3-Factor-criticality in double domination edge critical graphs
图$G$的顶点子集$S$是$G$的双控制集，如果对$G$的每个顶点$v$都有$|N[v]\cap S|\geq 2$，其中$N[v]$是顶点$v$及其相邻顶点的集合. $G$的双重控制数，记作$γ_{\times 2}(G)$，是$G$的最小双重控制集的基数。一个图$G$称为双控制边临界图，如果对任意边$e \notin E$都有$γ_{\times 2}(G+e)<γ_{\times 2}(G)$.一个具有$γ_{\times 2}(G)=k$的双控制边临界图$G$称为$k$ - $γ_{\times 2}(G)$ -临界图.一个图$G$是$r$ -因子关键的，如果$G-S$对于$G$中的每个$r$顶点集$S$都有完美匹配。本文证明了$G$是3-因子临界的，如果$G$是一个3-连通无爪$4$ - $γ_{\times 2}(G)$ -临界图，其最小度至少为4，且除图族外为奇数阶.
2014-08-19 math.CO
Cutting Lemma and Union Lemma for the Domination Game
在控制对策理论中引入了两种新的技术。切割引理将部分控制图的博弈控制数与适当修改的部分控制图的博弈控制数进行了界定。并引理使用适当的加权函数限制了不相交路径并的S-博弈控制数。利用这些工具证明了一个猜想，即所谓的三腿蜘蛛是博弈控制临界图。一个扩展的切割引理也被导出，并列出了所有的游戏控制临界树的18，19，和20个顶点。
2018-02-21 math.CO
Game Total Domination Critical Graphs
在图$G$上进行的完全控制博弈中，玩家Dominator和Staller交替选择$G$的顶点，尽可能长，使得每个选择的顶点增加完全控制的顶点的数量。支配者（Staller）希望最小化（最大化）所选顶点的数量。$G$的游戏总控制数$γ_{\rm tg}(G)$是当支配者开始游戏并且两个玩家都最优地玩时选择的顶点的数量。如果$G$的一个顶点$v$被声明为已经是完全支配的，那么我们用$G|v$表示这个图。本文引入了全控制对策临界图$G$，对$G$中的每个顶点$v$，$γ_{\rm tg}(G|v) < γ_{\rm tg}(G)$都成立.如果为$γ_{\rm tg}(G) = k$，则$G$称为$k$ - $γ_{\rm tg}$ -critical。证明了圈$C_n$是$γ_{\rm tg}$ -临界的当且仅当$n\pmod 6 \in \{0,1,3\}$，路$P_n$是$γ_{\rm tg}$ -临界的当且仅当$n\pmod 6\in \{2,4\}$ . $2$ - $γ_{\rm tg}$ -临界图和$3$ - $γ_{\rm tg}$ -临界图以及图的$3$ - $γ_{\rm tg}$ -临界联也被刻画.
2017-09-18 math.CO
Maker-Breaker domination game critical graphs
Mar Athanasius College（马拉阿塔纳修斯学院）；Pavanatma College（帕瓦纳特玛学院）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）；Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）
本文研究了制造-破坏支配游戏中的临界图，探讨了其存在性及在先手能快速获胜情况下的特征化。
2025-02-19 math.CO
Total Roman Domination Edge-Critical Graphs
图$G$上的全罗马控制函数是一个函数$% f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$，使得每个具有$f(v)=0$的顶点$v$都与具有$f(u)=2$的顶点$u$相邻，并且由所有顶点$w$的集合导出的$G$的子图使得$f(w)>0$没有孤立点。$f$的权重为$Σ_{v\in V(G)}f(v)$。全罗马控制数$γ_{tR}(G)$是$G$上全罗马控制函数的最小权。一个图$G$是$k$-$γ_{tR}$-edge-critical，如果$γ_{tR}(G+e)<γ_{tR}(G)=k$对每个边$e\in E(\overline{G})\neq \emptyset $，和$k$-$γ_{tR}$-edge-critical，如果它是$k$-$γ_{tR}$-edge-critical和$γ_{tR}(G+e)=γ_{tR}(G)-2$对每个边$e\in E(\overline{G})\neq \emptyset $ .给出了$γ_{tR}$ -边临界图的一些基本结果，并刻画了某些类$γ_{tR}$ -边临界图.此外，我们表明，当$k$是小的，有一个连接$k$ - $γ_{tR}$ -边临界图和图的控制和全控制数是关键的。
2019-07-19 math.CO
Independence and Connectivity of Connected Domination Critical Graphs
一个图$G$称为$k$ - $γ_{c}$ -临界图，如果对每个$uv \in E(\overline{G})$，连通控制数$γ_{c}(G) = k$和$γ_{c}(G + uv) < k$都满足.设$δ, κ$和$α$分别为最小度、连通数和独立数。本文证明了$3$ - $γ_{c}$ -临界图$G$满足$α\leq κ+ 2$ .此外，如果$κ\geq 3$，则$α= κ+ p$当且仅当$α= δ+ p$对于所有$p \in \{1, 2\}$。我们表明，条件$κ+ 1 \leq α\leq κ+ 2$是最好的可能证明$κ= δ$。利用这些结果，我们得出了本文关于$3$-$γ_{c}$-临界图的Hamilton连通性的一个公开问题.
