面三体问题，证明了在拉格朗日解的邻域内不存在复亚纯首次积分的完备集。
On stability of planar solutions of double averaged restricted elliptic three-body problem
双平均平面限制性椭圆三体问题存在一个双参数稳定平衡族。我们证明了这些平衡点在线性逼近下是稳定的，就像双平均空间限制椭圆三体问题的平衡点一样。他们是李雅普诺夫稳定的所有值的参数，但可能，参数从一些有限集的分析曲线。
Relative equilibria for the positive curved $n-$body problem
本文考虑定义在常正曲率曲面上的$n$体问题。对于共线对称构型的5体和7体问题，我们得到了导致相对平衡的初始位置。我们明确地给出了质量值与初始位置的关系。对于存在相对平衡的位置，有无穷多个质量值产生这样的解。对于5体和7体问题，导致相对平衡的参数集（质量和位置）具有正的勒贝格测度。
Busseman functions for the N-body problem
本文证明了N体问题极小中心构型的抛物同胚运动的Busemann函数是Hamilton-Jacobi方程的黏性解，其标定曲线渐近于同胚运动.
The central configuration of the planar ($N$+1)-body problem with a regular $N$-polygon
对于具有正$N$ -多边形的平面（$N$ +1）-体（$N$ \，$\geq$ 2）问题，在第（$N$ +1）个体位于正$N$ -多边形的几何中心的假设下，得到了$N$ +1个体形成中心构型的充必要条件.
Finiteness of classes of relative equilibria for the $n$-body problem
证明了天体力学中的$n$ -体问题的质量已知时，解$n$ -体问题的相对平衡点的类数是有限的.
Linear Stability for Some Symmetric Periodic Simultaneous Binary Collision Orbits in the Four-Body Problem
本文应用Roberts的解析-数值方法，研究了质量为1，m，m，1的对称共线四体问题和等质量的对称平面四体问题中时间可逆的周期性二元同时碰撞轨道的线性稳定性.对于共线问题，这验证了Sweatman的早期数值结果的线性稳定性。
The Three-body problem and the shape sphere
[This这是一篇暂时性的文章。我已经把它提交给美国数学月刊了。三体问题定义了平面上三角形空间的动力学。形球是平面三角形的有向相似类的模空间，位于形空间内，形空间是三角形的有向同余类的欧氏三维空间参数化。我们推导和调查的几何形状和动力学诱导这些空间的三体问题。本文提出了两个关于三体问题的定理，这两个定理是通过形空间的观点发现的
Variational approach to second species periodic solutions of Poincaré of the 3 body problem
考虑其中2个质量较小的平面三体问题.小天体近碰撞的周期解称为庞加莱第二物种周期解。这样的解决方案的阴影链的碰撞轨道的两个非耦合开普勒问题。庞加莱只是粗略地证明了第二物种解的存在性。严格的证明出现得晚得多，只限于限制性三体问题。本文利用变分方法研究了非限制性三体问题第二种群周期解的存在性。作为应用，我们给出了一类第二物种解存在性的严格证明。
The meromorphic non-integrability of the three-body problem
研究了平面三体问题，证明了在拉格朗日解的邻域内不存在复亚纯首次积分的完备集。利用Ziglin方法，研究了相应正规变分方程的单值群.
Chaotic dynamics for the two body problem on a sphere
本文研究了球面上双体问题中混沌轨迹的存在性，通过构造近碰撞轨迹并结合反可积极限方法，证明了混沌动力学的出现。
Asymptotic density of collision orbits in the Restricted Circular Planar 3 Body Problem
对于限制性圆平面三体问题，我们证明了在相空间中存在一个与固定测度无关的开集$\mathcal U$，其中导致碰撞的初始点集是$O(μ^\frac{1}{20})$稠密的$μ\rightarrow 0$ .
