Tilings of the sphere by congruent pentagons V: Edge combination $a^{4}b$ with rational angles
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；Sichuan University（四川大学）
本文分类了具有边组合 $a^4b$ 和有理角的球面全等五边形边对边铺砌，得到对称与非对称铺砌族及退化情形，并附三维图总结全部结果。
2026-09-22 math.CO
Domino Tiling Congruence Modulo 4
组合示出了具有反射对称性的区域的多米诺骨牌平铺的数量取决于特定子区域的多米诺骨牌平铺的数量，模4。这扩展了以前的多米诺骨牌拼接的全等结果，模2，并导致各种推论，包括k x 2k矩形的多米诺骨牌拼接的数量是全等的1模4。
2009-05-12 math.CO
Generating function of the tilings of Aztec rectangle with holes
我们考虑一个生成函数的多米诺骨牌平铺的阿兹特克矩形与几个边界单位广场删除。我们的生成函数涉及两个统计：排名的瓷砖和一半数量的垂直多米诺骨牌在阿兹特克钻石定理由Elkies，Kuperberg，Larsen和Propp。此外，我们的工作推导出一个有趣的连接之间的菱形平铺的半六边形和多米诺骨牌平铺的阿兹特克矩形的数量的组合解释。
2015-04-01 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of a hexagon with a shamrock missing on the symmetry axis
在他们的论文中关于一个双麦克马洪的经典定理的平面分区，Ciucu和Krattenthaler证明了一个封闭形式的产品公式的平铺数的六边形与“三叶草”，一个联盟的四个相邻的三角形，删除在中心（Proc. Acad. Sci. USA 2013）。赖后来提出了一个$q$ -枚举菱形瓷砖的六边形与三叶草删除从边界（欧洲J。2017年）的报告。看起来，上面是三叶草洞中仅有的两个位置，可以产生很好的平铺枚举。在本文中，我们表明，在对称六边形的情况下，我们总是有一个简单的产品公式时，删除三叶草在任何位置沿对称轴的平铺的数量。我们的结果也推广了Eisenkölbl的相关工作菱形平铺的六边形与两个单位三角形失踪的对称轴（电子。1999年）。
2018-07-31 math.CO
Enumeration of Hybrid Domino-Lozenge Tilings
我们解决并推广了一个公开的问题，由詹姆斯Propp（问题16在几何组合学的新观点，剑桥大学出版社，1999年）的数量上的平铺准六边形区域的正方形格子与每三个对角线绘制。我们还得到了道格拉斯定理的推广，在一个家庭的区域，每第二对角线画在正方形格的平铺的数量。
2013-09-20 math.CO
Combinatorial connections in snake graphs: Tilings, lattice paths, and perfect matchings
本文引入三角蛇图，建立其路径、底层蛇图完美匹配与铺砌之间的双射，并据此给出直蛇图完美匹配数的 Hankel 行列式表达及 Fibonacci、Pell 序列的行列式来源。
2025-03-17 math.CO
Finite-state transducers for substitution tilings
本文提出用有限状态自动机处理替换铺砌的算法技术，用于生成如帽子、Spectres和彭罗斯瓷砖等铺砌图案，并允许对所表示的铺砌进行分析。
2026-03-15 math.CO
Tilings of the Sphere by Congruent Pentagons III: Edge Combination $a^5$
全等等边五边形正好有八个边到边的球体镶嵌：三个五边形细分镶嵌有12、24、60个瓦片;四个地球地图镶嵌有16、20、24、24个瓦片;一个翻转修改的地球地图镶嵌有20个瓦片。
2021-06-28 math.CO math.MG
Tiling of Strip Lattices and Asymptotics
本文研究等边三角形条带格的铺砌，建立两类三角形组合铺砌方式数与 Pell 数的联系，并首次分析所有铺砌所需瓦片的总数及分类数量。
2025-03-17 math.CO