2019-11-08 math.CO
Hamiltonicity of Domination Vertex-Critical Claw-Free Graphs
一个图$G$称为$k$-$γ$-顶点临界图，如果对$G$的任一顶点$v$，$G$的控制数$γ(G)$是$k$，且$γ(G - v) < k$.类似地，一个图$G$称为$γ_{c}$ -顶点临界的，如果对于$G$的任何顶点$v$，$G$的连通控制数$γ_{c}(G)$是$k$和$γ_{c}(G - v) < k$.我们感兴趣的问题是确定$2$ -连通$k$ - $γ$ -点临界图是否是Hamilton图.本文对所有的$k \geq 3$，给出了一个$2$ -连通的非Hamilton的$k$ - $γ$ -顶点临界图。证明了所有$2$ -连通的$3$-$γ$-顶点临界无爪图都是Hamilton图，且无爪条件是必要的。对于$k$ - $γ_{c}$ -点临界图，给出了一种新的方法，证明了每个$2$ -连通的$3$ - $γ_{c}$ -点临界无爪图都是Hamilton图.此外，对于$4 \leq k \leq 5$，我们证明了每个$3$ -连通的$k$ - $γ_{c}$ -顶点临界无爪图都是Hamilton图.通过给出含有爪的$k$ - $γ_{c}$ -顶点临界非Hamilton图作为$3 \leq k \leq 5$的导出子图，证明了无爪的条件是必要的.
2019-11-08 math.CO
The Existence of Graph whose Vertex Set Can be Partitioned into a Fixed Number of Domination Strong Critical Vertex-sets
设$γ(G)$表示图$G$的控制数。如果$γ(G-v)=γ(G)-1$，则顶点$v\in V(G)$称为$G$的\emph{critical vertex}。一个图称为\emph{vertex-critical}，如果它的每个顶点是临界的。本文相应地引入了两个这样的定义：（i）一个集合$S\subseteq V(G)$称为$G$的一个\emph{strong critical vertex-set}，如果$γ(G-S)=γ(G)-|S|$ ;（ii）一个图$G$称为\emph{strong $l$-vertex-sets-critical}，如果$V(G)$可划分为$G$的$l$强临界点集.在此基础上，我们推广了点临界图的已有结果，给出了强$l$ -点集临界图的一些性质。作为核心工作，我们研究了这类图的存在性，得到了存在强$l$ -顶点集临界连通图当且仅当$l\notin\{2,3,5\}$。
2022-08-30 math.CO
Criticality for Maker-Breaker domination games with predomination
本文研究带预支配的 Maker-Breaker 支配博弈临界性，刻画 Staller 获胜及 MBD 临界预支配树，给出线性时间判定算法，并扩展到仙人掌图与临界超图。
2025-03-14 math.CO
Traceability of Connected Domination Critical Graphs
图$G$中的支配集是$G$的顶点的集合$S$，使得$S$之外的每个顶点都与$S$中的顶点相邻。$G$中的连通控制集是控制集$S$，使得由$S$导出的子图$G[S]$是连通的。$G$的连通控制数$γ_c(G)$是$G$的连通控制集的最小基数。一个图$G$称为$γ_{c}$ -临界图，如果对于$G$的每对不相邻的顶点$u$和$v$，连通控制数$γ_{c}(G)$都等于$k$和$γ_{c}(G + uv) < k$.令$ζ$为$G$的割顶点数。已知若$G$是$γ_{c}$ -临界图，则$G$至多有$k - 2$个割点，即$ζ\le k - 2$ .本文证明了对于$k \ge 4$和$0 \le ζ\le k - 2$，每一个具有$ζ$割点的$γ_{c}$ -临界图都有Hamilton路当且仅当$k - 3 \le ζ\le k - 2$ .
