Squares of Tribonacci numbers
Kunle Adegoke
证明了广义Tribonacci数平方的一些恒等式。导出了涉及这些数的各种求和恒等式。
We prove some identities for the squares of generalized Tribonacci numbers. Various summation identities involving these numbers are derived.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Identities involving the tribonacci numbers squared via tiling with combs
本文利用三类梳子形瓷砖铺砌 n-板的方法数等于 tribonacci 数平方这一组合解释，快速证明了涉及 tribonacci 数平方及 Fibonacci、Narayana 奶牛数和 Padovan 数的一系列新恒等式。
The numbers of distinct and repeated squares and cubes in the Tribonacci sequence
Tribonacci序列$\mathbb{T}$是置换$σ(a,b,c)=(ab,ac,a)$的不动点。主要结果有两个方面：（1）给出了长度为$n$的$\mathbb{T}$的前缀$\mathbb{T}[1,n]$中不同正方形和立方体个数的显式表达式;（2）对所有$n$给出了计算$\mathbb{T}[1,n]$中重复正方形和立方体个数的算法;并对某些特殊的$n$如$n=t_m$（Tribonacci数）给出了显式表达式。
Determinant Identities for Toeplitz-Hessenberg Matrices with Tribonacci Number Entries
本文研究了一类含有tribonacci数的Toeplitz-Hessenberg矩阵族的行列式。这些行列式公式也可以等价地表示为涉及多项式系数和特里波那奇数的乘积之和的恒等式。特别是，我们通过Toeplitz-Hessenberg行列式建立了tribonacci和Fibonacci和Padovan序列之间的联系。然后，我们得到，通过组合参数，我们的行列式公式的推广广义tribonacci序列满足r阶递归的更一般的形式与适当的初始条件，其中r>2是任意的。
New Tribonacci Recurrence Relations and Addition Formulas
对于由$W_{r}=W_{r-1}+W_{r-2}+W_{r-3}$和\mbox{$W_{-r}=W_{-r+3}-W_{-r+2}-W_{-r+1}$}定义的广义Tribonacci数$W_r$，$r\in\mathbb{Z}$，只有一个三项递归关系，即$W_{r}=2W_{r-1}-W_{r-4}$是已知的，其中$W_0$，$W_1$和$W_2$是给定的任意整数，不全为零。此外，对于这些数，只有一个四项加法公式是已知的，即$W_{r + s} = T_{s - 1} W_{r - 1} + (T_{s - 1} + T_{s-2} )W_r + T_s W_{r + 1}$，其中$({T_r})_{r\in\mathbb{Z}}$是Tribonacci序列，是广义Tribonacci序列的特殊情况，具有$W_0=T_0=0$和$W_1=W_2=T_1=T_2=1$。本文发现了三个新的三项递推关系和两个恒等式，由此可以发现广义Tribonacci数的许多新的加法公式。我们得到了一个简单的联系Tribonacci数和Tribonacci-Lucas数。最后，我们得到了广义Tribonacci数的二次和三次递推关系。
On the Algebraic Properties of r-circulant Matrices Associated with Generalized k-Pell-Tribonacci Numbers
研究r-循环矩阵的代数性质，推导Frobenius范数和ℓ₁范数的显式表达式，给出特征值和行列式的闭式公式，并建立谱范数的上下界，推广了已有结果并提供更精确的界。
Mechanical Proofs of Properties of the Tribonacci Word
我们实现了一个决策过程，回答一类无限的话，可能被称为（缺乏一个更好的名字）“Tribonacci自动”的问题。例如，这个类包括著名的特里波纳奇词T = 0102010010202...，态射0 -> 01，1 -> 02，2 -> 0的不动点。我们用它来reprove一些旧的结果Tribonacci字从文献中，如断言的出现在T的广场，立方体，回文，等等。我们也得到了一些新的结果。