A Local Characterization of Combinatorial Multihedrality in Tilings
欧氏d-空间上局部有限的由凸多胞体拼接而成的曲面称为组合多面体，如果其组合自同构群在曲面上的轨道数只有1/2。本文描述了一个局部特征的组合多面体镶嵌的中心冠。这推广了在早期的论文中建立的单型拼接的局部定理，该定理描述了组合瓦片传递性的情况。
2008-09-12 math.CO math.MG
Counting distinct dimer hex tilings
整数边长为$n$的六边形与边长为1的120度- 60度菱形的组合学有着悠久的历史，既有直接的（作为热力学模型中的一个感兴趣的问题），也有间接的（通过等价于平面分区）。公式作为产品的factory已被证明，并逐一证明的数量，这种平铺下的每一个对称的六边形。然而，当这篇文章被写出来的时候，在《DNA序列在线百科全书》（OEIS）中，关于这种不同镶嵌的数量的条目只不过是一个关于$0 \le n \le 4$的表格和对这些值的简短讨论。本说明的目的是汇总有关事实。
2016-02-22 math.CO
The extremal function for partial bipartite tilings
对于一个固定的二部图H和给定的数c，0<c<1，我们确定了一个阈值T_H（c），它保证了任何一个n-顶点图的边密度至少为T_H（c），它包含H的$(1-o(1))c/v(H) n$顶点不相交的拷贝。在证明中，我们使用了Komlos~ \bcolor{[Combinatorica 20 (2000), 203-218} ]开发的一种技术的变体
2011-01-06 math.CO
Combinatorics and topology of the Robinson tiling
我们研究的空间的所有tilings可以得到使用罗宾逊瓷砖（这是一个二维子移位的有限型）。我们证明了它有唯一的极小子移位，并通过一个替换来描述它。这种描述允许计算它的上同调群，并证明它是一个模型集。
2012-03-07 math.CO math.DS
Enumeration of Colored Tilings on Graphs via Generating Functions
本文针对图划分为连通着色块的问题，利用二元生成函数与组合技术计算特定图族中块的期望数量，并推广了着色多联骨牌网格铺砌枚举。
2025-01-10 math.CO
Generalizing the divisibility property of rectangle domino tilings
我们介绍了一类图称为复合图，广义矩形，这是一个平面的二分基图的副本。主要结果是：每一个复合图的完美匹配数都能被它的基图的完美匹配数整除。我们的方法是使用Kasteleyn定理来证明一个关键引理，其中整除定理组合地遵循。这个定理然后被应用于提供Propp的匹配的枚举问题21的证明，矩形的整除性。最后，我们提出了一个新的证明，在同样的精神，Ciucu的因式分解定理。
2016-07-26 math.CO
Combinatorial and harmonic-analytic methods for integer tilings
如果$\mathbb{Z}$可以被$A$的成对不相交的翻译副本覆盖，则整数的有限集合$A$通过翻译来平铺整数。将注意力限制在一个平铺周期上，我们有一些$M\in\mathbb{N}$和$B\subset\mathbb{Z}$的$A\oplus B=\mathbb{Z}_M$。这也可以根据与$A$和$B$相关联的掩码多项式$A(X)$和$B(X)$的分圆整除性来陈述。在这篇文章中，我们介绍了一种新的方法来系统地研究这种平铺。我们主要的新工具是盒产品，多尺度长方体，饱和空间，通过谐波分析和组合方法相结合的发展。我们提供了新的标准，瓷砖和分圆整除这些概念。作为一个应用，我们可以判断一个包含一定配置的集合$A$是否可以拼接成一个循环群$\mathbb{Z}_M$，或者根据它的部分信息来恢复一个拼接集合，我们还发展了拼接约简，其中一个给定的拼接可以被一个或多个结构更简单的拼接所取代。这里介绍的工具是至关重要的，在我们的证明在后续文件中，所有平铺周期$(pqr)^2$，其中$p,q,r$是不同的奇素数，满足平铺条件提出的Coven和Meyerowitz。
2022-03-08 math.CA math.CO math.NT
Tilings of the sphere by congruent quadrilaterals I: edge combination $a^2bc$