2019-06-20 math.CO
Inequalities of Independence Number, Clique Number and Connectivity of Maximal Connected Domination Critical Graphs
一个$γ_{c}$ -边临界图是对每个$uv \in E(\overline{G})$具有连通控制数$γ_{c}(G) = k$和$γ_{c}(G + uv) < k$的图$G$.进一步地，一个$2$ -连通图$G$称为$γ_{c}$ -顶点临界图，如果对所有$v \in V(G)$都有$γ_{c}(G) = k$和$γ_{c}(G - v) < k$.一个极大$k$ - $γ_{c}$ -点临界图是同时是$k$ - $γ_{c}$ -边临界和$k$ - $γ_{c}$ -点临界的图.设$κ, δ, ω$和$α$分别为连通最小度、团数和独立数。本文证明了每个极大$γ_{c}$ -顶点临界图$G$满足$α\leq δ$，并且这个界是最佳可能界.进一步证明了$G$满足$α+ ω\leq n - 1$，并刻画了所有达到上界的图。证明了若$G$满足$κ< δ$，则$G$的每两个顶点都由Hamilton路连接。
2022-08-18 math.CO
On the existence problem of the total domination vertex critical graphs
关于全控制点临界图的存在性问题，已有一系列的文章进行了研究。本条的目的有两个。首先，我们解决了关于全控制数m和最大度Delta的奇偶性的存在性问题：对于除m=4以外的偶数m，不存在m-γ_t-临界图，而不管Delta的奇偶性如何;对于m=4或奇数m \ge 3，对于偶数Delta，存在m-γ_t-临界图当且仅当Delta \ge 2 \lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor ;对于m=4或奇数m \ge 3，对于奇数Delta，如果Delta \ge 2 \lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor +7，则存在m-gamma_t-临界图，如果Delta < 2 \lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor，则不存在m-gamma_t-临界图。仅有的剩余开放情况是Delta = 2 \lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor +k，k=1，3，5。第二，我们研究这些剩余的开放的情况下，当m=4或奇数m \ge 9。作为m = 3的已知结果，我们还证明了对于Delta（G）= 3，5，7，不存在阶为Delta（G）+4的4-gamma_t-临界图.相反，它表明，对于奇数m \ge 9存在一个m-gamma_t-临界图的所有德尔塔\ge m-1。
2010-01-06 math.CO
On the diameter of total domination vertex critical graphs
本文考虑了各种类型的控制点临界图，包括全控制点临界图、独立控制点临界图和连通控制点临界图。我们提供的上界的直径，其中两个是尖锐的。
2015-08-26 cs.DM math.CO
Eternal Distance-2 Domination in Trees
研究树上永久距离-2控制问题，提出线性时间快速算法，刻画控制数相等的条件与临界树，并给出永久距离-k控制数的上下界及构造无限族树。
2023-07-31 math.CO
Structural Properties of Connected Domination Critical Graphs