Convolution identities for Tribonacci numbers via the diagonal of a bivariate generating function
用一般的生成函数和Hautus和Klarner的对角化方法处理了含有二项式系数的Tribonacci数的卷积。这样就可以建立相应的母函数，这是合理的。系数也可以表示。它概述了如何将其扩展到Tetranacci数和类似的数量。
Tribonacci properties of identities, matrices, and determinants
本文通过矩阵方法和二项式反演技术获得 Tribonacci 数的对称恒等式，并利用 Bell 多项式推导出 Tribonacci 数在修正的 Toeplitz-Hessenberg 形式下的行列式表示。
Balance and Abelian complexity of the Tribonacci word
G. Rauzy证明了态射$τ: 0\mapsto 01, 1\mapsto 02 and 2\mapsto 0$所产生的Tribonacci最小子移位在测量理论上共轭于$R^2$中紧集上的三个分形域的交换，每个域都由相同的向量模格平移。本文研究了Tribonacci字$t$的阿贝尔复杂度AC（n），它是$τ$的唯一不动点.我们表明，$AC(n)\in {3,4,5,6,7}$为每个$n\geq 1$，这五个值的每一个假设。我们的证明依赖于这样一个事实，即Tribonacci词是2平衡的，即，对于长度相等的$t$的所有因子$U$和$V$，以及对于每个字母$a \in {0,1,2}$，$a$在$U$中出现的次数和$a$在$V$中出现的次数相差至多2。虽然这一结果在几篇论文中被宣布，但据我们所知，还没有发表过这一事实的证据。我们给出了$t$的2-平衡性质的两个非常不同的证明。第一个使用的词组合属性的生成态射，而第二个利用$τ$的关联矩阵的频谱特性。
On a Generalization for Tribonacci Quaternions
令$V_{n}$表示由初始值$V_{0}$、$V_{1}$和$V_{2}$定义的三阶线性递归序列，并且如果$n\geq 3$，则递归$V_{n}=rV_{n-1}+sV_{n-2}+tV_{n-3}$，其中$r$、$s$和$t$是实常数。$\{V_{n}\}_{n\geq0}$是广义Tribonacci数，当为$r=s=t=1$时约化为通常的Tribonacci数，当为$r=s=1$和$t=0$时约化为$3$ -Bonacci数.在这项研究中，我们引入了一个四元数序列，这是没有介绍过。我们表明，新的四元数序列，我们介绍了包括以前介绍的Tribonacci，Padovan，Narayana和三阶Jacobsthal四元数序列。得到了该四元数序列的Binet公式、求和公式和范数值。
Non-standard Zeckendorf decompositions; or, Tribonacci within Fibonacci
研究用前k个Fibonacci数表示n的方式数B(n;k)，展示B(0;k)满足类似Tribonacci的递推关系，B(n;k)满足修改后的递推关系。
Tilings of a Honeycomb Strip and Higher Order Fibonacci Numbers
本文研究了蜂窝条的两种镶嵌形式，并导出了镶嵌数的封闭式公式。此外，我们得到了一些新的身份涉及tribonacci数，Padovan数和Narayana的奶牛序列，并提供了几个已知的身份，这些号码的组合证明。
New Identities for Padovan Numbers
在\cite{Choi-Jo}中，研究了$am+b$（$0\leq b<a$）下标Tribonacci数.本文研究了斐波那契数的一个新的推广--帕多万数。特别地，对于任何$0\leq b<a$，$am+b$下标Padovan数将由三个$a$步距Padovan数表示，其中$a\in \mathbb{Z}$。
Chebyshev Polynomials, Sliding Columns, and the $k$-step Fibonacci Numbers
我们（通过上下滑动某些列）给出了以下有趣事实的直接而直观的证明：如果我们在图表中写出切比雪夫多项式，并沿着某些对角线取系数的和，我们就得到斐波那契多项式、特里波那契多项式、Tetranaccis多项式等等。
Three Series for the Generalized Golden Mean
众所周知，相邻的斐波那契数之比趋于phi =（1 + sqrt（5））/2，相邻的特里波纳契数之比（其中每一项是前面三个数的和）趋于X^3 - X^2 - X - 1 = 0的实根eta。设α（n）表示广义斐波那契数的相应比值，其中每一项都是前n项之和，我们得到了α（n），1/α（n）和1/（2-α（n））的快速收敛级数.