由$a^2bc$类型的全等四边形对球体进行边到边的镶嵌，分类为$3$类：具有$2n$ $(n\ge3)$瓦片的$2$层地球地图瓦片的双参数族的序列，具有$24$瓦片的八面体的四边形细分的单参数族以及用于特殊参数的翻转修改，以及具有$8n$ $(n\ge2)$瓦片以及用于奇数$n$的两个翻转修改的$3$层地球地图瓦片的序列。我们还描述了模量和计算的几何数据。
2022-07-24 math.CO math.DG math.MG
Tiling proofs of Jacobi triple product and Rogers-Ramanujan identities
本文利用镶嵌的方法给出了一些著名的$q$ -级数恒等式的初等组合证明，如Jacobi三重积恒等式，Rogers-Ramanujan恒等式，以及Rogers的一些恒等式.我们给出了q-二项式定理的一个平铺证明和q-二项式系数的一个平铺解释.一个新的广义$ k $ -产品$q$ -系列恒等式也获得通过采用“平铺法”，其中的生成函数的所有可能的矩形板的平铺的集合计算在两种不同的方式，以获得所需的$q$ -系列恒等式。建立了几个新的递归$ q$ -级数恒等式.“平铺方法”有望提供一种美观的方法来证明新旧$q$系列恒等式。
2022-05-14 math.CO math.NT
Colored vertex models and $k$-tilings of the Aztec diamond
本文利用彩色顶点模型计算 Aztec 钻石 $k$-铺砌的生成多项式，证明无相互作用铺砌与普通铺砌的双射，并求得相关北极曲线。
2024-10-27 math.CO math.PR
A tiling proof of Euler's pentagnal number theorem and generalizations
在两篇论文中，小和塞勒斯介绍了一个令人兴奋的新的组合方法证明分区身份，这是不直接双射。相反，他们考虑了具有方块和多米诺骨牌的$1 \times \infty$板的各种加权平铺，并且对于每种类型的平铺，他们以两种不同的方式构造生成函数，该生成函数生成$q$系列恒等式。利用这种方法，他们恢复了不少经典的$q$ -级数恒等式，但欧拉的五边形数定理不在其中。在本文中，我们引入了一个关键参数时，构建的生成函数的各种组的平铺，使我们能够恢复欧拉的五边形数定理以及无限家庭的推广。
2018-07-24 math.CO math.NT
On the number of tilings of a square by rectangles
本文给出了一个计算正方形矩形化次数的递归公式，即计算正方形与矩形组合不同的拼接次数。我们的公式专门给出一个计算一般矩形化的公式，如Reading在[5]中所分析的。我们的计算与[5]的计算一致，并推广到非一般情况。矩形化的数量的一个有趣的特征是它似乎具有模2的8倍周期性。我们验证了这种周期性的小值n，但一般的结果仍然难以捉摸，也许暗示在一些看不见的结构上的矩形空间，类似于阅读的发现，通用矩形是在1-1对应的某一类排列。最后，我们用离散的莫尔斯理论证明了由小于或等于n个矩形构成的镶嵌空间同伦等价于由若干个（n-1）维球面构成的楔形。结合分片数的计算公式，计算了$n\leq 28$的精确同伦类型。
2012-09-10 math.CO math.GT
The Coin Exchange Problem and the Structure of Cube Tilings
令k_1，...，k_d是正整数，D是[k_1]x.的子集。x[k_d]，其补可以分解成形式为{x_1}x.. x{ x_{s-1} }x[k_s]x{ x_{s+1} }x. x{x_d}。我们猜想D的元素数可以表示为数k_1，.，..的线性组合，k_d具有非负整数系数。揭示了这一猜想与周期立方体镶嵌结构的联系。
2008-07-06 math.CO math.NT
On monohedral tilings of a regular polygon
本文连接了正方形和圆盘的三块铺嵌结果，刻画了任意正n边形（n≥5）被至多三个拓扑圆盘单面铺嵌的情况。
2023-06-25 math.CO math.GT math.MG
Discrete Extremal Length and Cube Tilings in Finite Dimensions