On the $ C^{8/3} $-Regularisation of Simultaneous Binary Collisions in the Planar 4-Body Problem
四体问题的动力学允许两个二元碰撞同时发生。众所周知，在共线四体问题中，这种同时二元碰撞（SBC）可以被块正则化，但是所得到的块映射仅是$C^{8/3}$可微的。本文证明了平面四体问题中SBC的$C^{8/3}$可微性。证明使用几个几何工具，即爆破，规范形式，动力学附近的正常双曲流形的平衡点，和杜拉克地图。
An existence proof of a symmetric periodic orbit in the octahedral six-body problem
本文证明了等质量牛顿六体问题周期轨道的存在性。这个轨道每个周期有三次双碰撞，没有多次碰撞。我们的证明是基于最小化的拉格朗日作用功能上的一类精心挑选的对称循环。
A family of Solutions of the N-Body Problem
本文刻画了一类三体问题的所有解，其中一个质量为$m_1$的物体保持在一条固定的直线上，另两个质量相同的物体$m_2$ .我们表明，所有的解决方案与负的总能量（潜力加动能），从来没有碰撞。所有三个物体的运动的“显式”解仅由一个实值函数的二阶常微分方程的一个解给出。我们证明了这个族的一个大子族的解始终是有界的。对于n体问题也得到了同样的结果。当直线上的物体保持不变时，我们已经给出了解的精确公式--对于任何n--就像我们对两体问题一样。一旦我们证明了有无穷多个周期解，我们就提供了3-体、4-体、5-体和6-体问题的几个周期例子。这是第一版。欢迎提出意见和建议供参考。YouTube上的一个视频解释了其中一个解决方案，该视频已发布在http://youtu.be/2Wpv6vpOxXk上。
Existence of partially hyperbolic motions in the N-body problem
在牛顿N体问题的背景下，我们证明了具有给定正能量和任意初始无碰撞构型的部分双曲运动的存在性。此外，它是各自的超临界牛顿作用量的自由时间极小值，或者等价地是各自的Jacobi-Maupertuis度量的测地线射线。
Classical $n$-body system in geometrical and volume variables. I. Three-body case
本文在零总角动量下，引入相对距离平方和几何变量描述经典三体系统，证明动能不依赖自由度，并给出牛顿引力、双纽线编队和谐振子三个示例。
An existence of simple choreographies for N-body problem - a computer assisted proof
我们考虑一个问题，寻找一个周期解的平面牛顿N体问题的质量相同，其中每个机构是沿着相同的闭路。我们提供了一个计算机辅助证明以下事实：局部唯一性和凸性的Chenciner和Montgomery八，存在（和局部唯一性）的Gerver的SuperEight的4体和双对称线性链的6体。
Critical points at infinity in charged N-body systems
我们定义的概念，临界点在无穷远的带电N体问题，以下的方法Albouy 1993年。我们给出了这样的点的特征，并展示了它们如何可以在带电三体问题中找到。N体问题的对称群和伴随的积分起着关键作用。事实上，无穷远处的临界点对于理解积分映射的分叉是不可缺少的。结合带电三体问题无穷远处的临界点，给出了分岔值。
Symmetric periodic orbits for the n-body problem: some preliminary results
我们证明了存在一些无限家庭的周期解的平面牛顿n体问题-正质量-这是对称的有限群的适当行动（根据一个强大的-力的假设，或只是数字）。该方法是通过最小化对称约束下的作用泛函的离散化。
On the relationship between instability and Lyapunov times for the 3-body problem
本文研究了三体系统的生存时间与李雅普诺夫时间之间的关系。结果表明，Sitnikov问题表现出两部分的幂律关系，如前所述的一般3体问题。使用一个近似的庞加莱映射在一个适当的表面上的部分，我们划定逃逸区域在一个域的初始条件，并使用这些区域解析地获得一个新的函数关系的李雅普诺夫时间和生存时间的三体问题。讨论了生存时间和李雅普诺夫时间的边际概率分布，证明了Sitnikov问题的李雅普诺夫时间的概率密度函数与一般三体问题的相似.