On the chromatic number of Latin square graphs
拉丁方的色数是覆盖其胞腔的部分断面的最少数目。这就是它的关联拉丁方图的色数。虽然拉丁方图作为强正则图已被广泛研究，但其色数似乎还未被探索。确定了循环拉丁方的色数，并给出了其它几类拉丁方的界.用计算机，我们找到了所有主类的拉丁方阶的色数至多为8。
Some Remarks on Palindromic Periodicities
本文研究有限词的回文周期性，分析多个经典无限词中的回文周期结构，并证明相关性质及最少回文周期性数量的结论。
An approximate Jerusalem square whose side equals a Pell number
我们利用佩尔数的性质来构造耶路撒冷平方分形的整数版本。
On the number of transversals in latin squares
所有$n$阶的拉丁方上的最大横截数的对数大于$\frac{n}{6}(\ln n+ O(1))$。
On the number of squares in a finite word
{ \em square}是一个形式为$uu$的单词。本文证明了对于给定的有限字$w$，$w$的不同平方因子的个数由$|w|-|\Alphabet(w)|+1$限定，其中$|w|$表示$w$的长度，$|\Alphabet(w)|$表示$w$中不同字母的个数.这个结果回答了Fraenkel和Simpson在1998年提出的一个猜想。
There are asymptotically the same number of Latin squares of each parity
如果一个拉丁方的第一行和第一列是自然序，则它是简化的。对于特定阶数的拉丁方$n$，有四种可能的不同奇偶性。我们证实了一个猜想的石头和Wanless通过显示渐近相等的数量之间的减少拉丁方的每一个可能的奇偶性的顺序$n\rightarrow\infty$。
The chromatic number of the square of subcubic planar graphs
Wegner在1977年证明了最大度至多为$3$的可平面图的平方是$7$ -可着色的。我们证明了这个猜想使用放电方法和计算技术来验证可约配置。
On the number of Latin squares
我们（1）确定了11列拉丁矩形的数目和每一个可能的行数，包括~11阶的拉丁方，（2）回答了Alter的一些问题，证明了约化的$n$阶的拉丁方的数目可被$f!$整除，其中$f$是一个接近于$\frac12n$的特定整数，（3）给出了用$(+1,-1)$ -矩阵的积和表示的拉丁方个数的计算公式;（4）求出了当$2n$，（5）证明了具有非平凡对称群的拉丁方的比例随着阶数的增加而迅速趋于零。
New Combinatorial Interpretations of the Fibonacci Numbers Squared, Golden Rectangle Numbers, and Jacobsthal Numbers Using Two Types of Tile
我们考虑$n$ -板（大小为$n\times1$的板）的平铺，其具有单位宽度的正方形和$(1,1)$ -栅栏瓦片. $(1,1)$栅栏瓦片由两个单位宽度的正方形子瓦片组成，子瓦片由单位宽度的间隙隔开。我们表明，使用单位宽度的正方形和$(1,1)$栅栏瓷砖瓷砖的$n$板的方式的数量是等于一个斐波那契数的平方时，$n$是偶数和黄金矩形数（两个连续的斐波那契数的产品）时，$n$是奇数。我们还表明，使用$n$，如广场和栅栏瓷砖的板的平铺数是一个Jacobsthal数。使用组合技术，我们证明身份涉及费波纳契和Jacobsthal数的总和在一个简单的方式。其中一些身份似乎是新的。我们还构造并获得了一个已知的Pascal三角形（沿一侧有交替的1和0），其第$(n,k)$条目是使用$n$瓦片（其中$k$是栅栏瓦片）的平铺数的身份。在这个三角形和类似的$n$板的镶嵌三角形之间有一个简单的关系。三角形和Riordan阵列之间的连接也被证明。借助三角形，我们将斐波那契数的平方、黄金矩形数和雅各布斯塔尔数表示为两个二项式系数乘积的双重和。
Maximum Number of Non-Intersecting Diagonals in Square Arrays