极值长度是一个共形不变量，它自然地转移到离散设置，使正方形平铺作为共形映射的自然组合模拟。最近的工作S。Hersonsky探索了将这些想法推广到三维立方体平铺。离散极值长度和立方体平铺之间的联系在维度跳跃中幸存下来，但需要一个称为三重相交性质的条件来推广存在性参数。我们表明，这个条件是太强，实现平铺，从而表明，离散的共形映射是更有限的三维，反映了经典的现象。推广了三维以上离散极值长度的相关结果，并引入了立方镶嵌的一些必要条件。
2014-09-26 math.CO math.CV math.DG
Undecidability of Translational Tiling of the Plane with Four Tiles
本文研究平面平移平铺的不可判定性，将所需多联骨牌数量从5个降至4个，证明了用4个不连通多联骨牌进行平面平移平铺不可判定。
2025-06-24 cs.CG math.CO math.MG
Monte Carlo estimation of the number of tatami tilings
出于日本榻榻米垫放在地板上的方式，我们认为多米诺骨牌平铺的限制，并估计这种平铺的平面区域的数量。我们映射到一个新的局部相互作用的对偶晶格上的单体-二聚体模型的系统。我们使用一个变种的哈密尔顿副本交换蒙特卡罗方法和多参数重新加权技术来研究模型。数量的性质的研究超越了精确计数和组合方法。对于所有研究的区域，平铺数的对数在区域的边界长度上是线性的。
2016-03-08 cond-mat.stat-mech math.CO physics.comp-ph
Enumeration of octagonal tilings
随机镶嵌作为准晶原子模型的理想化以及它们与组合学和算法中的问题的联系是有趣的。特别感兴趣的是平铺熵密度，其测量不同平铺的数量与组成平铺的数量的关系。正方形和45度菱形的倾斜得到了特别的关注，因为它可能是最简单的模型，但在热力学极限下还没有得到精确的解决。然而，一个精确的枚举公式可以评估有限区域中的平铺与固定的边界。我们实现这种算法在一个有效的方式，使调查更大的区域的参数空间比以前是可能的。我们的新结果似乎产生单调增加和减少的下限和上界的固定边界熵密度收敛到S = 0.36021（3）。
2015-03-16 cs.DM math-ph math.CO
Lozenge tilings and Hurwitz numbers
我们给出了一个新的证明的事实，即在冻结边界的转折点附近，在一个均匀随机菱形平铺的大的GUE域的垂直瓷砖的分布像一个GUE随机矩阵的特征值。我们的论证没有使用任何可积概率的标准工具。在他们的地方，它使用的Harish-Chandra/Itzykson-Zuber积分的组合解释作为非对称化Hurwitz数的生成函数。
2014-12-27 math-ph math.CO math.MP
A factorization theorem for lozenge tilings of a hexagon with triangular holes
在本文中，我们提出了一个组合推广的事实，即适合在一个$2a\times b\times b$盒的平面分区的数量等于这样的平面分区的数量是对称的，乘以这样的平面分区的数量，其中的转置是相同的补充。我们使用等效的措辞这个身份的对称类菱形平铺的六边形的三角形格子。我们的推广包括允许六边形沿其水平对称轴具有某些对称放置的孔。没有洞的特殊情况可以看作是对称平面划分的枚举的一个新的、更简单的证明。
2016-08-26 math-ph math.CO math.MP
Twenty Vertex model and domino tilings of the Aztec triangle
我们证明了在某些区域上具有畴壁型边界条件的20顶点模型的构形数等于Aztec-like三角形的多米诺骨牌的数目，从而证明了[P. Di Francesco和E. Guitter，具有畴壁边界和多米诺平铺的二十顶点模型，等。Jour.的Combinatorics 27（2020），no. 2，P2.13]。结果基于20顶点模型的可积性，并使用与U形转弯边界6顶点模型的连接将20顶点配置的数量重新表示为一个简单的行列式，然后将其与多米诺骨牌平铺问题的Lindström-Gessel-Viennot行列式相关。配置的公共数被确定为$2^{n(n-1)/2}\prod_{j=0}^{n-1}\frac{(4j+2)!}{(n+2j+1)!}=1, 4, 60, 3328, 678912...$。枚举结果被扩展以包括两个数的细化。
2021-02-04 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