一个图$G$称为$k$-$γ_{c}$-临界图，如果对于$G$的任意一对不相邻的顶点$u$和$v$，连通控制数$γ_{c}(G)$等于$k$和$γ_{c}(G + uv) < k$.令$ζ$是$G$的切割顶点的数量，并且令$ζ_{0}$是可以包含在一个块中的切割顶点的最大数量。对于一个整数$\ell \geq 0$，如果$G - S$对于任何大小为$\ell$的顶点子集$S$都有完美匹配，则图$G$是$\ell$ -因子关键的。证明了对于$k \geq 3$，每个$k$ - $γ_{c}$ -临界图最多有$k - 2$割点，并刻画了具有最大割点数的图.进一步证明了对于$k \geq 4$，每个$k$ - $γ_{c}$ -临界图都满足不等式$ζ_{0}(G) \le \min \left\{ \left\lfloor \frac{k + 2}{3} \right\rfloor, ζ\right\}$ .本文刻画了所有具有$k - 3$割点的$k$ - $γ_{c}$ -临界图.进一步，我们建立了可实现性，即对于给定的$k \geq 4$，$2 \leq ζ\leq k - 2$和$2 \leq ζ_{0} \le \min \left\{ \left\lfloor \frac{k + 2}{3} \right\rfloor, ζ\right\}$，存在一个$k$ - $γ_{c}$…
2021-09-22 math.CO
On Maker-Breaker domination game critical graphs
本文研究 Maker-Breaker 支配博弈中的 $2$-$\gamma_{\rm MB}'$-临界图，刻画含割点图的两个无限族，并证明 $C_5$ 是唯一非二部且无三角形的此类临界图。
2025-07-23 math.CO
Matching and Factor-Critical Property in 3-Dominating-Critical Graphs
设$γ(G)$是图$G$的控制数.图$G$是\emph{domination-vertex-critical}或\emph{$γ$-vertex-critical}，如果对每个顶点$v \in V(G)$有$γ(G-v)< γ(G)$。本文证明了：设$G$是$γ$ -点临界图，且$γ(G)=3$ . (1)若$G$为偶数阶且无$K_{1,6}$，则$G$有完美匹配;（2）若$G$为奇数阶且无$K_{1,7}$，则$G$有近似完美匹配，只有三个例外.这些结果改进了已有的结果。
2009-06-04 math.CO
On the 3-$γ_t$-Critical Graphs of Order $Δ(G)+3$
设$γ_t(G)$是图$G$的全控制数，如果$γ_t(G)=k$，则图$G$是$k$ -全控制点临界的（或仅仅是$k$-$γ_t$-临界的），并且对于$G$中不与一阶顶点相邻的任何顶点$v$，$γ_t(G-v)=k-1$ . Mojdeh和Rad \cite{MR06}提出了一个开放问题：是否存在阶为$Δ(G)+3$且$Δ(G)$为奇数的3- $γ_t$ -临界图$G$？本文证明了存在一个3- $γ_t$ -临界图$G$，其序为$Δ(G)+3$，且其序为奇数$Δ(G)\geq 9$ .
2011-03-12 math.CO
Roman domination: changing, unchanging, $γ_R$-graphs
图$G = (V(G), E(G))$上的罗马控制函数（RD-函数）是一个标号$f : V(G) \rightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个标号为$0$的顶点都有标号为$2$的邻居. RD函数$f$在$G$上的权重$f(V(G))$是值$Σ_{v\in V(G)} f (v)$。$G$的{ \em罗马控制数} $γ_{R}(G)$是$G$上RD函数的最小权。考虑了图的罗马控制数在删除一个点、删除一条边或增加一条边时发生变化或不变的六类图。我们考虑类之间的关系，这是说明在维恩图。一个图$G$是罗马控制$k$ -关键的，如果任何一组$k$顶点的删除减少罗马控制数。研究了这类图的一些初始性质。图$G$的$γ_R$ -图是其顶点集是$G$上所有最小权RD-函数的集合$\mathscr{D}_R(G)$的图。我们用几种方法定义了$\mathscr{D}_R(G)$中任意两个元素之间的邻接关系，并开始了对所得到的$γ_R$ -图的研究.