Newtonian Few-Body Problem Central Configurations with Gravitational Charges of both Signs
对牛顿n体问题进行了修正，假定惯性质量为正，但相互作用力的符号不同，并假定引力质量可能有两个不同的符号，按规定两个相同符号的质量相互吸引，两个不同符号的质量相互排斥。在静电学中，带符号的质量称为电荷。惯性质量总是正的。两体问题表现为带两个相等电荷的带电粒子的类库仑问题。该解是一个中心构型，与双曲轨道的牛顿二体问题具有几乎相同的性质。三体问题的解是共线的。带电中心构型的四体情形只有平面解[1]和共线解。
Wrapped Floer homology and the circular restricted three-body problem
本文利用包裹Floer同调证明了环形限制三体问题中主星附近碰撞和对称周期轨道的存在性。
Generalized periodic orbits in some restricted three-body problems
本文将惯性系中的圆形和椭圆形限制三体问题视为具有附加奇点的周期强迫Kepler问题，并说明文[4]的主要结果在这种情况下是适用的。这保证了存在任意大量的广义周期轨道（周期轨道与可能的双碰撞正则化）提供的质量比的小学是足够小的。
On the Sundman-Sperling estimates for the restricted one-center-two-body problem
本文通过变分方法研究受限单中心-双体系统，证明了三体碰撞附近的Sundman-Sperling估计，并据此构造了无碰撞解及周期和拟周期解。
Central configurations of the spatial seven-body problem: two twisted triangles plus one
在这项工作中，我们感兴趣的中心配置的空间七体问题，其中六个是在顶点的两个全等等边三角形属于平行的平面和一个三角形是一个旋转的角度$π/3$从另一个。我们证明了一类具有这种形状的中心构型的存在性和唯一性，即在正八面体的顶点上有六个质量相等的物体，第七个物体在正八面体的中心。对第七个身体的质量没有限制。
Symmetric Periodic Orbits in Three Sub-Problems of the N-body Problem
研究了两个自由度的N体问题的三个子问题，即N锥体问题、平面双多边形问题和空间双多边形问题。我们证明了几个家庭的对称周期轨道的存在性，包括"Schubart-like”轨道和刹车轨道，通过使用拓扑射击参数。
The reduction on the linear stability of elliptic Euler-Moulton solutions of the n-body problem to those of 3-body problems
本文考虑经典的$n$ -体问题的椭圆共线解，其中$n$体始终保持在一条直线上，每个体都在各自的椭圆轨道上以相同的偏心率运动。这样的运动称为椭圆欧拉-莫尔顿共线解。本文证明了在$n$ -体的椭圆Euler-Moulton共线解处的线性化哈密顿系统分裂成独立的$(n-1)$线性化哈密顿系统，第一个是Kepler椭圆轨道上的Kepler $2$ -体问题的线性化哈密顿系统，并且每个其它$(n-2)$系统是在$3$的椭圆欧拉共线解处的线性化哈密顿系统的基本部分。修改了质量参数的物体问题。然后，在$n$ -体问题中的这种解的线性稳定性被降低到$3$ -体问题的相应椭圆欧拉共线解的线性稳定性，例如，然后可以使用Martinéz、Samà和Simó在\cite{MSS1}和\cite{MSS2}在2004-2006年关于$3$ -体欧拉解的数值结果来进一步理解。作为一个例子，我们进行了详细的推导椭圆型欧拉-莫尔顿解的$4$体问题的线性稳定性与两个小质量的中间。
Noncollision Singularities in a Planar Four-body Problem
本文证明了在平面四体问题中存在一个初始条件的康托尔集，使得所有四个物体在有限时间内逃逸到无穷远，避免碰撞。这证明了四体情形下的潘勒维猜想，从而解决了该猜想的最后一个未解决的情形。
A numerical analysis of planar central and balanced configurations in the (n+1)-body problem with a small mass
提出了分析小质量$(n+1)$ -体问题中平面中心和平衡构型的两种数值算法。第一种方法是利用随机最优化方法直接求解$(n+1)$ -体问题，第二种方法是利用解析延拓方法求解$n$ -体问题和约束$(n+1)$ -体问题，以及应用局部搜索过程来计算最终的$(n+1)$。在前两个步骤中获得的配置附近的身体配置。示出了在$n=4,5,6$情况下的一些示例性中心和平衡配置。
The Lie-Poisson Structure of the Symmetry Reduced Regularised n-Body Problem
本文研究正则化n体问题的对称约化。三体问题，通过四元数正规化，详细研究。我们表明，对于一个适当选择的对称群作用的二次不变量的空间是封闭的，可以写在二次不变量的哈密顿量。相应的Lie-Poisson结构同构于李代数u（3，3）。最后，我们将这个结果推广到n>3的n体问题。
Linear stability of the elliptic relative equilibria for the restricted $4$-body problem: the Euler case