本文导出了一个公式，用以表示在n × n方阵中可以画出的任意长度的不相交对角线的最大数目，其中n是l+1的倍数。
A new combinatorial interpretation of the Fibonacci numbers squared
我们考虑了$n$ -板（单位宽度的正方形单元的$1\times n$阵列）与半正方形（$\frac12\times1$瓦片）和$(\frac12,\frac12)$ -栅栏瓦片的平铺。$(\frac12,\frac12)$ -栅栏瓦片由两个由宽度为$\frac12$的间隙隔开的半正方形组成。我们表明，使用这些类型的瓷砖瓷砖的方式来平铺$n$板的数量等于$F_{n+1}^2$，其中$F_n$是$n$ th Fibonacci数。我们使用这些tilings设计组合证明的身份有关的斐波那契数平方彼此和其他数字序列。其中一些身份似乎是新的。
Six Little Squares and How Their Numbers Grow
我们发现的数量$3 \times 3$魔术，semimagic，magilatin广场，作为功能的魔术和或上界的条目在广场上。我们的魔术和semimagic广场的结果不同于以前的，我们需要在广场上的条目是彼此不同的，我们得出我们的结果不是由\emph{ad hoc}推理，但从一般的几何和代数方法，我们的文件“枚举几何魔术和magilatin labellings”。在这里，我们用$3\times3$方块的详细分析来说明该方法。
Enumeration of associative magic squares of order 7
关联幻方是这样的幻方，使得相对于中心对称位置处的任何2个单元的和是恒定的。7阶关联幻方的总数是巨大的，因此，通过简单的回溯来获得该数目是不现实的。作为最近的结果，Artem Ripatti在2018年报告了6阶半幻方（没有对角和条件的6 × 6的幻方）的数量。本文参考Ripatti的半幻方计数法，计算了7阶结合幻方的总数。不包括对称模式，总共有1，125，154，039，419，854，784个7阶关联幻方。
A Short Proof of Jacobi's Formula for the Number of Representations of an Integer as a Sum of Four Squares
一个简短的初等证明和有限形式的推广，给出了雅可比公式的数量的方式写一个整数作为一个四个平方和（这意味着拉格朗日著名的1777年定理。
Sums of squares of eigenvalues and the vector chromatic number
本文证明图的邻接矩阵负（或正）特征值平方和的下界为度数之和除以向量色数，从而解决了Wocjan等人提出的猜想。
The achromatic number of $K_6\square K_7$ is $18$
图$G$的顶点着色$f:V(G)\to C$是完全的，如果对于任意两个不同的颜色$c_1,c_2\in C$，存在一条边$\{v_1,v_2\}\in E(G)$使得$f(v_i)=c_i$，$i=1,2$ . $G$的消色差数是$G$的一个适当的完全顶点着色中颜色的最大数目$\mathrm{achr}(G)$。本文证明了$\mathrm{achr}(K_6\square K_7)=18$ .该结果最终确定了$\mathrm{achr}(K_6\square K_q)$的测定。
On the number of even latin squares of even order
本文回顾了关于偶拉丁方数量的Alon-Tarsi猜想，并提出了一种在特定条件下切换拉丁方奇偶性的映射，同时给出了相关示例。
On the number of semi-magic squares of order 6
本文提出了一种计算六阶半幻方的精确方法。本文对它们的个数进行了理论研究，并提出了一种概率方法。我们的计算表明，有确切的$94\,590\,660\,245\,399\,996\,601\,600$这样的平方反射和旋转。
The number of "magic" squares and hypercubes
我们将幻方定义为一个方阵，它的元素是非负整数，并且它的行、列和主对角线之和为相同的数。我们证明结构的结果，作为一个函数的矩阵和线的大小的平方的数量。我们给出了小尺寸的例子，并显示了类似的结果对称，泛对角幻方，魔术超立方体。