2017-09-15 math.CO
Total Roman Domination Edge-Supercritical and Edge-Removal-Supercritical Graphs
图$G$上的全罗马控制函数是一个函数$f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$，使得每个具有$f(v)=0$的顶点$v$都与具有$f(u)=2$的顶点$u$相邻，并且$G$的子图由所有顶点$w$的集合导出，使得$f(w)>0$没有孤立点。$f$的重量是$Σ_{v\in V(G)}f(v)$。全罗马控制数$γ_{tR}(G)$是$G$上全罗马控制函数的最小权。一个图$G$是$k$-$γ_{tR}$-edge-critical，如果$γ_{tR}(G+e)<γ_{tR}(G)=k$对每个边$e\in E(\overline{G})\neq\emptyset $，和$k$-$γ_{tR}$-edge-critical和$γ_{tR}(G+e)=γ_{tR}(G)-2$对每个边$e\in E(\overline{G})\neq \emptyset $ .一个图$G$是$k$-$γ_{tR}$-边稳定的，如果对每条边$e\in E(\overline{G})$或$E(\overline{G})=\emptyset$都有$γ_{tR}(G+e)=γ_{tR}(G)=k$.对于具有度$1$顶点的边$e\in E(G)$事件，我们定义$γ_{tR}(G-e)=\infty$。图$G$是$k$-$γ_{tR}$-edge-removal-critical，如果它对每个边$e\in E…
2020-02-03 math.CO
The sub-$k$-domination number of a graph with applications to $k$-domination
本文引入并研究了一个新的由图$G$的度序列导出的图不变量，称为子$k$ -控制数，记作$sub_k(G)$。证明了$sub_k(G)$是$G$的$k$ -控制数的一个计算有效的下界，并改进了几个已知的下界.我们还刻画了几类图的次$k$ -控制数，给出了次$k$ -控制的结构性结果，并探讨了关于点和边的添加和删除的$sub_k(G)$ -临界图的性质.
2016-11-08 cs.DM math.CO
Star-uniform Graphs
图$G$的{ \it星因子}是$G$的生成子图，使得它的每个分量都是星。显然，每个没有孤立点的图都有一个星因子。一个图$G$称为{ \it star-uniform}，如果$G$的所有星因子具有相同的分支数。星一致图的刻画是Hartnell和Rall在最小生成树和最优分配问题的启发下提出的一个公开问题。利用因子临界性和控制数的概念刻画了所有最小度至少为2的星一致图。我们的证明在很大程度上依赖于Gallai-Edmonds匹配结构定理。
2007-07-02 math.CO
Ribbon invariants I
本文考虑了一个非负整数不变量，它是从定义在2-圆盘上的光滑函数$f$的几何上不同的临界点的个数之下估计的，$f:\mathbb{B}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$。(We用“$γ$“表示。）它取决于边界$\partial(\mathbb{B}^{2})=\mathbb{S}^{1}$上的组合$C^{0}+C^{1}$类型条件，这里我们称之为“带”。它被证明是梯度映射的度的替代，并且几乎与梯度映射无关。注意，度的计算不保证多个临界点，这与带状不变量$γ$不同。事实上，这个不变量是在计算临界集的本质成分的数量，而不是简单地计算临界点的数量。建立了$γ$的各种估计。一些其他的“带状”几何性质的不变量的定义和调查。所有这些不变量在本质上更多的是组合的，而不是代数的。提出了计算带状不变量的算法。与一些不同的领域，如理论的浸入曲线在平面或独立的控制图，以及各种几何应用的相互联系，进行了评论。本文第二部分将详细探讨后两个专题。最后，关于$γ$的不同问题被问到。
2018-10-09 math.CO math.GT
Isolation critical graphs under multiple edge subdivision
University of Malta（马耳他大学）；University of Gdańsk（格但斯克大学）；Gdańsk University of Technology（格但斯克理工大学）
本文引入了(ι,q)-临界图的概念，证明了对于每个整数q≥1都存在这样的图，并展示了连通非星图在特定条件下为(ι,q)-临界图，且该界是最佳的。
2026-03-23 cs.DM cs.DS math.CO
Vertices that belong to every minimum dominating set of a graph and their connection with transportation sharing systems with study cases in Campo de Gibraltar area
UCA（加的斯大学）
本研究提出图支配强制顶点理论，证明其识别为co-NP难，给出数量上界，并用迭代贪婪算法在西班牙两城市定位滑板车共享站点。
2026-09-29 math.CO physics.soc-ph