本文考虑了一类限制性$4$ -体问题的椭圆相对平衡解，其中三个主元构成一个欧拉共线位形，四个主元跨越$\mathbf{R}^2$。得到了一般限制性$N$ -体问题的辛约化.通过分析这类限制性$4$ -体问题与椭圆型拉格朗日解之间的关系，利用$ω$ -Maslov指标得到了限制性$4$ -体问题的线性稳定性.通过数值计算，我们还得到了对称情况下质量参数稳定的条件。
Unifying the Hyperbolic and Spherical 2-Body Problem with Biquaternions
球面上的二体问题和双曲空间都是定义在复球面上的全纯哈密顿系统的实形式。这承认一个自然的描述方面的双四元数，并允许我们解决问题的双曲系统的复化，并把它作为一个球形系统的复化。这样，球体上的二体问题的结果就很容易转化为双曲情况。例如，我们实现了这个想法，完全分类的相对平衡的双曲3-空间上的两体问题的严格吸引力的潜力。
Equivalence of linear stabilities of elliptic triangle solutions of the planar charged and classical three-body problems
本文证明了平面带电三体问题的椭圆三角形单应解的线性化系统可以转化为平面经典三体问题的椭圆等边三角形单应解的线性化系统。因此，Mart 'ınez，Samà和Simó的结果（[15]在J. Diff. Equa.）2006年的结果和Hu，Long和Sun（[6] in Arch. Ration. Mech.Anal.）2014年的方法可以应用于带电三体问题的这些解，以获得它们的线性稳定性。
On the symmetric central configurations for the planar 1+4-body problem
本文研究了对称轴不含无穷小质量的$1+4$ -体问题的平面对称中心构型。在一定的假设下，我们解析地找到了一些中心构型，并得到了一些质量不一定相等的对称中心构型的数值结果。
Convexity in the Figure Eight Solution to the Three-Body Problem
数字8是牛顿三体问题的一个非凡的解决方案，其中三个相等的质量围绕一条具有数字8的定性形状和对称性的平面曲线追逐。在这里，我们证明，每个叶的这八个是凸的。
Periodic orbits, symbolic dynamics and topological entropy for the restricted 3-body problem
本文研究限制性三体问题。应用拓扑方法，给出了几类周期轨道存在性的计算机辅助证明，符号动力学的存在性，并给出了拓扑熵的严格下界估计.
Affine generalizations of the nonholonomic problem of a convex body rolling without slipping on the plane
本研究提出一类仿射推广的凸体平面无滑动滚动非完整问题示例，分析其首次积分、光滑不变测度与可积性等动力学特性，重点考察动平衡球体和回转体的情形。
Perihelion librations in the secular three--body problem
本文将非准周期系统的规范形理论与文[15]中指出的部分平均牛顿位势的特殊性质相结合，证明了在平均平面三体问题中存在大量的运动，内天体的近日点提供关于一个平衡位置的平动，并且它的椭圆在反转方向之前挤压成一段，降低其偏心率（近日点天平动）。
Bifurcations of the Lagrangian orbits from the classical to the curved 3-body problem
我们考虑天体力学的三体问题，在欧几里德，椭圆和双曲空间，并研究如何拉格朗日（等边）相对平衡点的分歧时，高斯曲率的变化。因此，我们证明了存在新的轨道类。特别是，我们发现了一些家庭的等腰三角形，这发生在椭圆空间。
Nonintegrability of the two-body problem in constant curvature spaces
本文考虑了球${\bf S}^{2}$和双曲平面${\bf H}^{2}$上的牛顿势和振子势的约化二体问题。对于这两种类型的相互作用，我们证明了不存在一个额外的亚纯积分的复杂动力系统。
Regularization of the Hill four-body problem with oblate bodies
我们考虑希尔四体问题，其中三个扁，大规模的机构形成一个相对平衡的三角形配置，和第四，无穷小的机构轨道附近的最小的三个大规模的机构。通过McGehee坐标变换，我们正则化了无限小物体和最小质量物体之间的碰撞。我们描述了相应的碰撞流形，并表明，它经历了一个分支时，小质量体的扁率系数通过零值。
Periodic oscillations in the restricted Hip-Hop 2N+1 body problem
证明了当$2N$ -原色在周期Hip-Hop解上运动，无质量体在包含质心且垂直于$2N$ -原色形成的反棱柱底面的直线上运动时，限制性$(2N+1)$ -体问题周期解的存在性.
Constructing the Hyperbolic Plane as the reduction of a three-body problem
我们构造了一个双曲平面，它的测地流是欧氏平面上一个三体问题的尺度加对称约化。势为$-I/Δ^2$，其中$I$是三角形的惯性矩，$Δ$是三角形的面积。简化方法使用Jacobi-Maupertuis度量，遵循作者早期的论文“将双曲裤放在三体问题上”。
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