Decomposition of the Catalan number into the sum of squares
对代克词的动态分析帮助解决了将加泰罗尼亚数表示为自然数的平方和的问题。在这种情况下，在不同的坐标中考虑Dyck三角形。在计算中，我们使用Catalan卷积矩阵。
Pursuit-evasion games on latin square graphs
我们研究了拉丁方图上的各种追逐-逃避参数，包括copnumber，度量维数和局部化数。研究了拉丁方图的copn数，给出了$k$-MOLS图copn数的$(n),$界.如果是$n>(k+1)^2,$，则cop数为$k+2.$.给出了拉丁方图的度量维数和局部化数的上界.反循环拉丁方的度量维数表明其下界接近于紧。最近关于拉丁方的覆盖和部分断面的结果给出了$n.$阶拉丁方图的局部化数的$n+O\left(\frac{\log{n}}{\log{\log{n}}}\right)$的上界
Mixed sums of squares and triangular numbers
利用$q$ -级数证明了任意自然数都是一个偶数平方与两个三角数之和，且每个正整数都是一个三角数与$x^2+y^2$之和，对于某些整数$x$和$y$，它们具有$x\not\equiv y (mod 2)$或$x=y>0$ .本文还包含了混合平方和与三角数的一些结果和公开的讨论。
A simple proof for the chromatic number of cyclic Latin squares of even order
2n阶循环拉丁方的色数是2n+2。这个陈述的可用证明包括一个相当长的着色。在这里，我们介绍了一个染色的循环拉丁方的偶数阶2n（拉丁方的循环群的凯莱表）与2n+2的颜色使用一个简单的方法支持的图形表示。
Depth and minimal number of generators of square free monomial ideals
设$I$是$\geq d$次无平方单项式生成的域上多项式代数$S$的理想.如果$I$包含的次数$d$的单项式比次数$d+1$的$S$的无平方单项式的总数的$(n-d)/(n-d+1)$多，则$\depth_SI\leq d$，特别是斯坦利猜想在这种情况下成立。
Splitting Kronecker squares, 2-decomposition numbers, Catalan Combinatorics, and the Saxl conjecture
近年来，关于对称群特征标的Kronecker积的分解研究取得了一定的进展，但关于Kronecker平方的对称部分和交错部分的研究还很少。在这里，新的结果（和插图）提出了这种分裂的平方，有助于完善的理解克罗内克广场。此外，连接到2-模分解数，加泰罗尼亚组合数学，并Saxl猜想进行了讨论，进一步激发了这些分裂的研究。
Mixed sums of squares and triangular numbers (III)
本文证实了孙文的一个猜想：每个正整数是一个平方、一个奇平方和一个三角数的和。对任意正整数m，我们证明了p= 2 m +1是3模4的素同余当且仅当T_m=m（m+1）/2不能表示为两个奇平方和一个三角数之和，即，p^2=x^2+8（y^2+z^2），其中x，y，z均为非奇数。我们还证明了一个正整数不能写成一个奇数平方和两个三角数之和当且仅当它是2T_m（m>0）的形式，其中2 m +1没有素除子与3模4全等。
Words with the Maximum Number of Abelian Squares
阿贝尔正方形是两个单词的连接，这两个单词是彼此的字谜。长度为$n$的字可以包含作为阿贝尔平方的$Θ(n^2)$不同因子。我们研究无限的话，使长度$n$的阿贝尔平方因子的数量与$n$二次增长。
Asymptotics for numbers of line segments and lines in a square grid
在黎曼假设下，我们给出了n × n正方形网格上q +1点之间的线段个数的渐近公式，并给出了一个更精确的公式.我们还提出了渐近公式的线的数量至少通过q点，分别通过正好q点的网格。众所周知的q = 2的情况就是这样推广的。
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